2.5 REGLA DE CRAMER (OPCIONAL)

Transcripción

1 CAPÍTULO etermites i. Cree u mesje pr su profesor. Utilizdo úmeros e lugr de letrs, tl y como se describió e el problem 9 de MATLAB.8, escrib el mesje e form mtricil pr que pued multiplicrlo por l derech por A pr codificr el mesje (puede ser que ecesite colocr espcios dicioles l fil del mesje). ii. Utilice A pr ecriptr el mesje. iii. Etregue el mesje ecriptdo su profesor (como u cde de úmeros) y l mtriz A.. REGLA E CRAMER (OPCIONAL) E l presete secció se exmi u viejo método pr resolver sistems co el mismo úmero de icógits y ecucioes. Cosidere el sistem de ecucioes lieles co icógits. () que puede escribirse e l form Ax b () Si det A? 0, el sistem () tiee u solució úic dd por x A b. Se puede desrrollr u método pr ecotrr dich solució si reducció por regloes y si clculr A. Se det A. Se defie uevs mtrices: A b b o o o b b b, A,, o o o b b b A o o o b Es decir, A i es l mtriz obteid l reemplzr l colum i de A por b. Por último, se det A, det A,, det A. TEOREMA Regl de Crmer Se A u mtriz de 3 y supog que det A 0. Etoces l solució úic l sistem Ax b está dd por (3) EMOSTRACIÓN L solució Ax b es x A b. Pero A A b A A A b A A A b o o o o A A A b (4)

2 . Regl de Crmer (opciol) 3 Ahor bie, (dj A)b es u -vector cuy compoete j es b b ( A A A ), ba ba ba j j j j j j o b Cosidere l mtriz b b Aj b () (6) colum j Si se expde el determite de A j respecto su colum j, se obtiee j b (cofctor de b ) b (cofctor de b ) b (cofctor de b ) (7) Pero pr ecotrr el cofctor de b i, por ejemplo, se elimi el regló i y l colum j de A j (y que b i está e l colum j de A j ). Pero l colum j de A j es b, y si se elimi se tedrá simplemete el meor ij, M ij, de A. Etoces cofctor de b i e A j A ij e mer que (7) se covierte e j b A j b A j b A j (8) Por est rzó se trt de lo mismo que el ldo derecho de (). Por lo tto, l compoete i de (dj A)b es i y se tiee y l prueb qued complet. x / x / x A b ( dj A) b o o o x / Not históric. L regl de Crmer recibe su ombre e hoor del mtemático suizo Gbriel Crmer (704-7). Crmer publicó l regl e 70 e su libro Itroductio to the Alysis of Lies of Algebric Curves. e hecho, existe evideci que sugiere que Coli Mcluri ( ) coocí l regl desde 79; Mcluri fue quizá el mtemático britáico más sobresliete e los ños que siguiero l muerte de Newto. L regl de Crmer es uo de los resultdos más coocidos e l histori de ls mtemátics. urte csi 00 ños fue fudmetl e l eseñz del álgebr y de l teorí de ls ecucioes. ebido l gr úmero de cálculos requeridos, se utiliz muy poco e l ctulidd. Si embrgo, el resultdo fue muy determite e su tiempo. EJEMPLO Solució de u sistem de utilizdo l regl de Crmer Resuelv el sistem usdo l regl de Crmer:

3 4 CAPÍTULO etermites x 4x 6x 3 8 4x x 6x 3 4 (9) 3x 4x x 3 48 Solució El presete ejemplo y se resolvió e el ejemplo.3. de l pági: hciedo uso de l reducció por regloes. Tmbié se pudo resolver clculdo A (ejemplo.8.6, pági 0) y después ecotrdo A b. Ahor se resolverá usdo l regl de Crmer. Primero, se tiee de mer que el sistem (9) tiee u solució úic. espués x 3 8 x Por lo tto, x 4 4, 6 4, EJEMPLO Solució Solució de u sistem de usdo l regl de Crmer emuestre que el sistem x 3x x 3 x 4 x x 4x 4 x 3x 9x 3 6x 4 3 3x x 4x 3 8x 4 tiee u solució úic y ecuétrel utilizdo l regl de Crmer. E el ejemplo..4 de l pági 9 se vio que (0) Por lo que el sistem tiee u solució úic. Pr ecotrrl se clcul 464; 80; 3 6; 4. Así, x / 464 / 60, x / 80 / 60, x 3 3 / 6 / 60 y x 4 4 / /60. Ests solucioes se puede verificr por sustitució direct e el sistem 0. Problems. A UTOEVALUACIÓN I. Cosidere el sistem x 3y 4z 7 3x 8y z x y 6z

4 . Regl de Crmer (opciol) Si, etoces y. ) b) c) d) e los problems l 9 resuelv el sistem ddo usdo l regl de Crmer.. x 3x. 3x 3x 7x 4x 47 4x x 3. x 3x 6 4. x 3x 8 3x x 3x 3 x 4x 3x 3 8x x x 3 3x 3x x 3. x x 7 6. x x 3x 3 x x 4x x 3 x x x x 7. x x 3x x 3x 3x 4 6 x x x 3x 3x 3 3x 4 4 x x x 3 x 3x 6x 4 3 x 3x 3x 4 9. x 3x 3x 4 7 x x 3x 4 4x 3x 6x 4 3 x 3x x 4 *0. Cosidere el triágulo e l figur. Figur. cos cos ) emuestre, utilizdo l trigoometrí elemetl, que c cos A cos B cos C b b cos A cos B cos C c c cos A c cos B b cos C b) Si se pies que el sistem del iciso ) es u sistem de tres ecucioes co tres icógits, cos A, cos B y cos C, demuestre que el determite del sistem es diferete de cero.

5 6 CAPÍTULO etermites c) Utilice l regl de Crmer pr despejr cos C. d) Utilice el iciso c) pr probr l ley de coseos: c b b cos C. R ESPUESTA A LA AUTOEVALUACIÓN I. c) MATLAB.. Ls siguietes istruccioes resuelve el sistem Axb utilizdo l regl de Crmer % Orde del sistem resolver =0; % Geerr mtriz A y vector b; A=rd(); b=rd(,); % Iicilizcio del vector de resultdos x=zeros(,); % Clculo del determite de A deta=det(a); % Ciclo pr ecotrr vector x utilizdo % regl de Crmer for i=: C=A; C(:,i)=b; x(i)=det(c)/deta; ed Gurde ls istruccioes e u rchivo tipo m co ombre crmer.m ) Ejecute ls siguietes istruccioes desde l líe de comdo de MATLAB tic;crmer;toc tic;crmer;t_crmer=toc E l vrible t_crmer se gurd el tiempo de ejecució de este progrm. b) Resuelv el sistem usdo z = A\b. é los siguietes comdos tic;z=a\b;toc tic;z=a\b;t_lu=toc E l vrible t_lu se gurd el tiempo de ejecució. c) Compre x y z clculdo x z y despliegue el resultdo utilizdo formt short e. Compre los tiempos de ejecució. Cuáles fuero sus hllzgos co ests comprcioes? d) Repit pr u mtriz letori de Qué otrs firmcioes puede hcer sobre los tiempos de ejecució?

6 Resume 7 RESUMEN El determite de u mtriz de 3, está ddo por (p. 68) etermite de etermite de A det A A 3 det (p. 69) El meor ij de l mtriz A de 3, deotdo por M ij, es l mtriz de ( ) 3 ( ) obteid l elimir el regló i y l colum j de A. (p. 70) El cofctor ij de A, deotdo por A ij, está ddo por etermite de 3 A ij (i) ij det M ij (p. 7) Se A u mtriz de 3. Etoces (p. 7) det A A A A A k k k L sum terior se deomi l expsió de det A por cofctores e el primer regló. Si A es u mtriz de 3, trigulr superior, trigulr iferior o digol, cuys compoetes e l digol so,,...,, etoces (p. 73) det A Si A LU es u fctorizció LU de A, etoces det A det U (p. 83) Si PA LU es u fctorizció LU de PA, etoces det A det U/det P ±det U (p. 84) Teorem básico Si A es u mtriz de 3, etoces y (pp. 86, 99) det A A A A A pr i,,, y j,,,. j j j j j j kj kj k Es decir, el determite de A se puede obteer expdiedo e culquier regló o colum de A. Si culquier regló o colum de A es el vector cero, etoces det A. (p. 87) Si culquier regló (colum) de A se multiplic por u esclr, etoces det A se multiplic por c. (p. 87) Si A y B so dos mtrices de 3 que so igules excepto por l colum j (regló i) y C es l mtriz que es idétic A y B excepto que l colum j (regló i) de C es l sum de l colum j de A y l colum j de B (regló i de A y regló i de B), etoces det C det A det B. (p. 88) El itercmbio de culesquier dos colums o regloes distitos de A tiee el efecto de multiplicr det A por. (p. 88)

7 8 CAPÍTULO etermites Si culquier regló (colum) de A se multiplic por u esclr y se sum culquier otro regló (colum) de A, etoces det A o cmbi. (p. 90) Si u regló (colum) de A es u múltiplo de otro regló (colum) de A, etoces det A. (p. 90) det A det A t. (p. 9) L mtriz A de 3 es ivertible si y sólo si det A? 0. (p. 04) det AB det A det B. (pp. 83, 04) Si A es ivertible, etoces det A 0 y det A det A (p. 07) Se A u mtriz de 3. L djut o djugd de A, deotd por dj A, es l mtriz de 3 cuy compoete ij es A ji, el cofctor ji de A. (p. 07) Si det A 0, etoces A es ivertible y (p. 07) Teorem de resume A dj A det A Se A u mtriz de 3. Etoces ls siguietes siete firmcioes so equivletes: (p. 08) i. A es ivertible. ii. L úic solució l sistem homogéeo Ax es l solució trivil (x ). iii. El sistem Ax b tiee u solució úic pr cd -vector b. iv. A es equivlete por regloes l mtriz idetidd de 3, I. v. A es el producto de mtrices elemetles. vi. L form esclod por regloes de A tiee pivotes. vii. det A? 0. Regl de Crmer Se A u mtriz de 3 co det A? 0. Etoces l solució úic l sistem Ax b está dd por (p. 9) x A x,,, x det det A det A dode j es el determite de l mtriz obteid l reemplzr l colum j de A por el vector colum b. EJERCICIOS E REPASO E los ejercicios l 0 clcule el determite

8 Ejercicios de repso e los ejercicios l 8 utilice determites pr clculr l ivers (si existe) E los ejercicios 9 l 4 resuelv el sistem utilizdo l regl de Crmer. 9. x 3x 3 0. x 3x 7 3x x x x x 3 4 x 3x x 3. xx x3x. x 3x x x x x4x 47 x x 3 3 x x 4x 3x x 3 3. x 3x x 3 3x x x 3x x 0 x x x 3 3x 4 4x x x x 4x 3x x 3 3x 4 x 3x 4x 3 3x x x 3 x x 4