I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

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1 I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles, en generl, un conjunto de números reles dispuestos en m fils y en n columns. Se suelen escribir encerrdos entre préntesis o entre brrs dobles. Por ejemplo l mtriz : se puede expresr sí: i m i m j j ij mj n n in Fil i mn Column j o bien, de form más simplificd: = ( ij ) (i =,,..., m; j =,,..., n). Observ l diferenci que hy entre ij sin préntesis y ( ij ). Mientrs que ij represent el elemento de l mtriz situdo en l fil i y en l column j, ( ij ) represent l mtriz complet. En culquier cso decimos que l mtriz es de dimensión m n (número de fils número de columns). TIPOS DE MTRICES. TENDIENDO L FORM. Mtriz fil: Mtriz column: Mtriz trspuest: Mtriz cudrd: Es quell que tiene un sol fil, es de dimensión n. veces se le llm vector fil. Es quell que sólo tiene un column será de dimensión m. veces se le llm vector column. L mtriz trspuest de se suele representr por t y es l mtriz que se obtiene l cmbir en ell ls fils por ls columns; si es de dimensión mn, entonces t será de dimensión nm. Es quell en que el número de fils = l número de columns = n. En este cso, en vez de decir que l mtriz es de dimensión nn, se dice que es de orden n. Cundo un mtriz no es cudrd se llm rectngulr. El conjunto formdo por todos los elementos de l form ii de un mtriz cudrd se llm digonl principl. l otr digonl se le d el nombre de secundri. TENDIENDO LOS ELEMENTOS. Mtriz nul: Es quell en l que todos sus elementos son. l mtriz nul se l represent por y se le llm tmbién mtriz cero. Dentro de ls mtrices cudrds se pueden dr los siguientes csos:

2 I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel Mtriz simétric: Es quell mtriz cudrd en l que ij = ji. Mtriz digonl: Mtriz esclr: Es un mtriz cudrd, en l que todos los elementos no pertenecientes l digonl principl son nulos. Es un mtriz digonl con todos los elementos de l digonl principl igules. Mtriz unidd o identidd: Es un mtriz esclr con l digonl principl formd por unos. Se represent por I. Mtriz tringulr: Es un mtriz cudrd en l que todos los términos por encim (por debjo) de l digonl principl son nulos. IGULDD DE MTRICES Dos mtrices = ( ij ) y B = (b ij ) son igules cundo los elementos situdos en el mismo sitio en mbs mtrices sen igules, es decir, ij = b ij i, j. OPERCIONES CON MTRICES: Llmremos M m,n l conjunto de tods ls mtrices de dimensión m n. Vmos definir en este conjunto lguns operciones: Sum: Sen = ( ij ) y B = (b ij ) dos mtrices pertenecientes M m,n y, por tnto, mbs de dimensión m n. Definimos l sum de y B, y lo designmos por + B, un nuev mtriz S = (s ij ) M m,n en l que cd elemento s ij se obtiene sumndo: s ij = ij + b ij Sen ls mtrices: ; B ; C ; D 8 pertenecientes l conjunto M,, clcul l expresión E = + B + C + D. El conjunto ( M m,n ; +) goz de ls siguientes propieddes: SOCITIV: ( + B) + C = + (B + C). Comprueb l propiedd socitiv con ls mtrices, B y C del ejercicio. EXISTENCI DE ELEMENTO NEUTRO: Existe un elemento de M m,n, el, en el que todos sus elementos son, tl que M m,n + = + =. Escribe el elemento neutro pr el conjunto M, = ( ij ) M m,n un ELEMENTO OPUESTO, que representremos por = ( ij ), en el que todos sus elementos son los opuestos de los de, tl que + () =. Escribe el elemento opuesto de l mtriz del ejercicio y comprueb que + () = CONMUTTIV: pr de mtrices y B pertenecientes M m,n se verific que + B = B Comprueb que se verific l propiedd conmuttiv pr ls mtrices y B del ejercicio.

3 I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel Por verificr tods ests propieddes se dice que ( M m,n ; +) tiene estructur de grupo conmuttivo. Producto de un número rel por un mtriz: Sen un número R y un mtriz = ( ij ) M m,n. Definimos el producto de como un nuev mtriz B = (b ij ) M m,n tl que cd elemento b ij de B se obtiene multiplicndo por ij : b ij = ij. Siendo l mtriz del ejercicio, clcul el producto. El conjunto ( M m,n ; +; R) goz de ls siguientes propieddes: SOCITIV MIXT: Si y son números reles y es un mtriz de M m,n : () = () 7. Siendo =, = y l mtriz del ejercicio, comprueb l propiedd socitiv mixt. DISTRIBUTIVS: Si y son números reles y y B son mtrices de M m,n : ( + ) = + ( + B) = + B 8. Siendo =, = y y B ls mtrices del ejercicio, comprueb ls propieddes distributivs. UN NÚMERO REL, EL, tl que M m,n ocurre que = Por verificrse tods ests propieddes decimos que ( M m,n ; +; R) tiene estructur de espcio vectoril. Clcul: E = B + C D, siendo, B, C y D ls mtrices del ejercicio. Producto de un mtriz fil por un mtriz column: x (x, y, z) y = x x + y y + z z z 9. Siendo 5 y B, clcul el producto B Producto de dos mtrices culesquier: El producto de l mtriz = ( ij ) de dimensión m n por l mtriz B = (b ij ) de dimensión n p, es otr mtriz P = (p ij ) de dimensión m p, tl que cd elemento p ij se obtiene multiplicndo l fil i de l primer mtriz por l column j de l segund. Es decir, p ij = n k ik b kj El producto de ls mtrices y B se design por B o B y goz de ls siguientes propieddes:

4 I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel 7. Dds ls mtrices ; B ; 5 efectú todos los productos posibles entre ells. SOCITIV: ( m,p B p,n ) C n,q = m,p (B p,n C n,q ) 7 5 C ; 5 D 5,. Comprueb que (D)C = (DC), siendo, D y C ls misms mtrices del ejercicio nterior. DISTRIBUTIVS: (B + C) = B + C siempre que estén definids mbs operciones. (B + C) = B + C. Siendo 5 ; distributivs. B 5 y C 5, comprueb mbs propieddes Es importnte hcer notr que NO se cumple L PROPIEDD CONMUTTIV y, por tnto, los resultdos obtenidos en ls dos distributivs expuests nteriormente, son diferentes en generl.. Comprueb l propiedd conmuttiv pr ls mtrices y B del ejercicio nterior.. DETERMINNTE DE UN MTRIZ CUDRD. Determinnte de un mtriz cudrd es un número que se obtiene con un sum lgebric de todos los productos posibles en los que interviene un elemento de cd fil y un elemento de cd column de l mtriz cudrd. DETERMINNTES DE ORDEN. En un mtriz de orden x hbrá dos productos, uno con signo positivo (digonl principl) y otro con signo negtivo (digonl secundri) =. Esquemáticmente: = + DETERMINNTES DE ORDEN. En un mtriz de orden x hbrá seis productos ( = ), tres con signo positivo y otros tres con signo negtivo que los podemos obtener por l regl de Srrus = ( )

5 I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel 5 Esquemáticmente: = + llmd Regl de Srrus. NOTS: ) Si l mtriz es tringulr, el determinnte es igul l producto de los elementos de l digonl principl. b) Un mtriz cudrd cuyo determinnte vle, recibe el nombre de mtriz singulr. Por el contrrio, si el determinnte es distinto de, recibe el nombre de regulr.. Clcul el siguiente determinnte utilizndo l regl de Srrus: 5. Resuelve l siguiente ecución: 5 x x PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES. ª El determinnte de un mtriz es igul que el de su mtriz trspuest: =. Compruéblo con l siguiente mtriz cudrd ª Si en un mtriz, un líne (fil o column) está formd por ceros, su determinnte es : =. Compruéblo pr ª Si en un mtriz, todos los elementos de un fil o un column tienen un fctor común, dicho fctor se puede scr fuer de su determinnte. Recíprocmente, pr multiplicr un número k por el determinnte de l mtriz, bst multiplicr un fil o un column por ese número. Compruéblo en el siguiente ejemplo: ) ( ª Si en un mtriz cmbimos entre si dos fils (o dos columns), el vlor bsoluto de sus determinntes no vrí, pero sí cmbi su signo. Compruéblo pr

6 I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel 5ª El determinnte de un mtriz con dos fils o dos columns igules vle cero. Est propiedd es fácil de comprender: Se =, si cmbimos entre si ls dos fils o columns igules el determinnte es el mismo, pero con distinto signo. si pues, = = =. Comprueb est propiedd pr el determinnte: ª Si un mtriz tiene dos línes proporcionles, su determinnte vle. Comprueb est propiedd en el siguiente ejemplo: 7ª Si en un mtriz cudrd, un fil (o column) es combinción linel de ls restntes fils (o columns), su determinnte vle cero. En l mtriz 5, l tercer column = l primer + l segund, es decir, l tercer column es 5 un combinción linel de ls dos primers. Comprueb que =. 8ª Recíprocmente, si el determinnte de un mtriz cudrd vle, seguro que lgun líne es combinción linel de ls demás. Es decir, sus fils (columns) son linelmente dependientes. 9ª Si un fil (o column) de un mtriz cudrd se le sum un combinción linel de ls demás fils (o columns), su determinnte no vrí. Compruéblo con un ejemplo. ª Si en un determinnte descomponemos un líne en dos sumndos, ocurre: i m i m j j ij mj k k ik mk n n in i mn m i m j j ij mj n n in i mn m i m k k ik mk n n in mn Compruéblo con el siguiente ejemplo: 5 7 ª El determinnte del producto de dos mtrices cudrds es igul l producto de sus determinntes: B = B Compruéblo con el siguiente ejemplo:

7 I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel 7 DESRROLLO DE UN DETERMINNTE. MENOR COMPLEMENTRIO: Llmmos menor complementrio del elemento ij de l mtriz cudrd, l determinnte de l mtriz que result de suprimir l fil i y l column j en. este menor complementrio lo solemos representr por ij. DJUNTO DE UN ELEMENTO: Llmmos djunto de ij de l mtriz cudrd, y lo representmos por ij : ij = () i+j ij Nturlmente si l mtriz es de orden n, el djunto de culquier elemento será de orden n. MTRIZ DJUNT DE L MTRIZ : Es l mtriz formd por todos los djuntos de los elementos de. Se suele representr por *. Si = n n n n, su mtriz djunt es * = nn n n n n nn. Hll l mtriz djunt de l mtriz PROPOSICIÓN I: El determinnte de un mtriz se puede hllr multiplicndo esclrmente un líne (fil o column) por los djuntos de dich líne. Es decir: = i i + i i in in Est proposición es muy importnte porque nos d un método de cálculo de determinntes de orden myor que. Por ejemplo, un determinnte de curto orden puede resolverse prtir de determinntes de orden. 7. Comprueb que PROPOSICIÓN II: El resultdo de multiplicr esclrmente los elementos de un líne por los djuntos de un líne prlel, es : i j + i j in jn =. MTRIZ INVERS DE UN MTRIZ CUDRD. Dd l mtriz, llmmos mtriz invers de y l representmos por - un mtriz tl que: - = I siendo I l mtriz unidd 8. Utilizndo l definición de mtriz invers, clcul, si es posible, l mtriz invers de 5 9. Utilizndo l definición de mtriz invers, clcul, si es posible, l mtriz invers de

8 I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel 8 Se demuestr que l mtriz invers coincide con l mtriz djunt de l trspuest de dividid entre su determinnte: Como es nturl, este cociente existirá siempre que el denomindor se distinto de, cos que no siempre ocurre. Es decir que no tods ls mtrices cudrds dmiten invers. Por consiguiente: L condición necesri pr que un mtriz cudrd se invertible (dmit invers) es que se regulr o no singulr, es decir,. En l prctic seguiremos el siguiente proceso pr determinr l mtriz invers de l mtriz cudrd :. Hllmos el determinnte de, si es distinto de cero l mtriz es invertible, en cso contrrio l mtriz no dmite invers. b. Hllmos l mtiz t (mtriz trspuest de ). c. Clculmos l mtriz djunt de l trspuest t. t d. Dividimos cd elemento de l mtriz nterior por el determinnte de. *. Clcul l mtriz invers de l mtriz