Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X

Transcripción

1 Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági de 9 Álger pr igeieros de l Uiversidd Alfoso X -trices y sistems de ecucioes lieles Opercioes co mtrices: A= m m B= m p p q q pq Sum: - s mtrices sumr tiee que teer l mism dimesió (m=p, =q). AB = m m m m m m Producto por u úmero (l): λ λa=aλ= λ λ m λ λ λ m λ λ λ m Producto de mtrices: - El producto de mtrices o es comuttivo (e ocsioes AB BA). - Si multiplicmos AB, A tiee que teer l mism ctidd de colums que B de fils (=p). - mtriz resultte de l multiplicció tiee l mism ctidd de fils que A y de colums que B (dimesió de AB es igul m q). DETA-ASTER c/ Geerl Ampudi 6, 8003 ADRID

2 Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági de 9 AB= m m m m m m m q q q m q q q m q q q Trz de u mtriz: - mtriz l que se hll l trz tiee que ser cudrd (=m). - trz es l sum de los elemetos de l digol. trz(a)= Trsposició de mtrices: - trsposició es el simple cmio de fils por colums. T A = Tipos de mtrices triz fil: mtriz co u sol colum (m ). triz colum: mtriz co u sol fil ( ): triz cudrd: mtriz co l mism ctidd de fils que de colums (=m). triz rectgulr: mtriz co u úmero diferete de fils que de colums ( m). triz ul: triz e l que todos sus elemetos so ceros. triz trigulr superior (iferior): mtriz cudrd e l cul todos los elemetos que está por dejo (rri) de l digol so ceros. triz digol: mtriz cudrd e l cul so ulos los elemetos por dejo y por rri de l digol. triz regulr: mtriz que se puede ivertir. triz idetidd: mtriz digol e l que los elemetos de l digol so uos. triz simétric: mtriz que es igul su trspuest (A= A T ). DETA-ASTER c/ Geerl Ampudi 6, 8003 ADRID

3 Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági 3 de 9 T triz tisimétric: A=- A. triz ortogol: A T = A. triz idempotete: A = A. triz ilpotete: si existe u tl que A = O (O mtriz ul). Propieddes de los distitos tipos de mtrices T T T - ( A B) = A B T T T - ( AB ) = B A - (AB) = B A - IA=AI=A (I es l mtriz idetidd) - OA=AO=O (O es l mtriz ul) Determites - El determite solo se le hll u mtriz cudrd. Determites de mtrices de dimesió : A=, A = c d c d = d c Determites de mtrices de dimesió 3: A= 3 3 c c, A = c3 3c 3c ( 3c c3 3c) c 3 Determites de orde myor que tres: eor correspodiete l elemeto ij, ij : es el determite l fil i y l colum j. formdo l elimir Adjuto l elemeto ij : (-) ij ij. Determite: cogemos cd elemeto de u fil o colums lo multiplicmos por su djuto y lo summos. DETA-ASTER c/ Geerl Ampudi 6, 8003 ADRID

4 Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági 4 de 9 Propieddes de los determites: A T = A AB = BA A - =/ A A =- B, siedo B l mtriz formd l itercmir dos fils o colums A =0, si A tiee dos fils o colums igules, proporcioles o que u deped lielmete de ls otrs. B =k A, si todos los elemetos de B so igules los de A meos u fil o colum que se multiplicdo por k. triz ivers - mtriz A es l mtriz ivers de A si AA - =A - A=I - mtriz A tiee ivers si y sólo si su determite es distito de cero. trices semejtes - Dos mtrices A y B cudrds de orde so semejtes si existe u mtriz P regulr tl - que B=PAP. Clculo de l mtriz ivers - t - (dja) A =, dode l mtriz dja es l mtriz formd por los elemetos djutos A de A. - Otr mer de clculr l ivers de A es utilizdo el método de Guss- Jord Sistems de ecucioes lieles Se deomi sistem de ecucioes lieles de m ecucioes co icógits : x x... x = x x... x =... x x... x = m m m m Form mtricil Ax=, dode DETA-ASTER c/ Geerl Ampudi 6, 8003 ADRID

5 Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági 5 de A= m m m Clsificció de los sistems x x, x=, = x m - Sistem comptile determido: so los que tiee solució y es úic. - Sistem comptile idetermido: so los que tiee ifiits solucioes. - Sistem icomptile: so los que o tiee igu solució. Rgo de u mtriz: orde del myor determite o ulo que se puede formr prtir de l mtriz. Teorem de Rouché-Froeius... Se l mtriz mplid A %... = m m m m - Si rg A rg A % etoces el sistem es icomptile. - Si rg A = rg A % = etoces el sistem es comptile determido. - Si rg A = rg A % < etoces el sistem es comptile idetermido. Resolució de sistems de ecucioes - Sistem de Crmer (comptile determido) - x=a. - Regl de Crmer x i = A i i i i i i - Otro método es el de elimició de Guss-Jord. DETA-ASTER c/ Geerl Ampudi 6, 8003 ADRID

6 Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági 6 de 9 -Espcios vectoriles Defiició Diremos que u cojuto V es u espcio vectoril sore u cuerpo K si hy defiids dos opercioes: - u ley iter, V VfiV, (x, y) fixy, que deomimos sum de vectores - u ley exter K VfiV, (,y) fiy, que deomimos producto por u esclr de mer que verific ls siguietes propieddes: - xy=yx (comuttiv) - (xy)z=x(yz) (socitiv) 3-0 V/ x 0= x, x V(elemeto eutro) 4- x V, -x V/ x(-x)=0 (elemeto opuesto) 5- (αβ)x=αxβx 6- α (xy)= αxαy 7- (αβ)x=α(β x) 8- x=x α, β, x,y V Comició liel: Se { x, x,..., x} V y {,,..., } K se dice que l operció α x α x... α x form u comició liel de dichos vectores. Depedeci liel: Se dice que { x, x,..., x} V es u cojuto lielmete depediete si {,,..., } K co l meos α i 0, e el que α x α x... α x =0. Idepedeci liel: Se dice que { x, x,..., x} V es u cojuto lielmete depediete de V si l ser α x α x... α x =0 es ecesrio que = =... = 0. = Sistem geerdor: Se dice que { x, x,..., x} V, form u sistem geerdor de V si x V, {,,..., } K /x = α x α x... α x. Bse de u sistem geerdor: Se dice que B = { x, x,..., x} form u se de V si se cumple, que es u sistem geerdor de V y u cojuto lielmete idepediete. Coordeds de u vector e u se dd: Se B = x, x,..., } u se de V, y se { x x V ; se dice que (,,..., ) K so ls coordeds de x e l se B si se cumple: x α x α x... α = x. Cmio de se: Se B = { x, x,..., x} y B = { y,y,..., y } dos ses de u espcio vectoril V. Se dice ecucioes del cmio de se ls que surge de hcer DETA-ASTER c/ Geerl Ampudi 6, 8003 ADRID

7 Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági 7 de 9 x α x... α x = α y α y... α y α siedo,,..., ) ( y (,,..., ) ls coordeds de x e ls ses B y B respectivmete. Dimesió de V: umero de vectores que form u se V. Suespcio vectoril: Se S u sucojuto de vectores de V, se dice que form u suespcio vectoril de V si e él se verific: x, y S y α x βy S (el elemeto eutro siempre tiee que perteecer S). Opercioes etre suespcio: Se S y S dos suespcio de V, se dice: - Sum. S S = S S, es u suespcio de V, dode u se de S S est formd por u ctidd mximl de vectores lielmete idepediete del cojuto de vectores formdo l uir u se de cd uo de los suespcio. - Itersecció. S S, es u suespcio de V e el que si x S S etoces x S y x S. - Sum direct. S S, se dice si dim(s S )=0 - dim(s S )dim(s S )=dim(s )dim(s ). 3-Espcios vectoriles euclídeos Producto iterior: cd pr de vectores se le sig u úmero rel <u,v> que stisfce: - < u u, v >= < u, v > < u, v > (lielidd) - <u,v>=<v,u>(simetrí) 3- <u,v> 0, <u,u>=0 u=0 (defiid positiv) Espcio euclideo: todo espcio vectoril e el que se le defi u producto esclr. ogitud de u vector u: u = < uu, >. Desiguldd de Cuchy Schwrz: < u,v > u v. < u,v > Relció trigoométric: cos( θ) =, dode θ es el águlo etre los vectores. u v Ortogolidd: dos vectores so ortogoles si su producto itero es igul cero. Complemeto ortogol: se S u cojuto del espcio vectoril V, defiimos complemeto ortogol de S : S = v V: < u,v>= 0 u S, S es u suespcio vectoril de V. { } -Si S es u suespcio de V,V =S S. Cojutos ortogol: u cojuto es ortogol si todos los elemetos so ortogoles etre si. Cojutos ortoorml: u cojuto es ortoorml si todos los elemetos so ortogoles etre si y l logitud de cd uo de ellos es uo. DETA-ASTER c/ Geerl Ampudi 6, 8003 ADRID

8 Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági 8 de 9 -Todo cojuto ortogol es lielmete idepediete. < V, > Proyecció: l proyecció del vector V e es c dode c = (c es llmdo coeficiete de Fourier). Proceso de ortolizció (Grm-Schmidt): Se el cojuto de vectores {V,V,...,V } que queremos ortogolizr, el proceso de ortogolizció es el siguiete: = V 3 = V = V 3... = V < V, < V3, < V, > > > < V3,... < V, > > Represetció del producto itero e u se {V,V,...V }: < V, V > < V, V >... < V, V > < V, V > < V, V >... < V, V >... < V, V > < V, V >... < V, V > 4-Apliccioes lieles Aplicció liel: se V y dos espcios vectoriles, decimos que l plicció f : V x V, y tl que y = f ( x ) es liel si f ( x y) = f ( x) f ( y) f ( αx) = α f ( x) -A tod plicció liel se le puede socir u mtriz y est depede de ls ses escoger e los espcios V y. Edomorfismo: =V. Núcleo: se dice úcleo o Ker de f : Ker(f)={ x V: f ( x ) = 0}. Imge: se dice que imge de f :Im(f){ y : x V/ f ( x) = y }. -dim(ker(f))dim(im(f))=dim(v). Iyectiv: Ker(f)=0.(f es u moomorfismo) Soreyectiv: Im(f)=. ( f es epimorfismo) DETA-ASTER c/ Geerl Ampudi 6, 8003 ADRID

9 Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági 9 de 9 Biyectiv: plicció iyectiv y soreyectiv. (f es u isomorfismo) 5-Digolizció Autovector: Se f : V Vu edomorfismo, se dice que x es u utovector de f si se cumple f(x)=λx. Autovlor: es el vlor λ de l defiició de utovector. Clculo de Autovlores y utovectores Autovlores: so ls solucioes del poliomio det(a-λi)=0 (poliomio crcterístico), siedo A u mtriz socid l plicció liel f. Autovectores: so los vectores que coform ls ses de cd suespcio (suespcio propio) formdo por ls solucioes de los sistems (A- λii)x=0, i=..r, dode λ i so los utovlores y r es l úmero de vlores propios distitos. - U plicció es digolizle si l multiplicidd de sus utovlores es igul l dimesió del suespcio propio. triz digol socid l plicció f, D: es l mtriz digol e l cul su digol está formd por los utovlores de f. Además D= P AP, dode P es u mtriz cuys colums está formd por los utovectores. Propieddes: - A y A tiee los mismos utovlores. - Si λ es utovlor de A, kλ es utovlor de ka (los utovectores so los mismos). - Si λ es utovlor de A, λ es utovlor de A (los utovectores so los mismos). - Si λ es utovlor de A, λ es utovlor de A (los utovectores so los mismos). - Si λ es utovlor de A, Ker(f) 0. - Si p(x) es el poliomio crcterístico de A etoces p(a)=0, Teorem de Cyley- Hmilto. - Si A es simétric es siempre digolizle y sus utovectores form u cojuto ortogol. DETA-ASTER c/ Geerl Ampudi 6, 8003 ADRID