MATRICES 2º BACHILLER

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1 Colegio Vizcy Mtemátics II UNIDAD DIDÁCTICA MATRICES º BACHILLER

2 Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Reconocer informciones que se puedn representr medinte mtrices.. Operr con mtrices.. Reconocer crcterístics especiles de ls operciones con mtrices, tendiendo sus propieddes.. Resolver ecuciones y sistems de ecuciones mtriciles. 5. Resolver ecuciones y sistems de ecuciones mtriciles. CONCEPTOS. Definición de mtriz. Tipos de mtrices.. Operciones con mtrices: sum, producto por un esclr, producto de mtrices y potencis ( método de inducción). Propieddes.. Mtriz invers: definición y cálculo directo.. Ecuciones y sistems mtriciles.

3 Colegio Vizcy Mtemátics II MATRICES. DEFINICIÓN Se llm mtriz todo conjunto de n os reles ordendos en un tbl de m fils y n columns epresd entre préntesis. Se represent por un letr myúscul A, B o como ( ij ), (b ij ) Ejemplos: A B En generl, culquier mtriz es de l form: A... m... m... m n n... mn Cd ij indic el elemento correspondiente l fil i y l column j. (El primer subíndice indic fil y el segundo column) Si l mtriz tiene m fils y n columns, se dice que es de orden o dimensión mn. Const de m n elementos. Ejemplos: A 5 es un mtriz de orden y contiene 6 elementos. B ( ) es de orden Dos mtrices A y B son igules si tienen l mism dimensión y coinciden término término. A ( ij ) A B ij b ij B (b ij ). TIPOS DE MATRICES. Mtriz Fil: Const de un sol fil, es decir, es de orden n. Ejemplo: A ( )

4 Colegio Vizcy Mtemátics II. Mtriz Column: Const de un sol column, es decir es de orden m. Ejemplo: B. Mtriz Cudrd: Un mtriz cudrd es quell que tiene el mismo nº de fils que de columns, esto es, es de orden nn unque se epres únicmente n. En cso contrrio se llm rectngulr. Ejemplo: C mtriz de orden En ls mtrices cudrds se llm digonl principl l formd por los elementos,,, nn. L otr digonl se llm digonl secundri y está formd por los ij tles que i+j n+. A Digonl Secundri Digonl Principl. Mtriz Trspuest de A: Dd un mtriz A, se define su mtriz trspuest y se escribe A t, como quell que se obtiene cmbindo en A fils por columns. Ejemplo: A 5 A t 5 Se observ que si A es de orden mn, A t será de orden nm..5 Mtriz simétric: Tod mtriz cudrd que coincide con su trspuest, es decir: A A t o bien ij ji ij Ejemplo: A 5 5 Comprueb que coincide con su trspuest y observ que se produce un simetrí respecto l digonl principl.

5 Colegio Vizcy Mtemátics II 5.6 Mtriz Hemisimétric o Antisimétric: Tod mtriz cudrd que coincide con l opuest de su trspuest: A -A t Ejemplo: A Mtriz Nul: Todos sus elementos son igules. Eiste un pr cd orden. Se represent O mn Ejemplo: O O.8 Mtriz Digonl: Tod mtriz cudrd en l que los elementos que no pertenecen l digonl principl son, es decir ij j i Ejemplo: A.9 Mtriz Unidd/ Identidd: Tod mtriz digonl donde los elementos de l digonl son igules. Se represent I o I n Ejemplo: I I. Mtriz Tringulr Superior: Tod mtriz cudrd en l que los elementos situdos por debjo de l digonl principl son igules. Ejemplo: B. Mtriz Tringulr Inferior: Tod mtriz cudrd en l que los elementos situdos por encim de l digonl principl son igules. Ejemplo: A 7 5

6 Colegio Vizcy Mtemátics II. OPERACIONES CON MATRICES. SUMA Y RESTA Definición: Dds dos mtrices A ( ij ) y B (b ij ) del mismo orden mn, se define su sum como otr mtriz del mismo orden, cuyos elementos se obtienen sumndo los respectivos elementos de A y B que se encuentrn en el mismo lugr, es decir ( ij ) + (b ij ) ( ij + b ij ) Ejemplo: Propieddes. Asocitiv: (A + B) + C A + (B + C). Conmuttiv: A + B B + A. Elemento Neutro: L mtriz nul O del mismo orden (A+O O+A A). Elemento Opuesto de A: Tod mtriz A ( ij ) tiene un mtriz opuest -A (- ij ) y que: ( ij ) + (- ij ) O Por cumplir ests cutro propieddes, se dice que el conjunto de mtrices de orden mn, es un Grupo Abelino respecto l sum. Definición de RESTA: Sum con l mtriz opuest A B A + (-B). PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Definición: Dd un mtriz A( ij ) de orden mn y un nº rel p, se define el producto p A como otr mtriz de orden mn cuyos elementos se obtienen multiplicndo cd elemento de A por p, es decir, p A p ( ij ) (p ij ) Ejemplo: Propieddes. Distributiv respecto l sum de mtrices p (A + B) p A + p B. Distributiv con respecto l sum de esclres (k + p) A k A + p A 6

7 Colegio Vizcy Mtemátics II. Asocitiv mit (k p) A k (p A). A A ( es el elemento neutro del producto de n os reles) siendo p,k números reles culesquier y A,B mtrices de orden mn. Por cumplirse ests propieddes respecto l producto de un mtriz por un esclr, y por ser un grupo belino respecto l sum, se dice que el conjunto de mtrices de orden mn es un Espcio Vectoril. Actividdes. Escribe, si es posible: ) L mtriz unidd de orden 5 b) Un mtriz digonl de orden c) L mtriz nul de orden d) Un mtriz simétric de orden. Hllr e y pr que: y 8. PRODUCTO DE MATRICES Vemos primero lgunos ejemplos: ) ( ) 5 + ( ) b) ( ) + ( ) ( ) ( ) + 7 ( ) ( ) c) ( ) 5 +? No es posible Se observ que cd fil de l mtriz resultnte se obtiene multiplicndo esclrmente dich fil de l primer mtriz, por cd column de l segund. Tmbién se observ que pr que dicho producto esclr se posible, es necesrio que el número de columns de l primer mtriz se igul que el número de fils de l segund. Además, l mtriz producto tendrá tnts fils como l primer mtriz y tnts columns como l segund. Por tnto: Definición: Dos mtrices A de orden mn y B de orden st son multiplicbles, si el nº de columns de A coincide con el nº de fils de B, es decir, n s. 7

8 Colegio Vizcy Mtemátics II Definición: Dds dos mtrices A ( ij ) de orden mn y B (b ij ) de orden np, se define el producto de A y B como otr mtriz C (c ij ) de orden mp, donde cd elemento c ij se obtiene multiplicndo esclrmente l fil i de A por l column j de B. Es decir:... i... m... i... m n... in... mn b b... bn b b b j j... nj bp c bp b cm np... c ij... cp... cmp donde c ij i b + b b j i j in nj Actividdes. Dds ls mtrices A y B clcul: ) A+B b) A+B c) A B d) A e) A - B f) B A g) A B A h) (A+B) (A-B). Encuentr el vlor de e y pr que se verifique cd iguldd: ) y y b) z t Clcul A B y B A siendo A y B Propieddes. Asocitiv (A B) C A (B C). Distributiv respecto l sum A (B + C) A B + A C (A + B) C A C + B C 8

9 Colegio Vizcy Mtemátics II Se deduce que sólo se puede scr fctor común un mtriz en un sum, si dich mtriz multiplic en todos los sumndos por el mismo ldo (derech o izquierd) y que:. NO se cumple l conmuttiv De hecho, es posible que no eist A B o B A según l dimensión de cd mtriz. Por ello, es importnte mntener el orden en el que prezcn ls mtrices que se vn multiplicr. Si A es de orden mn B es de orden np A B es de orden mp B A no eiste Se hce necesrio entonces hblr de multiplicción por l izquierd o por l derech. Como consecuenci de esto, no se cumplen ls igulddes notbles: (A ± B) A ± AB + B (A + B) (A B) A B porque (A+B) (A+B) (A+B) A no se puede sustituir por A B.. Si A B A C B C + A B + B A + B, como A B es distinto de B A, Busc un ejemplo que lo confirme 5. Si A B O A O ó B O Ejemplo: - -. POTENCIA DE UNA MATRIZ Definición: Se define l potenci n-ésim de A, mtriz cudrd, como: A n A A... A n veces Es evidente que si A es rectngulr no se podrá multiplicr por sí mism. 9

10 Colegio Vizcy Mtemátics II Pr clculr A n dd l mtriz A, nos serviremos del método de inducción. 7 Ejemplo: Dd l mtriz A, hllr A n. El método de inducción requiere tres psos: ) Clculmos ls primers ó potencis: A, A, A 7 A 7 A A A A A A n ) Suponemos, plicndo l mism regl, que A n ) Demostrmos que l siguiente potenci A n+ sigue tmbién l mism regl en cuyo cso, como n represent culquier potenci, demostrrímos que si un potenci sigue ese ptrón, l siguiente tmbién, por lo que serí un ptrón válido pr todo vlor de n. 7(n + ) Es decir, se deberí cumplir: A n+ vmos comprobrlo: 7n n+ A n A A n 7(n + ) c.q.d. Actividd 6. Clcul l potenci n-ésim de ls mtrices: 7 ) A b) B

11 Colegio Vizcy Mtemátics II. MATRIZ INVERSA Definición: Se define mtriz invers de A cudrd y de orden n, y se escribe A -, como l mtriz de orden n que cumple: A A - A - A I No tods ls mtrices cudrds tiene invers. Descubriremos l cus en l siguiente unidd sobre determinntes. Ejemplo: Clculo Directo: Dd l mtriz A, hllr A - Llmmos A t z y. Se debe cumplir: t z y + + t y z t y z + + t y t y z z Luego l mtriz invers es: A En l siguiente unidd estudiremos otr mner más ventjos de clculr l mtriz invers, pues si l mtriz es de orden o superior, hbrí que mnejr un número elevdo de incógnits (9, 6 ) Actividd 7. Clcul l mtriz invers de B 6, z - y y, t

12 Colegio Vizcy Mtemátics II 5. ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Son quellos en los que ls incógnits son mtrices. Ejemplos: ) Hllr l mtriz X tl que A X B dds A y B ) Hllr ls mtrices A y B tles que: A + B A B 5 Se procede de l mism form que con ecuciones lineles teniendo en cuent l no conmuttividd. Ejemplo: ) A X B si utilizmos l mtriz invers y l multiplicmos en mbos miembros: A A X A B I X A B X A B (Es importnte multiplicr A en mbos miembros por l izquierd o en mbos por l derech pr que l ecución no vríe dd l no conmuttividd) ) X A B X A A B A X I B A X B A Comprueb que siempre se verific: A I I A A (es decir, l mtriz unidd ctú de elemento neutro del producto) Actividd 5 8. Resuelve el sistem mtricil: X Y X + Y

13 Colegio Vizcy Mtemátics II MATRICES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II. Escribe un mtriz de orden que cumpl: ij < j i si - j i si. Resolver el sistem mtricil: 5X Y X 5Y -. Reliz ls siguientes operciones: ) b) c) Reliz tods ls multiplicciones posibles entre ls mtrices: A ( ) B C 5 5. Dds ls mtrices A y B 5 comprobr que (B A) t A t B t 6. Clcul el vlor de m y n pr que se cumpl l iguldd: A - m A n I O siendo A 7 5, I l mtriz identidd de orden y m,n R. (Observ que O no puede ser el número pues l iguldd no podrí cumplirse. Lógicmente es l mtriz nul de orden ) 7. Hllr A - B siendo A + B y A B

14 Colegio Vizcy Mtemátics II 8. Hllr, en cd cso, l mtriz X que verifique: ) + X b) X 6 c) A 9 9. Dds ls mtrices A y B 5 5 7, hllr l mtriz C tl que B C A.. Demostrr que ls mtrices de l form b b y c d d c conmutn pr culquier vlor de,b,c,d R.. Hll el conjunto de mtrices que conmutn con: ) A b) B c) C. Clcul l potenci n-ésim de ls mtrices: ) C b) D c) E d) F e) G. Dd l mtriz A, es posible hllr un mtriz B tl que A B 5?, y un mtriz C tl que C A 5? Rzónlo.. Dd l mtriz A 5 ) Demuestr que verific l iguldd A + I O, siendo I l mtriz unidd y O l mtriz nul. b) Clcul rzondmente A.

15 Colegio Vizcy Mtemátics II 5 5. Dd l mtriz A 5, hll l mtriz B tl que B A t A I y resuelve l ecución A X. 6. Hllr el vlor de k pr que l mtriz (A-kI) se l mtriz nul, siendo A PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 7. (JUNIO 8) Sen A y M ls mtrices A M q p n m. Encontrr ls condiciones que deben cumplir m, n, p y q pr que se verifique que el producto de mbs mtrices efectudo en ls dos forms posibles, se el mismo. 8. (JULIO 7) Sen A, I y B ls mtrices dds por A I y B 5 6 Contestr rzondmente l siguiente pregunt: eiste lgún vlor de λ R tl que l iguldd (A - λ I) B se ciert? En cso firmtivo, encontrr dicho vlor de λ. 9. (JUNIO ) Se A l mtriz A y se n un nº nturl culquier. Encontrr el vlor de A n pr cd n y hllr A 5 - A 5.. (JULIO ) Encontrr tods ls mtrices cudrds de orden que conmutn respecto l producto con l mtriz A dd por A.

16 Colegio Vizcy Mtemátics II 6. (JULIO ) Dos lumnos de º curso discuten sobre el vlor de l potenci n-ésim de l mtriz A dd por A. Uno firm que pr cd n nturl se verific que A n n n ) ( y el otro dice que l verdder fórmul de A n es A n n n. Alguno de ellos está en lo cierto? Rzonr l contestción.. (JUNIO ) Encontrr ls mtrices A y B sbiendo que verificn ls siguientes ecuciones mtriciles: A+B A+5B (SEPTIEMBRE 98/99) Sen A y B ls mtrices dds por: A 5 5 B c c b encontrr ls condiciones que deben cumplir los coeficientes, b y c pr que se verifique A B B A. (JUNIO 98/99) Clculr l mtriz A sbiendo que se verific l iguldd: A y eplicr el método seguido. 5. (SEPTIEMBRE 98) Se l mtriz A. Clculr l form generl de l mtriz A n donde n es un número nturl culquier.

17 Colegio Vizcy Mtemátics II CUESTIONES 6. Siendo A y B dos mtrices de orden tles que: i+ j j+ A ( ij ) (i-j) y B (b ij ) [( ) + ] clcul ls mtrices A+B, A-B y A B. 7. Si A es un mtriz de orden prueb que A+A t es un mtriz simétric. Se puede generlizr orden n? 8. Sen A,B y C tres mtrices cudrds de orden n. Son cierts ls igulddes siguientes? Rzónlo. ) (A+B) A +AB+B b) AB+CA (B+C)A c) AB+ABC AB(I+C) d) AB+CA A(B+C) 9. Si A es un mtriz tl que A A (idempotente) y B A-I, demuestr que B I.. Si A B A C, se puede segurr que BC? Si A B O, se puede segurr que AO ó BO? Rzónlo en cso firmtivo y, en cso negtivo, escribe un contrejemplo.. Demuestr que si A B A y B A B siendo A y B mtrices cudrds de orden n, entonces A A.. Justific por qué no es ciert l iguldd (A+B) (A-B) A - B. Indic por qué no pueden efecturse ls siguientes operciones: ) ( 7) + ( 8 5 ) b) c) 7

18 Colegio Vizcy Mtemátics II. Si l mtriz A tiene orden nm y l mtriz B, mn, indic si pueden relizrse ls siguientes operciones y, en cso firmtivo, di el orden de l mtriz resultnte: ) A B b) B A c) A d) A B+I n e) A+B f) A 5. Rzon si es verddero o flso: ) Tod mtriz digonl es simétric b) L mtriz nul de orden es simétric c) L mtriz unidd es tringulr superior d) Tod mtriz tringulr superior e inferior es digonl e) Tod mtriz nul es digonl 6. Si A y B son mtrices cudrds de orden n, rzon cuáles de ls siguientes propieddes son cierts: ) A B B A b) (A+B)+C A+(B+C) c) (A B) t A t B t d) A A A A A e) (A+B) t A t +B t f) p (q A) (p q) A g) (A+B) A +AB+B h) B A+C B B (A+C) 7. Dd un mtriz A: ) Eiste un mtriz B tl que A B se un mtriz fil? En cso firmtivo, qué orden tendrá B si A es un mtriz mn? b) Eiste un mtriz B tl que B A se un mtriz fil? En cso firmtivo, qué orden tendrá B si A es un mtriz mn? Pon un ejemplo en cd cso siendo A 8. Definimos l trz de un mtriz cudrd A de orden como: tr(a) +. Prueb que si A y B son dos mtrices cudrds de orden, entonces se cumple: tr(a B) tr(b A) 8

19 Colegio Vizcy Mtemátics II UNIDAD DETERMINANTES º BACHILLER

20 Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Conocer el concepto de determinnte de un mtriz cudrd.. Conocer y plicr ls propieddes de los determinntes.. Clculr el vlor de un determinnte de culquier orden emplendo l regl de Srrus y el desrrollo por los elementos de un líne.. Utilizr los determinntes pr segurr l eistenci de l invers de un mtriz y pr clculr dich invers. 5. Hllr el rngo de un mtriz por medio de sus menores. CONCEPTOS. Determinntes de orden y : concepto y cálculo.. Propieddes de los determinntes.. Menores complementrios y mtriz djunt.. Cálculo del vlor de un determinntede culquier orden por el desrrollo de un líne. 5. Determinción de l mtriz invers. 6. Rngo de un mtriz.

21 Colegio Vizcy Mtemátics II. INTRODUCCIÓN Pr llegr l definición de determinnte de un mtriz son necesrios lgunos conocimientos previos. Definición Se llmn permutciones de n elementos (n os nturles) ls distints mners en que pueden ordenrse. De entre ells, se llm permutción principl l que respet el orden nturl creciente de sus elementos. Ejemplo:,,,,,,,,, son permutciones de elementos.,,, es l permutción principl. Con elementos hy permutciones:, y,. Con elementos hy 6 permutciones:,,,,,,,,,,,, Con elementos hy permutciones. Escríbels. Determin, en generl, el número de permutciones pr n elementos. Definición Se dice que elementos de un permutción culquier de n elementos presentn un inversión, si están en orden contrrio l de l permutción principl, y se dice que presentn permnenci si están en el mismo orden. Ejemplo: 5 Permnenci inversión Pr contr tods ls inversiones de un permutción, se compr cd elemento con todos los que le siguen. Ejemplo: Inv. Inv. Inv. Est permutción tiene inversiones en totl.

22 Colegio Vizcy Mtemátics II Definición Se dice que un permutción es de clse pr si tiene un nº pr de inversiones y de clse impr si tiene un nº impr de inversiones. Indic l clse de ls siguientes permutciones: 5 5 De ls n! permutciones de,,, n, l mitd ( n! ) son de clse pr y l otr mitd son de clse impr. Ejemplo: Veámoslo con ls permutciones de tres elementos: inversiones PAR inversiones IMPAR inversiones IMPAR inversiones PAR inversiones PAR inversiones IMPAR Definición Se llm signtur de un permutción l nº ( ) ν donde ν represent l nº de inversiones de l permutción. Por tnto, ls permutciones pres tendrán signtur y ls impres -. PROPOSICIÓN Si en un permutción intercmbimos entre sí elementos culesquier, ést cmbi de clse. Ejemplo:, 5,,, 5 inversiones: Clse IMPAR Intercmbimos el con el 5:,,,, 5 inversiones: Clse PAR Demostrción ) Si intercmbimos dos n os consecutivos, lo único que se lter es el orden estblecido entre ellos porque su situción respecto los restntes no vrí. Por tnto, ument o disminuye unidd el nº de inversiones y cmbi l clse. ) Si no son consecutivos, hy h espcios intermedios entre mbos n os. Pr psr el º hst el lugr del º hy que relizr h cmbios con su inmedito l derech, y pr psr del º l lugr del º, h- cmbios con el consecutivo su izquierd. Son en totl h- cmbios consecutivos y en cd uno de ellos cmbi l clse. Por ser un nº impr de cmbios, el resultdo finl (pr o impr) es contrrio l inicil.

23 Colegio Vizcy Mtemátics II Utilizremos el ejemplo nterior pr comprender l ide. Prtimos de l permutción. 5,,, de clse impr e intercmbimos el 5 con el trvés de sucesivos cmbios consecutivos. Pr llevr el 5 l lugr del hy que hcer cmbios con su inmedito l derech y pr retroceder el hst el lugr del 5 se necesitn cmbios consecutivos con el inmedito l izquierd cmbios consecutivos cmbios consecutivos 5 cmbios Como en cd intercmbio cmbi l clse e inicilmente er impr, quedrá finlmente pr (IMPAR-pr-impr-pr-impr-PAR). DETERMINANTE DE UNA MATRIZ El determinnte de un mtriz es, en definitiv, un número rel. El cálculo de dicho número en cd mtriz, se reliz de l siguiente form: ) se hcen todos los productos posibles de elementos de distint fil y column ) se sumn (restn) todos los productos djudicándoles un signo + o según un criterio que se eplic continución. Según este procedimiento, sólo ls mtrices cudrds tendrán determinnte. DETERMINANTES DE ORDEN Pr epresr el determinnte de un mtriz ést se escribe entre brrs. y son los dos únicos productos de elementos de fil y column distint. El primer subíndice es, en mbos, lo que grntiz que hy uno de cd fil y no se repite ningun. Igulmente, los segundos subíndices son, y, (permutciones de,) que indicn que hy uno de cd column sin repetición y que se hn contempldo tods ls posibiliddes. Los sumndos cuy permutción se pr llevrán signo + y quellos de permutción impr, signo -. Ejemplo: 5 - (- ) 5

24 Colegio Vizcy Mtemátics II DETERMINANTES DE ORDEN Se comprueb que los 6 sumndos son todos los posibles y que,, son los primeros subíndices (uno de cd fil) y los segundos subíndices son tods ls permutciones de,,. El signo de cd sumndo se corresponde con l clse de l permutción de l siguiente form: PAR (+) IMPAR (-) IMPAR (-) PAR (+) IMPAR (-) PAR (+) Se grupn los sumndos positivos y los negtivos medinte el siguiente esquem conocido como REGLA DE SARRUS. Ejemplo: (-) - Ahor podemos generlizr l definición mtrices cudrds de culquier orden. Definición Dd un mtriz A cudrd de orden n, se llm determinnte de A y se escribe A, l nº rel que se obtiene l sumr todos los posibles productos de elementos de fil y column distints, es decir, sum de productos de l form j j n jn donde j, j,, j n represent ls n! permutciones de,,, n siendo el signo de cd sumndo positivo o negtivo, dependiendo de si l permutción es pr o impr. Es decir, A (-) ν j j n jn

25 Colegio Vizcy Mtemátics II - Hy n! sumndos con n fctores cd uno. - n! sumndos son positivos y n! son negtivos. -Cd sumndo puede tener los fctores ordendos por columns permutndo ls fils. A (-) ν j j j n n Actividdes. Clcul los siguientes determinntes: ) 5 b) b + b c) 5 d) 5 e) y. Resuelve ls ecuciones: ) b) -7 c) 8 Definición Un mtriz cudrd A se dice regulr si su determinnte es distinto de. En cso contrrio se llm singulr. Prece evidente que clculr determinntes de orden o superior, serí ecesivmente lborioso si seguimos l definición, pues hbrí que clculr productos de elementos cd uno, de 5 etc. Se hce necesrio entonces encontrr un método equivlente pr determinntes de orden superior y, pr ello, hremos previmente un estudio de sus propieddes.. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES ) El determinnte de un mtriz cudrd coincide con el de su trspuest. A A t Ejemplo: A (-) + (-) (-) (-) (-) 5 (-) 5 A t (-) (-)+ (-) (-) (-) 5 (-) 5 De hecho, coinciden uno uno todos los sumndos. 5

26 Colegio Vizcy Mtemátics II ) Si se intercmbin entre sí dos línes (fils o columns) de un mtriz, su determinnte cmbi de signo Ejemplo: (-) + 5 (-) + (-) 5 (-) (-) (-) - Se hn intercmbido l fil y l fil. Justificción Al intercmbir dos línes, se intercmbin dos elementos en cd permutción, por lo que ést cmbi de clse. Por ello, cd sumndo cmbi de signo y con ello el resultdo finl. ) Si en un mtriz cudrd hy línes igules, su determinnte es. Al intercmbir entre sí ls dos línes igules el determinnte no vrí pero, por otro ldo, debe cmbir de signo, según l propiedd nº, es decir A - A A ) Si se multiplicn todos los elementos de un mism líne (fil o column) por un nº k, todo el determinnte qued multiplicdo por dicho número. Se debe que en todos los sumndos del determinnte precerá un solo elemento de es líne, luego todos los sumndos estrán multiplicdos por k que puede scrse como fctor común. - - Ejemplo: 5 + (-) + (-) (-) (-) (-) 5 (-) (-) * (-8) (-) 6 (-) (-) 5 (-8) 6 5 Igulmente, esto indic que si un líne complet es múltiplo de un número, éste puede scrse como fctor común. Ejemplo:

27 Colegio Vizcy Mtemátics II 5) Si todos los elementos de un líne de un mtriz son ceros, su determinnte será cero. Lógicmente, en todos los sumndos del determinnte precerá un elemento de es líne, por lo que todos los sumndos serán nulos y, por tnto, el determinnte será. 6) Si en un mtriz cudrd hy dos línes proporcionles, su determinnte es. Puede slir como fctor común l constnte de proporcionlidd, quedndo línes igules. Ejemplo: ) Si todos los elementos de un líne de un mtriz se descomponen en un sum de dos sumndos, su determinnte se descompone en l sum de dos determinntes de l siguiente form: + b d + e c f d c f + b e c f 8) El determinnte de un mtriz no vrí si cmbimos un líne por l sum de ell más un combinción linel de otrs. Ejemplo: f - f + f Esto es debido que en bse ls propieddes nteriores: (-) (-) (-) (-) 7

28 Colegio Vizcy Mtemátics II 9) Si en un mtriz un de ls línes es combinción linel de otrs, su determinnte es. (Englob ls propieddes, 5, 6) Ejemplo: f f - f (-) - (-) 5 (-) + ) A B A B ( A + B A + B ) El determinnte del producto de mtrices es el producto de los determinntes. Actividdes. Si se cumple que b c A d e f, hll: g h i ) A b) A c) b c d e f g h i d) d g e h b f i c e) d g b e h c f i. Comprueb, sin desrrollrlo, que el siguiente determinnte es múltiplo de : Comprueb, sin desrrollr, que el siguiente determinnte es múltiplo de 5: Clcul, sin desrrollr, el determinnte: b b + c + b c + c 8

29 Colegio Vizcy Mtemátics II. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA Definición Dd un mtriz cudrd de orden n, A ( ij ), se llm menor complementrio del elemento ij y se escribe α, l determinnte de l mtriz que result l suprimir en A l fil i y l column j. ij Ejemplo: A 5 α α Cd elemento tendrí su menor complementrio. Definición Se llm djunto del elemento ij y se escribe A ij, l producto: A ij (-) i+j α Ejemplo: A (-) α - (-) En l mtriz del ejemplo nterior: A (-) 5 α - (-) A (-) α 5 - ij Se observ que cd elemento de l mtriz le corresponde su djunto y que éste, es igul l menor complementrio si l sum de subíndices es pr y es opuesto si dich sum es impr. PROPOSICIÓN Si A es un mtriz cudrd de orden n, su determinnte es igul l sum de los productos de los elementos de UNA líne (fil o column) por sus djuntos correspondientes. Ejemplo: Si desrrollmos por l fil : (-) A + A + (-) A (-) + + (-)

30 Colegio Vizcy Mtemátics II Si desrrollmos por l column : A + (-) A + 5 A + (-) Si desrrollmos por l fil : A + A + A Se observ que se puede clculr un determinnte de orden trvés de determinntes de orden (pr clculr un determinnte de orden n es necesrio clculr n determinntes de orden n-) y que, demás, el resultdo es el mismo independientemente de l líne que se elij pr desrrollr. Por su evidente ventj, elegiremos siempre l líne que teng myor número de ceros. Es más, podemos pensr en conseguir más ceros usndo ls propieddes de los determinntes, sobre todo l nº 8. Ejemplo: Pivote [] Desrrollo por f A Pivote [ ] - c c c + c A c c Se fij un fil o column (que y teng el myor número de ceros) y dentro de ell se elige un elemento que llmremos pivote (por comodidd se elegirá, si eiste, un ). Si se decide hcer ceros en l fil del pivote, se fij su column y vicevers (se fij l fil si se decide hcer ceros en l column del pivote) El resto de ls columns (fils en el segundo cso) se cmbirán sin vrir el determinnte, trvés de l propiedd 8.

31 Colegio Vizcy Mtemátics II Actividdes 7. Resuelve los determinntes: ) 5 b) c) d) 5 e) 5 f) 5 8. Resuelve ls siguientes ecuciones: ) b) 9. Resuelve los siguientes determinntes: ) b) c) c b 5. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Definición Se llm mtriz invers de un mtriz dd A cudrd, otr mtriz del mismo orden A - tl que: A A - A - A I Pr clculr l mtriz invers introduciremos lgunos conceptos. Proposición L sum de los elementos de un líne por los djuntos de un líne prlel ell es.

32 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: Ddo el determinnte Multiplicmos los elementos de l fil por los djuntos de l fil : A + A + A + (-) y que en relidd, A + A + A En relidd es el desrrollo de un determinnte con dos línes igules Definición Se llm mtriz djunt de l mtriz A y se escribe Adj(A) l mtriz que result de sustituir en A cd elemento por su djunto A ij. Adj(A) A A A A A A A A A Ejemplo: A Adj(A) PROPOSICIÓN Tod mtriz conmut con l trspuest de su djunt y demás el resultdo de ese producto es A I, es decir: A ( ) t Adj.(A) ( ) t Adj.(A) A A I

33 Colegio Vizcy Mtemátics II Demostrción A ( Adj.(A) ) t A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A I y que en l digonl se encuentrn los productos de los elementos de un líne por sus propios djuntos (lo que d lugr l determinnte de l mtriz), y el resto son productos de los elementos de un líne por los djuntos de un prlel ( que equivlen por l proposición nterior) Definición Se llm Mtriz Invers de un mtriz dd, A cudrd, otr mtriz del mismo orden A - tl que: PROPOSICIÓN A A - A - A I Si A es un mtriz cudrd cuyo determinnte es distinto de (regulr), eiste su invers A - y coincide con: Demostrción [ Adj.(A) ] t A - A L firmción se deduce de l proposición nterior, teniendo en cuent que A, por ser un nº rel, puede psr dividiendo l otro miembro de l iguldd. (Por supuesto sólo si es distinto de ) A [ Adj.(A) ] t [ Adj.(A) ] t A A I [ Adj(A) ] A A t [ Adj(A) ] A t A I Se observ entonces que l mtriz que verific ls condiciones de l invers (conmut con A y el producto es l identidd), es: [ Adj(A) ] A Ls mtrices singulres (cuyo determinnte es ) no tienen invers. t.

34 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: Hllr l mtriz invers de A A ) Adj(A) ) [ ] Adj.(A) t ) A - [ ] A Adj.(A) t ) Comprobr que A A - I Actividdes. Hll, si es posible, l mtriz invers en cd cso: ) b) 6 c). Dd l mtriz A ) Pr qué vlores de tendrá invers (será inversible) l mtriz? b) Hll dich mtriz invers pr. PROPOSICIÓN L mtriz invers de A, si eiste, es únic. Demostrción Por reducción l bsurdo, supongmos que A posee mtrices inverss B y C, es decir: I A C A C I A B A B entonces:

35 Colegio Vizcy Mtemátics II C C I C (A B) (C A) B I B B socitiv Se deduce entonces, que no puede hber dos inverss distints, pues suponiendo que ls hubier, serín l mism. 6. RANGO DE UNA MATRIZ Definición Se llm menor de orden p de un mtriz A, culquier determinnte de orden p que se obtiene l suprimir en A lgun fil y/o column. Ejemplo: A 5 menores de orden :, -, hy en totl menores de orden : 5, -, menores de orden : - -, 5 hy en totl Est mtriz no puede tener menores de orden o superior por contener sólo fils. Es evidente que si A es de orden mn y p es el orden de culquier de sus menores, entonces p n y p m, o lo que es lo mismo: p min { m,n} Si l mtriz es cudrd se entiende que el menor de myor orden posible es ell mism. Definición Se llm rngo de un mtriz l orden del myor de los menores distinto de cero de dich mtriz. Se escribe rg(a). Ejemplo: En l mtriz nterior por eistir un menor de orden distinto de, diremos que rg(a) pues es el orden del menor más grnde posible distinto de. 5

36 Colegio Vizcy Mtemátics II 6 Pr clculr el rngo de un mtriz se comienz por los menores de myor orden posible p. Si lguno de ellos es, entonces rg(a) p. Si todos son nulos, se estudin los menores de orden p- y se repite el proceso. Ejemplo: A 6 5 Pr hllr el rngo estudiremos primero los menores de orden (los de myor orden posible). Si lguno de ellos es distinto de, el rngo de l mtriz es. Si todos ellos son igules (rg(a) ), nlizremos los de orden idénticmente., 6 5, 6 5, 6 5, Observmos que todos son lo que signific, como sbemos, que lgun líne es combinción linel de otrs (en este cso f f f + ). Psmos los menores de orden :, -6 Por tnto, rg(a) Según ls propieddes de los determinntes si uno de ellos es distinto de cero es porque tods sus línes son independientes entre si, puesto que si un fuese combinción linel de otr, su determinnte serí. Es por ello que el rngo indic el número (máimo) de fils o columns independientes de un mtriz. Actividdes. Hll el rngo de ls siguientes mtrices: ) A 5 b) B 6 c) C 7 d) D 5 e) E f) F 5. Hll el rngo de ls siguientes mtrices según los vlores de t: A t t t B t 9 t 6 t

37 Colegio Vizcy Mtemátics II 7 DETERMINANTES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II. Demuestr ls siguientes igulddes utilizndo ls propieddes de los determinntes: ) b c c b c b b) c b c b c b b c c b c b c) t z y z z y y y y (y-) (z-y) (t-z) d) n n. Resuelve los siguientes determinntes: ) y z z y z y b) b b b b c) b b b b b b b b b b b b d) e) d c b d c b d c b (Determinnte de Vndermonde). Hll, si es posible, l mtriz invers en cd cso: d) 5 5 e). Hll los vlores de t pr los que l mtriz A no es inversible siendo A 6 t t

38 Colegio Vizcy Mtemátics II 8 5. Dds ls mtrices A t y B t donde t es un nº rel: ) Hll los vlores de t pr los que A B tiene invers b) Hll los vlores de t pr los que B A tiene invers 6. Resolver l ecución det(a - I), siendo A y R. 7. Dds ls mtrices A, B 8, C 5 y D resuelve, despejndo, ls siguientes ecuciones mtriciles: ) AX + B C D b) (B+C)X A D c) AX B D C d) ABX CX C 8. Despejr X en ls siguientes ecuciones mtriciles: ) ABX C+A d) AC+X B t g) XA + B A B t b) AX B XC e) B(A+I)AXA+B c) AB + CX A f) BX + C C(B+I) 9. Hll el vlor de k pr que el rngo de l mtriz A se siendo: A 6 k. Clculr el rngo de l mtriz A 9 según los vlores de.. Hllr los vlores de k pr los cules l mtriz k k k k k k 6 5 k ) No tiene invers b) Tiene rngo

39 Colegio Vizcy Mtemátics II. Sbiendo que b y c 5, hll: z ) + b + c + b) y z b y c z c) + y b + y y z c + z z PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. (JUNIO 7) Se A l mtriz A Se B l mtriz que result de relizr en A ls siguientes trnsformciones: primero se multiplic A por sí mism, después se cmbin de lugr l fil segund y l tercer y finlmente se multiplicn todos los elementos de l segund column por -. Clculr el determinnte de l mtriz B, usndo pr ello ls propieddes de los determinntes.. (JULIO 6) L mtriz cudrd B es el resultdo de efectur en l mtriz cudrd A ls trnsformciones que se describen continución. Primero se cmbin entre sí l fil segund y l tercer. Luego se multiplic por - l segund column. Finlmente se sum l primer fil, l segund fil multiplicd por 5 más l curt fil multiplicd por -. Si se sbe que el determinnte de l mtriz A vle 5, clculr rzondmente el determinnte de l mtriz B. 5. (JUNIO 6) Se A l mtriz A Pr cd numero nturl n, hll A n. Clcul tmbién A -A +A 6. (JULIO 5) Pr cd se consider l mtriz A() dd por: A() Encontrr el vlor de pr el cul el determinnte de A() vle 9. Con el vlor encontrdo ntes clculr l mtriz A ()+A(). 9

40 Colegio Vizcy Mtemátics II 7. (JUNIO 5) Sen A y B ls mtrices dds por A b b B 5 b Se sbe que ls dos tienen determinnte igul. Hy dtos suficientes pr clculr los vlores de y b? Si l contestción es firmtiv hllr dichos vlores, si no lo es rzonr el motivo. 8. (JULIO ) Sbiendo que d - bc clculr, de form rzond, los determinntes de ls siguientes mtrices: A d b c B b d c C b d c 9. (JUNIO ) Pr cd se consider l mtriz A() dd por A() Encontrr el rngo de l mtriz A () - A t () en función del vlor de. Se recuerd que A () es l mtriz multiplicd por sí mism y que A t () es l mtriz trspuest.. (JULIO ) Dds ls mtrices A y B estudir el rngo de l mtriz A - λ B en función del vlor de. λ. (JUNIO ) Se A l mtriz A y se n un número nturl culquier. Encontrr el vlor de A n pr cd n y hllr A 5 -A 5.. (JULIO ) Sen A y B ls mtrices que siguen: A B 6 5 Sbiendo que el determinnte de B vle 7, utilizr ls propieddes de los determinntes pr clculr el vlor del determinnte de A.

41 Colegio Vizcy Mtemátics II. (JULIO ) Encontrr el vlor del siguiente determinnte en función de, b y c: c b c b. (JUNIO 997) Qué condición debe cumplir un mtriz cudrd pr que eist su mtriz invers? Clculr l invers de l mtriz A α α cundo eist. CUESTIONES 5. ) Demostrr que si A y B son mtrices inversibles, se cumple que: (A B) B A b) Serí cierto que (A ) (A )?, y (A ) (A )? 6. Si A es un mtriz tl que A I, Cuánto vle A? 7. Indic ls propieddes de los determinntes que justificn ls siguientes igulddes: ) b) c) A qué es igul el determinnte de un mtriz digonl?, y tringulr? 9. Rzon si es ciert l siguiente firmción: 7 7-7

42 Colegio Vizcy Mtemátics II. Un mtriz cudrd A se llm idempotente cundo verific A A. Demuestr que si A es idempotente, entonces A ó A.. Sen A,B y C mtrices cudrds del mismo orden tles que A y A BA C Podemos segurr que BC? Justific tu respuest.. Es ciert l siguiente iguldd? Rzónlo sin relizr los cálculos. ` 5 5. Si A es un mtriz cudrd de orden, puedes sber el vlor de: A + A + A + A. Si A y B son dos mtrices cudrds del mismo orden, se verific que A B B A? Rzónlo. b c 5. Si l mtriz A tiene rngo, qué rngo tendrá l mtriz B? d e f b c B d e f + d b + e c + f

43 Colegio Vizcy Mtemátics II UNIDAD SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES º BACHILLER

44 Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Clsificr los sistems de ecuciones lineles respecto sus soluciones.. Profundizr en el método de Guss pr resolver y clsificr sistems de ecuciones lineles.. Enuncir, comprender y plicr l regl de Crmer pr l resolución de sistems de ecuciones.. Discutir sistems, dependientes de ó prámetros, plicndo el teorem de Rouché. CONCEPTOS. Ecuciones lineles. Soluciones.. Sistems de ecuciones lineles. Clsificción según sus soluciones.. Sistems equivqlentes.. Método de Guss. Clsificción de sistems por el método de Guss. 5. Regl de Crmer. 6. Teorem de Rouché. 7. Discusión de sistems con uno o dos prámetros.

45 Colegio Vizcy Mtemátics II. INTRODUCCIÓN Definición Se llm ecución linel tod iguldd del tipo: n n b donde,,, n son los coeficientes (dtos conocidos),,,, n son ls incógnits (dtos por conocer) y b es el término independiente. Ejemplos: - y + y - z + t 5 Definición Se llm solución de un ecución linel un conjunto de números (s,s,,s n ) que sustituidos en el lugr de ls incógnits hcen que se verifique l iguldd. Cd solución se llm solución prticulr y el conjunto de tods ells se denomin solución generl. Ejemplo: Dd l ecución y + z, (,,) es un solución Prticulr + y z L solución generl es: y y y,z R z z. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición Se llm sistem de m ecuciones lineles con n incógnits un conjunto de m ecuciones de l form: nn b nn b b m m mn n m donde: i m ij son los coeficientes, j n i i n son ls incógnits j m son los términos independientes b j Ejemplos: y + z + y y + z 7 + y 5 + y y + y y + z t y + z t 5

46 Colegio Vizcy Mtemátics II Definición Se llm solución del sistem un conjunto de n números reles (s, s,, s n ) que sustituidos en ls incógnits hcen que se verifiquen tods ls ecuciones simultánemente. El conjunto de tods ls soluciones se llm solución generl y cd un de ells solución prticulr. Ejemplos: ) (,,) es l solución del sistem + y + z + y + z y + z ) z y z z z z R es l solución generl del sistem y + z + y + z Definición 5 Un sistem se dice homogéneo si todos los términos independientes son nulos (b i, i). Ejemplo: y + y z + y + z Observ que los sistems homogéneos siempre tienen, l menos, l solución trivil (,,) Definición 6 Se dice que un sistem es comptible si tiene solución. En cso contrrio se dice que es incomptible. En el primer cso, si l solución es únic se trt de un sistem comptible determindo. Por el contrrio, si tiene infinits soluciones, se le llm comptible indetermindo. Ejemplos: En el cso de los dos ejemplos citdos nteriormente en est págin, se puede observr que el sistem del ejemplo ) es COMPATIBLE DETERMINADO (solución únic) y el del ejemplo ) es COMPATIBLE INDETERMINADO (infinits soluciones en función del prámetro z) Un ejemplo de sistem INCOMPATIBLE (ecuciones contrdictoris) podrí ser: y y 6

47 Colegio Vizcy Mtemátics II. SISTEMAS EQUIVALENTES Definición 7 Dos sistems se dicen equivlentes si, teniendo ls misms incógnits, tienen ls misms soluciones (No necesrimente el mismo nº de ecuciones). Ejemplo: Los sistems + y y y tienen l mism solución (,) + y + y 5 y son equivlentes pues mbos De hecho, l utilizr los métodos de reducción, Guss etc. pr resolver sistems, se emple l estrtegi de cmbir el sistem inicil por otro equivlente más sencillo de resolver, trvés de un serie de trnsformciones que, unque vrín el sistem, no cmbin su solución. Ests trnsformciones son ls siguientes: Trnsformciones Equivlentes ) Cmbir el orden de ls ecuciones del sistem ) Despejr un incógnit de un ecución y sustituirl en ls demás ) Multiplicr(dividir) un ecución por un nº rel distinto de. ) Suprimir un ecución que se combinción linel de otrs ecuciones del sistem. 5) Cmbir un ecución por l sum de ell ms un combinción linel de otrs.. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MÉTODO DE GAUSS Consiste en utilizr el método de reducción pr tringulrizr el sistem, es decir, nulr ls incógnits por debjo de l digonl, de form que cd ecución teng un incógnit menos que l nterior. De est form, l últim ecución tendrí un sol incógnit que, un vez resuelt, se llevrí l ecución nterior pr despejr sucesivmente el resto de incógnits. + y + z Ejemplo: Resuelve el siguiente sistem: y z + y z 5 + y + z ( ) y z + y z y + z y 5z 6z 6 + y + z y 5z y z y z sistem de Guss (equivlente l inicil) 7

48 Colegio Vizcy Mtemátics II Pueden drse los siguientes csos: ) Si l últim ecución es de l form n b, el sistem es comptible determindo. ) Si l últim ecución es de l form, el sistem es comptible indetermindo. ) Si l últim ecución es de l form k siendo k, el sistem es incomptible. Hst quí se hn recorddo spectos sobre los sistems de ecuciones lineles y su resolución, y vistos en cursos nteriores. L novedd consistirá en plicr l resolución de sistems lo prendido sobre mtrices y determinntes, pr introducir métodos o sistemátics que porten lgun mejor. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA Sbemos que un iguldd mtricil se trnsform en un sistem de ecuciones: z y t - z y t + z y + t De l mism mner podemos pensr en el proceso inverso, es decir, en obtener un iguldd mtricil prtir de un sistem de ecuciones ddo. Pr ello definiremos ls siguientes mtrices: Ddo el sistem genérico: n n b n n b b m m mn n m Llmmos A l mtriz de los coeficientes: A... m... m n n... mn de orden mn Llmmos X l mtriz column de ls incógnits: X de orden n... n 8

49 Colegio Vizcy Mtemátics II Llmmos B l mtriz column de los términos independientes: B b b... bm de orden m Entonces se cumple que el sistem es equivlente l ecución mtricil A X B Comprueb que dich iguldd d lugr l sistem de ecuciones inicil y observ que l form que doptn ls mtrices es necesri pr que su orden respectivo permit l multiplicción. Es evidente que l mtriz X de ls incógnits quedrí directmente despejd si multiplicmos l iguldd por l mtriz invers de A (evidentemente por l izquierd) En eso se bs el método de Crmer pr resolver sistems. REGLA DE CRAMER Definición Se llm sistem de Crmer todo sistem con el mismo nº de ecuciones que de incógnits, donde el determinnte de l mtriz de los coeficientes es distinto de. ( A ) ) sbemos que l epresión mtricil del sistem es A X B. ) Como A es regulr, eiste A -. ) A - A X A - B I X A - B X A - B Si multiplicmos A - B con mtrices genérics, obtendremos un regl de plicción que evitrá que tengmos que clculr en cd sistem l mtriz A -. Lo hremos suponiendo n pr simplificr ls operciones. X A - B A A A A A A A A A A b b b 9

50 Colegio Vizcy Mtemátics II A ba ba ba + b A + ba + b A + b A + ba + b A b A + b A + b A A b b b El numerdor es el producto de los elementos b, b, b por los djuntos de l column, es decir, es el desrrollo por l c de un determinnte en el que los elementos de l primer column son b, b, b. b A + b A + b A A b b b A (desrrollo por l column ) b A + b A + b A A A b b b (desrrollo por l column ) Ejemplo. Resolver y + z + y z y z - Se l mtriz A Por l regl de Crmer: y z solución (,,) 5

51 Colegio Vizcy Mtemátics II Actividdes. Resuelve por el método de Crmer, cundo se posible, los sistems: ) + y z y + z + y z b) y + z + y + z y + z c) y + z + y z 5 y z d) + y z y + z + y + z. Ddo el sistem de ecuciones lineles: ) Epresrlo en form mtricil b) Resolver mtricilmente + y + z y + z + y + z Observ los sistems: ) + y + y b) + y + y 5 c) + y y En el cso ) ls dos ecuciones son igules, luego se trt de un sistem COMPATIBLE INDETERMINADO (infinits soluciones). Observ que, por es rzón, l mtriz de los coeficientes tiene rngo A. Como los términos independientes mntienen l mism proporción, si los incorpormos l mtriz, ést seguirá teniendo rngo. C En el cso b) el sistem es INCOMPATIBLE, pues ls ecuciones son contrdictoris. Observ que l mtriz de los coeficientes sigue teniendo rngo pero l mtriz mplid (con los términos independientes) tiene rngo pues l últim column es independiente de ls nteriores: A C 5 Por último, el sistem c) es COMPATIBLE DETERMINADO pues ls dos ecuciones son independientes entre sí, y por ello, tnto l mtriz de los coeficientes como l mplid tienen rngo. A C 5

52 Colegio Vizcy Mtemátics II Prece evidente que eiste un relción direct entre l comptibilidd del sistem y los rngos de l mtriz de los coeficientes y de l mtriz mplid, pues dicho rngo revel l dependenci o independenci entre ls ecuciones. De ello trt el teorem de Rouché-Frobenius. Así como l regl de Crmer permite resolver sistems, el teorem de Rouché permite clsificrlos es función de los rngos de l mtriz de los coeficientes A y de l mplid C. 5. TEOREMA DE ROUCHÉ- FROBENIUS Ddo el sistem: n n b n n b b m m mn n m donde A... m... m n n... mn es l mtriz de los coeficientes y C cumple que:... m... m n... n mn b b... bm es l mtriz mplid, entonces se L condición necesri y suficiente pr que el sistem teng solución es que el rngo de l mtriz A de los coeficientes y el de l mtriz C mplid, sen igules, es decir El sistem tiene solución rg(a) rg(c) Demostrción Si el sistem tiene solución (s, s,, s n ) entonces. C... m... m n... n mn m s + s + s + m s s s n n mn sn sn sn por tnto l últim column es combinción linel de los nteriores y por tnto no ument el rngo, es decir: rg(a) rg(c) 5

53 Colegio Vizcy Mtemátics II Si el rg(a) rg(c), l últim column de C es combinción linel de ls nteriores y por tnto eisten n números reles s, s,, s n tles que B s C + s C + + s n C n por lo que (s, s,, s n ) es un solución del sistem. Pueden drse csos: c.q.d. ) Si rg(a) rg(c) el sistem es incomptible. (l últim column es independiente y no mntiene ls combinciones lineles de los primeros miembros) ) Si rg(a)rg(c) nº de incógnits n, el sistem es comptible determindo. (Hy tnts ecuciones independientes como incógnits) ) Si rg(a)rg(c) < nº de incógnits n, el sistem es comptible indetermindo. (Hy menos ecuciones que incógnits, pues eisten combinciones lineles entre ells) ** Observ que en relidd el rg(c) sólo puede ser igul l de A o un unidd myor, pues C sólo incorpor un column más que puede ser dependiente o independiente de ls nteriores** Si el sistem es homogéneo (todos los términos independientes igules ), el rg(a)rg(c) obligtorimente, puesto que l últim column de ceros no puede umentr el rngo (es dependiente de ls nteriores). Luego todo sistem homogéneo es comptible. L solución trivil (,,, ) será únic si es comptible determindo y estrá compñd de otrs infinits soluciones si es indetermindo. 6. DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON UN PARÁMETRO Vemos un ejemplo de plicción del teorem de Rouché l estudio de l comptibilidd de un sistem: Ejemplo: Discutir y resolver (cundo se posible) según los vlores del prámetro, el sistem: + y + z + y z + y + z Obtenemos previmente ls mtrices A y C. A C Anlizmos el rngo de A pr comprrlo con el de C 5

54 Colegio Vizcy Mtemátics II A (+) ó - Se distinguen entonces posibles csos: er Cso:,- En este cso rg(a) ( pues A ) y rg(c) necesrimente, pues no puede ser menor que el de A y tmpoco puede ser por ser C de orden. Según el teorem de Rouché, pr cd vlor de,-, se trtrí de un sistem comptible determindo y que rg(a) rg(c) nº de incógnits. Pr resolverlo utilizremos l regl de Crmer: + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) y ( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) z ( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) Hemos obtenido sí l solución únic pr cd posible sistem según cuál se el vlor de. º Cso: A C En este cso rg(a) puesto que A. Como entonces rg(a). Igulmente, rg(c) pues todos los menores de orden son, l ser l últim fil l sum de ls dos primers. Se trt entonces de un sistem comptible indetermindo y que: rg(a) rg(c) < nº incógnits. Pr resolverlo podemos prescindir de l tercer ecución por ser un combinción linel de ls nteriores. + z + y z 5

55 Colegio Vizcy Mtemátics II Por trtrse de un sistem de dos ecuciones con tres incógnits, dejremos un culquier de ells como prámetro o vrible (z por ejemplo en este cso) z y + z ( z) + z - + z z z luego su solución es: ( - z, - + z, z) donde z R er Cso: - A C Sbemos que rg(a) puesto que A. Como Sin embrgo rg(c) y que entonces rg(a). Por el teorem de Rouché el sistem es incomptible puesto que rg(a) rg(c) y por tnto, no tiene solución. Actividdes. Discute según los vlores de los prámetros ó m los sistems: ) y + z y z y z b) + y + z + y + z + y + z c) ( + ) + y + z + ( )y ( + ) + ( + )z 7. DiSCUSIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETROS Ejemplo: Discutir y resolver, según los vlores de y b el sistem: y + z + y z + y z b Considermos ls mtrices A y C b 55

56 Colegio Vizcy Mtemátics II A Cso : Como A, rg(a) y rg(c) necesrimente. Por el teorem de Rouché se trt de un sistem Comptible Determindo. Resuélvelo por el método de Crmer Cso : A y C b Sbemos que rg(a) puesto que A. Como entonces rg(a). Pr hllr el rngo de C estudimos primero los menores de orden. -b + + b + 6 -b +6 b - b Estblecemos dos subcsos, pues el rg(c) depende de si b es igul o distinto. Cso.: b En este cso rg(a) rg(c) Por el teorem de Rouché se trt de un Sistem Incomptible. 56

57 Colegio Vizcy Mtemátics II Cso.: C b En este cso rg(a) rg(c) y que l segund ecución es l sum de ls otrs dos. Por tnto, rg(a) rg(c) < nº incógnits: Sistem Comptible Indetermindo dependiente de un prámetro Hll, en este cso, l solución del sistem 57

58 Colegio Vizcy Mtemátics II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II + y + z. Ddo el sistem: + y + z + y + z que el sistem se: clcul los vlores del prámetro pr ) comptible determindo b) comptible indetermindo c) incomptible. Hll pr qué vlor de m el siguiente sistem tiene solución distint de l y + z trivil (,,): + y + mz + y z. Discute y resuelve cundo se posible, según los vlores de los prámetros ó m los sistems: + y + z + my + z m + y ) y + z b) + y + mz (m + ) c) + z y + z m + y + z m y + ( )z + y + z (m + ) + y + z m + y z 8 d) m + (m )y + z m e) (m + ) + (m + )z m m y z y + z PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. (JULIO 7) Se S el sistem de ecuciones lineles + y + z 6 + y + 9z + 8y + Az A 7 Estudir l comptibilidd del sistem en función de A. Resolver pr A. 58

59 Colegio Vizcy Mtemátics II 5. (JUNIO 7) Se S el sistem de ecuciones lineles + y + z A + y + z + y + z A Estudir l comptibilidd del sistem en función de A. Resolver pr A5. 6. (JULIO 6) Discutir l comptibilidd del siguiente sistem de ecuciones y + z en función del prámetro : + y z y + z 7. (JUNIO 6) Se consider el sistem de ecuciones lineles S + y + z 6 + y + z 9 + y + mz (m + ) Eiste lgún vlor de m pr el cul el sistem se comptible indetermindo? En cso negtivo rzonr l respuest. Si l respuest es positiv, hllr l solución del sistem en ese cso. 8. (JULIO 5) Ddo el sistem S + y + z + Ay + z + y + z A Discutir su comptibilidd en función del prámetro A. Resolver en los csos en que se comptible indetermindo. + y + z 9. (JUNIO 5) Ddo el sistem de ecuciones S + y + z + y + z Discutir su comptibilidd en función del prámetro.. (JULIO ) Discutir l comptibilidd del siguiente sistem de ecuciones + y + z S + y z en función del prámetro. + y + z + y + z. (JUNIO ) Ddo el sistem S + y + y + z Demostrr que es comptible pr todos los vlores de. Resolver en los csos en que se comptible indetermindo. 59

60 Colegio Vizcy Mtemátics II + y + z A. (JULIO ) Ddo el sistem de ecuciones S + y + z B + y z C demostrr que es comptible determindo pr culquier vlor de A,B y C y encontrr l solución en función de dichos vlores. + y + z. (JUNIO ) Discutir el sistem S + y + z + y + z vlor de. Resolver en los csos en que se comptible. en función del. (JULIO ) Se consider el sistem de ecuciones S ddo por: y + z S z y Discutir l comptibilidd en función de. Resolver en los csos de Comptibilidd. + y + z 5. (JUNIO ) Discutir el sistem S + y + z + y + z vlor de. Resolver en los csos en que se comptible. en función del 6. (JULIO ) Discutir el siguiente sistem de ecuciones en función del vlor de. + y z + y + z 5 + z 5 Resolverlo cundo se comptible determindo. 7. (JUNIO ) Estudir l comptibilidd del siguiente sistem + y + z S + y + z en función del prámetro. + y + z Resolver en los csos en que se comptible indetermindo. 6

61 Colegio Vizcy Mtemátics II CUESTIONES 8. Sbemos que el rngo de l mtriz mplid en un sistem de cutro ecuciones con tres incógnits, es. Qué se puede decir de l comptibilidd del sistem? Rzon l respuest. 9. Si (, y, z-) es un solución de un sistem homogéneo de ecuciones con incógnits, cuánto vldrá entonces el determinnte de l mtriz de los coeficientes?. En un sistem de tres ecuciones con tres incógnits, qué condición deben cumplir los coeficientes del sistem pr que se verifique rg(a) y rg(c)?. En un sistem del mismo número de ecuciones que de incógnits, el determinnte de l mtriz de los coeficientes es. Rzon: ) Puede ser comptible? b) Puede tener solución únic? c) Se puede plicr l regl de Crmer?. El rngo de l mtriz de los coeficientes de un sistem de tres ecuciones con tres incógnits es igul. Qué rngo, como máimo, puede tener l mtriz mplid? y + z. Ddo el sistem: + y + z ) Añde un ecución pr que el sistem se incomptible b) Añde un ecución pr que el sistem se comptible indetermindo 6

62 Colegio Vizcy Mtemátics II 6

63 UNIDAD DIDÁCTICA ESPACIO AFÍN º BACHILLER

64 Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Conocer ls distints ecuciones de l rect.. Determinr un rect.. Conocer el concepto de plno y sus ecuciones.. Estudir ls posiciones reltivs entre los distintos elementos del espcio fín: entre dos rects, entre dos o tres plnos y entre rect y plno. 5. Conocer los hces de plnos en el espcio. CONCEPTOS. Sistems de referenci. Espcio fín.. Ecuciones de l rect. Determinción de un rect.. Ecuciones del plno. Determinción del plno. Ecuciones de lgunos plnos.. Posición reltiv rect-rect, plno-plno, rect-plno y entre plnos. 5. Hz de plnos prlelos. 6. Hz de plnos secntes en un rect. 6

65 Colegio Vizcy Mtemátics II ESPACIO AFÍN. INTRODUCCIÓN Definición: Llmmos V l conjunto de los vectores libres del espcio. (Se entiende por vector libre el conjunto formdo por un vector y todos los vectores de su mismo módulo, dirección y sentido) Definición: Llmmos E l conjunto de puntos del espcio. Fijdo un punto O E llmdo origen, cd punto X del espcio form con O un vector fijo OX. Esto nos permite loclizr culquier punto del espcio trvés de su vector de posición OX. Definición: Llmmos espcio fín y lo epresmos E l tern (E, V,f) donde f es l plicción que soci cd pr de puntos de E, el vector que formn, es decir: f: E E V (A,B) AB de mner que: ) AB AC + CB A,B,C E ) Fijdo un punto O E, se cumple que v V,! A E / v OA Definición: Se llm sistem de referenci de un espcio fín l conjunto { O,u, v, w} donde O es el punto origen y {, v, w} **Recuerd que llmmos bse de V linelmente independientes {, v, w} u es un bse de V. culquier conjunto de tres vectores u. Se cumple que culquier otro vector de V se podrá escribir como combinción linel de dichos vectores: V αu + βv + λw siendo α, β, λ R ** Observ que podemos utilizr lo prendido sobre mtrices y determinntes pr determinr si tres vectores son o no independientes sin más que clculr el determinnte de orden tres que formn: si es distinto de serán independientes y formrán bse. Definición: Se llmn coordends crtesins de un punto culquier A E ls coordends del vector OA en l bse { u, v, w} que: OA u + bv + cw. ** Si no se especific otr cos, se entiende que {, v, w} {(,,), (,,),(,,)} **, es decir, l tern (,b,c) tl u es l bse cnónic 65

66 Colegio Vizcy Mtemátics II Ddos dos puntos A(,, ) y B( b,b, b ), ls coordends del vector AB que formn son: AB B A ( b, b, b ) y que: A B O Se observ que: OA + AB OB AB OB OA AB (b,b.b ) (,, ) AB ( b, b, b ) COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Ddo el segmento AB de etremos A(,, ) y B( b, b, b ), se cumple que ls coordends del punto medio M de dicho segmento son: + b + b + b B M,, y que: AM AB M A M-A A + (B-A) M A+ B B A M 66

67 Colegio Vizcy Mtemátics II Actividd. Si M(-,,) es el punto medio del segmento AB, siendo A(,,), clcul ls coordends de B.. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO Hllr l ecución de un rect es determinr l condición que deben verificr todos sus puntos. Pr ello es necesrio disponer de lgunos dtos que l identifiquen de form únic: un punto por el que pse A(,, ) y un vector que le porte dirección (vector director) v(v, v, v) ( o lo que es lo mismo: dos puntos A y B que igulmente portrín un vector: AB ) z A v X(,y,z) r y Suponemos ddo el punto A y el vector v, siendo r l rect determind por mbos. Pr conocer l condición que cumplen sus puntos elegimos uno culquier de ellos, X. Se cumple que + AX Es evidente que el vector AX es siempre prlelo l vector v, se cul se el punto elegido (X) de l rect. Es es l condición que cumple culquier punto de l rect y ninguno fuer de ell. Por tnto, l ser AX y v prlelos, se cumplirá que son proporcionles, es decir, eistirá lgún nº rel t tl que AX t v. Si sustituimos en l iguldd + AX, obtenemos + t v. Y sbiendo que (,y,z), (,, ), (por ser vectores de posición) y que v (v, v, v ) tendremos finlmente: (,y,z) (,, ) + t ( v, v, v) t R Est epresión recibe el nombre de ECUACIÓN VECTORIAL de l rect. El nº rel t será uno u otro dependiendo de cul se el punto X elegido. Cunto myor se t (positivo), más se lej X por l derech de A, y si t es negtivo, obtendremos puntos X de l izquierd de A. (El propio punto A se obtendrí pr t ). 67

68 Colegio Vizcy Mtemátics II Es lógico pensr que los infinitos vlores de t posibles, dn lugr cd uno de ellos, los infinitos puntos (,y,z) de l rect. Si opermos l iguldd nterior y seprmos por coordends tendremos ls ECUACIONES PARAMÉTRICAS de l rect: + tv y + tv z + tv t R Igulmente, si despejmos t en cd ecución e igulmos los resultdos obtenidos llegremos l ECUACIÓN CONTINUA de l rect: v y v z v Tod rect puede venir dd tmbién como l intersección de dos plnos, es decir puede doptr l form: A + By + Cz + D A' + B' y + C' z + D que se conoce con el nombre de ECUACIÓN IMPLÍCITA O CARTESIANA de l rect. Dich ecución se obtendrí sin más que desrrollr por seprdo ls dos igulddes de l ecución continu. Ejemplo: Escribir en tods ls forms posibles l ecución de l rect que ps por A(,-,) y tiene por vector director v (-,,) Ecución vectoril (,y,z) (,-,) + t(-,,) t R Ecuciones prmétrics t y + t z + t t R Ecución continu y + z Ecución implícit + y y z 5 que se obtiene multiplicndo en cruz ls dos igulddes de l ecución continu. 68

69 Colegio Vizcy Mtemátics II El pso de un form otr es sencillo en el cso de ls forms vectoril, prmétric y continu, pues el punto y el vector se encuentrn visibles. Tmbién se h indicdo cómo psr de l form continu l implícit. Pr psr de l form implícit ls nteriores bstrí con resolver el sistem en función de un vrible, lo que drí lugr l ecución prmétric. Vemos un ejemplo: Ejemplo: Dd l rect + y + z y + z sumndo obtenemos: y+z y z z z -y-z -(-z)-z -+5z es decir: + 5z y z z z o lo que es lo mismo: + 5t y t z t que es l ecución prmétric, de donde se deduce que A(-,,) es un punto de l rect y v (5,-,) es su vector director. Si l rect viene determind por dos puntos A y B, puede considerrse como punto uno culquier de los dos, y como vector, el formdo por mbos puntos: AB o BA indistintmente. Actividdes. Encuentr dos puntos y el vector director de ls rects: + 5t + y z y + z ) b) y t c) z t y + z. Hll l ecución implícit de l rect que ps por el punto A(,,) y es + y z prlel l rect r:.. Hll l ecución continu de l rect que ps por el punto medio del segmento formdo por A(,-,) y B(,,) y es prlel l rect r: y + z + y + z 69

70 Colegio Vizcy Mtemátics II. ECUACIONES DEL PLANO Hllr l ecución de un plno es determinr l condición que deben verificr todos sus puntos. Pr identificrlo, necesitmos conocer un punto A(,, ) y dos vectores independientes u (u, u,u) y v(v, v, v) z. A u v X y Elegimos un punto culquier del plno X(,y,z). Observmos que se cumple: + AX Por ser AX un vector del plno, tiene que ser un combinción linel de los vectores u y v (sbemos que no puede hber tres vectores independientes en un plno), y por tnto, AX t u + s v siendo t y s números reles. Sustituyendo en l iguldd nterior: + t u + s v es decir, (,y,z) (,, ) + t (u, u,u) + s ( v, v, v) t, s R ECUACIÓN VECTORIAL del plno. Est ecución depende del punto y vectores que se hyn elegido y, por tnto, puede hber distints ecuciones vectoriles que correspondn l mismo plno. Si opermos l iguldd nterior obtenemos: y z + tu + tu + tu + sv + sv + sv t, s R ECUACIONES PARAMÉTRICAS Dndo vlores t y s obtendrímos todos los puntos del plno. Y hemos dicho que el vector AX tiene que ser linelmente dependiente de los vectores u y v, es decir, rg( AX, u, v ) y por tnto debe cumplirse: 7

71 Colegio Vizcy Mtemátics II z y u u u v v v Resolviendo el determinnte, obtenemos un iguldd en, y, z de l form: A + By + Cz + D ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA Ejemplo: Ecución del plno que ps por el punto A(,-,) y es prlelo los vectores u (,,-) y v (,-,). ) (,y,z) (,-,) + t (,,-) + s (,-,) Ecución vectoril b) + t + s y s z t + s t, s R Ecuciones prmétrics c) y + z -6y-6-z+-y y -z + Ecución generl Pr clculr los puntos de corte de un plno con los ejes bst tener en cuent que: ) Eje X : puntos de l form (,,) es decir, es necesrio yz ) Eje Y: puntos de l form (,b,) es decir, es necesrio z ) Eje Z: puntos de l form (,,c) es decir, es necesrio y Actividdes 5. Hll ls ecuciones prmétrics del plno π : -y+z- 6. Hll l ecución generl del plno determindo por los puntos: ) A(,-,), B(,,) y C(,-,) b) A(,,), B(,,) y C(,,) 7. Clcul l ecución del plno que ps por el punto A(-,,) y contiene l + y + z rect r: z 7

72 Colegio Vizcy Mtemátics II. POSICIONES RELATIVAS. POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS Son ls posibles posiciones de dos rects en el espcio: secntes, prlels, coincidentes y cruzds. Pr determinr l posición entre dos rects dds, es necesrio conocer un punto y un vector de cd un de ells. Se l rect r de l que conocemos el punto A y el vector u, y l rect s cuyo punto y vector son respectivmente B y v. Anlizremos en primer lugr el rngo de los vectores u y v : ) Si rg(u, v ) los vectores son dependientes o proporcionles, luego ls rects son prlels o coincidentes, dependiendo de l dirección del vector AB. Si rg (u, v, AB ) AB es de distint dirección que u y v luego ls rects son prlels. A r B Si rg (u, v, AB ) s AB es de l mism dirección que u y v, luego ls rects son coincidentes. r A B s ) Si rg(u, v ) los vectores son de direcciones distints, luego ls rects son secntes o cruzds, dependiendo de l dirección de AB Si rg (u, v, AB ) B r el vector AB está en el mismo plno que los vectores u y v, luego ls rects son secntes. A s Si rg (u, v, AB ) el vector AB es independiente de u y v y está en distinto plno, luego ls rects son cruzds r A B s 7

73 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: Determinr l posición reltiv entre ls rects y r: z y s: + t y t z + t L rect r ps por el punto A(,,) y tiene por vector u (,,) L rect s ps por el punto B(,,) y tiene por vector v (,,) Hllmos rg (u, v ) rg (u, v ) rg y que Hllmos hor rg (u, v, AB ) rg (u, v, AB ) rg porque Por tnto, ls rects son CRUZADAS Actividdes 8. Hll ls posiciones reltivs de los tres pres de rects que se pueden formr con: ) y + z b) y z + c) y z + 9. Hll el vlor de pr el cul ls rects r y s se cortn, y clcul dicho punto y + z de corte. r: y z- s:. POSICIÓN RELATIVA RECTA-PLANO A' + Considermos el plno π : A+By+Cz+D y l rect r: A' ' + B' y + B' ' y C' z + C' ' z + D' + D' ' Estudir l posición reltiv entre π y r equivle nlizr l comptibilidd del sistem que formn sus ecuciones, pues es necesrio conocer si eisten o no puntos comunes. 7

74 Colegio Vizcy Mtemátics II Considermos por tnto el sistem: A + By + Cz + D A' + B' y + C z + D A' ' + B' ' y + C' ' z + D' ' Sen ls mtrices M A A' A' ' B B' B' ' C C' C' ' y N A A' A' ' B B' B' ' B C' C' ' D D' D' ' Se estblecen tres posibiliddes: ) rg(m) rg(n) El sistem es comptible determindo según el teorem de Rouché. En ese cso eiste un único punto común, luego l rect y el plno serán SECANTES en un punto. ) rg(m) y rg(n) El sistem es incomptible, no eisten puntos comunes. Luego l rect es prlel l plno. ) rg(m) rg(n) El sistem es comptible indetermindo, es decir, rect y plno se cortn en infinitos puntos. Por tnto, l rect está contenid en el plno. Es evidente que no puede hber más posibiliddes, pues el rg(m) no puede ser inferior, y que los dos plnos que determinn l rect deben ser necesrimente independientes. Ejemplo: Hllr l posición reltiv entre l rect y z y el plno -y+z. Escribimos l rect en form implícit Estudimos el rngo de ls mtrices: y y z y y z A y C 7

75 Colegio Vizcy Mtemátics II Como A, rg(a) y rg(c) necesrimente, luego l rect es secnte l plno. Si quisiérmos clculr el punto de corte, bstrí con resolver el sistem de ecuciones con incógnits que formn, por culquier de los métodos conocidos. Actividdes. Hll l posición reltiv entre el plno π : y+z y l rect y z r: + y + z. Dd l rect r: determin el vlor de pr que el plno y + z +y+zb se prlelo r. Di pr que vlores de b l rect está contenid en el plno.. Hll l posición reltiv de l rect r y el plno π según los vlores de m. m + y + z m r: + y + mz m π : + y + mz. POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PLANOS Considermos los plnos π : A+By+Cz+D π : A +B y+c z+d y De nuevo, nlizr su posición reltiv es equivlente estudir l comptibilidd del sistem que formn. A B C Sen ls mtrices M A' B' C' A B C D Y N A' B' C' D' Se estblecen tres csos posibles: ) rg(m) rg(n) En este cso, el sistem es comptible indetermindo y hbrá infinits soluciones dependientes de un prámetro. Como los dos plnos son independientes, serán plnos secntes en un rect. 75

76 Colegio Vizcy Mtemátics II ) rg(m) y rg(n) El sistem es incomptible, luego no eisten puntos comunes y se deduce que son plnos prlelos. Si el rg(m) es, eso signific que sus fils son proporcionles, es decir, se A B C cumplirá que. Al incorporr l últim column, ument el rngo, A' B' C' luego se trt de un column independiente que pierde l proporcionlidd, es decir: A B C D Si los plnos son prlelos se cumplirá A' B' C' D' Est condición nos permitirá reconocer el prlelismo entre dos plnos mirndo simplemente sus ecuciones respectivs. ) rg(m) rg(n) El sistem es comptible indetermindo y hbrá infinits soluciones dependientes de dos prámetros. Si el rngo es, todos los coeficientes serán proporcionles, luego se trt de dos ecuciones igules, es decir, de dos plnos coincidentes. Si los plnos son coincidentes se cumplirá A A' B B' C C' D D' Se deduce entonces que siempre que no eist proporcionlidd entre los coeficientes, los plnos serán secntes. Escribe un pr de plnos: ) prlelos b) secntes c) coincidentes Actividd. Ddo el plno π : -y+z+, hll l ecución del plno prlelo π que ps por el punto A(,,).. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Determinr l posición entre tres plnos requiere estudir l comptibilidd del sistem que formn. Considermos los plnos: α : A+By+Cz+D β : A +B y+c z+d π : A +B y+c z+d 76

77 Colegio Vizcy Mtemátics II Sen ls mtrices M A A' A' ' B B' B' ' C C' C' ' Y N A A' A' ' B B' B' ' C C' C' ' D D' D' ' rg(m) Rg(N) CLASIFICACIÓN INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA plnos secntes en un punto Sistem comptible determindo plnos secntes en rects prlels plnos prlelos y secnte mbos Sistem incomptible Sistem comptible indetermindo dependiente de prámetro plnos secntes en l mism rect plnos coincidentes y secnte mbos plnos prlelos plnos coincidentes y prlelo Sistem incomptible Sistem comptible indetermindo de pendiente de prámetros plnos coincidentes ** gráficos etrídos de l págin Siempre que hy dos posibles posiciones, en un de ells hy plnos prlelos o coincidentes, lo que nos permitirá distinguir en cd cso l posición correct, sin más que comprobr si ls ecuciones tienen los coeficientes proporcionles. 77

78 Colegio Vizcy Mtemátics II Actividdes. Estudi l posición reltiv de los siguientes tríos de plnos: ) π π π : + y + z : y + z : y + z b) π π π : y + 6z : y z : + y z c) π π π : : + y z y + z : + y + z d) π π π : y + z : + y z : + y z e) π π π : y + z : + y z : + 5y z f) π π π : + y z 6 : y + z : y + z 5. Estudi l posición reltiv de los siguientes plnos según los vlores de m: π π π : + y + mz : + my + z : m + y + mz Eiste lgún vlor de m pr el que los plnos se corten en el punto (,,)? 5. HACES DE PLANOS 5. HACES DE PLANOS PARALELOS Definición: Es el conjunto de todos los plnos prlelos uno ddo. es: Si el plno ddo es A+By+Cz+D, l ecución del hz de plnos prlelos A+By+Cz+k siendo k R Ejemplo: El hz de plnos prlelos l plno -y+z5, tiene l form: -y+z+k k R 5. HAZ DE PLANOS SECANTES A UNA RECTA DADA Definición: Es el conjunto de todos los plnos que contienen l mism rect r. 78

79 Colegio Vizcy Mtemátics II Si l rect r viene dd por r: A + By + Cz + D, l ecución del hz es: A' + B' y + C' z + D α (A+By+Cz+D) + β (A +B y+c z+d ) siendo α, β R no simultánemente nulos. y que culquier plno que conteng r debe ser un combinción linel de los dos plnos ddos, pues tiene que formr con ellos un sistem comptible indetermindo. Ejemplo: El hz de plnos secntes en l rect r: α (+y-z-5) + β (-z+) + y z 5 z es de l form: Cd uno de los plnos que psn por l rect r, se obtendrí fijndo vlores culquier de α y β, no simultánemente nulos. Por ejemplo, si α y β, el plno serí: +y-z-5 + (-z+) +y-5z- 79

80 Colegio Vizcy Mtemátics II 8 ESPACIO AFÍN: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II. Ddos los puntos A(,,), B(7,-6,-) y C(,,5): ) Comprueb que están linedos. b) Divide el segmento AB en tres prtes igules.. Clcul el vlor de pr que el punto A(,,) pertenezc l rect r: z y z y. Determin l ecución del plno que contiene los puntos A(-,,) y B(,,) y es prlelo l rect r: + + z y z y. Comprueb si los puntos A(,,), B(,,), C(-,,) y D(,,) son coplnrios (se encuentrn en el mismo plno). 5. Clcul los puntos de corte de l rect r: z y + con los plnos coordendos. 6. Hll l posición reltiv de l rect r con cd un de ls rects siguientes: r: + + z y y ) s: z y z y b) t: λ λ λ z y c) u: z y 7. Hll pr que ls rects r y s estén en un mismo plno y hll l ecución de dicho plno: r: + y z s: y 5 z y 8. Estudi, según los vlores de m, l posición reltiv de los plnos: + π + π + π m mz y : mz my : z y : m

81 Colegio Vizcy Mtemátics II + y + z 9. Pr qué vlor de l rect r: + y z 6 + y + z -? está contenid en el plno. Un plno cort los semiejes positivos de los ejes X, Y y Z en tres puntos A, B y C que formn un triángulo equilátero. Además, se sbe que el plno ps por el punto P(,,5). Hll dicho plno. z z. Dds ls rects r y s de ecuciones r: s: y z y z clcul l ecución de l rect que se poy en r y s y ps por el punto P(-,,).. Hll los vlores de m y n pr que ls rects r y s sen prlels: r: 5 + t y + t z t s: y z + m n. Hll los vlores de m y n pr que los plnos: α : m + y - z - β : + ny z sen prlelos. Pueden ser coincidentes?. Comprueb que ls rects: r: y z y s: prlels y hll l ecución del plno que ls contiene. z 5 y son 5. Estudi l posición de l rect r: y y el plno z. + z 5 6. Hll l ecución de l rect prlel r: que pse por el punto y + z 5 y + z + de intersección de l rect s: con el plno y + z 7. PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 7. (JULIO 6) Se π el plno de ecución +y+z y r l rect que contiene l punto P(,,-) y tiene como vector de dirección v (,,-). Eiste lgún vlor de pr el cuál l rect esté contenid en el plno? Rzonr l contestción en cso negtivo. En cso firmtivo, encontrr el vlor de. 8

82 Colegio Vizcy Mtemátics II 8. (JULIO 6) Clculr l ecución crtesin de l rect cuy epresión α prmétric es r y + α z + α Eiste lgún vlor de v tl que el punto (v,v,v) pertenezc l rect? Rzonr l respuest. 9. (JUNIO 6) Clculr l ecución prmétric de l rect definid por y z r + y + z Eiste lgún vlor de v tl que el punto (v,v,v-) pertenezc l rect? Rzonr l respuest, clculndo el vlor de v en cso de que se firmtiv.. (JULIO 5) Encontrr ls condiciones que deben stisfcer y b pr que el punto Q (,,b) esté en el mismo plno que los puntos A (,,), B(,,-) y C (,,). (JULIO 5) Se consider l rect de ecución prmétric + t r y + t z t Hllr su ecución como intersección de dos plnos (ecuciones crtesins). Eiste lgún vlor de s tl que el punto (,s,s) pertenezc l rect? Rzonr l respuest tnto en cso firmtivo como negtivo.. (JULIO ) Determinr ls posiciones reltivs de los plnos π y π ddos por π +y+z + y π +y+z según los vlores de.. (JULIO ) Encontrr l ecución prmétric de l rect dd por + y + z r y + z Eiste lgún vlor de s tl que el punto (-,s,s) pertenezc l rect? Rzonr l respuest tnto en cso firmtivo como negtivo.. (JUNIO ) Sen A y B los puntos del espcio de coordends A (,,), B (,,). Encontrr l ecución prmétric de l rect que ps por dichos puntos. Eisten vlores de r y s pr los que el punto C (,r+s,r-s) pertenezc l rect nterior? En cso firmtivo, clculr los vlores de r y s. Rzonr l contestción en cso negtivo. 5. (JUNIO ) Se r l rect que ps por el punto P (,,) y que tiene v (,,-) como vector de dirección. Se consider tmbién el plno de ecución -+y+z+a. Estudir l posición reltiv de l rect y del plno en función de A. 8

83 Colegio Vizcy Mtemátics II 6. (JULIO ) Eplicr un procedimiento pr determinr si los cutro puntos del espcio P (,y, z ), P (, y, z ), P (, y, z ) y P (, y, z ) pertenecen un mismo plno. Aplicr dicho procedimiento pr decidir si los puntos A(,,), B(,,), C(,,) y D(,,) pertenecen o no un mismo plno. 7. (JUNIO ) Ddos tres puntos diferentes del espcio P (,y, z ), P (, y, z ) y P (, y, z ) describir brevemente un procedimiento pr determinr si están en un mism rect. Sen A (,,), B (,,) y C (,,) eiste lgún vlor de pr el cuál los tres puntos estén linedos? Rzonr l respuest y, en su cso, hllr el vlor de. 8. (JUNIO ) Se considern tres plnos de ecuciones π +y-z, π -y-z, π +y+z b. Eisten vlores de y b pr los cules los tres plnos se corten en un rect? En cso de que l respuest se negtiv rzonr l contestción. Si es positiv, clculr dichos vlores. A + By + Cz + D 9. (JUNIO ) Dd l rect r como r y un A' + B' y + C' z + D' punto P(,b,c) eterior l mism, describir el proceso pr que un plno conteng l rect r y l punto P. Es único dicho plno? Rzonr l respuest. + y + z 6 + y + z. (JULIO ) Sen ls rects: r: s: + y z + z Estudir si eiste o no lgún vlor de pr el cul ls rects no se corten. En cso negtivo rzonr l respuest y en cso firmtivo, clculr dicho vlor de. CUESTIONES. Sbrís rgumentr por qué un tburete de tres pts nunc puede cojer y si tiene cutro sí?. Indic qué condiciones deben cumplir los coeficientes A, B, C y D pr que el plno de ecución: A+By+Cz+D se: ) prlelo l plno XZ b) prlelo l eje X c) prlelo los ejes X e Y d) no se prlelo ningún eje de coordends. 8

84 Colegio Vizcy Mtemátics II. Qué posición reltiv deben tener dos rects pr que determinen un plno?. Sen π y π dos plnos prlelos y r y r dos rects contenids en π y π respectivmente. Podemos segurr que y r son prlels? 5. Demuestr que l ecución del plno que cort los ejes de coordends en los puntos A(,,), B(,b,) y C(,,c) puede escribirse sí: y z + + b c 6. Eplic cómo se obtienen ls ecuciones prmétrics de un plno del que se conoce l ecución generl o implícit. Escribe un ejemplo. 8

85 UNIDAD DIDÁCTICA 5 ESPACIO EUCLÍDEO º BACHILLER

86 Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Epresr correctmente el producto esclr, tnto trvés de su definición como de su epresión nlític.. Conocer el concepto y cálculo del módulo de un vector.. Mnejr el concepto de ortogonlidd.. Comprender el significdo del vector norml de un plno. 5. Interpretr el concepto de ángulo entre dos rects, entre dos plnos y entre rect y plno. 6. Hllr proyecciones ortogonles de puntos y segmentos sobre rects y plnos. 7. Hllr puntos simétricos respecto un rect o un plno. CONCEPTOS. Producto esclr: definición, consecuencis, propieddes e interpretción geométric.. Epresión nlític del producto esclr.. Módulo de un vector.. Ángulo entre dos vectores y entre dos rects. 5. Vector norml del plno. 6. Ángulo entre dos plnos y entre un rect y un plno. 7. Proyecciones ortogonles. 8. Puntos simétricos. 86

87 Colegio Vizcy Mtemátics II ESPACIO EUCLÍDEO. ÁNGULOS. PRODUCTO ESCALAR. Definición: Ddos dos vectores u y v V, se define su producto esclr como el nº rel resultnte de multiplicr sus módulos y el coseno del ángulo que formn, es decir, u v u v cos(u, v ). CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN. Se llm producto esclr porque el resultdo de multiplicr dos módulos por un coseno, es un nº rel.. Si es perpendiculr b, ( b ) entonces b y que cos{ 9 º,7º}. Dos vectores perpendiculres se dicen ortogonles. Por el contrrio, si sbemos que b podemos deducir que o bien y b son perpendiculres (es el coseno) o lguno de los dos es el vector nulo ( es lgún módulo). Por eso podemos firmr que: Dos vectores no nulos son ortogonles su producto esclr es. ( ) un vector l cudrdo es igul su módulo l cudrdo y que: ( ) cosº. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: Gráficmente, se puede interpretr el producto esclr de dos vectores como el producto del módulo de uno de ellos por l proyección del otro sobre él. v α u proy u v Observmos que cos α proy u v v proy v u Si sustituimos en l definición de producto esclr v cos α u v u v cos α 87

88 Colegio Vizcy Mtemátics II obtenemos: u v u proy v u firmdo en un principio. que confirm lo que hbímos. PROPIEDADES. Conmuttiv: b b y que: b b cos(,b ) b b cos(b, ) como los módulos son números reles, cumplen l propiedd conmuttiv y los ángulos, unque son opuestos por tener sentidos contrrios, tienen el mismo coseno como y sbemos por l reducción l primer cudrnte. ( cosb cos(-b) ) Por eso podemos escribir genéricmente u v u v cos α. Asocitiv mit: (t u ) v t (u v ) t R. Distributiv respecto l sum: u ( v + w) u v + u w L definición de producto esclr de dos vectores eige, pr que pued plicrse, que se conozcn o puedn clculrse los módulos de mbos vectores y el ángulo que formn. Pero lo hbitul es que los vectores vengn ddos por sus componentes o coordends en un ciert bse. Es por eso que se hce necesrio encontrr otr mner de clculr el producto esclr de vectores prtir de sus componentes.. EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR Se B { u,u, u } un bse ortonorml, es decir, un bse formd por vectores unitrios y perpendiculres dos dos: u u u y u i u j i j y sen y b dos vectores culesquier de coordends respectivs (,, ) y b, b, ) en dich bse B, entonces se cumple que: ( b b b + b + b Demostrción: b ( u + u + u ) ( b u + b u + b u ) b + b ( u ) u u + b u u + b (u ) + b u u b u + b u + b u + b u (u ) + b + b u u u b + b + b u u + + b ui uj i j u u u 88

89 Colegio Vizcy Mtemátics II A prtir de hor, y si no se especific otr cos, se entiende que l bse es l cnónic B {(,,),(,,),(,,)} Ejemplo: (-,,) (,-,) (-) + (-) + 5 Actividdes. Ddos (,,s) y b (s,-,s), clcul el vlor de s pr que su producto esclr se igul.. Encuentr cutro vectores ortogonles l vector u (,,-) que no sen proporcionles entre sí.. MÓDULO Definición: Llmmos módulo del vector l número rel: siendo (,, ) ls coordends del vector en un bse ortonorml. Ejemplo: (-,5,-) ( ) ( ) Definición: Se llm espcio euclídeo l espcio fín en el que se h definido un producto esclr.. VECTOR NORMAL DEL PLANO Definición: Llmmos vector norml del plno A+By+CZ+D, l vector n (A,B,C) cuy dirección es perpendiculr l plno. n (A,B,C) P Q A+By+Cz+D Pr comprobr que n (A,B,C) es un vector perpendiculr l plno, elegimos dos puntos culesquier de dicho plno, P(,, ) y Q( b, b, b ). Por pertenecer l plno mbos puntos deben stisfcer su ecución, por tnto: 89

90 Colegio Vizcy Mtemátics II A + B + C + D Ab + Bb + Cb + D restndo mbs igulddes obtenemos: A( - b )+B( - b )+ C( - b ) (A,B,C) ( b, b, b) n QP n QP luego n es un vector perpendiculr QP, pues su producto esclr es, y como QP es un vector culquier del plno l ser P y Q dos puntos genéricos, se deduce que n es perpendiculr tods ls direcciones del plno. Actividdes y. Hll l ecución del plno perpendiculr l rect r: contiene l punto P que es l intersección de l rect r y l rect s: y z s:. z, y que. Hll l ecución del plno que es perpendiculr l plno +y-z+ y que ps por los puntos A(-,,) y B(,,-). 5. ÁNGULOS ENTRE ELEMENTOS DEL ESPACIO 5.. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES De l definición de producto esclr se deduce: u v u v cos α cos α u v u v u u v + u + u + u v v + u v + v + v siendo (u, u, u ) y (v, v, v ) ls coordends respectivs de u y v en un bse ortonorml. Ejemplo: Hllr el ángulo comprendido entre los vectores u (,-,) y v (,-,) cos α u v u v + + α 5º 9

91 Colegio Vizcy Mtemátics II 5. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Definición: Llmmos ángulo entre dos rects l menor de los ángulos que formn sus vectores directores. u α β v Se cumple que α 9º Si ls rects son prlels o coincidentes formn º. Sbemos que cos α u v pero desconocemos si u v estmos clculndo el ángulo α o el ángulo β, pues no está determindo el sentido de los vectores u y v. Como α y β son suplementrios, sus cosenos son opuestos y por tnto, es necesrio ñdir un vlor bsoluto l fórmul, pr segurr el ángulo gudo α. Entonces pr clculr el ángulo entre dos rects usremos l fórmul: cos α u v u v donde u y v son los vectores directores respectivos. Ejemplo: Hllr el ángulo formdo por ls rects: y z + y y + z cos α u v u v + (-)(-) + (-) α 9º Luego ls rects son perpendiculres Actividdes 5. Estudi l posición de ls rects r y s y clcul el ángulo que formn: λ y r: s: y + λ y + z 5 z + 5λ 6. Consider ls rects r: z y + y s: ) l ecución del plno que ls contiene b) el ángulo que formn y z +, clcul: 9

92 Colegio Vizcy Mtemátics II 5. ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS Definición: Se entiende por ángulo entre dos plnos, el menor de los dos ángulos determindos por los semiplnos que form l rect común. α α A+By+Cz+D A +B y+c z+d Result evidente que el ángulo determindo por los dos plnos es el mismo que el que formn sus respectivos vectores normles (que están girdos 9º) Luego se cumple: cos α n n' n n' A A A' + B + B B' + C C' + C A' + B' + C' Si los plnos son prlelos o coincidentes formn º. **El vlor bsoluto se hce necesrio de nuevo, pues los vectores normles pueden tener uno u otro sentido dentro de l mism dirección y el ángulo formdo entre ellos puede ser el suplementrio de α, con lo que el coseno podrí ser opuesto.** Ejemplo: Hllr el ángulo determindo por los plnos y-z+6 y z. Los respectivos vectores normles son: n (,,-) y n ' (,,). Por tnto cos α n n' n n' + + ( ) α 5º 5. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO Definición: Se define el ángulo entre rect y plno como el ángulo α formdo por l rect y su proyección sobre el plno. r α 9

93 Colegio Vizcy Mtemátics II Observmos en el dibujo que el ángulo α es el complementrio l ángulo β que formn el vector director de l rect (u ) y el vector norml del plno (n ) n β α u A+By+Cz+D Por tnto se cumple: cosβ sen α u n u n A A u + B + B u + C + C u u + u + u Es evidente que si l rect es prlel l plno entonces u y n son perpendiculres ( u n ) y, por el contrrio, si l rect es perpendiculr l plno u y n son prlelos. ** Observ que est es l únic fórmul en l que se clcul el seno del ángulo y no su coseno como en ls nteriores** Ejemplo: Hll el ángulo formdo por l rect y + z y el plno -y-z+ Deducimos que u (-,,) y n (,-,-), entonces: sen α u n u n + ( 8) + ( ) α 9º Observ que l rect y el plno son perpendiculres y que por tnto, proporcionles. u y n son Actividdes + y + z 7. Dd l rect r: + z ángulo que formn. y el plno de ecución +y, determin el 8. Hll el vlor de pr que l rect con el plno coordendo XY. + y z forme un ángulo de 6º 9

94 Colegio Vizcy Mtemátics II 6. PROYECCIONES ORTOGONALES Definición: Se llm proyección ortogonl del punto A sobre el plno π l punto de intersección (A ) del plno con l rect perpendiculr él por el punto A. A A (proyección ortogonl de A sobre π ) Definición: Se llm proyección ortogonl del punto A sobre l rect r l punto (A ) de intersección de l rect r con l rect perpendiculr secnte ell por el punto A. A (proyección ortogonl de A sobre r) A Vemos el proceso que nos permitirá encontrr l proyección de un punto sobre un plno o un rect dd. Ejemplo : Proyección punto-plno Pr proyectr el punto A(,,-) sobre el plno π : -y+z ) Hllmos l rect r perpendiculr π por el punto A. r A Pr ello elegimos como vector de r el n vector norml de π : n(,-,). L ecución prmétric de r serí: + t r: y t z + t t R ) Clculmos el punto de corte entre r y π : A A A Pr ello resolvemos el sistem formdo por r y π. Sustituimos ls ecuciones prmétrics de l rect en l ecución del plno: +t-(-t)+(-+t) t t luego y z Por tnto l proyección ortogonl de A sobre π es A (,,) 9

95 Colegio Vizcy Mtemátics II **Se dvierte que l form prmétric de l rect es muy propid pr encontrr el punto de intersección con un plno, unque igulmente podrí clculrse dicho punto si l rect estuvier dd en form continu o implícit** Ejemplo : Proyección punto-rect + t Pr proyectr el punto A(,,) sobre l rect r: y t z + t ) Hllmos el plno π perpendiculr r por el punto A r n A El vector norml del plno será el director de l rect u (,-,). Luego π será de l form: -y+z+d. Como ps por A se tendrá que cumplir: -+D D- Luego l ecución del plno perpendiculr es: π : -y+z- ) Clculmos el punto de corte entre r y π : A r A A Pr ello resolvemos el sistem formdo por r y π. Sustituimos ls ecuciones prmétrics de l rect en l ecución del plno: (+t) (-t) + (+t) +t+t++t- 6t t y z Por tnto l proyección ortogonl de A sobre r es A (,,) Actividd 9. Hll l proyección ortogonl del punto A(-,,) sobre l rect r: y z 5. 95

96 Colegio Vizcy Mtemátics II Pr proyectr un rect sobre un plno bst proyectr dos puntos de dich rect. (Si es secnte l plno, uno de los puntos puede ser el de corte) r Q P r Q L rect proyección serí l que ps por los puntos P y Q. 7. PUNTOS SIMÉTRICOS Lo visto en el punto nterior sobre proyecciones nos servirá pr dr un pso más y clculr el punto simétrico (A ) un punto ddo (A), respecto un rect o un plno. A A A A A A Result lógico pensr que pr encontrr el punto simétrico de un punto, es necesrio clculr previmente l proyección ortogonl de dicho punto y, continución, plnter que dich proyección A es en relidd, el punto medio del segmento A + A' ' AA ' ', es decir: A' A' ' A' A Ejemplo : Punto simétrico respecto un plno Utilizremos los mismos dtos que en el ejemplo nterior. Pr hllr el punto simétrico de A(,,-) respecto l plno π :-y+z, clculmos previmente su proyección ortogonl: + t ) Rect r perpendiculr π por el punto A. r: y t z + t ) Punto de corte entre r y π : A (,,) A + A' ' ) A' A' ' A'-A A ' ' (,,) (,, ) A' ' (,,) Por tnto el punto simétrico de A respecto π es A (,,) 96

97 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo : Punto simétrico respecto un rect Utilizremos los mismos dtos que en el ejemplo nterior. + t Pr hllr el punto simétrico de A(,,) respecto l rect r: y t z + t clculmos previmente su proyección ortogonl: ) Hllmos el plno π perpendiculr r por el punto A. π : -y+z- ) Clculmos el punto de corte entre r y π : A (,,) A + A' ' ) A' A' ' A'-A A' ' (,,) (,, ) A' ' (,-,) Por tnto el punto simétrico de A respecto r es A (.-,) Actividdes. Hll el punto simétrico de A(,,) respecto l plno -y+z+.. Ddo el punto A(,,-) y l rect r: y + z + y clcul: ) L proyección ortogonl del punto A sobre l rect r. b) L ecución de l rect perpendiculr r, por el punto A. c) El punto simétrico de A respecto l rect r. 97

98 Colegio Vizcy Mtemátics II ESPACIO EUCLÍDEO: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II. Hll l ecución del plno perpendiculr l plno -y+z, prlelo l y z rect y que ps por el punto A(-,,). y + z z 5. Dds ls rects r: y s: y, ) Determin su posición reltiv b) Hll el ángulo que formn c) Clcul l ecución del plno que contiene r y es prlelo s.. Hll l ecución del plno que es perpendiculr l rect que ps por los puntos A(,-,) y B(,,), y que ps por el punto P(,,).. Hll l ecución del plno que contiene l rect r: perpendiculr l plno +y+z-. + y + z y + z y es 5. Hll l rect que cort perpendiculrmente ls rects r: s:. y + + y z + + y y 6. Hll l ecución de un rect que pse por el punto A(,,) y corte + y + z perpendiculrmente l rect r:. y + z 7. Hll el vlor de pr que l rect que ps por los puntos A(,,) y B(,,-) se prlel l plno +y-z. 8. Ddo el punto A(,-,) y el plno π : -y+z7 clcul: ) L proyección ortogonl del punto A sobre el plno π. b) L ecución de l rect perpendiculr π que ps por A. c) El punto simétrico de A respecto l plno π. y + 9. Dd l rect r: r respecto l plno -y. z, hll l ecución de l rect simétric de 98

99 Colegio Vizcy Mtemátics II. Los puntos P(-,,) y Q(,-,) son simétricos respecto un plno. Hllr l ecución de dicho plno. PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. (JULIO 7) Se π el plno de de ecución + y + z, y se el punto P(,-,). Hllr el simétrico de P respecto π, eplicndo el proceso seguido pr dicho cálculo.. (JUNIO 5) Pr cd vlor de, los puntos P(,,) y A(,,) son simétricos respecto un plno. Hllr l ecución de dicho plno. En prticulr, encuentr el plno pr.. (JUNIO 5) Se r l rect que contiene l punto P(,-,) y que es perpendiculr l plno de ecución -y+z+5.. Encontrr l ecución prmétric de r. b. Hllr, de form rzond, l ecución de un plno que conteng l punto Q(,,) y que no teng puntos comunes con r. Es único dicho plno?. (JULIO ) Se π un plno de ecución π : A+By+Cz+D y se P un punto eterior l mismo ddo por P(,b,c). Describir el proceso pr clculr el punto simétrico de P respecto π. A + By + Cz + D 5. (JULIO ) Dd un rect de l form r: y un A' + B' y + C' z + D' punto P(,b,c) eterior l mism, describir el proceso pr clculr el punto simétrico de P respecto r. 6. (JUNIO ) Se consider el punto P de coordends P(,,) donde se supone, y el plno π : +y+z-.. Hllr ls coordends del punto simétrico de P respecto l plno π. y z + 7. (JULIO ) Se consider l rect r: y el plno de ecución + z +y+z-. Determinr si eiste lgún vlor de pr el cul el plno conteng l rect. Si eiste, hllr dicho vlor. En cso contrrio, eplicr por qué no eiste. 99

100 Colegio Vizcy Mtemátics II t + y z 8. (JUNIO ) Se considern ls rects r: y s: y t y + z z + t Encontrr l ecución del plno que contiene l rect r y l punto de intersección de s con el plno π : -y-z+7. CUESTIONES 9. Ddos los plnos π y π de vectores directores (normles) v y v, encuentr l relción que deben tener dichos vectores pr que los plnos sen: ) Prlelos b) Perpendiculres. Dd un rect r y un punto P contenido en ell, cuánts rects perpendiculres r por el punto P se pueden trzr?. Escribe l condición que debe verificr el vector v (,b,c) pr que teng l dirección de lgun de ls rects contenids en el plno +5y-z-.. Se r l rect cuyo vector de dirección es v (,b,c). Es posible encontrr un plno cuyo vector norml se prlelo l vector de dirección de r y que no conteng puntos de r?. Cómo se podrí verificr si 5 puntos ddos pertenecen un mismo plno?

101 UNIDAD DIDÁCTICA 6 ESPACIO MÉTRICO º BACHILLER

102 Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Determinr el producto vectoril de dos vectores.. Interpretr geométricmente el módulo del producto vectoril entre dos vectores.. Determinr el producto mito de tres vectores.. Interpretr geométricmente el vlor bsoluto del producto mito de tres vectores. 5. Comprender el concepto de distnci. 6. Hllr ls distncis entre los distintos elementos del espcio fín: puntos,rects y plnos. 7. Hllr l perpendiculr común dos rects. CONCEPTOS. Producto vectoril: definición, propieddes e interpretción geométric del módulo.. Producto mito: definición, propieddes e interpretción geométric del vlor bsoluto.. Distnci entre dos puntos. Espcio métrico.. Distnci punto-rect y punto-plno. 5. Distnci entre rect y plno. 6. Distnci entre dos rects prlels y rects que se cruzn. 7. Distnci entre dos plnos. 8. Perpendiculr común dos rects que se cruzn.

103 Colegio Vizcy Mtemátics II ESPACIO MÉTRICO. DISTANCIAS.. PRODUCTO VECTORIAL. Definición: Ddos dos vectores libres (,, ) y (b,b,b ), se define su producto vectoril, y se escribe b b, como el vector de l form: b b b, b b, b b Simbólicmente, dicho vector puede epresrse como el resultdo del determinnte : i j k i (,,) siendo { i, j,k } los vectores de l bse cnónic de V : j (,,) b b b k (,,) y que desrrollndo por l fil result: i b j b k b i b b - j b b + k b b b b, b b, b b propieddes de los determinntes: l intercmbir dos línes, cmbi el signo Ejemplo: Ddos los vectores (,-,) y b (,,-), su producto vectoril es: (,-,) (,,-) i j i + k + 6k + k j i + j + 7k (,,7).. Crcterístics del vector resultnte ) el MÓDULO de b es igul l producto de los módulos de mbos vectores, por el seno del ángulo que formn, es decir: Demostrción: b b sen α Demostrremos que se cumple l iguldd entre los cudrdos respectivos, pues l ser positivos mbos miembros (módulos y seno de ángulo entre y π ), si son igules l cudrdo, son igules entre sí. (De es form evitremos mnejr ríces cudrds)

104 Colegio Vizcy Mtemátics II b b sen α Desrrollremos mbos miembros por seprdo y obtendremos epresiones igules. b + + b b b b b b ( b b ) +( b b ) +( b b ) b Por otr prte sbemos que: sen α b ( - cos α ) b - b cos α b - ( b ) ( + + )+( b + b + b ) - ( b + b + b ) b + b + b + b + b + b + b + b + b - b - b - ^ * ^ * - b - bb - bb - b b ^ * ( b + b - b b )+( b + b - bb )+( b + b - bb ) * * * ^ ^ ^ ( b b ) + ( b b ) + ( b b ) * ^ De donde se deduce que b b sen α y, por tnto, b b sen α c.q.d. ) L DIRECCIÓN del vector b es perpendiculr l de los vectores y b. Demostrción b es perpendiculr si ( b ) ( b ) b b + b b + b b ( b b ) + ( b b ) + ( b b ) b b + b b + b b c.q.d. se simplificn dos dos todos los sumndos Demuestr nálogmente que b tmbién es perpendiculr b ) El SENTIDO del vector b es el del sccorchos l girr desde hst b por el cmino más corto. (El sentido es positivo si es contrrio l de ls gujs del reloj y negtivo si es fvor)

105 Colegio Vizcy Mtemátics II. PROPIEDADES ) Anticonmuttiv: Se cumple que b - ( b ) Demostrción b i b b j k b - i b b j k b - ( b ) c.q.d. propieddes de los determinntes ) Distributiv respecto l sum: Se cumple que (b + c) b + c Demostrción (b + c) b i + c b j + c b k + c i b j b k b + i c j c k c b + c propieddes de los determinntes c.q.d. ) (t ) b t ( b ) (tb ) siendo t R Demostrción (t ) b i t b b j t k t b t i b b j k b i tb j tb k tb propieddes de los determinntes Actividdes. (JULIO ) Se sbe que l rect r cort perpendiculrmente l plno π y que el punto (,,) pertenece l rect r. Se sbe demás, que el vector v (,,) tiene como etremo y origen dos puntos del plno π y lo mismo ocurre con el vector v (,,). Clculr l ecución de l rect r. Son suficientes los dtos nteriores pr hllr l ecución del plno π? Rzonr l respuest. 5

106 Colegio Vizcy Mtemátics II. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL MÓDULO Hemos demostrdo que b b sen α α h Se observ que sen α h h sen α b y sustituyendo en l iguldd nterior se obtiene: b b sen α b h bse ltur del prlelogrmo formdo por y b ÁREA DEL PARALELOGRAMO. El módulo del vector resultnte del producto vectoril de dos vectores mide el áre del prlelogrmo determindo por dichos vectores. A prtir de est conclusión podemos clculr tmbién el áre de culquier triángulo conociendo sus vértices, y que: A C B Δ Áre de ABC AB AC pues es l mitd del áre del prlelogrmo que formn AB y AC. Ejemplo: Hllr el áre del triángulo de vértices A(-,,), B(,,-) y C(-,,). Áre AB AC i j k k + j i u Actividdes. Clcul el áre del triángulo cuyos vértices son los puntos en los que el plno. - y+z- cort los ejes de coordends.. Sen los puntos P(-,,) y Q(,-,7). Por el punto medio del segmento PQ trzmos un plno π perpendiculr dicho segmento. Este plno cort los ejes coordendos en los puntos A,B y C. ) Escribe l ecución de π b) Clcul el áre del triángulo ABC. 6

107 Colegio Vizcy Mtemátics II. PRODUCTO MIXTO. Definición: Se define el producto mito de tres vectores, b y c pertenecientes V, como el producto esclr del primero por el producto vectoril de los otros dos. Se escribe [, b, c ]. [, b, c ] (b c). Epresión nlític: Siendo (,, ), (b,b,b ) y (c, c, c ) se cumple: [, b, c ] b b b b b + c c c + c c c c b b b c b c b c desrrollndo por l fil Ejemplo: Si (,-,), b (,,) y c (-,,) se cumple: [, b, c ] +6+. PROPIEDADES. [, b, c ], b y c son linelmente dependientes.. [ + ', b, c ] [, b, c ] + [ ', b, c ]. [ t, b, c ] t [, b, c ] Intent demostrr que son cierts utilizndo ls propieddes de los determinntes.. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL VALOR ABSOLUTO Sen tres vectores libres, b y c y dibujmos el prlelepípedo que determinn si se plicn en el mismo punto: c b 7

108 Colegio Vizcy Mtemátics II Sbemos que [, b, c ] (b c) b c cos α, siendo α el ángulo formdo por los vectores y b c. h b c α c b h Observmos en el dibujo que cos α l epresión nterior obtenemos: h cos α y sustituyendo en [, b, c ] (b c) b c cos α b c h VOLUMEN del prlelepípedo Áre de l bse Altur del prlelepípedo Sbemos, por ls propieddes de los determinntes, que cmbir el orden de los vectores lter el signo del producto mito. Cundo se trt de clculr un volumen, y teniendo en cuent que el orden en que se opern los vectores es rbitrrio, en necesrio ñdir un vlor bsoluto, es decir: El vlor bsoluto del producto mito de tres vectores mide el volumen del prlelepípedo determindo por dichos vectores. Ddo que el prlelepípedo se puede descomponer en 6 tetredros, se deduce que el volumen de un tetredro es: Volumen del tetredro [AB, AC, AD ] 6 B A D C Ejemplo: Hllr el volumen del tetredro determindo por los vectores (-,,), b (,,-) y c (,-,). Volumen [,b, c ] u 6 6 8

109 Colegio Vizcy Mtemátics II Actividd. Hll el volumen del tetredro que determin el plno -+y-z+6 l cortr los ejes coordendos.. DISTANCIAS. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Definición: Ddos dos puntos del espcio (,, ) y (b,b, b ), A llmmos distnci euclíde entre A y B l módulo del vector que formn: B d(a,b) AB ( b ) + (b ) + (b ) Ejemplo: Clculr l distnci entre los puntos A(,,) y B(-,,) d(a,b) AB (-,,) + 5 u.. DISTANCIA PUNTO-RECTA Definición: Se define l distnci de un punto un rect, como l distnci entre el punto y su proyección ortogonl sobre l rect. Vemos un estrtegi que nos permitirá clculr dich distnci sin necesidd de hllr l proyección ortogonl. Supongmos conocid l rect r de l que obtenemos un punto A y su vector director u. Queremos clculr l distnci del punto P dich rect. u Observmos en l figur que l distnci d es l ltur del triángulo formdo por los vectores A d P u y AP. El áre del triángulo se puede clculr de dos forms distints: u d Áre y Áre u AP Igulndo mbs epresiones result: u d u AP u d u AP d u u AP Podemos entonces segurr que: 9

110 Colegio Vizcy Mtemátics II u AP d(p, r) u siendo respectivmente A y u un punto y el vector director de l rect. Ejemplo: Hllr l distnci del punto A(-,,) l rect r : y + z Obtenemos de l rect el punto B(,-,) y el vector u (,,-) Sbemos que d(a, r) u u AB i j k + + 6k j k 6 i (,, ) u. 6 Actividdes 5. Hll l distnci del punto A(-,,) l rect r: + y z 6. Clcul, en función de, l distnci del punto B(-,,) l eje Z.. DISTANCIA PUNTO-PLANO Definición: Se define l distnci de un punto un plno, como l distnci entre el punto y su proyección ortogonl sobre el plno. Vemos de nuevo cómo evitr el cálculo de l proyección ortogonl del punto. n (A,B, C) α d α A(,b,c) P(p, p, p ) Considermos el plno A+By+Cz+D y un punto A(,b,c) culquier del plno. Queremos hllr l distnci d del punto P(p, p, p ) dicho plno. Pr ello, relizmos el producto esclr del vector norml n (A,B, C) del plno y el vector formdo por los dos puntos AP.

111 Colegio Vizcy Mtemátics II Sbemos que d AP cos α n AP n AP cosα y tmbién se cumple: cos α y sustituyendo en l iguldd nterior obtenemos: d AP n AP n d d n AP n Incluimos un vlor bsoluto en el numerdor pr que l distnci se positiv sin tener en cuent el sentido de los vectores. Si desrrollmos nlíticmente l iguldd: n AP (A,B, C) (p d n A, p + B + C b, p c) A(p ) + B(p A + B b) + C(p + C c) Ap + Bp + Cp A + B (A + Bb + Cc) + C Ap + Bp A + Cp + B + C ( D) Por ser A un punto del plno, debe stisfcer su ecución, es decir: A+Bb+Cc+D A+Bb+Cc -D Por tnto: d Ap + Bp A + B + Cp + C + D Luego pr clculr l distnci de un punto un plno, bst con sustituir el punto en l ecución del plno (en vlor bsoluto) y dividir entre el módulo del vector norml. Ejemplo: Clcul l distnci del punto A(-,,5) l plno π : -+y+z- ( ) d(a, π ) u. ( ) Actividd 7. Clcul l distnci del origen l plno determindo por ls rects + t y + r: y t y s: z t z

112 Colegio Vizcy Mtemátics II. DISTANCIA RECTA-PLANO El cálculo de l distnci entre rect y plno requiere previmente el estudio de su posición reltiv y que: ) Si l rect r es secnte l plno π o está contenid en él, entonces d(r, π ). b) Si l rect r es prlel l plno, se elige un punto culquier de l rect (A) y se clcul l distnci de A l plno: A r d d(r, π ) d(a, π ) π A r Actividdes 8. Hll l distnci de l rect r: π : -y-z+5. 5 y + z l plno 9. Encuentr, según los vlores de, l distnci entre l rect r y el plno π y + z siendo r: - y π : +y-z-..5 DISTANCIA RECTA-RECTA De nuevo, el cálculo de l distnci entre dos rects depende de l posición reltiv entre ells. ) Si ls rects r y s son secntes o coincidentes, l distnci entre ells es. b) Si r y s son prlels, se elige un punto de un de ells A y se clcul su distnci l otr rect. A r d d(r, s) d(a, s) A r S

113 Colegio Vizcy Mtemátics II c) Si r y s son rects cruzds, l distnci entre ells coincide con l ltur del prlelepípedo que determinn sus vectores respectivos. Sen ls rects r y s de ls que conocemos un punto y un vector: r A u d B v s Sbemos que el volumen del prlelepípedo se clcul multiplicndo el áre de l bse por l ltur (d), es decir: Volumen [u, v, AB ] u v d de donde despejndo obtenemos: d d(r, s) [u, v, AB] u v Ejemplo: ) Hllr l distnci entre ls rects r: y z + y s: y z Clculmos previmente su posición reltiv: A(,, ) Conocemos un punto y un vector respectivos: r: u (,,) B(,,) s: v (,, ) rg( u, v) rg y que ls fils son proporcionles rg ( u, v, AB ) rg porque por tnto r y s son rects PARALELAS

114 Colegio Vizcy Mtemátics II v AB d(r, s) d( A, r) v i j k i + j + k + 6J (, 9, ) A(,,-) 9 u. ) Clcul l distnci entre ls rects r: + t y z t y s: y z + Estudimos previmente l posición reltiv. Considermos el punto A(,,) y el vector u (,,-) de l rect r, y el punto B(,,-) y el vector v (,-,) de l rect s. rg( u, v) rg y que rg ( u, v, AB ) rg porque 5 por tnto r y s son rects CRUZADAS [u, v, AB] d(r,s) u v i j k 5 k j j i 5 (,, ) u. 8 8 Actividd. Clcul l distnci entre los pres de rects: ) r: + t y z t s: y y + z + t b) r: y t z s: t y z

115 Colegio Vizcy Mtemátics II.6 DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS L distnci depende de l posición reltiv de mbos plnos: ) Si los plnos π y π son secntes o coincidentes, l distnci es b) Si los plnos son prlelos, se elige un punto culquier de uno de ellos y se clcul l distnci de dicho punto l otro plno. A d d( π, π ) d(a, π ) A π Ejemplo: Hllr l distnci entre los plnos: ) π : -y+z y π : -+5y b) π : -y+z y π : -+y-z- En el cso ) los plnos son secntes porque distnci entre ellos es. A B, luego l A' B' 5 En el cso b) los plnos son prlelos pues luego d( π, π ) d(a, π ) A A' B B' C C' D D' u. A(,,) π Actividd. Ddos los plnos π : b+y-z- y π : -y+6z+5 ) Determin b pr que sen prlelos y, en este cso, hll l distnci entre ellos. b) Hll b pr que mbos plnos sen perpendiculres. 5

116 Colegio Vizcy Mtemátics II ESPACIO MÉTRICO: EJERCICIOS, PROBLEMAS MATEMÁTICAS II CUESTIONES Y. Hll l distnci entre l rect r: el punto P(-,,). y + z y l rect prlel r por 5. Determin l distnci entre los plnos: + t + s π : y t y π : +y+z+ z t s. Hll l distnci del origen l rect prlel l eje X que ps por el punto A(,-,).. Dd l rect r: z y + y el plno π : +y-z -, clcul: 6 ) El plno que contiene r y es perpendiculr π. b) El volumen del tetredro determindo por el plno π y los plnos coordendos. 5. Hll l distnci del punto P(,,) l rect r: t y + t z 6. Hll ls ecuciones del lugr geométrico de los puntos del plno y que distn del plno +y+z. 7. Clcul el áre de un cudrdo sbiendo que los puntos P(,,) y Q(6,,) son dos vértices opuestos. 8. Hll el vlor de pr que el plno -y+z+ forme un triángulo de áre 6 l cortr los ejes coordendos. 9. Hll el vlor de pr que el plno - y+z- forme un tetredro de volumen, siendo sus vértices el origen y los puntos de corte con los ejes coordendos.. Hll los puntos de l rect r: A(,,). t y t z t que distn tres uniddes del punto 6

117 Colegio Vizcy Mtemátics II. Hll los puntos de l rect r: es dos. z y z cuy distnci l plno -y+z+9. Clcul el volumen de un cubo dos de cuys crs están situds en los plnos -y+z y -y+z5.. Hll el punto P de l rect r: α : + y + z y y + β : z que equidiste de los plnos: + λ y λ + t z 6 + t. Sen los puntos P(-,,) y Q(,-,7). Por el punto medio del segmento PQ trzmos un plno π perpendiculr dicho segmento. Este plno cort los ejes coordendos en los puntos A,B y C. ) Escribe l ecución de π b) Clcul el áre del triángulo ABC. 5. Clculr l ecución del plno prlelo l plno -y+z+ y que diste uniddes del origen. PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 6. (JUNIO 6) Sen P y Q los puntos del espcio de coordends P(,,) y Q(,,). Encontrr l condición que debe verificr un punto de coordends A(,y,z) pr que l distnci desde A hst P se igul que l distnci desde A hst Q. El conjunto de todos los puntos que stisfcen es condición formn un plno? Rzon l contestción. 7. (JULIO ) Se sbe que l rect r cort perpendiculrmente l plno π y que el punto (,,) pertenece l rect r. Se sbe demás, que el vector v (,,) tiene como etremo y origen dos puntos del plno π y lo mismo ocurre con el vector v (,,). Clculr l ecución de l rect r. Son suficientes los dtos nteriores pr hllr l ecución del plno π? Rzonr l respuest. 7

118 Colegio Vizcy Mtemátics II 8. (JULIO ) Encontrr l ecución prmétric de l rect que contiene l punto P(,,) y cuyo vector de dirección es perpendiculr los vectores: v (,,) y w (,,). Escribir l ecución en form continu. Pertenece el punto Q(,,) l rect? 9. (JUNIO ) Se l rect r cuy ecución en form continu está dd por y z Se π el plno de ecución +y+z y π el plno de ecución +y-z. Si P es el punto de corte de r con π y P es el punto de corte de r con π, encontrr dichos puntos y l distnci del segmento que determinn.. (JUNIO ) Se consider l rect r cuys ecuciones prmétrics son: t y t y el plno π : +y+z- z Determinr ls coordends de un punto P perteneciente l rect y cuy distnci l plno π se igul que su distnci l origen de coordends. Es único dicho punto? Contestr rzondmente.. (SEPTIEMBRE 99) Ddo el plno de ecución π : A+By+Cz+D y un punto P(,b,c) eterior l mismo, describir, rzondmente, el proceso que se sigue pr clculr l distnci del punto l rect. Aplicrlo l cso prticulr en que π : +y+z+ y P(,-,-). 8

119 UNIDAD 7 LÍMITES DE FUNCIONES º BACHILLER

120 Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Comprender el concepto de límite de un función en un punto medinte un definición intuitiv.. Definir y clculr límites lterles.. Determinr l eistenci de límites de funciones epresds en form nlític o medinte gráfics.. Conocer y mnejr ls propieddes de los límites. 5. Resolver los tipos más usules de indeterminción: o k ( k o),,,,, CONCEPTOS:. Límite de un función en un punto.. Límites lterles.. Propieddes de los límites.. Indeterminciones. Cálculo de límites

121 Colegio Vizcy Mtemátics II LÍMITES. INTRODUCCIÓN Fíjte en ls siguientes gráfics: º En l primer gráfic se observ que l imgen de es, es decir, f(). En l segund, sin embrgo, no eiste f() ( en su lugr hy un punto vcío) pero ello no impide que observemos que l función está situd en los lrededores de. Esto es debido que, unque no tiene imgen, sí l tienen los puntos próimos él:,, etc. Son ls imágenes de estos puntos de lrededor de ls que nos permiten conocer cómo es l función, no y en el punto cuy imgen no eiste, sino en un ENTORNO suyo. En l siguiente gráfic el punto - no tiene imgen pero se puede observr que l función se cerc + por l derech de - y - por su izquierd. Tmbién se puede ver que medid que los vlores de tienden +, sus imágenes vn proimándose sin que l función llegue vler dentro de R. L ide de tender o proimrse infinitmente un vlor pero sin llegr nunc él es lo que d lugr l concepto de LÍMITE. Intuitivmente, el límite de un función f() en un punto es el vlor L l que tienden ls imágenes y f() de los vlores de que se proimn o tienden. L

122 Colegio Vizcy Mtemátics II Se utiliz el símbolo pr epresr l ide de tender. Por tnto, podemos escribir l ide nterior de l siguiente form: si, f() L. Pero se h doptdo como notción hbitul lim f() L. Se lee: límite cundo tiende, de f() es igul L. *Recuerd que si L es el límite cundo tiende ser, eso no signific que f() se igul L, sino que lo es su límite, es decir, el vlor l que tienden cercrse ls imágenes de los vlores de próimos. ** Vemos un serie de ejemplos que nos cerquen l ide de límite: Ejemplo: Escribe vlores de que tiendn. A medid que se cercn, dónde tienden sus imágenes? ***Llmmos tender cercrse infinitmente. Est proimción serí un proceso infinito, sin finl, porque, como sbes, los números reles no son consecutivos, y siempre podrís encontrr un nº rel más cercno que el nterior. *** Ejemplo: Cuánto vle l imgen de 5? Si considermos vlores que tienden 5, dónde tienden sus imágenes? Complet: f(5) º lim f() 5 5 Ejemplo: Cuánto vle l imgen de? Si considermos vlores que tienden, dónde tienden sus imágenes? f() lim f()

123 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: Cuánto vle l imgen de? Si considermos vlores que tienden, dónde tienden sus imágenes? Qué opins del límite en este cso? Podrí hber dos? º f() lim f() Intuitivmente, no tendrí sentido que hubier dos límites en un punto, puesto que mientrs se tiende uno de ellos serí necesrio lejrse del otro, lo que entrrí en contrdicción con l ide de límite. En el cso de que esto ocurr, diremos que NO EXISTE el límite. Actividd. Dd l función: f() º º º - ) 5 Clcul los siguientes límites e imágenes: lim f() b) lim f() c) lim f() 6 + d) lim f() e) lim f() f) lim f() + g) lim f() h) lim f() i) lim f() j) lim f() k) lim f() l) lim f() m) f(-6) n) f() o) f() p) f(-) q) f(5) r) f(-)

124 Colegio Vizcy Mtemátics II Como ves, el límite no depende del punto puesto que sólo se observn ls imágenes de los puntos de un pequeño entorno su lrededor (estrímos hblndo de un entorno reducido de (-r, +r)-{ }, lo recuerds?) Sin embrgo, prece lógico que los puntos próimos tengn sus imágenes próims l suy f(). Por eso los límites se clculn, en principio, sustituyendo por, es decir, hllndo f(). Ejemplo: lim( + ) + 9 Este resultdo indicrí que l función f() + se encuentr en los lrededores de 9 en l verticl de. (Este ejemplo nos d un ide de cómo clculr el límite de un función en un punto, cundo no disponemos de l gráfic de dich función pr verlo, sino de su fórmul o epresión nlític). Actividd. Clcul los siguientes límites: ) lim5 b) lim + c) lim d) lim + e) lim Sin embrgo, no siempre el límite en un punto tiene que ver con l imgen de dicho punto. De hecho, en un punto puede hber imgen y no límite, límite y no imgen; puede hber mbs coss siendo igules o distints entre sí y puede que no eist ningun de ls dos. Observ un ejemplo de cd cso: A) Imgen sí, límite no: B) Imgen no, límite sí: º C) Imgen no, límite no: D) Imgen y límite sí. Igules entre sí: º º

125 Colegio Vizcy Mtemátics II E) Imgen y límite sí. Distintos entre sí. º Estrás de cuerdo en que l relción entre el límite y l imgen es mbigu y que el límite result más útil precismente cundo no disponemos de l imgen de un punto, pr conocer dónde se encuentr l función en los lrededores de dicho punto. (Intuitivmente, vendrí ser como un microscopio que mplí l función en los lrededores de culquier punto, e inform de l posición de l función en ese pequeño entorno). Vmos formlizr hor mtemáticmente tods ests ides. El lenguje mtemático se crcteriz por l búsqued de l precisión y el rigor l hor de definir cd concepto. No es lo mismo comprender intuitivmente un ide que escribir con ectitud en qué consiste. Por eso, veces, result complejo leer mtemátics.. DEFINICIÓN: f() L Se dice que f() tiene límite L cundo tiende y se escribe lim f() L, si pr culquier entorno de L (es decir un intervlo ( L ε, L + ε) ) eiste un entorno reducido de ( δ, + δ) -{} tl que todos los ( δ, + δ) -{} f () L ε, L + ε. tienen sus imágenes ( ) Todví podemos escribirlo de mner más reducid: E(L, ε ), E * (, δ) / si E * (, δ) f() E(L, ε) Y ún más: ε >, δ > / si E * (, δ) f() E(L, ε) ( : pr todo : eiste) Con est definición se pretende especificr cuál es l condición que cumple L y sólo L: que en culquier de sus entornos se pueden encontrr imágenes de puntos muy próimos. Dicho de otr form, pr culquier lrededor de L encontrremos un pequeño entorno de cuyos puntos tienen sus imágenes en el entorno de L. De 5

126 Colegio Vizcy Mtemátics II es form, segurmos que los puntos próimos tienen sus imágenes próims L. Comprueb si L verific l mism condición: L L f() Como hemos visto nteriormente, l definición se debe desdoblr pr incluir los csos en que el comportmiento de l función es distinto l izquierd que l derech del punto.. LÍMITES LATERALES Se dice que el límite por l derech de f() en el punto es L, y se escribe lim f() L si los próimos por su derech, tienen sus imágenes + tendentes L. Y se dice que el límite por l izquierd de f() en el punto es L, y se escribe lim f() L, si los próimos por su izquierd, tienen sus imágenes tendentes L. lim f() lim f() + L condición necesri y suficiente pr que eist límite en un punto es que eistn sus límites lterles y sen igules. lim f() lim f() + lim f() Siempre que los límites lterles sen distintos diremos que no eiste límite puesto que no tiene sentido cercrse dos lugres distintos l vez. 6

127 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: Dd l función f() < < A) lim f() lim( + ) Hll el límite en los puntos,, y (los vlores de muy próimos están TODOS en l primer rm de l función). B) lim f() X lim( + + ) lim( + ) - No eiste límite. (hemos tenido que relizr por seprdo los límites lterles, y que los próimos por su derech son myores que y están en l segund rm, y los vlores próimos por su izquierd son menores que y se encuentrn en l primer rm). C) lim f() lim( + ) 8 ( los muy próimos están TODOS entre y ). D) lim lim f() lim( - + ) 5 El límite eiste y es igul 5 (los que tienden se encuentrn en dos rms distints de l función: los que tienden por l derech (, )que están en l tercer rm por ser myores que, y los que tienden por su izquierd( 999, ) que son menores que y están en l segund).. LÍMITES INFINITOS Tnto como L pueden ser infinito: L L lim f() L lim f() L 7

128 Colegio Vizcy Mtemátics II lim f() lim f() + lim f() o lim f() lim f() lim f() Dibuj un función que cumpl: lim f(), f(), lim f() 5, lim f(), lim f() no eist límite en. y que 5. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES ) El límite de f() en eiste si coinciden los límites lterles y, de ser sí, es único. ) ( ± g)( ) ± ) lim f lim f() lim g( ) ( g)( ) ) lim f lim f() lim g( ) ( / g)( ) ) lim f lim f() / lim g( 5) ( )( ) k ) lim kf 6) ( ) lim f() g() lim f( lim lim f() g() 8

129 Colegio Vizcy Mtemátics II Como puedes observr, operr con límites es sencillo, pues se cumple que el límite de l sum, rest, multiplicción, división y potenci es l sum, rest, multiplicción, división y potenci de los límites respectivmente. Si disponemos de l gráfic de l función, prece sencillo clculr el límite en cd punto. Pero lo hbitul es que conozcmos no su gráfic, sino su fórmul o epresión nlític. Necesitmos, por tnto, prender clculr límites prtir de l epresión nlític de l función. 6. CÁLCULO DE LÍMITES Y hbímos indicdo nteriormente que lo nturl es que el límite coincid con l imgen, y que los puntos próimos tendrán imágenes próims l suy f(). (Tmbién hemos dicho que esto no tiene por qué ser cierto). Por eso, los límites se clculn inicilmente cmbindo por. Ejemplos: ) lim( + ) ( ) + ( ) ) 5 lim 7 ) lim( + ) + Represent gráficmente, de mner proimd, los resultdos obtenidos. Pero observ lo que sucede en los siguientes csos: lim lim lim Alguns de ests operciones te resultrán desconocids. Cuánto es ó? 5 Muy sencillo, sbemos que porque 55. Luego debe ser un nº 5 que multiplicdo por dé. Y todos los números reles cumplen eso!! Por tnto, es un número culquier o indetermindo, es decir, k porque k. Se dice entonces que es un INDETERMINACIÓN. 9

130 Colegio Vizcy Mtemátics II Observ que ocurre ectmente lo mismo con l operción. Sbemos que culquier nº multiplicdo por d. Por eso k, y que k Luego tmbién es un INDETERMINACIÓN. De hecho son l mism operción, y que podemos escribir: 5 5 Igulmente son indeterminciones:, k (k ),,,, Vemos cómo determinr en cd cso ls indeterminciones, es decir, cómo verigur en cd función y punto concretos, cuál es el vlor que dopt l indeterminción: k 6. Indeterminción con k Ejemplo: + 7 lim Est indeterminción es diferente ls demás pues k no es igul culquier nº rel. De hecho no es igul ninguno, pues ningún nº rel multiplicdo por puede dr k. Y sbímos que culquier número dividido entre d. El problem está en el signo: puede ser ±. Ello se debe que el denomindor no es ectmente, sino que tiende serlo. Y no sbemos si se cerc por su izquierd (por los números negtivos), o por su derech (positivos). Por eso es necesrio clculr los límites lterles: pr determinr si el resultdo es +, -. Si eisten los límites lterles y son igules, l función tiene límite; si son distintos, el límite no eiste.

131 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: lim indeterminción. Clculmos los límites lterles: lim Como los números que tienden por su derech son de l form,, l sustituirlos en y restr se obtienen vlores cd vez más próimos pero siempre positivos (se indic escribiendo + ). Sin embrgo, si tiende por su izquierd tom vlores de l form 999, , y l rest de drá como resultdo números tendentes, pero negtivos. lim - Como los límites lterles no coinciden, diremos que no eiste límite en. Pero eso no impide que hymos cumplido nuestro objetivo: hor sbemos cómo es l función en un pequeño entorno de. No es sí? Actividd. Clcul los siguientes límites: (Tipo k/ k ) ) lim b) lim + 6 c) lim d) lim 6. Indeterminción Ejemplo: lim + Vmos estblecer dos csos: A) Si f() es rcionl (cociente de polinomios como en el ejemplo nterior), el hecho de obtener el vlor l sustituir por tnto en el numerdor como en el denomindor, signific que es un ríz de mbos polinomios. Por tnto, si los

132 Colegio Vizcy Mtemátics II descomponemos en fctores, precerá el fctor (-) en el numerdor y en el denomindor y podrá simplificrse. Por eso, en el cso se descomponen numerdor y denomindor en fctores y se simplific el fctor ( ) que será común mbos. Ejemplo: - + lim - descompone mos en in det er min do fctores numerdor ( - )( - ) lim ( - ) lim ( y deno min dor. - ) - Eiste f()? Qué signific que el límite se? B) Si f() contiene ríces cudrds, se multiplic numerdor y denomindor por l epresión conjugd. Ejemplo: lim por lim - - el conjugdo - - lim in det er min do, del - + ( - + ) ( - + ) lim lim - + ( - ) ( - + ) ( - + ) ( - + ) ( + ) - deno min dor lim multiplicmos - numerdor - Hz un esbozo gráfico del resultdo. y deno min dor - -6 Actividd. Clcul los siguientes límites: (Tipo / ) ) lim b) ( + ) lim c) lim ) ( d) lim + +

133 Colegio Vizcy Mtemátics II 6. Indeterminción Ejemplo: + + lim - Antes de estudir l mner de resolver est indeterminción vemos el siguiente límite: lim( - + ) - + L rest - es igul y que (infinits veces ) sólo le quitmos ( un vez ) y, por tnto, seguirá quedndo. Sumrle después es irrelevnte. Podemos deducir que l cmbir por en un polinomio, el término de myor grdo convierte en irrelevntes todos los demás pues, si es de grdo por ejemplo, +b + c + d + e, es infinits veces, mientrs que el siguiente término b sólo contiene b veces (Sumr o restr, es lo mismo que sumr o restr sucesivmente : irrelevnte)., (un nº finito). Nos bsremos en est conclusión pr resolver l indeterminción., y sí Vemos los siguientes ejemplos: ) lim + (indeterminción) lim lim Observmos que el del numerdor es infinits veces myor que el del denomindor, luego el cociente es. ) lim L solución finl ( ) lógicmente es l mism, pero debe respetrse el signo ( ) de l indeterminción, pues ls imágenes de los vlores de próimos son negtivs en l función f(). (Compruéblo con - 6 ). + Podemos deducir, por tnto, que siempre que el numerdor se de myor grdo que el denomindor, l solución será ±. (Ddo que el infinito del numerdor será infinits veces myor que el del denomindor y se respetrá el signo del cociente). ) lim (in det er min ción) lim lim

134 Colegio Vizcy Mtemátics II Esto signific que si los polinomios son del mismo grdo, el límite coincidirá con el cociente de los coeficientes de myor grdo. Lógicmente, l división entre veces y veces, es /, pues mbos infinitos son de l mism ctegorí. ) - lim (in det er min ción) lim lim + Deducimos tmbién que si el numerdor es de grdo menor que el denomindor, l solución será siempre. L rzón es evidente: el denomindor es infinitmente myor, y l división entre infinito es. Con ests conclusiones podemos clculr culquier límite de l form, unque no veng ddo como un cociente de polinomios ) lim (in det.) 6 + El numerdor es de grdo y el denomindor de grdo (6/). Actividd 5. Clcul los siguientes límites: (Tipo / ) ) lim + b) + lim 5 + c) + lim + 5 d) ( + ) lim 6. Indeterminción Ejemplo: lim( + - ) Distinguimos dos csos: A) Si f() es l rest de dos funciones rcionles se oper primero hst conseguir un función rcionl.

135 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: lim - - indeterminción. Resolvemos el préntesis: ( + ) - - lim lim lim lim - - ( + )( - ) + **Recuerd que debes conocer l interpretción gráfic del resultdo obtenido, pues de otr mner no tendrí sentido clculr límites** ½ º B) Si f() es un rest de funciones con ríces cudrds, se multiplic y se divide por l epresión conjugd. Ejemplo: lim ( + - ) deno min dor lim -, por l ( + - )( + + ) ep resión in det er min do, + + conjugd. lim multiplicmos numerdor y lim + + Actividd 6. Clcul los siguientes límites: (Tipo ) ) lim( + - ) b) lim( + ) c) lim( ) Estrás de cuerdo en que el límite es más útil precismente cundo es indetermindo, puesto que eso indic que probblemente no hy imgen. L informción que port el límite, unque proimd, sustituye l que deberí hber ddo l imgen. 5

136 Colegio Vizcy Mtemátics II 6.5 Indeterminción Ejemplo: lim( ) Prtimos del hecho de que el número e se define como el siguiente límite: lim + n n n e Clcul unos cuántos términos de l sucesión y observ su comportmiento l umentr el vlor de n. Igulmente podemos firmr que siempre que f() ± se cumple: lim + f() f() e Ddo que el límite nterior supone un indeterminción del tipo, optremos por decur este formto culquier otr función que plntee l mism indeterminción. Vemos un ejemplo: Ejemplo: + lim + + lim lim lim + + lim + Summos y restmos pr decur l bse l formto +/f() (+ ) lim + lim lim + e e Adecumos el eponente Ddo que l bse Pr conseguir el formto dopt l form f() + f() pero sin modificr l función inicil f() lim + f() su límite es el nº e Observ que podemos mnipulr l form de l función según nuestros intereses siempre que relicemos simultánemente ls operciones recíprocs pr mntener l función inicil. En uniddes posteriores prenderemos otrs técnics que nos permitirán resolver igulmente ests indeterminciones. 6

137 Colegio Vizcy Mtemátics II LÍMITES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II. Clcul los límites de ls funciones siguientes en los puntos indicdos. Represent gráficmente los resultdos. ) f() en -,, b) f() + en,. Clcul el límite cundo de ls funciones y represent los resultdos obtenidos. ) f() b) f() 5 c) f() - d) f() 5. Clcul el límite cundo y de ls siguientes funciones y represent los resultdos obtenidos. ) f() b) f() + c) f() + d) f() Dd l función f() + < < clcul: ) lim f() + b) lim f() c) lim f() f) lim f() g) lim f() h) lim f() + k) f() l) f(-) m) f(7) d) lim f() i) lim f() e) lim f() + j) f(-) Comprueb los resultdos obtenidos relizndo l representción gráfic. 5. Clcul los siguientes límites: (Tipo ) ) lim - b) lim 5 6. Clcul los siguientes límites: (Tipo ) ) lim( ) b) lim + c) + lim d) 5 lim 5 + 7

138 Colegio Vizcy Mtemátics II 7. Clcul los siguientes límites: 7 ) lim 5 + ) lim + 5 ) lim ) lim ) + lim 5 7 6) lim 7) lim + 8) + + lim 9) lim + ) lim ) lim 9 ) + lim + ) lim ) lim + 5) lim 6) lim + 7) + lim + 8) lim + 8. Represent gráficmente funciones que stisfgn ls siguientes condiciones: ) lim f() - ; f()5; Dom(f)R; Im(f)(-,+ ) b) lim g() c) lim h() ; lim h() 5 ; g() estrictmente creciente en (, ) + d) lim t() lim t() lim t() - ; h() ; Dom(h)[,] e) f() > > ; f() < ; lim f() f) Dom(f) R - (,] ; Im(g) (,] ; Imf R; lim f() ; lim f() ; f() + 8

139 Colegio Vizcy Mtemátics II 9. Clcul el límite cundo tiende de ls funciones: ) f() b) g() 5 < c) h() + > d) i() < CUESTIONES. Si un función es estrictmente creciente en todo R signific esto que lim f()? Si no es sí, pon un ejemplo que lo demuestre.. Puede un función f tener como dominio R-{ } y eistir el lim f()? Si tu respuest es firmtiv, pon un ejemplo.. Puede un función ser continu en un punto y no eistir en dicho punto?. Se puede clculr el límite de un función en un punto en el que no esté definid? Puede ser l función continu en ese punto? 5. Se l función F(): º º b c m 5. Señl l firmción correct: ) F() b) F() c) F(c) d) F(c) no eiste 9

140 Colegio Vizcy Mtemátics II 5. Señl l firmción correct: ) lim F() b) lim F() c c) lim F() d) lim F() m c 5. Señl l firmción correct: ) lim F() b) F() c) lim F() b d) F(b) 5. Señl l firmción correct: ) lim F() b) lim F() b c) lim F() c d) lim F() 5.5 Señl l firmción correct: ) Si <, entonces F()> b) Si >c, entonces F()> c) Si <<b, entonces F()< d) Si b<<c, entonces F()> 6. Dds ls funciones f() + y g() -, señl l firmción fls: ) Si Dom(f) Dom(g), entonces f() g() b) lim f() lim g() c) Si Dom(f), entonces f() g() d) Algun de ls firmciones nteriores es fls. 7. Cuál es el lim? ) eiste sólo por l izquierd b) c) es indetermindo d) no eiste. 8. L función f() + <, en es ) continu, pues lim f() f() b) discontinu, pues lim f() lim f() c) discontinu, pues no eiste f() d) nd de los nterior es cierto. +

141 Colegio Vizcy Mtemátics II 9. Si f(), entonces ) f() lim f() b) f() lim f() c) f() no eiste, pero lim f() d) f() no eiste, pero lim f(). Trs un estudio demográfico se h determindo que el número de hbitntes de ciert poblción, en los próimos ños, vendrá ddo por l función: f() donde es el número de ños trnscurridos. ) Cuántos hbitntes tiene l poblción en l ctulidd? b) Cuántos tendrá dentro de un ño? Y dentro de dos? c) Suponiendo que l función fuese válid hst el finl de los tiempos crees que l poblción crecerí indefinidmente o se estbilizrí en torno un determindo número de hbitntes? Justific l respuest. Amplición. - lim lim lim. lim lim lim lim 8. - lim lim. lim lim. lim No eiste lim -. lim ( + - ) 5. lim No eiste 6. lim lim - 8. lim lim -. lim No eiste 5 5. lim -. lim No eiste

142 Colegio Vizcy Mtemátics II

143 UNIDAD 8 CONTINUIDAD º BACHILLER

144 Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Conocer y estudir l continuidd de un función en un punto y en un intervlo.. Distinguir los diferentes tipos de discontinuiddes.. Conocer el enuncido y l interpretción geométric de los principles teorems de continuidd, tnto en un punto como en un intervlo.. Aplicr los torems de continuidd en l resolución de problems y en l eistenci de soluciones de un ecución. CONCEPTOS. Función continu en un punto.. Tipos de discontinuiddes.. Operciones con funciones continus.. Teorem de Bolzno. 5. Propiedd de Drbou. 6. Teorem de Weierstrss.

145 Colegio Vizcy Mtemátics II CONTINUIDAD. CONTINUIDAD Intuitivmente, podemos entender por función continu, quell que puede dibujrse sin levntr el lápiz del ppel. Pero y sbemos que ls mtemátics eigen lgo más de rigor pr definir cd concepto. Si nos preguntmos qué condición o condiciones debe cumplir un función pr ser continu en un punto, llegremos est conclusión: Definición: Un función f() es continu en un punto si cumple: ) eiste f() ( es decir, Dom(f ) ) ) eiste lim f() ( los límites lterles eisten y son igules) ) lim f() f() (imgen y límite coinciden) Observ que cd condición es imprescindible pues, de no cumplirse, se produce un discontinuidd. f() lim f() lim f() f() L imgen es lo que ocurre en el punto, el límite es lo que ocurre en un pequeño lrededor. Observ que pr que f se continu en, se pide que lo que ocurre en se lo mismo que lo que ocurre su lrededor. Lógico, no?. Diremos que un función es continu en un intervlo si lo es en cd punto de ese intervlo. (Si el intervlo es cerrdo [,b], en los etremos debe ser continu por l derech en y por l izquierd en b) Se produce un discontinuidd siempre que se incumple un o más de ls tres condiciones nteriores. Dibuj funciones que verificn ls siguientes condiciones: ) no eiste f() pero sí lim f() ) no eiste f() ni lim f() ) eiste f() pero no lim f() ) eisten f() y lim f() pero son distintos Observ tus dibujos. Si tuviers que clsificr ls discontinuiddes en evitbles e inevitbles, cómo lo hrís? Fíjte que pr reprr l discontinuidd, en lgunos csos bstrí con modificr un punto, pero en otros, hbrí que mover medi función. Dónde está l diferenci? 5

146 Colegio Vizcy Mtemátics II Efectivmente, en el límite. Si el límite eiste, pero o no hy imgen o no coincide con él, l discontinuidd se llmrá EVITABLE. Pero si no eiste límite, hy o no imgen, l discontinuidd se dirá INEVITABLE. TIPOS DE DISCONTINUIDAD EVITABLE lim f() pero o f() o es distinto l límite INEVITABLE lim f() SALTO FINITO Límites lterles finitos DE PRIMERA ESPECIE Límites lterles distintos SALTO INFINITO lguno de los lterles igul DE SEGUNDA ESPECIE No eiste lguno de los límites lterles Ejemplo:, y -. Dd l función f() -, estudi l continuidd en los puntos - A) En nlizmos ls tres condiciones: ) f() eiste imgen - ) lim eiste límite - ) f() lim f() son igules luego l función es continu en. B) En ) f() no eiste, luego l función no es continu en. Pr conocer el tipo de discontinuidd necesitmos sber si eiste o no límite. ) - ( - ) lim (indeterminción) lim - ( + )( - ) lim + Por tnto, l función present un discontinuidd evitble en. **El fctor (-) no se podrí simplificr l hllr l imgen f() porque, en ese cso, serí ectmente y el fctor tomrí el vlor. Sbemos que no se puede simplificr el. Sin embrgo, en el límite, tom vlores muy próimos pero ninguno igul, luego el fctor - no es y se puede simplificr. Eso hce que hy límite pero no imgen.** 6

147 Colegio Vizcy Mtemátics II -8 C) En - ) f(-) - no eiste. Vemos el tipo de discontinuidd: ) - lim indet. Clculmos los límites lterles: - lim lim como son distintos no hy límite luego en -, l función present un discontinuidd inevitble de primer especie de slto infinito. Represent gráficmente el resultdo del límite y verific que se produce un slto infinito. Actividd. Estudi l continuidd en y de l función f() 5 Vemos lo que ocurre en un función trozos: Ejemplo: Dd l función f() + < estudi l continuidd en,. A) En, nlizmos ls tres condiciones: ) f() eiste imgen f() es continu en B) En, ) f() + lim( + ) + ) lim f() lim 6 ) lim eiste límite ) f() lim son igules no eiste límite f() present en un discontinuidd inevitble de primer especie de slto finito. Crees que est función podrí tener otros puntos de discontinuidd demás de? 7

148 Colegio Vizcy Mtemátics II Suponiendo que tuviers que nlizr en qué puntos no es continu un función de l que conoces su epresión nlític, en qué puntos te fijrís? Rzónlo tnto si es un función trozos como si su epresión es únic. Pr pensrlo, verigu cuáles son los puntos que pueden incumplir lgun de ls tres condiciones de continuidd. Observ, recordndo ls gráfics correspondientes, que tnto ls funciones polinómics como ls eponenciles y trigonométrics simples: f(), f()sen y f()cos, son continus en todo R, mientrs que ls logrítmics f()log, lo son en su dominio (, ) Actividdes. Estudi l continuidd de l función: f() < < en los puntos,,.. Estudi l continuidd de ls funciones: ) f() < b) f(). Indic el vlor de k pr el que l función f() se continu en todo R. + k < 5. Hll el vlor de y b pr que l función f() se continu en R. f() + b + < - - >. OPERACIONES con límites Si f() y g() son dos funciones continus en un punto, entonces se verific que: (f+g)(), (f-g)(), (f g)() y (f/g)() tmbién son continus en. (En el cso (f/g)() se requiere que g() ) Se deduce entonces que l continuidd se mntiene l sumr, restr, multiplicr y dividir funciones continus. Vemos hor lgunos teorems relciondos con l continuidd. 8

149 Colegio Vizcy Mtemátics II. TEOREMA DE BOLZANO Si f() es un función continu en [,b] y tom vlores de distinto signo en los etremos (sigf() sigf(b) ), entonces eiste, l menos, un punto c (, b) tl que f(c). f() f(b) c c b El teorem segur que, evidentemente, si l función cmbi de signo en el intervlo [,b], y lo hce sin perder l continuidd, debe psr, l menos un vez, por el eje X. **Observ que dicho(s) punto(s) de corte c debe pertenecer l interior del intervlo, pues los etremos y b no pueden tener imgen, l tener signdo un signo por hipótesis** Ten en cuent tmbién que el teorem no nieg que en otrs hipótesis tmbién pued hber puntos de imgen, sólo firm que con ests hipótesis es seguro que eiste. Este teorem tiene plicción en el cálculo de ríces (soluciones) proimds de lguns ecuciones. Vemos un ejemplo. Ejemplo: Demuestr que l ecución - - tiene lgun solución rel. El método de Ruffini conocido hst hor no nos proporcionrí ningun solución, pues sólo fcilit ríces enters, y ± no cumplen l iguldd. Supongmos l función f() - -. Por ser polinómic es continu en todos sus puntos. Busquemos un intervlo en el que verificr ls hipótesis de Bolzno: f() - < f() > Luego en el intervlo [, ], f() es continu y los etremos tienen imágenes de distinto signo. Podemos segurr entonces, por el teorem de Bolzno, que eiste, l menos un punto c (, ) tl que f(c), es decir, c es un solución de l ecución. Podemos mejorr l proimción tnto como quermos sin más que disminuir el tmño del intervlo. Lo prtimos en dos mitdes [, ] y [, ]. El punto c debe pertenecer uno de los dos. Vemos cuál cumple ls hipótesis de Bolzno: f()< f()< f()> Se deduce entonces que c (, ). Este proceso se puede repetir indefinidmente consiguiendo en cd cso, proimciones más preciss. 9

150 Colegio Vizcy Mtemátics II Actividd 6. L función f()tg tom vlores de distinto signo en los etremos del π π intervlo [, ] y, sin embrgo, no se nul en dicho intervlo. Se contrdice entonces el teorem de Bolzno?. TEOREMA DE DARBOUX (o de los vlores intermedios) Si f() es un función continu en [,b] y k es un número rel comprendido entre f() y f(b), entonces eiste, l menos, un punto c (, b) tl que f(c) k. El teorem segur entonces, que si f() es un función continu en el intervlo [,b], entonces tom, l menos un vez, TODOS los vlores comprendidos entre f() y f(b). **Observ que en ningún momento se dice que l función tom sólo esos vlores** f() k f(b) c b Actividdes 7. Dd l función f() +-, se puede firmr que lcnz el vlor en el intervlo [,]? 8. Dd l función f() +, demuestr que eiste lgún punto c (-,) tl que f(c). Encuentr un intervlo en el que eist un solución de l ecución +. 5

151 Colegio Vizcy Mtemátics II 5. TEOREMA DE WEIERSTRASS Si f() es un función continu en [, b], entonces lcnz en dicho intervlo el máimo y el mínimo bsolutos, es decir eisten dos vlores c,d [, b] tles que f(c) f() f(d). d c b d bc Observ que dichos vlores máimo y mínimo pueden corresponder tnto puntos del interior del intervlo, como los etremos y b. (Por eso el teorem segur c,d [,b] ) Podemos firmr, como consecuenci del teorem, que si un función es continu en un intervlo [, b], entonces necesrimente está cotd en dicho intervlo. 5

152 Colegio Vizcy Mtemátics II CONTINUIDAD: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II. Estudi l continuidd de f() en los puntos -, y. ***Indic siempre el tipo de discontinuidd, si ést se produce***. Estudi l continuidd de ls funciones: ) f() + + < < b) f() > < c) f() < d) f () > *** Si puedes, dibuj ls funciones pr confirmr el resultdo***. Eiste lgún vlor de k pr el que l función f() se continu? 5 / k. Estudi l continuidd de l función f() Z Z 5. Demuestr que ls gráfics de ls funciones f() y g() + se cortn, l menos, en un punto. Hll un intervlo en el que se corten dichs funciones. 6. Estudi l continuidd de l función f() en el punto. 7. Estudi l continuidd de l función f() Represéntl gráficmente. - + < 5

153 Colegio Vizcy Mtemátics II + + b 8. Se l función: f() hllr los vlores de y b pr Ln + > que l función se continu en R y su gráfic pse por el origen de coordends. 9. Tiene lgun ríz rel l ecución sen + +? Si l respuest es firmtiv encuentr un intervlo de mplitud menor que en el que se encuentre dich ríz. CUESTIONES. Puede un función ser continu en un punto y no eistir en dicho punto?. Se puede clculr el límite de un función en un punto en el que no esté definid? Puede ser l función continu en ese punto?. L función f() + <, en es ) continu, pues lim f() f() b) discontinu, pues lim f() lim f() c) discontinu, pues no eiste f() d) nd de lo nterior es cierto. +. Se f() l función dd por l siguiente gráfic: b Observ que f()> y f(b)> y l función cort l eje X. Además f() es continu en [,b]. Contrdice est situción el teorem de Bolzno?. Puede eistir un función f() definid en el intervlo [,5], que cumpl f()<, f(5)> y, sin embrgo, no eist ningún punto c (,5) tl que f(c)? Si eiste, hz su gráfic y clr si se contrdice o no el teorem de Bolzno. 5

154 Colegio Vizcy Mtemátics II 5. Se l función f() definid en el intervlo (,]. Rzon: ) Es continu en dicho intervlo? b) Está cotd inferiormente en (,] c) Tiene máimo bsoluto en (,] d) Se contrdice el teorem de Weierstrss? 6. Si un función no está definid en, puede ocurrir que lim f()? Puede ser continu l función en dicho punto? 5

155 UNIDAD DIDÁCTICA 9 DERIVADAS º BACHILLER

156 Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Interpretr geométricmente el concepto de derivd de un función en un punto y plicrlo l cálculo de rects tngentes un curv en un punto.. Clculr l derivd tnto de funciones elementles como de funciones compuests.. Determinr l derivbilidd de un función dd por su epresión gráfic o nlític trvés del concepto o del cálculo de ls derivds lterles en un punto.. Conocer l relción eistente entre derivbilidd y continuidd. CONCEPTOS. Derivd de un función en un punto: concepto, definición e interpretción geométric.. Función derivd. Derivds lterles. Derivds sucesivs.. Operciones con funciones derivds.. Cálculo de derivds. 5. Ecución de l rect tngente un curv en un punto. 6. Funciones no derivbles. Relción continuidd-derivbilidd. 56

157 Colegio Vizcy Mtemátics II DERIVADAS. INTRODUCCIÓN: El estudio de ls funciones y curvs dio lugr l ncimiento de un nuev rm de ls mtemátics: el Cálculo Infinitesiml o Análisis Mtemático. Su origen estuvo relciondo con l resolución de dos problems: el movimiento no uniforme y el cálculo de l rect tngente un curv en un punto culquier de ell (nos centrremos en este último). Ambos problems fueron resueltos seprdmente por el mtemático inglés Isc Newton (6-77) y por el mtemático y filósofo lemán Gottfried Wilhelm Leibniz (66-76), que protgonizron un gri disput por l pternidd del descubrimiento, que hoy en dí se otorg mbos. Newton descubrió el método de ls tngentes (lo que hoy se conoce como derivción) entre 665 y 666 pero lo publicó en 69, mientrs que Leibniz, que lo descubrió más trde, entre 675 y 677, lo publicó ntes, en 68. Posteriormente, mtemáticos como Euler, Guss y Cuchy desrrollron el Cálculo Infinitesiml hst convertirlo en un de ls rms más potentes de ls mtemátics. El problem de l tngente un curv en un punto, es decir, l dirección del movimiento de un objeto lo lrgo de l curv en cd instnte, es el eje sobre el que se sientn numerosos conceptos mtemáticos y físicos como l velocidd de un móvil, ls tryectoris de los stélites o el estudio de los etremos de un función de cr su optimizción. Empezremos por revisr qué se entiende por rect tngente un curv en un punto. Si firmmos que se trt de l rect que cort l curv en ese punto, probblemente estrás de cuerdo, porque coincide con l ide que y tienes formd sobre dich rect. Pero recuerd que pr identificr el concepto es necesrio precisr bien ls plbrs. Est rect cort l curv en un punto y no es tngente en él. Sin embrgo, en el siguiente gráfico se podrí segurr que l rect es tngente en el punto P, pesr de cortr l curv en más de un punto. P De hecho, puede ser tngente en más de un punto l vez: 57

158 Colegio Vizcy Mtemátics II Y sbes que el leguje mtemático se crcteriz por su cpcidd pr definir con el máimo rigor y precisión culquier concepto. Aunque veces, como en este cso, l tre result complej. (***Ls mtemátics son preciss, conciss e inciss y no confuss, profuss ni difuss*** Qué te prece est frse?) L rect tngente v ser definid como un rect límite de otrs rects. Observ el dibujo: P P P n P t Si trzmos un secnte que pse por el punto P y otro culquier P de l curv y movemos P cercándolo P, l rect secnte cmbi de posición. De mner que medid que P tiende P, l secnte tiende estbilizrse en torno un rect límite que será l rect tngente. (Hcer el límite cundo P P permite que siempre dispongmos de dos puntos, por muy próimos que estén, pr trzr l rect secnte. Pues P siempre será distinto de P). Y podemos hcer l definición de rect tngente. Utilizremos l ecución punto-pendiente por ser éstos los dtos de que disponemos. Definición: Llmmos rect tngente l curv f() en el punto P l rect que ps por el punto P y tiene por pendiente, el límite de ls pendientes de ls secntes trzds por P y otro punto culquier P de l curv, cundo P tiende P. L pendiente de ls rects PP, PP PP n se v modificndo y, en el límite, se convierte en l pendiente de l tngente. Este concepto será lo que llmemos derivd. Por tnto, entenderemos por derivd de un función f() en un punto P, l pendiente de l rect tngente es curv en dicho punto P. Trtremos de escribir mtemáticmente todos estos conceptos. 58

159 Colegio Vizcy Mtemátics II Designmos uns coordends P y P : P (,f()) y P (+h, f(+h)) Secnte PP f(+h) P f() P h f(+h)-f() +h Escribimos l ecución de l tngente en form punto-pendiente: Punto P(, f()) Pendiente m Lim (m ) tg P P sec y f() mtg ( ) Pr hllr m tg, clculmos primero ls pendientes de ls secntes. Pr ello considermos el vector PP : PP (+h-, f(+h)-f()) (h, f(+h)-f()) m sec v v f( + h) - f() h m tg lim(m P P sec f( + h) - f() ) lim h h Intent rzonr por qué cmbimos P P, por h Luego l ecución de l rect tngente l curv f() en el punto será: f( + h) - f() y - f() lim h h ( - ) Definición: Se llm derivd de f() en el punto, y se escribe f '(), l siguiente límite: '() lim f h f( + h) - f() h que represent geométricmente, l pendiente de l rect tngente l curv f() en ese punto. 59

160 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: Clcul l derivd (pendiente de l tngente) de l función f() en el punto. f( + h) - f() ( + h) Sbemos que f () lim lim h h h h h(6 + h) lim lim(6 + h) 6 h h h h + h lim h h - 9 De est mner, podrímos clculr l pendiente de l tngente en cd punto relizndo el límite correspondiente. Pero si usmos un punto genérico clculremos tods ess pendientes en un único límite. f( + h) - f() f () lim h lim( + h) h h ( + h) lim h h - lim h + h + h h - lim h( + h) h h Por supuesto, si f (), entonces f () 6, f (-)-, f (7) Actividdes. A prtir de l definición de derivd, clcul f () y f (), siendo f() -. Clcul, de l mism mner, l epresión generl de f ().. Clcul, trvés de l definición, f () y f () siendo f() + <. DERIVADAS LATERALES. FUNCIÓN DERIVADA Hemos visto que l derivd de un función f en un punto, si eiste, es f () y viene dd por: f '() lim h f( + h) - f() h Si f () es un número rel, entonces f es derivble en. En cso contrrio, si no eiste el límite, l función no es derivble en. Sbemos que no eiste límite cundo son distintos los límites lterles. Lo que nos llev definir ls derivds lterles. ) Derivd lterl por l izquierd de f en : f '( - f( + h) - f() ) lim - h h 6

161 Colegio Vizcy Mtemátics II Gráficmente indic que se elige P l izquierd de P, por lo que h será siempre negtivo y tnto más pequeño cunto más se cerque P P. b) Derivd lterl por l derech de f en : + f( + h) - f() f '( ) lim + h h Igulmente, l derivd por l derech indic l elección de P l derech de P. Diremos que f es derivble en si eisten ls derivds lterles y coinciden f '() f ' ( ) f '( ) + Ejemplo: Se f() < Eiste f ' ()? f '( ) lim h + h lim + h h + h + f( + h) - f() ( + h) lim h + h lim h + h( + h) h h lim h + - ( + h) + h + h lim + h h f( + h) - f() + h - h - - '( ) lim lim lim + h - h h - h h - h f - - Por ser distints ls derivds lterles, f() no es derivble en. Dibuj l función y comprueb los resultdos obtenidos. Actividd. Estudi l derivbilidd de l función f() + < Hll f (). Podemos hllr l derivd en un punto determindo. Pero si queremos clculr l derivd de f en vrios puntos, será preferible clculr f en un punto genérico, y luego prticulrizr los puntos desedos. 6

162 Colegio Vizcy Mtemátics II Se deduce, por tnto, que f () es, su vez, un función que soci cd punto con l pendiente de su tngente. Si f es derivble en un intervlo de R, l función derivd de f es l que cd del intervlo le hce corresponder l derivd de f en dicho punto. Est función se design por: f( + h) - f() f '() lim h h Un función f es derivble en un intervlo si lo es en cd punto del intervlo. Ejemplo: 5 Se f(), clculr ' () y f ' ( ) f : ( ) h f( + h) f() ( h) f '() Lim Lim h Lim + + h h h h h o h 5 5 5h 5h. ( h) ( h) 5h 5 Lim + Lim + Lim Lim h h h h h ( h) h h + ( + h) f '() ( + ) f '() f '() Si grupmos ls funciones en fmilis: potenciles, eponenciles, logrítmics, trigonométrics y clculmos l derivd de cd un en un punto genérico, llegremos ls fórmuls que precen continución y que, un vez prendids, evitrán que tengmos que relizr el límite en cd cso concreto. 6

163 Colegio Vizcy Mtemátics II. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES FUNCIÓN SIMPLE FUNCIÓN COMPUESTA EJEMPLOS F. Constnte y k y F. Identidd y y F. Potencil y y y f 7 y ( + ) - y f f ' y 7 ( +) 6 F. Eponencil (cso prticulr e) y y y e y y f y f Ln f ' y e f y e f f ' y 5 y y e y e - Ln5 ( + ) F. Logrítmic y log y y log f y f ' f Ln y log ( + ) y ( + ) Ln (cso prticulr e) y Ln y y Lnf y f f ' y Ln Ln y + 5 Ln F. Potencil- E ponencil y f g g y g f f ' + f g Lnf g y Ln Ln Ln y Ln + Ln F. Seno y sen y F. Coseno y cos y F. Tngente y tg y F. Cotngente y cotg y F. Arco seno y rcsen y F. Arco coseno y rccos y F. Arco tngente y rctg y y sen f y cos f f ' y sen ( +) y cos ( +) Ln y cos f y cos( 6+) y - sen f f ' y - sen(6+) 6 y tg f ' f y cos f y cotg f ' f y - sen f y rcsen f ' f y f y rccos f ' f y - f y rctg f ' f y + f y tg () y cos () y cotg(sen) cos y - sen (sen) y rcsen(e ) e y e y rccos(7+) 7 y - (7 + ) y rctg (sen) cos y + sen 6

164 Colegio Vizcy Mtemátics II L función simple es un cso prticulr de l función compuest cundo f(). Complet l tbl bsándote en ls fórmuls de l función compuest.. DERIVADAS SUCESIVAS. OPERACIONES CON DERIVADAS ) Derivd de l sum ( f ± g) ' () f ' () ± g ' () b) Derivd del producto ( f g) ' () f ' () g () + f () g ' () c) Derivd del producto de un función por un esclr ( k f) ' () k f ' () d) Derivd del cociente f f '() g() - f() g ' () ' () g g () e) Derivd de l composición (Regl de l cden) ( fog)' () f ' (g()) g ' () Ejemplo: f () sen, clculr su derivd. Aplicmos l regl de l cden donde g(), y f() sen. Se tiene: ( sen )' cos 5. DERIVADAS SUCESIVAS Sbemos que f es derivble en un intervlo si lo es en cd punto del intervlo. Por lo tnto podemos hllr su función derivd, f ' (). Como f ' () es su vez un función, puede ser de nuevo derivble, y podremos hllr su derivd ( f ' )' f ' ', llmd derivd de segundo orden o derivd segund y sí sucesivmente, siempre y cundo l derivd obtenid se derivble. De est mner podemos clculr ls derivds sucesivs de l función f: IV V n) f ', f '', f ''', f, f..., f,... 6

165 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: Hllr n) f (), siendo f() f '() f ' '() 6 f ' ' ' () 6 f ' v n) () f () pr n Actividdes. Clcul ls siguientes derivds: ) 7 f () b) 5 f() c) d) f() e) f() f) 5 g) f () h) f() ( ) i) 5. Clcul ls siguientes derivds: f () ( + ) f() f () 5 6 ) d) f () e b) f() 5 e) f() e c) 7 f() 6 + f() + 6. Clcul ls siguientes derivds: ) Ln f () b) 5 7 e f() Ln c) f() d) f () e e) f() f() log + 7 ( ) 7. Clcul ls siguientes derivds: ) () sen( ) ln f) ( ) ( 5 e ) f b) f () sen c) f () sen d) f () tg( ) e) f() cos (5 + ) f) f() cos( ) g) f() rcsen( 5 + ) h) f () rccos(ln ) i) f() rctg(sen( )) j) f() tg(log( )) 8. Hll f v () si f () e 65

166 Colegio Vizcy Mtemátics II Actividd 9. Dd l función f() - f IV () y f V () hll: f(), f (), f (-), f (), 6. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE L ecución de l rect tngente l curv y f () en el punto, en su form punto-pendiente, es: y f() f '() ( - ) Y que l pendiente de l tngente en ese punto coincide con l derivd. Ejemplo: Hll l ecución de l rect tngente l curv f() 5 en el punto : f ' () 6 f ' () 6 m f() Luego l ecución será: y 7 ( ) Actividdes. Hll l ecución de l rect tngente l curv y- +- en el punto de bscis.. ) En qué punto l derivd de l función y - es igul? b) En qué punto l rect tngente l función nterior es prlel l eje X? Y prlel l rect y +?. L ecución de l rect tngente un función f() en el punto es - y+. Hll f() y f ().. Hll l ecución de l rect tngente en el punto - l función f() 5.. Hll l ecución de l rect tngente l curv f() en el punto -. 66

167 Colegio Vizcy Mtemátics II 7. FUNCIONES NO DERIVABLES En quellos puntos donde l función es discontinu no es derivble pues no tiene sentido hblr de l rect tngente en esos puntos. Sin embrgo, eisten puntos donde l función es continu y no es derivble: son los puntos ngulosos. En estos puntos son diferentes ls rects tngentes por l izquierd y l derech. Es decir, el hecho de que P tiend P por l izquierd o derech d lugr dos rects tngentes distints, lo que impide que eist derivd. Est función es continu en el punto, pero no es derivble en él. Piens en l relción entre continuidd y derivbilidd. Rzon, con ejemplos, si son verdders o flss ls siguientes firmciones: f) continu derivble,, g) derivble continu, h) se cumplen mbs Actividdes 5. Indic en qué puntos no es derivble y rzon por qué, l función: + + < 6. Dd l función f(), hll el vlor de pr 5 + que l función se derivble entonos los puntos. Clcul f en ese cso. 67

168 Colegio Vizcy Mtemátics II Vmos demostrr continución l siguiente proposición: Si un función f() es derivble en un punto, entonces es continu en ese punto. Demostrción: Si f() es continu en un punto, entonces eiste y es finito el límite: f () f( + h) f() lim h h Si relizmos el cmbio +h tenemos: f () f( + h) f() lim h h f() lim f() lim(f() f()) lim( ) h lim(f() f()) f () lim( ) lim(f() f()) f () lim(f() f()) lim f() lim f() lim f() f() lo que demuestr que f() es continu en l coincidir su imgen y su límite. 68

169 Colegio Vizcy Mtemátics II DERIVADAS: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II. Hll l pendiente de l tngente l curv y - + en el punto -.. Dd l función y - hll, medinte l definición, f ().. Escribe ls ecuciones de ls rects tngentes l curv y que son prlels l rect +y.. Indic en ests funciones los vlores de en los que f es positiv o negtiv. Indic tmbién en qué vlores de, f es. Y X Cómo es l función f en los vlores de donde f es positiv? Y negtiv? Cómo se llmn los puntos donde f es? 5. Clcul ls siguientes derivds: - ) f () ( + ) b) f () c) f () d) f() ( - ) - - e) f() f) f () ( - ) ( + ) 6. En qué punto de l prábol y - l tngente es prlel l bisectriz del segundo cudrnte? - 7. Dd l función y ++b, hll y b pr que l función teng un tngente de pendiente -6 en el punto (,). 8. Comprueb que l función y no es derivble en el punto, hllndo ls derivds lterles. 9. ) Hllr f v () b) Hll ( ) si f () e f vi si f() ( + ) c) Hll f n) () si () log ( ) f 69

170 Colegio Vizcy Mtemátics II. Hll l prábol y +b + c, sbiendo que ps por A(5,-) y que es tngente l rect y + en el punto B(,5).. Clcul ls siguientes derivds: f (). f () e. 5-6 f() log ( + 7) Ln( 5-). f () ( ) e 5. log 5 f () f () Ln 7. f () Ln - 8. f() [ Ln( 5 - ) ] - 9. e. f () Ln. + e f() f () e e - log + Ln(5) (Ln(5)) 7 -. f() log 7. f() (-+8 ) (-5 - ) 7. f () 7. Clcul ls siguientes derivds: e. f () Ln. f() log ( 5 - ) + e e. f () e. f () e f () 6. f() f () sen 8. f() tg + sen - f() Ln. f() rcsen cos + f () rctg. sen f (). 5. () ( rctg) 7. f() Ln cos ( Ln) f 6. ( ) sen 9. f() ( ) f() cot g f() rccos f () sen ( + ) sen 8. f () sen. f () sen(sen(sen)) 7

171 Colegio Vizcy Mtemátics II. Medinte l definición, hll l derivd de ls siguientes funciones en los puntos que se indicn: ) b) f () en f() 7-6 en. Clcul l ecución de l rect tngente cd un de ls siguientes funciones, en los puntos que se indicn: ) f() - en, b) f () cos en π c) f() + en - d) f() -+ en, e) f() Ln en e 5. Estudi l continuidd y derivbilidd de ls siguientes funciones: ) f() > b) f() > 5 c) f() < d) f() + + < < 6. Hll f vi ( ) si f () 7. Clcul ls siguientes derivds: ) f() ( + ) ) f () ) f() ( ) ) f() 7) 5) 6 f () 8) ) f() ( ) ) f () ( + ) ) f() ) 5 + ( ) 5 f() 6) f() f () 9) 5 ) f () f() 5) f() ( ) ( + ) f ()

172 Colegio Vizcy Mtemátics II 6) f () 7) f() 9) f() ) f() 8) f() e e e ) f () ( e + ) ) f() log ( 7) ) f() log ( ) 5 ) f() Ln( e ) ) f() Ln( ) ( ) 6) f() Ln( ) + 8. Clcul f () utilizndo l definición de derivd siendo:. f() + < 9. Si y + es l ecución de l rect tngente l función f() en el punto, hll f() y f ().. Estudi l continuidd y derivbilidd de ls funciones: e f() < < < f() f() Hll el vlor de y b pr que f() se derivble siendo: f() + + b + < - - < CUESTIONES. Represent gráficmente un función que cumpl ls siguientes condiciones: ) lim f() - b) lim f() b) su derivd es en el punto (-,) c) su derivd es en el punto (,) d) es continu en todos los puntos slvo en donde present un discontinuidd evitble. 7

173 Colegio Vizcy Mtemátics II. Cuál es el vlor de l derivd en el vértice de un prábol? Cómo clculrís dicho vértice? Clcúllo en l prábol y -+ y generliz y +b+c.. Pon tres ejemplos de funciones cuy derivd se f ().. Por qué l derivd de un función f es, su vez, un función? Eiste lgun función que teng l mism derivd en todos los puntos? Rzónlo con ejemplos. 5. Si un función no es continu en un punto puede ser derivble en él? 6. Si un función es continu en un punto es necesrimente derivble en él? 7. Verddero o flso: ) Tod función continu en un punto, es derivble en él b) Tod función derivble en un punto, es continu en él c) Si f() no es continu en, no es derivble en d) Si f() no es derivble en, no es continu en 8. Si un función es creciente en el intervlo (,b) de qué signo es l derivd en dicho intervlo? 9. Puede l tngente un curv en un punto cortr dich curv en otro punto?. Si l rect tngente un curv f() en un punto es prlel l eje de bsciss cuál es el vlor de f ()?. L siguiente gráfic corresponde l función derivd de un función f: f () Rzon cuál de ls tres gráfics siguientes corresponde l función f(): A) B) C)

174 Colegio Vizcy Mtemátics II. L derivd de l función yf() en el punto es: f( + h) f() ) lim h h f() f() b) lim f( + h) f() c) h d) ningun de ls epresiones nteriores. Rzon cuál de ls siguientes firmciones es ciert: ) si f es continu en, entonces es derivble en b) si f es derivble en, entonces es continu en c) si f es derivble en, entonces es creciente en d) si f no es derivble en, entonces no es continu en.. Si l función f() cumple f () -, puede segurrse que: ) f es continu en b) f es creciente en c) f es constnte d) nd de lo nterior. 5. Si f es un función polinómic de tercer grdo, se puede segurr que: ) f () b) f iv () c) f es de primer grdo d) f iv ()k 6. L función f() : ) no es derivble en por no ser continu b) es continu en, pero no derivble en c) es derivble en, pero no continu en d) tiene derivd nul en. 7. Clcul en cd un de ls siguientes funciones ls derivds que se indicn: f() Clcul f () - y - 7

175 Colegio Vizcy Mtemátics II y f() y 6 Clcul f () f (6). Indic cuál de ls siguientes firmciones es correct: ) L derivd del producto de un constnte por un función es igul l constnte por l función. b) L derivd del producto de un constnte por un función es igul l derivd de l función. c) L derivd del producto de un constnte por un función es igul l constnte por l derivd de l función. 75

176 Colegio Vizcy Mtemátics II PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. (JUNIO 7) Se h un función derivble en todos los puntos, de l que se conocen los siguientes vlores: h() y h () -. Se consider l función f() definid por: f() [h()] + + Hllr l ecución de l rect tngente l gráfic de l función f en el punto.. (JUNIO 6) Se sbe que un función f es derivble en todos los puntos y demás se sbe que f() y que f () -. Se consider l función h() definid por: h() e f () + f() + [f()] Clculr rzondmente h ().. (JULIO ) Definir el concepto de rect tngente un curv en un punto. Describir brevemente el significdo geométrico de l rect tngente. Hllr l ecución de l rect tngente f(). e + en el punto +. (JUNIO ) Dd l función: sen. f() > Eisten vlores de pr los que f se derivble en tod l rect rel? Rzonr l firmción y, si es firmtiv, encontrr dichos vlores. 5. (JULIO ) Encontrr l ecución de l rect tngente pr l función f() + 6 en un punto culquier. Eiste lgún vlor de pr el cul dich rect tngente teng pendiente? Eiste lgún vlor de pr el cul dich rect tngente pse por el punto eterior l curv P(,)? Rzonr ls contestciones si son negtivs o relizr los cálculos en cso de ser firmtivs. 6. (JUNIO ) Se consider un función f derivble en un punto. Escribir l ecución de l rect tngente f en dicho punto. Cuál es el significdo geométrico de dich rect? Encontrr l ecución de l rect tngente l función f() + 6 en un punto genérico. 76

177 UNIDAD DIDÁCTICA APLICACIONES DE LAS DERIVADAS º BACHILLER

178 Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Interpretr los conceptos de crecimiento, decrecimiento, etremos reltivos, curvtur y puntos de infleión de un función. Encontrr ls zons de crecimiento y decrecimiento de un función y sus etremos reltivos.. Determinr l curvtur de un función y sus puntos de infleión.. Representr funciones prtir del estudio de sus propieddes. 5. Resolver problems de optimizción CONCEPTOS. Monotoní: Intervlos de crecimiento y decrecimiento.. Etremos reltivos.. Problems de optimizción.. Curvtur: concvidd y conveidd. 5. Puntos de infleión. 6. Estudio del dominio, puntos de corte, simetrí, periodicidd y síntots de un función. 7. Representción gráfic de lgunos tipos de funciones. 78

179 Colegio Vizcy Mtemátics II APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN (MONOTONÍA) Sbemos que un función es creciente o decreciente dependiendo de si l umentr l vrible, ument o disminuye l vrible y. f() g() Creciente Decreciente Pero si no mtizmos est ide, quedrín indefinids ls funciones constntes; pues en ells los vlores de y no crecen ni decrecen. f() k k Por eso es necesrio desdoblr cd concepto. Distinguiremos entre crecimiento y crecimiento estricto, englobndo en el primer cso tnto l ide de crecer como l de no decrecer. Crecimiento Crecimiento estricto Definición: Un función f() es creciente en un punto si eiste un entorno de (-h, +h), cuyos puntos cumplen: si si < > f() f() f() f() En prticulr, f() es estrictmente creciente en si eiste un entorno de si < f() < f() (-h, +h), cuyos puntos cumplen: si > f() > f() Se distingue sí el crecimiento estricto (l umentr, ument y) del crecimiento (l umentr, se mntiene o ument y) Intuitivmente, est definición vendrí indicr que l función crece en un punto, si los puntos de un entorno de por su izquierd, tienen sus imágenes menores que l suy f() y los de su derech, myores. L iguldd dmitirí que ls funciones constntes tmbién son crecientes pero no estrictmente. 79

180 Colegio Vizcy Mtemátics II Igulmente: Definición: Un función f() es decreciente en un punto si eiste un entorno de (-h, +h) cuyos puntos cumplen: si si < > f() f() f() f() En prticulr, f() es estrictmente decreciente en un punto si eiste un entorno de (-h, +h) cuyos puntos cumplen: si si < > f() > f() f() < f() Ls funciones constntes son crecientes y decrecientes l vez, puesto que verificn mbs definiciones. Un función será creciente o decreciente en un intervlo si lo es en cd punto de dicho intervlo. Rzon si es cierto que estrictmente creciente creciente o es cierto su contrrio Actividd: Se l función f(): 5 6 Indic cómo es el crecimiento de l función en los puntos,,,, 5 y 6 Indic tmbién los intervlos de crecimiento. Observ que si l función es creciente en un punto, l rect tngente en tiene pendiente positiv, pues se inclin l derech (ument l y, l umentr l ). Por el contrrio, si f es decreciente en, l rect tngente tiene pendiente negtiv pues se inclin l izquierd (disminuye l y, l umentr l ) f() f() f() f() Esto nos permite deducir que: 8

181 Colegio Vizcy Mtemátics II Teorem Dd un función f() derivble en un punto, ) si f ()>, entonces f() es estrictmente creciente en ) si f ()<, entonces f() es estrictmente decreciente en Demostrción: Probremos el cso ), pues el cso ) sigue un demostrción nálog. Sbemos que f () f( + h) f() lim h h f() lim f() > Hcemos el cmbio de vrible +h, luego h - y h se trnsform en por hipótesis Si dicho límite es positivo, se deduce entonces que en un entorno del punto, es f() f() decir, en vlores de muy próimos, los cocientes tmbién deben ser positivos. Por tnto numerdor y denomindor deben tener el mismo signo. Se deduce entonces que: si - > f() f() > si - < f() f() < o lo que es lo mismo: si >, f() > f() si <, f() < f() epresión que coincide con l definición de crecimiento estricto dd l comienzo de l unidd, tl como querímos demostrr. c.q.d. Observ que el teorem no contempl l posibilidd f (). Debemos deducir entonces, que no es posible hcer ningun firmción únic sobre el crecimiento de l función f con ese dto, luego que eisten distints posibiliddes. Veámoslo: Si f (), f puede ser: ) estrictmente creciente en Ejemplo: f() en el punto Sbemos que f () pues f () creciente en y f()^ y se observ que f es estrictmente Grph Limited School Edition -8 8

182 Grph Limited School Edition f()^ Colegio Vizcy Mtemátics II ) estrictmente decreciente en Ejemplo; f() - en el punto Sbemos que f () pues f () - decreciente en y se observ que f es estrictmente y f()-^ Grph Limited School Edition ) ni creciente ni decreciente en Ejemplo; f() en el punto Sbemos que f () pues f () y se observ que f no crece ni decrece en el punto por trtrse de un mínimo de l función. y Podemos enuncir hor el teorem recíproco l nterior. Teorem Dd un función f() derivble en un punto : ) si f() es estrictmente creciente en, entonces f () ) si f() es estrictmente decreciente en, entonces f () Luego si l derivd es positiv en un punto, seguro que l función es creciente en él, pero si l función es creciente en ese punto, su derivd puede ser positiv ó. Vemos hor cómo clculr los intervlos de crecimiento de un función. Será necesrio estudir el signo de su derivd. Pr ello, buscremos primero los puntos donde l derivd es y estbleceremos intervlos entre ellos. 8

183 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: Clcul los intervlos de monotoní de l función f() + ) Relizmos l primer derivd: f '() 8 + ) Se estudi el signo de f (+,-) buscndo los puntos en que f y estbleciendo intervlos entre ellos (pues pr cmbir de signo debe trvesr el eje X ddo que un función es positiv cundo su gráfic está situd encim del eje X y negtiv si está debjo) f '() ± ± 6 / / f () f () f ()- f ()7 Como el signo se mntiene constnte en cd intervlo (si no fuer sí deberí hber otros puntos de corte con el eje X), se elige un punto culquier de cd intervlo y se clcul el signo de su derivd. Entonces se deduce: L función es estrictmente creciente en, (, ) L función es estrictmente decreciente en, **Observ que no se incluyen los etremos de los intervlos (/ y ) pues no se puede segurr que l función se creciente o decreciente en puntos cuy derivd es ** **Se puede deducir que / tiene que ser un máimo de f, pues l función ps de ser creciente decreciente l psr por dicho punto. Igulmente, el punto será un mínimo por ser un punto de cmbio de decreciente creciente de l función f ** **Es importnte incluir en el cudro pr estblecer los intervlos, no sólo los puntos de derivd, sino tmbién quellos puntos que no pertenezcn l dominio de l función, pues puede hber un cmbio en el crecimiento de l función ntes y después de un síntot verticl** 8

184 Colegio Vizcy Mtemátics II Puede ocurrir que f () se distint de cero, en cuyo cso se deduce que f mntiene el mismo signo en todos sus puntos es decir, es positiv/negtiv pr culquier vlor de, y por tnto, l función f() será estrictmente creciente o decreciente en todo su dominio Ejemplo: f() + f '() +. Si f ' () es distint de, mntiene siempre el mismo signo. Se observ que + tom siempre vlores positivos, luego f() será estrictmente creciente en todo su dominio. (Se deduce entonces tmbién que l función no tiene etremos) Conviene indicr que no siempre se ltern el signo de f l cmbir de intervlo. Ejemplo: Clcul los intervlos de monotoní de l función f() f () - f () + + De lo que se deduce que f() es un función estrictmente creciente en todo su dominio. Observ su gráfic en págins nteriores. (Se deduce tmbién que l no cmbir el crecimiento, el punto no es un etremo de l función) Actividd. Estudi l monotoní de ls siguientes funciones: ) f() b) f() + c) f() e. EXTREMOS RELATIVOS Definición: Un función f() tiene un f() < f() un entorno de, tl que f() > f() máimo reltivo en un punto, si eiste mínimo reltivo perteneciente l entorno. Definición: Se dice que el punto es un máimo (mínimo) bsoluto si su imgen f() es el myor (menor) vlor que tom l función en todo su dominio. Los puntos máimos y mínimos reciben el nombre genérico de etremos. 8

185 Colegio Vizcy Mtemátics II Es evidente que los etremos bsolutos son tmbién reltivos pues si su imgen es l myor/menor de todo el dominio, tmbién lo será en un entorno del punto. Por tnto, bjo el nombre genérico de etremos reltivos incluimos todos los etremos. Si f() es continu, los máimos reltivos son los puntos donde l función ps de ser creciente decreciente, y vicevers pr los mínimos reltivos. Si l función no es continu no tiene por qué ser cierto. º Además si es derivble se cumple: Teorem Si f tiene un máimo o mínimo en y eiste f (), entonces f (). Demostrción: En los puntos etremos l función no es creciente ni decreciente, luego l derivd no puede ser positiv ni negtiv, y como eiste, sólo puede ser igul. c.q.d. Tmbién es fácil consttr que los puntos etremos tienen tngente horizontl (pendiente ) f() Sin embrgo el enuncido recíproco no es necesrimente cierto, pues puede hber puntos tles que f (), que no son etremos. (Estos puntos recibirán más delnte el nombre de puntos de infleión) Ejemplo: f() en el punto, donde se observ que l tngente es tmbién horizontl. y f()^ Grph Limited School Edition -8 85

186 Colegio Vizcy Mtemátics II Qued entonces clro que l condición f (), es necesri pr que el punto se un etremo (todos los etremos son puntos de derivd ), pero no es suficiente, pues hy otros puntos que pueden cumplir l mism condición. Se hce necesrio entonces ñdir un nuev condición que discrimine mejor los puntos etremos. Teorem Si es un punto tl que f () y eiste f (), entonces: si f ' ' () > el punto es un mínimo reltivo de f() si f ' ' () < el punto es un máimo reltivo de f() Demostrción: f() Observ que en un entorno del punto ls pendientes de ls tngentes vn umentndo, es decir, f es creciente y por tnto su derivd f debe ser positiv. mínimo f crecienteenunentorno f ()> Si es un máimo sucede lo contrrio. CÁLCULO DE EXTREMOS Pr determinr los etremos de un función, buscremos primero los puntos de derivd. A continución clculremos l derivd segund en cd uno de esos puntos: serán mínimos, quellos donde f se positiv y serán máimos, donde se negtiv. En los puntos donde f se no podremos hcer ningun firmción sin tener en cuent otros dtos que más delnte nlizremos. Ejemplo: Clculr los etremos de l función f() ) Hllmos f e igulmos ( - ) - f () ( ) ( ) (-) Los puntos, son los posibles etremos (tmbién podrín ser puntos de infleión) Pr determinrlo clculmos f ) Hllmos f y sustituimos los puntos obtenidos ( )( ) ( f () ( ) ( ) ) ( ) ( ) [ + + ] ( ) f () < luego el punto es un máimo de f() 86

187 Colegio Vizcy Mtemátics II f () > luego el punto es un mínimo de f() Por tnto, (,) es un máimo y (,) es un mínimo de f() ** Si hubiérmos hecho el cudro del crecimiento de l función, se dvertirí fácilmente que y son máimo y mínimo respectivos, pues mrcrín el cmbio de creciente decreciente y vicevers.** Hy que tener en cuent que lo dicho nteriormente sólo es plicble etremos donde l función se derivble. Eisten otros etremos, puntos ngulosos o de discontinuidd, que no podrín ser clculdos de l mner ntes indicd. o En mbos csos el punto es un máimo de l función pero no se cumple f () porque no eiste f (). Actividdes. Clcul los etremos de ls siguientes funciones: ) f() b) f() + c) f() e. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN En muchos cmpos de l vid rel (Biologí, Físic, Economí ) se requiere optimizr funciones, es decir, hllr sus vlores máimos o mínimos (máimo beneficio, mínimo coste, áre mínim etc.) con l limitción de uno o más condicionntes. Vemos un ejemplo: Ejemplo: De todos lo rectángulos de áre 6 m, hllr el de perímetro mínimo. (Si queremos tener un conteto rel, supongmos que debemos vllr dicho terreno y que el coste de l vll es elevdo) 87

188 Colegio Vizcy Mtemátics II Pr su resolución seguiremos los siguientes psos: ) Se definen ls incógnits (con uniddes) y l función optimizr y Sen e y ls dimensiones del rectángulo en m. L función optimizr es el perímetro (mínimo) P +y (Observ que l función tiene dos vribles y eso dificult hllr su derivd pr clculr los etremos) ) Se trducen ecuciones ls condiciones o restricciones del problem: Sbemos que el áre es 6, es decir y 6 ) Se despej un de ls incógnits pr poder escribir l función nterior en un sol vrible: Como 6/y entonces f() 6/y + y 7/y + y ) Se clcul el vlor máimo o mínimo de l función f (f () ) f() 7 + y y f () y (7 + y y ) y y 7 y - 7 y 6 y ± 6 5) Se rechzn los resultdos que crezcn de sentido en el conteto Eliminmos l solución y -6, pues un ldo de un rectángulo no puede tener longitud negtiv. L únic solución posible es y 6 m. En cso de que hubier otrs soluciones posibles hbrí que comprobr cul de ells es el vlor mínimo comprobndo que f es positiv. Si hubier más de un mínimo posible, se clculrí el vlor de l función en cd uno de ellos y se elegirí como solución el vlor más pequeño (mínimo bsoluto) 6) Se redct l solución con uniddes Si y 6, luego el rectángulo de perímetro mínimo es el cudrdo de ldo 6 m. 88

189 Colegio Vizcy Mtemátics II Actividdes. Hll dos números cuy sum se, de mner que l sum de sus inversos se mínim.. De entre todos los números de dos cifrs tles que l cifr de ls decens ms l de ls uniddes se ocho, hll el número tl que l sum de los cudrdos de sus cifrs se máim. 5. Se dese construir el mrco pr un ventn rectngulr de 6 m de superficie. El metro de trmo horizontl cuest 5 y el de trmo verticl. Clcul ls dimensiones de l ventn pr que el coste del mrco se mínimo y determin dicho coste. 6. Hll ls dimensiones del rectángulo de áre máim inscrito en un circunferenci de cm. De rdio.. CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Definición: Se dice que l función f() es cóncv en un punto si en un entorno de, ls rects tngentes en cd punto quedn por debjo de l curv y se dice que f() es conve en un punto, si en un entorno de ls rects tngentes en cd punto quedn por encim de l curv. CÓNCAVA en CONVEXA en En cso de que f se cóncv en el punto se observ, como hemos indicdo nteriormente, que ls pendientes de ls tngentes son cd vez myores, luego f es creciente y, por tnto f es positiv. Ocurre lo contrrio si f es conve en el punto. f cóncv en f creciente en f () f conve en f decreciente en f () De lo rzondo nteriormente se deduce: 89

190 Colegio Vizcy Mtemátics II Teorem Dd un función f() y un punto donde es derivble dos veces, entonces: ) si f ()>, f() es cóncv en ) si f ()<, f() es conve en (Qued pendiente de nlizr más delnte el cso f ()) Luego pr clculr los intervlos de concvidd y conveidd de un función es necesrio estudir el signo de su derivd segund. El procedimiento es nálogo l del estudio del crecimiento, cmbindo f por f. Ejemplo: Clculr l curvtur de l función f() - Hllmos l derivd segund de l función: f () - f () 6 Pr estudir el signo de f, se igul y se estblecen los intervlos: f () 6 - f () - + Se deduce que f() es conve en (-, ) y cóncv en (, ) **Es importnte incluir en l tbl los puntos que no pertenecen l dominio, pues pueden cmbir l curvtur** Ejemplo: Clculr l curvtur de l función f() Vemos el signo de f : f () Como Dom(f) R-{} f () - f () - + Se deduce que f() es conve en (-, ) y cóncv en (, ) De hecho, l gráfic de l función es: 9

191 Colegio Vizcy Mtemátics II Anliz cómo serí l curvtur de un función cuyo dominio fuer R y su derivd segund fuer distint de. PUNTOS DE INFLEXIÓN Definición: Un función f() tiene un punto de infleión en, si es un punto de su dominio en el que l función ps de ser cóncv conve o vicevers. En el gráfico nterior, el punto es un punto de infleión. Se deduce fácilmente que l derivd segund tiene que cmbir de signo l psr por el punto (l cmbir l curvtur), luego debe cumplirse f (). Teorem Dd un función f() y un punto de su dominio, si se cumple f () y f (), entonces es un punto de infleión. Al igul que l condición f () es necesri pero insuficiente pr ser etremo, l condición f () es tmbién necesri pero insuficiente pr ser punto de infleión. Por eso se ñde f (), que es nálog l de los etremos (f ()> o f ()<, es decir, en generl f () ) Pero observ estos ejemplos: ) f() f () f () ( cndidto punto de infleión) f () f () No cumple l condición del teorem. No es punto de infleión. ) f() 5 f () 5 f () ( cndidto punto de infleión) f () 6 f () No cumple l condición del teorem. Sí es punto de infleión. 8 y f()^ Grph Limited School Edition 9

192 Colegio Vizcy Mtemátics II Aunque prece contrdictorio no lo es, pues el teorem nterior se puede mplir: Teorem Dd un función f() y un punto de su dominio. Si se cumple f () y f (), será un punto de infleión de f, si l primer derivd distint de en el punto es de orden impr, y será etremo si l primer derivd no nul es de orden pr. Comprueb el teorem en los ejemplos nteriores. Como el cálculo de los puntos de infleión requiere relizr vris derivds sucesivs, determinremos dichos puntos relizndo el cudro de l curvtur. Los puntos cuy derivd segund se, sen del dominio y cmbien el signo de l derivd segund, serán de infleión. Ejemplo: Hllr los puntos de infleión de l función f() f () ( ) ( ) ( ) (- ) ( f () ( ) ) ( ) [ ] ( ) ( + ) ( +) ( ) + No Luego en l tbl debe precer el punto, por tener derivd, y los puntos y - que no pertenecen l dominio f () Aunque los tres puntos cmbin l curvtur, sólo es punto de infleión, pues es el único que pertenece l dominio de l función. Actividd 7. Estudi l curvtur y puntos de infleión de ls siguientes funciones: ) f() b) f() + c) f() e 9

193 Colegio Vizcy Mtemátics II 5. ASÍNTOTAS Definición: Un síntot de l función f() es un rect que tiende cortrse con l curv f() en el infinito. Pueden ser de tres tipos: horizontles, verticles y oblicus. ) ASÍNTOTAS HORIZONTALES Definición: cumple: L rect yb es un síntot horizontl de l función f() si se lim f() b ± Vemos vrios ejemplos: f() L rect y es síntot horizontl en todos los csos, siendo respectivmente: lim f() + lim f() lim f() ± ) ASÍNTOTAS VERTICALES Definición: cumple: L rect es un síntot verticl de l función f() si se lim f() ± o bien lim f() ± + o bien lim f() ± L rect es un síntot verticl en mbos csos siendo respectivmente: lim f() + lim f() lim f() + 9

194 Colegio Vizcy Mtemátics II ) ASÍNTOTAS OBLÍCUAS Definición: Son rects de l form y m+n siendo: f() m lim n lim f() [ m] Ejemplo: Clcul ls síntots de l siguiente función: f() + ) Asíntots horizontles: + lim + + lim el resultdo no es un número rel, luego no hy síntots horizontles ) Asíntots verticles: lim f() lim f() lim f() es un síntot verticl ) Asíntots oblicus: rects de l form y m+n siendo: m lim f() n lim f() + lim + + [ m] lim lim lim Luego y es un síntot oblicu Actividdes 8. Determin ls síntots de ls siguientes funciones: ) f() + b) f() c) f() d) f() + 9. Dd l función f() clculr sus síntots oblicus. Estudir el + crecimiento y l eistenci de máimos y mínimos pr f. 9

195 Colegio Vizcy Mtemátics II 6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS Pr representr gráficmente un función desrrollremos previmente los siguientes puntos: ) Dominio: El dominio de un función son todos los vlores de pr los que eiste imgen. (Se ecluyen los vlores de que dn lugr ceros en el denomindor, ríces de índice pr de números negtivos y logritmos de números negtivos ó ) ) Puntos de corte con los ejes: con con el el eje eje X : Y : y ) Simetrís: PAR (respecto l IMPAR (respecto eje Y) f() f( ) Dom(f) l origen) f() f( ) Dom(f) ) Periodicidd: T es el período de f() si se cumple f() f(+t) pr culquier, siendo T el menor nº rel que cumpl est condición. Ejemplo: f() sen es periódic de período π (T π ) 5) Monotoní: f ()> f() es estrictmente creciente en f ()<, f() es estrictmente decreciente en 6) Etremos: MÁXIMOS : MÍNIMOS : Dom(f) / f' () Dom(f) / f' () y y f' ' () f' '() < > 7) Curvtur y puntos de infleión: 8) Asíntots: CONCAVIDAD : Dom(f) / f' ' () > CONVEXIDAD : Dom(f) / f' ' () < PUNTOS DE INFLEXIÓN : Dom(f) / f' ' () y f' ' '() HORIZONTALES : VERTICALES : OBLICUAS : y b siendo y m + n lim f() b ± siendo lim f() ± siendo m lim f() n lim f() [ m] 9) Representción gráfic: Se dibujn previmente ls síntots y se mrcn los puntos destcdos: de corte, etremos y de infleión. Por último, se entrecruzn los cudros del crecimiento y l curvtur y se estblece el comportmiento de l función en cd zon. Vemos un ejemplo de un representción gráfic complet: 95

196 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: Representr l función: f() ) Dominio: Función rcionl, denomindor igul cero Dom(f) R ) Puntos de corte: { } Si Si y f() (,) (,) ) Simetrís: ( ) f( ) f() no pr f( ) f() no impr No present simetrís + ) Periodicidd: No present por ser un función rcionl 5) Monotoní: Estudimos el signo de f f ' () ( - ) ( ) ( ) ( ) ( ) - / / f () f() luego l función f() es estrictmente creciente en (, ) (, ) y estrictmente decreciente en (,) (,) 6) Etremos: Los puntos, son los posibles etremos (tmbién podrín ser puntos de infleión). Pr determinrlo clculmos f Hllmos f y sustituimos los puntos obtenidos: 96

197 Colegio Vizcy Mtemátics II f () ( )( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) [ + + ] ( ) f () < luego el punto es un máimo de f() f () > luego el punto es un mínimo de f() Hllmos ls imágenes de los puntos: Si Si f() f() (,) es máimo reltivo (,) es mínimo reltivo Por tnto, (,) es un máimo y (,) es un mínimo de f() 7) Curvtur y puntos de infleión: Estudimos el signo de f f () imposible, luego sólo se incluye en el ( ) cudro. f () - + f() luego f() es cóncv en (, ) y es conve en (-, ) No tiene puntos de infleión pues no pertenece l dominio. 8) Asíntots ) Horizontles: lim + lim - f() no tiene síntots horizontles, pues el resultdo deberí ser un nº rel. b) Verticles: Lim f() Lim f() es un síntot verticl. Lim f() - c) Oblicu: rect de l form ym+n siendo: 97

198 Colegio Vizcy Mtemátics II m lim n lim f() lim + - [ f() - m] lim lim lim y + es un síntot oblicu. 9) Pr dibujr l función se trzn ls síntots, se mrcn los puntos destcdos y se entremezcln los cudros del crecimiento y l curvtur. Actividdes. Represent gráficmente ls siguientes funciones: b) f() + c) f() + d) f() g) f() e 98

199 Colegio Vizcy Mtemátics II APLICACIONES DE LAS DERIVADAS: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II. Estudi l monotoní y los etremos de ls siguientes funciones: ) f() -+ b) f() c) f() e d) f() +. Estudi l curvtur y los puntos de infleión de ls funciones del ejercicio nterior.. Represent gráficmente ls siguientes funciones: ) f() b) f() + c) f() d) f() Ln e) f() + (curv de Agnesi) f) f() e. L rect y +6 es un síntot oblicu de un función f() + k Hll el vlor de k y represent gráficmente l función pr ese vlor. 5. Hll el vlor de y b pr que l función f() + b teng un punto de infleión en (-,-). 6. Dd l función f() +b+ 8, clcul el vlor de y b pr que l gráfic de f pse por el punto (-,-6) y teng, en ese punto, tngente horizontl. 7. L curv y + + b + c cort l eje de bsciss en el punto - y tiene un punto de infleión en (,). Clcul, b y c. 8. Clcul el vlor de, b, c y d en l función f() + b + c + d sbiendo que tiene un mínimo en el punto (,-) y un punto de infleión en,. 9. Determin l prábol y +b+c, sbiendo que ps por el punto (5,-) y es tngente l rect y - en el punto (,).. En l función f() + b + c, hll, b y c pr que l función teng un máimo reltivo en y un punto de infleión en (,). 99

200 Colegio Vizcy Mtemátics II. Hll y b pr que l función f() Ln +b + teng etremos en los puntos y. Determin si son máimos o mínimos.. Dd l función f() + + b + 5, hll y b pr que l función teng en un punto de infleión con tngente horizontl. e. Hll el vlor de k que hce que l función f() + k reltivo único. Se trt de un máimo o de un mínimo? teng un etremo. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro cm., cuál es el de áre máim? 5. Un hoj de ppel debe contener 8 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener cm. cd uno, y los lterles, cm. Hll ls dimensiones de l hoj pr que el gsto de ppel se mínimo. 6. Pr construir un cj sin tp cortmos de un crtón cudrdo de cm. de ldo, un cudrdo en cd esquin. Clcul el ldo del cudrdo que se debe cortr pr que el volumen de l cj se máimo. 7. De todos los rectángulos de áre dm, hll ls dimensiones del que teng l digonl mínim. 8. Un triángulo isósceles tiene el ldo desigul de m. y l ltur reltiv ese ldo de 5 m. Encuentr un punto sobre l ltur tl que l sum de distncis los tres vértices se mínim 9. Se un segmento de longitud cm. que se divide en dos prtes que vn servir de bse dos rectángulos. En uno de ellos l ltur es doble de l bse y en el otro l ltur es triple de l bse. Hllr el punto de división del segmento pr que l sum de ls áres de los rectángulos se mínim.. Se consider un ventn rectngulr remtd en l prte superior por un triángulo equilátero. Sbiendo que el perímetro de l ventn es 6 m, hllr sus dimensiones pr que su superficie se máim.. Se dese construir botes de form cilíndric de l. de cpcidd. Clcul sus dimensiones pr que el gsto de mteril se mínimo.. Divide un segmento de 6 cm. de longitud en dos prtes de mner que se mínim l sum de ls áres de los triángulos equiláteros construidos sobre ells.

201 Colegio Vizcy Mtemátics II PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. (JULIO 7) Un trozo de lmbre de longitud se divide en dos trozos. Con el primero se form un rectángulo cuy bse es el doble de su ltur y con el segundo trozo se form un cudrdo. Encontrr ls longitudes de dichos trozos pr que se mínim l sum del áre del rectángulo y l del cudrdo.. (JUNIO 7) Se h l función definid por h() - Encontrr ls síntots, los intervlos de crecimiento y decrecimiento y los etremos de h. Dibujr un esquem de l gráfic de h. 5. (JULIO 6) Se quiere poner mrco un ventn rectngulr cuy superficie es de 8 metros cudrdos. Los mrcos verticles cuestn el metro y los horizontles 5 el metro. Hllr ls dimensiones de l ventn pr que el mrco cueste lo menos posible. 6. (JULIO 6) Estudir ls síntots y los máimos y mínimos de l función f() 7. (JUNIO 6) Se f() + e. Clculr l ecución de l rect tngente f en un punto pr el cul dich rect tngente se prlel l rect que ps por los puntos (,) y (,). 8. (JULIO 5) Estudir los intervlos de crecimiento y decrecimiento de l función f() e. 9. (JUNIO 5) Pr cd h se consider l función f() + h Hllr los puntos en los que f lcnz sus vlores máimos y mínimos. Encontrr h pr que el vlor de f en el mínimo locl hlldo ntes, se.. (JUNIO 6) Representr l función dd por f() estudindo previmente su dominio de definición y sus máimos y mínimos locles. Tiene f síntots oblicus? Rzonr l contestción en cso negtivo y clculr en cso firmtivo.. (JULIO ) Se consider l función f(). Describir el dominio de definición, los intervlos de crecimiento y decrecimiento y los etremos de f. Trzr un esquem de su gráfic.. (JUNIO ) Del polinomio P() + A + B se sbe que su rect tngente en el punto es prlel l rect y7- y, tmbién se sbe, que tiene un punto etremo en -. Con estos dtos hllr A y B y rzonr si con dichos vlores, p() tiene lgún otro etremo demás del correspondiente l punto X -.

202 Colegio Vizcy Mtemátics II. (JULIO ) Qué signific que l rect y +b se un síntot oblicu pr l función f()? + c Encontrr l síntot oblicu pr l función f() en función del + 5 vlor de c.. (JULIO ) Se l función f() + + b + c. Encontrr los vlores de, b y c pr los cules f teng sus etremos en los puntos y y de form que el punto P(,6) pertenezc l gráfic de f. 5. (JUNIO ) Se f l función definid por f() e e + Estudir los intervlos de crecimiento y decrecimiento de f y sus síntots. Tiene lgún máimo o mínimo? 6. (JULIO ) Estudir los intervlos de crecimiento y decrecimiento, los etremos locles y ls síntots de f() e. Trzr su gráfic. 7. (JUNIO ) Se f l función definid por f(). Encontrr el + dominio de definición de f, sus intervlos de crecimiento y decrecimiento y sus síntots. Tiene f lgún tipo de máimo o mínimo? 8. (JUNIO ) De un función f se sbe que es derivble en todos los puntos de l rect rel. Además se sbe que f() y que f '()-. Se definen dos nuevs funciones g() e y h() f(e ) Hy dtos suficientes pr hllr g '()? Y pr hllr f '()? En cso firmtivo relizr dicho cálculo y en cso negtivo eplicr por qué no es posible. 9. (JUNIO ) Estudir el dominio de definición, los intervlos de crecimiento y decrecimiento, los etremos locles y ls síntots de l + función f() ( + )( ). (JUNIO ) Se define l función f() medinte l fórmul f() 6 e. Estudir los máimos y mínimos locles de f(). Tiene lgún tipo de síntot l función f()?. (JULIO ) Un ventn está formd por un prte rectngulr sobre l que se poy en l prte superior un semicírculo. Si l ventn tiene un perímetro totl de m., cuáles son ls dimensiones de l ventn que permiten myor entrd de luz?. (JUNIO ) Determinr los coeficientes de l curv y + A + B + C pr que se tngente l rect y - en el punto (,) y pr que teng un etremo locl en el punto.

203 UNIDAD DIDÁCTICA TEOREMAS DE FUNCIONES DERIVABLES º BACHILLER

204 Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Conocer el enuncido, l demostrción y l interpretción geométric de los teorems de funciones derivbles: teorem de Rolle, teorem del vlor medio de Lgrnge y teorem de Cuchy.. Asegurr l eistenci de soluciones en l ecuciones, sí como su número, plicndo lgunos teorems de derivbilidd.. Resolver límites plicndo l regl de L Hôpitl. CONCEPTOS. Teorem de Rolle. Teorem del vlor medio de Lgrnge. Consecuencis del teorem del vlor medio. Teorem de Cuchy 5. Regl de L Hôpitl

205 Colegio Vizcy Mtemátics II TEOREMAS DE FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE ROLLE Dd un función f() que verific: ) es continu en el intervlo [,b] ) es derivble en (,b) ) f() f(b) Entonces eiste, l menos, un punto c (,b) tl que f (c). El teorem segur, que si un función es continu y derivble (es decir, no tiene interrupciones ni picos ) en un intervlo donde los etremos tienen l mism imgen, entonces, l menos en un punto de dicho intervlo, l tngente debe ser horizontl. Observ que si fll lgun de ls tres hipótesis, el teorem no tiene por qué cumplirse pero puede hcerlo, y que Rolle sólo segur que si se cumplen ls tres condiciones, es seguro que eiste lgún punto de derivd, pero no ecluye que tmbién eist en otrs condiciones. Simplemente no se podrí segurr. ) No es continu en [,b]: f()f(b) b c b No hy un punto c / f (c) Hy un punto c / f (c) 5

206 Colegio Vizcy Mtemátics II ) No es derivble en (,b): b c b No hy un punto c / f (c) Hy un punto c / f (c) ) f() f(b) b c b No hy un punto c / f (c) Hy un punto c / f (c) A continución vmos demostrr el teorem. Demostrción: Aplicmos en primer lugr el teorem de Weierstrss. Ddo que f es continu en [,b], podemos segurr que lcnz en dicho intervlo un vlor máimo M y un vlor mínimo m. Podemos distinguir dos csos: ) El máimo y el mínimo están en los etremos, uno en y otro en b. Como f() f(b), mbos coinciden luego l función es constnte en todo el intervlo y l derivd es, no sólo en un punto, sino en todos. b b) El máimo y/o el mínimo se lcnz en un punto c distinto de los etremos. Como f es derivble en c, necesrimente f (c). b b b 6

207 Colegio Vizcy Mtemátics II Los teorems de Rolle y Bolzno pueden plicrse conjuntmente pr determinr el número de ríces o soluciones de un ecución si pensmos lo siguiente: El teorem de Rolle segur que si f es continu en [,b] y derivble en (,b), entre cd dos ríces de f (puntos de corte con el eje X, es decir, f()f(b)), tiene que hber un ríz de f, pues l ser f() y f(b) igules, tiene que hber un punto c tl que f (c). c b Eso signific que si f tiene n ríces, f tendrá lo sumo n+ ríces (p.e. si f tuvier ríces, f no podrí tener, pues entre cd dos de f hbrí un de f y eso obligrí f tener ) El teorem de Bolzno permitirí loclizr dichs ríces con l proimción que se desee. Ejemplo: Demostrr que l ecución +6+ sólo puede tener un ríz rel. Supongmos l función f() +6+. Como f () +6 no tiene ni.gun ríz por ser +6, entonces f() tendrá lo sumo un y que, por ser polinómic, es continu y derivble en todos los re!les y, si tuvier dos ríces f()f(b), por el teorem de Rolle deberí eistir un punto c tl que f (c)$ lo que supojdrí que f deberí tener un rír. Pr loclizr dich ríz recurrimos l teorem de Bolzno. Buscmos un intervlo cuyos etremos tengn imágenes de distinto signo. f() > f(-)-< f() es continu en [-,] Por tnto en el intervlo (-,) eiste un punto c tl que f(c) que es l únic solución rel de l ecución. Podemos proimrl tnto como quermos reduciendo l mplitud del intervlo. Actividdes. Clcul y b pr que l función f() verifique ls hipótesis del teorem de Rolle en el intervlo [-,]. Hll el vlor o vlores de c cuy eistenci firm el teorem. + b > f() +. Comprueb si l función f() - verific ls hipótesis del teorem de Rolle en el intervlo [,]. 7

208 Colegio Vizcy Mtemátics II. TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DE LAGRANGE Dd un función f() que verific: ) es continu en el intervlo [,b] ) es derivble en (,b) Entonces eiste, l menos, un punto c (,b) tl que f (c) f(b) f(). b f(b) f() Como es l pendiente de l rect que une los etremos (,f()) y b (b,f(b)), deducimos que el teorem segur l eistenci de un punto (l menos), del interior del intervlo, cuy tngente es prlel l cuerd que une los etremos, siempre que f se continu en [,b] y derivble en (,b). Si girármos los ejes hst que f() fuer igul que f(b), estrímos nte el teorem de Rolle. Demostrción: Pr demostrr el teorem nos yudremos de l siguiente función: F() [b-]f() [f(b)-f()] (Observ que en relidd, b- y f(b) f() son constntes, luego F() tiene l form F() k f() k ) Comprobmos que verific ls hipótesis del teorem de Rolle: ) F() es continu en [,b] por ser sum (rest) de funciones continus ) F() es derivble en (,b) por ser sum (rest) de funciones derivbles ) F() [b-]f() [f(b)-f()] bf() f() f(b) + f() bf()-f(b) F(b) [b-]f(b) [f(b)-f()]b bf(b) - f(b) bf(b) + bf() bf()-f(b) Luego F() F(b) Por tnto, podemos segurr que eiste, l menos, un punto c (,b) / F (c) 8

209 Colegio Vizcy Mtemátics II Como F () [b-] f () [f(b) f()], entonces F (c) [b-] f (c) - [f(b) f()] (b-) f (c) f(b) f() f (c) f(b) b f() c.q.d. Actividdes. Clcul y b pr que l función f() verifique ls hipótesis del teorem del vlor medio en el intervlo [,6] y clcul el punto o puntos en que se cumple dicho teorem. < f() + b. Determin el punto en el que l rect tngente l curv f() -8+6 es prlel l cuerd que une los etremos de l función en dicho intervlo.. TEOREMA DE CAUCHY Sen dos funciones f() y g() que verificn: ) son continus en [,b] ) son derivbles en (,b) ) g () (,b) (lo que supone g() g(b)) Entonces se puede segurr que eiste, l menos, un punto c (,b) tl que: f' (c ) f(b) f() g' (c ) g(b) g() **Observ que el teorem de Lgrnge es un cso prticulr del de Cuchy cundo g(). f' (c) **L tercer hipótesis g () permite que el cociente eist siempre l g' (c) ser distinto de el denomindor. Igulmente, eistirá siempre el cociente f(b) f(), pues si g (), se deduce necesrimente que g() g(b) y que, por g(b) g() reducción l bsurdo, si fuern igules, l ser g() continu y derivble, podrí plicrse el teorem de Rolle y se deducirí que eiste un punto c del intervlo tl que g (c), lo que contrdice l hipótesis. 9

210 Colegio Vizcy Mtemátics II Demostrción: Pr demostrr el teorem nos yudremos de l siguiente función: F() [g(b)-g()]f() [f(b)-f()]g() (Observ que en relidd, g(b)-g() y f(b) f() son constntes, luego F() tiene l form F() k f() k g() ) Comprobmos que verific ls hipótesis del teorem de Rolle: ) F() es continu en [,b] por ser sum (rest) de funciones continus ) F() es derivble en (,b) por ser sum (rest) de funciones derivbles ) F() [g(b)-g()]f() [f(b)-f()]g()g(b)f() g()f() g()f(b)+g()f() g(b)f()-g()f(b) F(b) [g(b)-g()]f(b) [f(b)-f()]g(b) g(b)f(b)-g()f(b) g(b)f(b)+g(b)f() g(b)f()-g()f(b) luego F() F(b) Por tnto, podemos segurr que eiste, l menos, un punto c (,b) / F (c) Como F () [g(b)-g()] f () [f(b) f()]g (), entonces F (c) g(b)-g()]f (c) - [f(b) f()]g (c) [g(b)-g()]f (c) [f(b) f()]g (c) f' (c) g' (c) f(b) g(b) f() g() c.q.d. Actividd 5. Estudi si es posible plicr el teorem de Cuchy ls funciones f() y g()+ en el intervlo [,] y hll, si es posible, el punto cuy eistenci firm el teorem.. REGLA DE L HÔPITAL Sen dos funciones f() y g() que verificn: ) son continus y derivbles en un entorne de un punto (-r, +r) ) lim f ( ) lim g( ) ) g () del entorno de entonces, si eiste decir: lim f' (), tmbién eiste g' ( ) f () lim g( ) lim f' () g' ( ) f () lim g( ) y son igules, es Est regl nos permitirá mplir el cálculo de límites.

211 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: ) lim sen indeterminción, podemos plicr l regl de L Hôpitl: lim sen lim cos ) ( )e lim e + ( ) e lim + L Hôpitl L Hôpitl e lim e + ( )e + Observ que l regl de L Hôpitl puede ser utilizd tnts veces como se necesrio pr resolver l indeterminción. L regl de L Hôpitl puede tmbién utilizrse en el cso de ls indeterminciones de l form, y con lguns modificciones de l función, tmbién en ls de l form,, Vemos lgunos ejemplos: y. ) e lim e e indet. lim lim L Hôpitl Sbímos en uniddes nteriores que lim l ser del mismo grdo mbos polinomios. Vemos que l regl de L Hôpitl lógicmente confirm ese resultdo. ) lim lim 6 lim 6 L Hôpitl π ) lim tg + indeterminción. Si trnsformmos el producto en un cociente podremos plicr l regl de L Hôpitl. π lim tg + lim π π π sen + sen + + cos + + lim - π π cos + - sen + L Hôpitl

212 Colegio Vizcy Mtemátics II En el cso de ls indeterminciones, y, podemos utilizr l regl de L Hôpitl si trnsformmos dichs indeterminciones en lgun del tipo ó, relizndo ls operciones convenientes en l función. Sbemos que ls propieddes de los logritmos nos permiten bjr el eponente, por eso, es conveniente estblecer un iguldd llmndo y l límite, pr etrer logritmos en mbos miembros. Ejemplo: lim(cos ) indeterminción. Llmmos y l límite: y lim(cos ) Lny Ln lim (cos ) lim Ln(cos ) lim Ln(cos) Por ser logritmo un función continu, se puede intercmbir con el límite y que debe cumplirse f() lim f(), es decir, Ln() lim Ln Ln( lim ) lim Ln Ln(cos ) lim sen Ln lim cos sen lim cos L Hôpitl Por tnto Lny, de donde se deduce que y e Luego lim(cos ) Actividdes 6. Clcul los siguientes límites: ) b) e lim cos Ln(e + ) lim f) lim (Ln) e g) lim( )

213 Colegio Vizcy Mtemátics II TEOREMAS DE FUNCIONES DERIVABLES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II. Comprueb que l función f() cos verific ls hipótesis del teorem de π π Rolle en el intervlo,, y hll el punto en el que se cumple dicho teorem.. Dd l función f() - -, demuestr que f() f() pero f () es distint de en todos los puntos. Se contrdice el teorem de Rolle?. Demuestr que l ecución 7 + m no puede tener más de un solución en el intervlo (-,) culquier que se el vlor de m.. Clcul los siguientes límites: ) c) e) sen e e lim o cos sen lim rctg lim sen b) lim ( + ) d) f) lim tg lim( sen) cot g PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 5. (JULIO 7) Se f() + y se I el intervlo I[,]. Enuncir el teorem del vlor medio y plicrlo l función f en el intervlo I, hllndo el punto de dicho intervlo pr el cul se verific el resultdo del teorem. 6. (JULIO 5) Enuncir el teorem de Rolle. Ddo el intervlo I [,5] y dd l función f() A, encontrr el vlor de A pr que se pued plicr el teorem de Rolle en el intervlo I y plicr el teorem en ese cso.

214 Colegio Vizcy Mtemátics II + + b si < 7. (JUNIO ) Se l función f() Eisten si vlores de y b pr los cules f stisfg ls hipótesis del teorem del vlor medio en el intervlo [,]? Rzonr l contestción y, en cso firmtivo, clculr dichos vlores. 8. (JULIO ) Enuncir el teorem del vlor medio y plicrlo l función f()e en los intervlos de l form I n [n, n+] donde se supone que n es un número nturl. 9. (JUNIO ) Se g() l función definid medinte ( + ) si [-,] g() ( - ) si (,] Pr qué vlores de puede plicrse el teorem de Rolle l función g en el intervlo [-,]? Contestr rzondmente.. (SEPTIEMBRE 97) Clculr el siguiente límite: Ln( + ) + Ln( ) lim eplicndo y justificndo el procedimiento seguido pr hcer dicho cálculo.. (JUNIO 97) Enuncir el teorem del vlor medio. Aplicr dicho teorem l función f() + en el intervlo [-,].. (SEPTIEMBRE 96) Estudir el límite que sigue en función del prámetro A sen lim + A. (JUNIO 96) Un lumno llmdo Ángel tiene que clculr un límite. Pr ello cuent con l yud de su hermno gemelo Crlos y de su migo Borj. El sen límite es: lim. Borj le dice que debe plicr l regl de L Hôpitl se + A quien se A, mientrs que Crlos le dice que pr ciertos vlores de A no se puede plicr ese método. Quién está en lo cierto y por qué?

215 Colegio Vizcy Mtemátics II LÍMITES. sen lim tg +. lim( Ln ) tg. lim. e + lim 5e + 5 e 5. lim Ln( + ) ctg 6. lim( + ) e 7. lim( )Ln( ) 8. lim e 9. lim( ctgπ + senπ) e. + lim e. lim(sen) tg π. π lim tg tg π. lim(tg) π tg e. lim( ) tg π π cos cos 5. lim 6. lim ctg sen sen 7. lim cos sen5 sen 8. lim sen 8. cos lim 9. ctg lim ctg sen k π sen + tg. lim + sen +. lim. tg sen lim sen +. lim +. + lim lim + 5

216 Colegio Vizcy Mtemátics II 6

217 UNIDAD DIDÁCTICA INTEGRAL INDEFINIDA º BACHILLER

218 Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Conocer el concepto de primitiv y de integrl indefinid de un función.. Utilizr ls propieddes de l integrl pr clculr integrles indefinids, descomponiéndols en otrs más sencills.. Mnejr l tbl de ls integrles inmedits.. Resolver integrles rcionles con ríces reles simples o múltiples, o ríces complejs en el denomindor. 5. Resolver integrles indefinids por los métodos de sustitución y prtes CONCEPTOS. Primitiv de un función. Integrl indefinid: definición y propieddes. Integrles inmedits. Métodos de descomposición, cmbio de vrible y prtes 5. Integrles rcionles con ríces simples, múltiples o complejs en el denomindor. 8

219 Colegio Vizcy Mtemátics II INTEGRAL INDEFINIDA En uniddes nteriores, dd un función f(), hemos trtdo de encontrr su función derivd f '(). En est unidd trtremos de recorrer el cmino inverso, es decir, intentremos buscr l función F() cuy derivd es f(). derivr F() f() derivr f () Integrr Se entiende que derivr e integrr son procesos recíprocos. De l mism form que, dd l función, podemos hllr su derivd:, tmbién podemos conocer l función cuy derivd es :. Definición: Se dice que l función F() es un primitiv de f() si F () f(). Ejemplo: f() F() Ln f() cos F() sen f() F() Así como l derivd de cd función es únic, no ocurre lo mismo con l primitiv pues como l derivd de culquier constnte es, podemos encontrr infinits primitivs pr cd función. Ejemplo: Si f(), puede ser F(), F() +, F() -7 En generl culquier función de l form F() +C donde C R, será un primitiv de. Por tnto, si F() es un primitiv de f(), tmbién lo será culquier función de l form F() + C donde C represent culquier nº rel. Es lógico entonces, llmr integrl de un función ( íntegro, entero ), l conjunto de tods sus primitivs.. DEFINICIÓN: Llmmos integrl indefinid de l función f() y lo representmos f () d, l conjunto de tods sus primitivs, es decir: f () d { F() + C / F' () f(), C R} ** Not: d se lee diferencil de e indic respecto qué vrible se reliz l integrción. Actú como un multiplicdor ** 9

220 Colegio Vizcy Mtemátics II (*) L diferencil de un función en un punto es igul l producto de su derivd por el incremento de l vrible independiente, es decir, df f () Δ. En el cso prticulr de l función f() se cumplirí: d Δ d Δ Por lo que sustituyendo: df f () d Ejemplos: d + C, dt t + C, d + C, dt t + C, dz z + C Ejemplos: ) 5 d 5 + C b) e d e + C c) send - cos + C d) d + C. PROPIEDADES. f()d f() (integrr y derivr son procesos recíprocos) f ± d f () d ± g () d (l integrl de l sum/rest es l sum/rest de ls integrles). ( () g() ). k f() d f () d k (l integrl de un constnte por un función es l constnte por l integrl de l función) Se observ que dichs propieddes tmbién se cumplen en l derivción ddo que integrr es recíproco. Se deduce entonces que, igulmente, l integrl del producto/cociente no podrá ser el producto/cociente de ls integrles. Ejemplos: ) ( sen + ) d +cos+ln +C b) 5 d 5 d 5 +C

221 Colegio Vizcy Mtemátics II. INTEGRALES INMEDIATAS Se deducen directmente de ls regls de derivción. FUNCIONES SIMPLES FUNCIONES COMPUESTAS d C d + C kd k + C d n n + n + + f + C siendo n f f d + C + siendo - d f Ln + C d Ln f + C f d f f + C f d + C Ln Ln send - cos + C senf f d - cosf + C cos d sen + C cos f f d senf + C f d tg + C d tgf + C cos cos f f d - cotg + C d - cotgf + C sen sen f d rcsen + C - rccos + C f d rcsenf + C f + f d rctg + C d rctgf + C + f

222 Colegio Vizcy Mtemátics II Actividdes. d. d. d 5. d 5. ( + ) d 6. ( + ) d 7. cos d 8. d 5 9. d +. d 6. ( e + sen) d. + d

223 Colegio Vizcy Mtemátics II. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE Consiste en trnsformr, trvés de un cmbio en l vrible, un función compuest en otr función simple, pr poder plicr ls regls de ls integrles inmedits. Ejemplos: ) sen d dt sent sent dt - cos t - cos + C t d dt dt d b) d Ln dt t t dt t Ln Ln + C Ln Ln t d dt d dt c) d + t dt t t dt t dt t + +C + t d t dt t d dt Actividdes. sen( + ) d. d Ln cos. d. cos sen d 5. d

224 Colegio Vizcy Mtemátics II. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES Este método es útil cundo de trt de integrr un producto no relizble de funciones, es decir, productos de funciones trigonométrics, logrítmics, eponenciles Ln d, sen d, e cos d (Si ls funciones se pueden multiplicr entre sí ntes de hcer l integrl, es conveniente hcerlo) Ddo que l derivd de un producto de funciones no es el producto de ls derivds, tmpoco l integrl del producto será el producto de ls integrles. Pr clculr l integrl de un producto nos bsremos en l fórmul de l derivd del producto. Dds dos funciones u() y v() sbemos que se cumple: (u v) u () v() + u() v () si integrmos mbos miembros obtenemos: ( u v)' ()d u' () v() d + u() v' () d de donde: (u v)() u ' () v() d + u () v' () d Sbiendo que cd función u() tiene un función derivd u () y un diferencil du u () d tenemos: (u v)() v () du + u () dv y despejndo obtenemos: u () dv (u v)() - v() du o simplificndo l escritur: u dv u v - v du

225 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: ) sen d (-cos)- cos d - cos+ cos d - cos+sen+c u dv send du d v send -cos Puede que se necesrio reiterr el método de integrción más de un vez. ) cos d sen - sen d sen - ( cos + sen) u du d ejemplo nterior dv cosd v cos d sen sen + cos sen + C ) e sen d - e cos + e cos d - e cos + e sen - e sen d u e du e d u e du e d dv send v -cos dv cosd v sen e sen d + e sen d - e cos + e sen e sen d - e cos + e e cos + e sen sen e sen d + C Este método se emple tmbién en el cso de que un de ls funciones se l unidd: Clcul ls siguientes integrles: Ln d rcsen d rctg d Si l integrl relizr v du es más complicd que l inicil, se puede probr intercmbir l elección de u y v. Si tmpoco se consigue sí simplificr el integrndo, hbrí que concluir que este método no es el decudo pr resolver dich integrl. 5

226 Colegio Vizcy Mtemátics II Actividdes. ( + ) e d. cos d. d. Ln d. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES P() En este prtdo resolveremos únicmente integrles del tipo d, Q() donde P() y Q() son polinomios. Dividiremos el estudio en los siguientes csos: A) El numerdor P() es de grdo menor que el denomindor Q() A) El denomindor Q() tiene ríces reles y distints A) El denomindor Q() tiene ríces reles y repetids (múltiples) A) El denomindor Q() tiene ríces complejs B) El numerdor P() es de grdo myor o igul que el denomindor Q() Anlizremos hor cd uno de ellos trvés de diversos ejemplos. A) Grdo P() < Grdo Q() Previmente nlizremos el cso más simple: numerdor de grdo y denomindor de grdo. m d m d + b + b m m d Ln + b +C + b Observ que el numerdor es csi l derivd del denomindor. Podemos justr ls constntes. Ejemplos: ) d Ln + +C b) d 5 d d + + Ln + +C + 6

227 Colegio Vizcy Mtemátics II *** Recuerd que siempre que el numerdor se l derivd del denomindor slvo constntes (que se pueden justr), el resultdo de l integrl será logritmo neperino del denomindor, es decir, f '() f() d Lnf() +C *** Ejemplos: ) d Ln -- + C sen b) tg d d - Ln cos +C cos 6 + ( + ) c) d d Ln + + +C + Utilizremos ests conclusiones pr bordr integrles más complicds. Prece conveniente fctorizr el denomindor pr descomponer el cociente en sum de cocientes más simples. A) El denomindor Q() tiene ríces reles y distints. Ejemplo: d A B + d + d + + d - -Ln + +Ln - +C A( ) + B( + ) A(-)+B(+) si si - + B -A + B A - Como hs podido ver, se trt de descomponer un frcción lgebric en l sum de dos más sencills cuy integrl es inmedit. Se hn tenido que justr los numerdores pr que l sum coincid con l función inicil. Actividdes 7 6 ) d + b) d 7

228 Colegio Vizcy Mtemátics II A) El denomindor Q() tiene ríces reles múltiples (repetids). Ejemplo: + ( ) d A B C d ( ) ( ) + + Observ que no podemos poner el mismo denomindor - en los tres sumndos como en el cso nterior, pues serín grupbles en uno solo. Además, es necesrio que el denomindor (-) se común en los dos miembros. + ( ) A( ) + B( ) + C ( ) Si C Si A(-) +B(-)+C A B + C A B - Si A + B + C A + B + A + B A A B -A d + ( ) ( ) d dt t + dt t t dt + t dt t t + - t d dt ( ) + C Actividd Reliz ls siguientes integrles que mezcln ríces simples y múltiples: 6 + d + d + 8

229 Colegio Vizcy Mtemátics II A) El denomindor Q() tiene ríces complejs (fctores de º grdo Irreducibles) Hremos el estudio empezndo por los csos más simples y umentndo progresivmente l complejidd. Comenzremos por fctores en el denomindor que no tengn término en e iremos completndo el numerdor sucesivmente trvés de ejemplos. Prtiremos de l fórmul de l derivd de l función rco tngente: f'() f () (rctgf()) d rctgf() + C + f () + f () Intentremos justr este formto l función integrr, pr llegr un integrl del tipo rco tngente. ) d + + Dividimos entre l frcción d + d + Ajustmos l constnte del pr dptrl l form +f numerdor pr dptrlo f ( ) d rctg +C 5 ) d d Ln + + C + Recuerd que es importnte descrtr primero que el numerdor se l derivd del denomindor (slvo constntes), pues en ese cso, l integrl es inmedit. Es lógico pensr que si el numerdor es un polinomio de grdo de l form +b, seprndo el cociente en dos sumndos tendremos dos integrles: un del tipo rco tngente y otr del tipo logritmo neperino. Vemos un ejemplo: + ) d + d + d d + + Ln + + d Ln Ln + + rctg + C d Aumentndo l complejidd, supongmos hor que el denomindor es un polinomio completo de grdo : L estrtegi consiste en trnsformr el polinomio completo en otro incompleto sin término en, pr poder plicr lgun de ls técnics nteriores. 9

230 Colegio Vizcy Mtemátics II + 5 ) d d + 9 ( ) (t + ) + 5 dt t + 9 t + 9 dt t + 9 El denomindor tiene ríces complejs: ± t d dt t 9 dt + dt Ln t +9 + dt t 9 9 t + 9 Ln t +9 + dt Ln t + ( t ) +9 + dt + ( t ) Ln (-) t +9 + rctg Ln -+ + rctg + C + t + Por último, si el denomindor tiene ríces reles y complejs simultánemente, A se descompone el cociente en sumndos de l form pr los fctores A + B simples y pr los fctores cudráticos. + b + c 5) d d + + ( + + ) A B + C + d + + ( + + ) A( + + ) + (B + C) ( + + ) A( + + ) + (B + C) A A+B+C B+C - 7A+B+C B+C -6 B - B - C - d + d + + Ln + ( + ) + t + d Ln + dt t + + t d dt t Ln + dt + dt t + t + t Ln - dt - dt t + t + Ln - Ln t + - dt t +

231 Colegio Vizcy Mtemátics II Ln - Ln t + - Ln - Ln ( t ) + rctg dt + C Actividdes d ) + ) d + + ) d + B) Grdo P() Grdo Q() En este cso es posible relizr l división entre mbos polinomios obteniéndose en cd cso el correspondiente cociente y resto. P(), Q() P() Q() Sbemos que se cumple: P() Q() C() + R() C() R() Dividimos l iguldd entre Q(): P() Q() Q() C() Q() + R() Q() Si integrmos hor mbos miembros obtenemos: P() Q() d C ()d R() + d Q() lo que permitirá relizr l integrl inicil como sum de dos integrles: un de ells inmedit por ser C() un polinomio y l otr de tipo A por ser necesrimente el grdo del resto R() menor que el del divisor Q().

232 Colegio Vizcy Mtemátics II Ejemplo: d ( + + ) d + d + + +Ln - +C Actividdes ) d + + ) d + 8 En generl, cundo se trt de integrles de funciones rcionles, y si el grdo del numerdor es menor que el del denomindor, se descompone en fctores el denomindor teniendo en cuent los siguientes csos: ) por cd ríz simple, precerá un sumndo de l form A ) por cd ríz múltiple b, precerán tntos sumndos como veces se repit l ríz, es decir si k es el orden de multiplicidd de l ríz l descomposición A A A A k será: b b b b ( ) ( ) ( ) k ) por cd fctor irreducible (ríces complejs) de segundo grdo +b+c A + B precerá un sumndo de l form: + b + c Si el grdo del numerdor es myor o igul que el del denomindor, se reliz l división de los polinomios pr trnsformr l integrl inicil en sum de dos integrles, un de ells polinómic (inmedit) y l otr de lguno de los csos nteriores.

233 Colegio Vizcy Mtemátics II INTEGRAL INDEFINIDA: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS II. Clcul l primitiv de l función f() + que cumpl F(-).. Clcul ls siguientes integrles: ) d 5 b) d c) d d) ( + ) d e) ( ) d f) send g) + + ( 5 ) d h) ( + ) d i) d j) ( + ) d k) ( ) d l) d + + m) d n) sen d ( + ) ñ) d 5 o) d + 5 p) d q) cos d r) e d. Clcul, por el método del cmbio de vrible, ls siguientes integrles: cos ) sen e d b) 5 sen d c) cos( + 5) d (rctg) d) d + 6 e) d 5 + f) d e d g) tg d h) Ln 5 i) d ( + ) d j) (Ln) k) sen cos d l) cos d sen 5 m) + d n) 6 ( 7) d ñ) + d

234 Colegio Vizcy Mtemátics II o) 7 5 d p) d. Clcul, por el método de integrción por prtes, ls siguientes integrles: ) d b) cos d c) sen d d) Ln d e) d g) rcsen d h) d Ln f) e sen d rctg i) ( + ) cos d j) ( + ) Ln( + ) d 5. Clcul ls siguientes integrles de funciones rcionles: ) d d) d 6 + g) d + b) d + e) d + 6 h) d ( ) c) d f) d d i) d j) k) d 5 l) d + 6. Clcul ls siguientes integrles: ) d b) ( 5 + 7) d c) (sen + e ) d d) d e) sen d f) d g) + d h) (e + ) d + + i) d + 5 j) e d k) sen d l) sen d m) ( - )d n) e d ñ) ( + ) e d

235 Colegio Vizcy Mtemátics II + 7 o) cos d p) cos d q) d + Ln r) d + t) ( + ) d s) d u) ( + ) d 5 sen + v) d w) d e ) d y) ( ) d z) d A) d + D) d d G) ( ) + 5 B) d + + E) d + H) e cose d 5 C ) d + + sen(ln) F) d PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 7. (JULIO 7) Clculr l primitiv que sigue + + d 8. (JUNIO 7) Clcul l siguiente integrl indefinid e ( + b + c) d en función de los prámetros,b y c. 9. (JULIO 6) Clculr l primitiv que sigue en función de y b. e + b d. (JUNIO 6) Clculr el vlor de l siguiente integrl definid: + d ( + ) 5

236 Colegio Vizcy Mtemátics II. (JULIO 5) Clculr l primitiv que sigue en función del prámetro A donde se supone A >. A + A d Eplic los psos seguidos pr dicho cálculo. d. (JUNIO 5) Clculr l primitiv que sigue Eplic los psos seguidos pr dicho cálculo.. (JULIO ) Clculr l primitiv que sigue en función del vlor de A + A d +. (JUNIO ) Describir en qué consiste el método de integrción por prtes pr el cálculo de primitivs. Aplicr dicho método pr clculr ls siguientes primitivs: e d Ln d 5. (JULIO ) Eplicr el proceso pr clculr l integrl que sigue + b + c d ( )( ) Aplicr dicho procedimiento l cálculo de + 5 d ( )( ) 6. (JULIO ) Describir en qué consiste el método de integrción por prtes. Utilizr dicho método pr encontrr un primitiv de l función f() cos 7. (JUNIO ) Cuándo se dice que un función P() es un primitiv de otr función f()? Encontrr un primitiv de ls siguientes funciones f() ( )( ) g() e 6

237 Colegio Vizcy Mtemátics II 8. (JULIO ) Hllr un primitiv de ls siguientes funciones f() cos g() + Utilizndo dichs primitivs hllr el vlor de ls siguientes integrles definids π d cos d + 9. (JUNIO ) Enuncir l fórmul de Brrow pr el cálculo de integrles definids. Aplicr dich fórmul pr clculr l siguiente integrl definid: d ( + )( + ). (JULIO ) Describir en qué consiste el método de integrción por prtes y plicrlo pr hllr l siguiente primitiv n ( + ) Ln d donde se supone que n es un número nturl.. (SEPTIEMBRE 999) Encontrr un primitiv de l función f() sen cuyo vlor pr π se. CUESTIONES. Hll l ecución de un curv que ps por el punto A(,-), sbiendo que l pendiente de l rect tngente dich curv en culquier punto viene dd por l función f() +.. Clcul l función F() que cumple F () 6+, F() y F().. Determin l función f() sbiendo que f () Ln, f () y f(e) e. 5. Clcul l epresión de un función f() tl que f () e y f(). 6. Se sbe que l gráfic de un función f ps por el punto (,) y que f (). Se conoce tmbién que l derivd segund es l función g(). Clcul rzondmente l función f. 7. Encontrr l función cuy derivd segund es l constnte, y cuy gráfic present un mínimo en el punto (,). 7

238 Colegio Vizcy Mtemátics II 8