UNIDAD DIDÁCTICA 3: Matrices y determinantes

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1 Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños UNIDAD DIDÁCTICA : trices y determinntes ÍNDICE ) Introducción ) Definición de mtriz ) Algunos tipos de mtrices ) Operciones de mtrices 5) Invers de un mtriz 6) Trspuest de un mtriz 7) Otros tipos de mtrices 8) Determinntes 9) Aplicciones del cálculo mtricil INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO En est unidd didáctic vmos introducir ls mtrices, los principles tipos de mtrices y ls operciones lgebrics con sus respectivs propieddes. Aunque los conceptos se introducirán pr mtrices de culquier tmño, sólo trbjremos con mtrices en ls que ni el número de fils ni el de columns excedn de tres. Tmbién introduciremos el cálculo de determinnte pr mtrices de tmño x y x. Finlmente, introduciremos dos plicciones del cálculo de mtrices. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Conocer lgunos tipos de mtrices. Conocer ls principles operciones con mtrices Conocer lguns plicciones del cálculo mtricil. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS. Introducción El concepto de mtriz lcnz múltiples plicciones tnto en l representción y mnipulción de dtos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriv de los modelos mtemáticos utilizdos pr resolver problems en diferentes disciplins como, por ejemplo, ls ciencis sociles, ls ingenierís, economí, físic, estdístic y ls diferentes rms de ls mtemátics entre ls que destcmos ls ecuciones diferenciles, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebr. Unidd : trices y determinntes Págin de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

2 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños. Definición de mtriz Se llm mtriz de orden m n todo conjunto rectngulr de elementos ij dispuestos en m línes horizontles (fils) y n verticles (columns) de l form: Abrevidmente suele expresrse en l form A =( ij ), con i =,,..., m, j =,,..., n. Los subíndices indicn l posición del elemento dentro de l mtriz, el primero denot l fil (i) y el segundo l column (j). Por ejemplo el elemento 5 será el elemento de l fil y column 5. 8 Por ejemplo: Se entonces el orden de es ( fils y 5 5 columns) y sus elementos son: m =8, m =, m =, m = 5, m =5, m =. Dos mtrices A=( ij ) y B=( b ij ), de orden n m, son igules si b ij = ij pr todo i=,,... n y j=,, m. Es decir, dos mtrices son igules si tienen l mism dimensión y los elementos que ocupn l mism posición en mbs mtrices coinciden.. Algunos tipos de mtrices triz Cudrd: Es quell que tiene igul número n de fils que de columns (n=m). En ese cso se dice que l mtriz es de orden n. Por ejemplo, l mtriz es cudrd de orden. Denotremos el conjunto de tods ls mtrices cudrds de orden n por n. Así, en el ejemplo nterior, A. Los elementos de l digonl principl de un mtriz cudrd son quellos que están situdos en l digonl que v desde l esquin superior izquierd hst l inferior A está compuest derech. En otrs plbrs, l digonl principl de un mtriz por los elementos ij nn. En el ejemplo nterior l digonl principl está. compuest por los elementos: Unidd : trices y determinntes Págin de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

3 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños triz Nul: Un mtriz es nul si todos sus elementos son igules cero. En el siguiente ejemplo se muestr l mtriz nul de orden. ás delnte veremos que l mtriz nul, respecto l dición y multiplicción de mtrices, jueg un ppel similr l número cero respecto l dición y multiplicción de números reles. triz Digonl: Un mtriz cudrd, ij A es digonl si pr i j. Es decir, si todos los elementos situdos fuer de l digonl principl son cero. Por ejemplo, l siguiente mtriz es digonl: ij triz Unidd o identidd: Es un mtriz digonl cuyos elementos de l digonl son todos. A continución mostrmos l mtriz unidd de orden. ás delnte veremos que l mtriz unidd, respecto l multiplicción de mtrices, jueg un ppel similr l número respecto l multiplicción de números reles. triz tringulr: Es un mtriz cudrd en l que todos los elementos situdos por debjo (o por encim) de l digonl principl son cero. Por ejemplo, l siguiente mtriz es tringulr: Este tipo de mtrices tmbién se conoce como mtriz esclond. En lgunos csos se hce l distinción entre ls mtrices tringulres superiores o inferiores en dependenci de los elementos nulos de l mtriz; los que están por debjo o por encim de l digonl principl. Unidd : trices y determinntes Págin de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

4 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños. Operciones de mtrices Adición de mtrices Sen A B S b ij,. L mtriz s ij B se denot, S=A+B si sus elementos cumplen: s es l sum de ls mtrices A b Ejemplo Consideremos ls siguientes mtrices: i,, m j,, ij ij ij, n ij y Ls mtrices A y B son de orden, mientrs l mtriz es cudrd de orden. Por tnto, no podemos clculr l sum de A y y tmpoco l sum de B y, en cmbio, sí podemos sumr A y B y que tienen el mismo orden. Esto es, Es fácil deducir ls siguientes propieddes de l dición de mtrices de orden : Conmuttiv: A B B A A, B Asocitiv: A B C ( A B) C A, B, C Elemento neutro (l mtriz nul) A O O A A Elemento opuesto A ( A) A ( A) ( A) A ultiplicción de un mtriz por un número Se denomin producto de un número por un mtriz A un mtriz C c ij cuyos elementos son de l form cij ij i,,, m j,,, n. Es decir, l mtriz producto, C, es l que se obtiene multiplicndo el número por cd uno de los elementos de A. De quí en delnte considerremos que es un número rel. Ejemplo Consideremos l mtriz A y el número -5 entonces, el producto de A por -5 es: El producto de un número por un mtriz stisfce ls siguientes propieddes: Unidd : trices y determinntes Págin de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

5 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños Distributiv mixt del producto respecto l sum de números reles Asocitiv mixt Elemento neutro ultiplicción de mtrices Se denomin mtriz producto de l mtriz A ij B b ij nxp un mtriz C c ij mxp n k por l mtriz cuyos elementos son de l form cij ikbkj i b j ib j inbnj Es decir, los elementos que ocupn l posición, ij en l mtriz producto, se obtienen sumndo los productos que resultn de multiplicr los elementos de l fil i en l primer mtriz por los elementos de l column k de l segund mtriz. Observemos en detlle como se obtiene el elemento de vlor en el siguiente ejemplo: c.... Dos mtrices se pueden multiplicr sólo cundo el número de column de l primer mtriz se igul l número de fils de l segund. En el nterior ejemplo podemos ver demás cuál es el orden de l mtriz producto. Nótese, demás, que no podemos clculr. BA Unidd : trices y determinntes Págin 5 de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

6 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños Hy csos, como veremos en el siguiente ejemplo, en los que se pueden clculr mbos productos unque se obtienen resultdos diferentes. Consideremos ls siguientes mtrices: Entonces, por un ldo, y por otro ldo, Según se pudo comprobr trvés de los ejemplos nteriores, pr l multiplicción de mtrices no se cumple l propiedd conmuttiv. Vemos lguns propieddes de est operción: Asocitiv Elemento neutro (Es l mtriz unidd) Distributiv (mixt) Otrs observciones importntes: existen divisores de cero, es decir, en generl, AB=O no implic que A=O o B=O. Por ejemplo, No se cumple l propiedd cnceltiv: en generl, AB=AC no implic C=B. Por ejemplo, A B No se cumple l fórmul del binomio: en generl, producto no es conmuttivo. A AB B y que el Unidd : trices y determinntes Págin 6 de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

7 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños 5. Invers de un mtriz Un mtriz cudrd A es invertible si existe un mtriz, que denotremos por, cumple A que donde I es l mtriz identidd. En ese cso se dice que Por ejemplo, l mtriz A es l invers de A. es invertible y su invers es y que 6. triz trspuest T L trspuest de un mtriz A ij es l mtriz es l mtriz A ji nxm que se obtiene prtir de l mtriz A l intercmbir ls fils por ls columns. L trspuest de Propieddes: Unidd : trices y determinntes Págin 7 de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

8 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños 7. Otros tipos de mtrices triz simétric: se dice que un mtriz es simétric si es igul su trspuest. Un ejemplo de mtriz simétric es el siguiente: Ls mtrices simétrics tienen ese nombre debido que presentn simetrí respecto l digonl principl. En otrs plbrs, un mtriz A ij es simétric si cumple que i,,, m j,, n. ij ji, triz ntisimétric: Es un mtriz igul l opuest de su trspuest. En otrs plbrs, L siguiente mtriz es ntisimétric: 9 A 9 triz ortogonl: Es quell cuy trspuest es igul su invers. Es decir, es quell que multiplicd por su trspuest d como resultdo l mtriz unidd. Esto es, Ls mtrices ortogonles de orden son de l form: donde y b son números reles tles que. Es evidente que est mtriz tmbién es ortogonl. triz idempotente: Es un mtriz igul su cudrdo. Es decir, L siguiente mtriz es idempotente: Unidd : trices y determinntes Págin 8 de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

9 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños triz nilpotente: Si A es un mtriz cudrd A k O pr lgún número nturl, k se dice que A es nilpotente. A continución mostrmos un mtriz nilpotente. 8. Determinntes A tod mtriz cudrd le podemos signr un número rel que denominremos determinnte Determinntes de orden Determinntes de orden Si A es un mtriz x, su determinnte (de orden ) vendrá ddo por: ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 = [ +(-) +6]=5-8=-68 L fórmul nterior pr el cálculo del determinnte de orden se conoce como Regl de Srrus Unidd : trices y determinntes Págin 9 de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

10 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Aplicciones del cálculo mtricil Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños trices input-output Ls mtrices input-output (entrd-slid) se plicn l considerr un modelo simplificdo de l economí de un pís en el que l ctividd de culquier empres puede considerrse en lgunos de los sectores básicos: l industri (I), l gricultur (A), el turismo (T) y los servicios (S). Ls empress comprn (inputs), trnsformn los productos y luego venden (outputs). Pr tener un ide del modelo, supongmos que los dtos de l economí de un pís ficticio son los de l tbl siguiente, donde ls cntiddes se dn en lgún tipo de unidd monetri. industri, el vlor de ls vents interns fue de 5, el vlor de ls vents l sector grrio fue de, en el cso del turismo fue de, y en los servicios de 6. El vlor de ls vents efectuds los consumidores y otros píses (demnd) fue de. Entonces el output totl fue de 8. A prtir de l tbl nterior se definen ls siguientes mtrices: Y prtir de los elementos de ls mtrices y O se puede construir un mtriz tecnológic, T, que represent l proporción de ls trnscciones intersectoriles respecto l output totl de cd sector. Unidd : trices y determinntes Págin de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

11 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños Tod l informción de l tbl se puede expresr en form mtricil trvés de l siguiente relción: O=TO+D, es decir, Est fórmul permite hcer estudios destindos plnificr l economí. odelo metlúrgico Supongmos que un empres fbric tres modelos de máquins herrmients,, y, y como mteri prim fundmentl utiliz tres tipos de metles, Hierro (H), Níquel (N) y Coblto(C). L cntidd de mteri prim que necesit pr fbricr cd máquin, expresd en tonelds, se muestr en l siguiente tbl l cul le hcemos corresponder l mtriz. Ls mejores oferts de l mteri prim corresponden los proveedores P, P y P. Los precios por toneld (expresdos en ciert unidd monetri) impuestos por cd uno de los proveedores cd uno de los metles precen en l siguiente tbl Queremos hcer un tbl de doble entrd que muestre el gsto en mteri prim por modelo de máquin y proveedor. Dich tbl se obtiene trvés del siguiente producto mtricil: L tbl obtenid es: Unidd : trices y determinntes Págin de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

12 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños RESUEN Tipos de mtrices triz Cudrd: el número de fils es igul l número de columns. triz nul: todos sus elementos son ceros triz digonl: mtriz cudrd, ij A con pr i j. triz identidd: Es un mtriz digonl cuyos elementos de l digonl son todos. triz tringulr: Es un mtriz cudrd en l que todos los elementos situdos por debjo (o por encim) de l digonl principl son cero. ij Operciones con mtrices Adición o sum de mtrices: ls mtrices ij A A y, B. L mtriz S s ij es l sum de B b ij se denot, S=A+B si sus elementos cumplen: s b i,, m j,, n ij ij ij, ultiplicción de un mtriz por un número: el producto de un número por un mtriz C c ij cuyos elementos son de l form c ij ij A es un mtriz i,,, m j,,, n. ultiplicción de mtrices: se denomin mtriz producto de l mtriz A ij B b ij C c ij por l mtriz nxp un mtriz mxp elementos son de l form c ij n k ik b kj i b j A i b j ij triz trspuest. L trspuest de un mtriz T mtriz A ji nxm in b nj cuyos es l mtriz es l que se obtiene prtir de l mtriz A l intercmbir ls fils por ls columns. Otros tipos de mtrices triz simétric: triz ntisimétric: triz ortogonl: triz idempotente: triz nilpotente: Si A es un mtriz cudrd dice que A es nilpotente. A k O pr lgún número nturl, k se Unidd : trices y determinntes Págin de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

13 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Determinntes Determinntes de orden Determinntes de orden Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños BIBLIOGRAFÍA Emilio Bujlnce y otros. temátics especiles. Editoril Snz y Torres (998). ª Edición rí E. Bllvé y otros. Problems de mtemátics especiles. Editoril Snz y Torres (996). ª Edición. José T. Pérez Romero y José A. Jrmillo Sánchez. temátics. Pruebs de cceso l universidd pr myores de 5 ños. Editoril AD. (). Unidd : trices y determinntes Págin de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

14 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés Universidd iguel Hernández Unidd de cceso ccés l universitt dels mjors de 5 nys cceso l universidd de los myores de 5 ños Unidd : trices y determinntes Págin de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio ACTIVIDADES. Dds ls mtrices 5 5 D C B A Determinr ls siguientes mtrices: ) A-D b) AB c) CD d) A -D. Determin el determinnte de ls siguientes mtrices: D C B A. Dds ls mtrices B A ) No podemos sumrls b) Podemos sumrls sin problems c) Sólo podemos sumr ls dos primers fils de cd un. Dds A y B dos mtrices del mismo tmño podemos firms que A+B=B+A? ) Siempre b) Nunc c) Alguns veces 5. Se 5 C B A Indic l vercidd de ls igulddes siguientes: ) A+B=B+C b) (A+B)+C=A-(B+C) c) (A+B)+C=A+(B-C) 6. Se puede multiplicr k=7 por A=( )? ) Si b) No c) Sólo si A es l mtriz nul

15 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños 7. Ddo k=, A y B tenemos que 7(A+B)=7A+7B? ) Si b) No, no es posible c) Sólo si k fuer igul 8. Cuál es el número k tl que ka=a? ) el b) el c) Ninguno de los nteriores 9. Ddo k=- A y B, es cierto que A-B=A+kB? ) Si b) No c) Sólo si A y B son igules. Dds ls mtrices A B ) Se puede clculr AB b) Se puede clculr BA c) No se pueden clculr ni AB ni BA. Dds dos mtrices A y B se puede clculr AB ) Si el número de fils de A es igul l número de columns de B b) Si el número de columns de A es igul l número de fils de B c) En ninguno de los dos csos nteriores 5 6. Dds A B 7 8 ) AB=BA b) AB es distinto de BA c) A y B no se pueden multiplicr Unidd : trices y determinntes Págin 5 de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio

16 Universitt iguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 5 nys Universidd iguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los myores de 5 ños EJERCICIOS DE AUTOCOPROBACIÓN 5. Dds ls mtrices A B C 7 D 5 Determinr ls siguientes mtrices: ) A+D b) AB c) CB d)a -D. Sen y b números reles, entonces (+b) = +b+b y (-b) = -b+b se pueden utilizr ests igulddes en el supuesto que y b sen reemplzds por mtrices Ay B cudrds del mismo orden?. Determinr el determinnte de cd un de ls siguientes mtrices: A B 5 5. Determinr el vlor del prámetro pr que l siguiente mtriz teng determinnte nulo A SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 9. ) 8 6 b) c) d). L solución se drá en clse. ) b) -6. = ó =- Unidd : trices y determinntes Págin 6 de 6 Prof. Xvier Brber y Jun Apricio