Regla de Sarrus: Para recordar con mayor facilidad el desarrollo del determinante de orden 3, podemos usar esta regla:
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- José Francisco Camacho Miguélez
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1 UNIDD 8: Determinntes. DETERMINNTES DE ORDEN Y Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, por det( ) ó, l siguiente nº rel: det( ) = = = Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, not por det( ) ó, l siguiente nº rel: det( ) = = =, se define el determinnte de y se not, se define el determinnte de y se = (sin préntesis) Regl de Srrus: Pr recordr con myor fcilidd el desrrollo del determinnte de orden, podemos usr est regl: Ejemplo : Clculr los siguientes determinntes: ) ( ) () b) UNIDD 8: Determinntes
2 c) ( ) ( ) Ejemplo : Clculr el vlor de x en l siguiente iguldd con determinntes: x det x x (hcemos el determinnte por l regl de Srrus) x ( x ) x x x x x x x x. PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES : El determinnte de un mtriz cudrd es igul l determinnte de su mtriz trspuest t : Si los elementos de un fil o column de un mtriz se multiplicn por un nº, el determinnte de l mtriz qued multiplicdo por dicho nº. Esto tmbién nos permite extrer fctor común por fils o columns pr hcer un determinnte más simple. (metemos el en l Fil ) (metemos el en l column ) esos determinntes d el mismo resultdo, -) (culquier de Vemos un ejemplo de scr fctor: extrerlo) (l Column tiene como fctor común, podemos (demás l Fil tiene como fctor común, y lo extremos) ( 8 y plicmos Srrus) = OJO: Si tenemos un mtriz cudrd de orden n, y l multiplicmos por un nº k, entonces el determinnte n qued multiplicdo por k, pues k multiplic cd fil. Es decir, k k n : Si los elementos de un fil o column de un mtriz se pueden descomponer en dos sumndos, su determinnte es igul l sum de dos determinntes que tienen igules tods ls fils o columns excepto dich column o fil cuyos sumndos psn respectivmente cd uno de los determinntes. det( F,..., Fi Fi ',..., Fn ) det( F,..., Fi,..., Fn ) det( F,..., F ',..., F Ejemplo : i n ) ( 8) UNIDD 8: Determinntes
3 : El determinnte del producto de dos mtrices cudrds es igul l producto de los determinntes de mbs mtrices B B y de ello tmbién se tiene que Ejemplo : 8 = n : Si en un mtriz permutmos (cmbimos) dos fils entre si (o dos columns entre si), el determinnte cmbi de signo. det( F,..., Fi,..., Fj,..., Fn ) det( F,..., F Ejemplo : n,..., F,..., F j i n. Si cmbimos l column con l column, el determinnte cmbi de signo, veámoslo:. Sólo se puede hcer fils con fils o columns con columns, y si hcemos vris permutciones, si el número es pr, el determinnte no vrí, pero si el número es impr el determinnte cmbi de signo. : Si un determinnte tiene dos fils igules o proporcionles (o columns igules o proporcionles), entonces el determinnte vle. Ejemplo : = pues si nos dmos cuent l fil es veces l fil : F F. Si un fil o column es combinción linel de ls restntes fils o columns, entonces el determinnte vle Ejemplo : pues si nos dmos cuent C C C, es decir, l column es combinción linel de l column y de l column.ç 8: Si un fil o column se le sum un combinción linel de ls restntes fils o columns, el determinnte no vrí. Es decir, podemos sumr fils con fils o columns con columns, y el determinnte no vrí. Ejemplo 8: ) (vmos sumr l fil l fil, esto se denot por F F F ) = UNIDD 8: Determinntes
4 = -9 (hor en este determinnte l fil le restmos dos veces l fil, esto se denot F F F ) NOT: Un determinnte con tod un fil o column de ceros, su vlor es.. DESRROLLO DE UN DETERMINNTE POR DJUNTOS Definición: Dd un mtriz ij cudrd de orden n, se llm menor complementrio del elemento ij y se represent por ij, l determinnte de l mtriz que result de suprimir l fil i y l column j Ejemplo 9: En l mtriz, clculmos lgunos de sus 9 menores complementrios Definición: Dd un mtriz ij cudrd de orden n, se llm djunto del elemento ij y se represent por ij, producto del menor complementrio Es decir, i j ij = ij L mtriz cuyos elementos son los djuntos de un mtriz djunt de y se represent por dj () ij por el signo correspondiente l pridd de l sum cudrd de orden n, se llm mtriz ij i j. Ejemplo : Clculr l mtriz djunt de Clculmos los djuntos: Luego: dj () t Propiedd: Se tiene que dj ( ) dj( ) t Desrrollo de un determinnte por djuntos: El determinnte de un mtriz cudrd culquier es igul l sum de los productos de los elementos de un fil o column culquier por sus djuntos correspondientes. UNIDD 8: Determinntes
5 sí, si tenemos que clculr de sus fils o columns, por ejemplo:, podemos hcerlo por Srrus o bien desrrollndo por un Si desrrollmos por l fil : Si desrrollmos por l column : Este método se suele utilizr en combinción con l propiedd 8 del punto nterior pr hcer ceros en un determind fil o column y después proceder l desrrollo por djuntos respecto de dich fil o column. Este método se suele usr en determinntes de orden myor. Ejemplo : Dd l mtriz ) Por Srrus: 8 8 9, vmos clculr su determinnte de diferentes mners: b) Desrrollndo por l column (se puede hcer por l que quermos): ( ) Clculmos los djuntos: 9, ( ), Por tnto: ( 9) ( ) 9 c) Hciendo ceros: (hcemos F F F y F F F pr hcer ceros en l primer column) = (desrrollmos hor por l primer column, y como vemos sólo tenemos que clculr, pues los demás están multiplicdos por ) = = = -9 Este último determinnte de orden tmbién se podí hber hecho hciendo ceros De esto podemos concluir que: UNIDD 8: Determinntes
6 UNIDD 8: Determinntes - El determinnte de un mtriz tringulr o digonl es el producto es igul l producto de los elementos de l digonl principl - El determinnte de l mtriz unidd es - El deteminnte de l mtriz nul es. MTRIZ INVERS USNDO DETERMINNTES Recordemos que l mtriz invers de un mtriz cudrd es quell mtriz que verific: I Ls mtrices que tienen invers se llmn regulres Ls mtrices que no tienen invers se llmn singulres Propiedd: Un mtriz es regulr (es decir, tiene invers) si y sólo si Teorem: Dd un mtriz regulr, entonces su invers es: t dj o bien t dj Ejemplo : Clculr l mtriz invers de Clculmos el determinnte: 8 es regulr y por tnto plicmos culquier de ls dos fórmuls del teorem, por ejemplo l primer t dj Clculmos l mtriz djunt de (lo hcéis vosotros, es muy fácil) () dj. hor l trsponemos: ) ( t dj y por último multiplicmos por Comprobción: Efectumos (fácil de ver que es I) = Ejemplo : Clculr l mtriz invers de Clculmos el determinnte: 8 es regulr y por tnto Clculmos los djuntos:
7 L mtriz djunt nos qued: dj (). Clculmos l trspuest y l multiplicmos por, obteniendo que Propieddes de l invers: : Si existe : : B, ést es únic B :. RNGO DE UN MTRIZ POR DETERMINNTES Como y sbemos el rngo de un mtriz es el número de fils o columns linelmente independientes. Vemos como clculrlo con determinntes. Definición: Se llm menor de orden k de un mtriz de dimensión m n l determinnte de orden k formdo por los elementos que pertenecen k fils y k columns de l mtriz. Es decir, son los determinntes de culquier submtriz cudrd de Ejemplo : Dd l mtriz, tenemos que es de dimensión y por ello podemos tomr submtrices cudrds de orden y orden Menores de orden : Son los elementos de l mtriz,,,, y Menores de orden : Sólo hy menores de orden que son: Ojo l tomr los menores pues no podemos tomr letorimente los elementos del menor, este determinnte no es un menor pues no es un submtriz de UNIDD 8: Determinntes
8 UNIDD 8: Determinntes 8 Ejemplo : Se l mtriz que es cudrd de orden. Tiene menores de orden, de orden y de orden. Menores de orden : Son los 9 elementos de l mtriz Menores de orden : Hy 9 menores de orden, como,,,.. Menores de orden : Sólo hy uno y es el determinnte de l mtriz Propiedd: El rngo de un mtriz es el orden del myor menor no nulo Ejemplo : Se l mtriz que es cudrd de orden. Vmos clculr su rngo. Empezmos con los de myor orden, en este cso, el único es 8 8 El rngo es pues y no hy menores de myor orden tiene ls fils o ls columns linelmente independientes
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