Transcripción

1 1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre dos puntos, o l ms que represent l cntidd de mteri de un cuerpo. Ls mgnitudes pueden ser esclres, que son quells que quedn perfectmente definids medinte un vlor numérico compñdo de l unidd de medid correspondiente. Por ejemplo, ms, tiempo, tempertur... Ls mgnitudes vectoriles son quells en ls que demás de un vlor numérico, se necesitn otros detlles. Dirección, sentido módulo son los requisitos necesrios pr definirls. Algunos ejemplos son: velocidd, celerción, fuerz... Tmbién podemos clsificr ls mgnitudes como fundmentles, que son quells que podemos medir directmente (longitud, ms, tiempo...) ls mgnitudes derivds que son ls que se obtienen por combinción mtemátic de ls mgnitudes fundmentles. Hemos hbldo de medir. Se impone hcernos un ide correct del concepto de medid, en un conteto purmente científico. Medir no es más que comprr con un ptrón. Se estblecen ptrones pr cd mgnitud fundmentl con ls que comprr. Los ptrones del Sistem Interncionl son los siguientes: Metro: Es l longitud del trecto recorrido por l luz en el vcío durnte un tiempo de 1/ de segundo. Segundo: Es l durción de períodos de l rdición correspondiente l trnsición entre los niveles hiperfinos del estdo fundmentl del átomo 133 Cs. Kilogrmo: Es l ms de un cilindro de pltino e iridio cus dimensiones son 39 mm de diámetro 39 mm de ltur. Ls mgnitudes vectoriles, se representn medinte vectores pr poder comenzr nuestro estudio se hce necesrio definir qué es un vector.. VECTORES Los vectores son l form gráfic de representr ls mgnitudes vectoriles. Son flechs en ls que están contenidos todos los prámetros que ls definen. L longitud de l flech represent el módulo de l mgnitud, es decir, el vlor numérico que corresponde ést. L dirección está representd por l rect que contiene l vector el sentido es el que indic l punt de éste. El punto de plicción es el principio del vector. Teniendo en cuent el punto de plicción podemos clsificrlos en fijos, cundo éste es un punto perfectmente definido (el peso de un cuerpo), deslizntes, su punto de plicción se encuentr en l rect que contiene l vector pero no está definido (fuerz plicd un sólido rígido) o libres, su punto de plicción es un punto culquier del espcio (velocidd de l luz en el vcío)..1. Composición descomposición de vectores. Cundo opermos con vectores h que tener en cuent que el modo de operr es distinto l de ls mgnitudes esclres. Tenemos que usr el álgebr de vectores. Vmos recordr lguns de ls operciones más comunes entre vectores. 1

2 Si summos vectores de l mism dirección nos podemos encontrr con dos csos distintos. Si tienen el mismo sentido, l resultnte será otro vector con l mism dirección sentido que los vectores sumdos el módulo será l sum de mbos. Si, por el contrrio, tienen distinto sentido, el módulo del vector resultnte será l diferenci de mbos módulos el sentido el del vector mor. Si summos vectores de distint dirección, plicremos l Regl del Prlelogrmo. Si formn entre sí un ángulo recto, podremos clculr el módulo del vector resultnte plicndo el Teorem de Pitágors. Vmos ilustrr esto: Si los vectores no formn un ángulo recto, tendremos que plicr el Teorem del Coseno pr clculr el módulo del vector resultnte:

3 3 Descomponer vectores es otr operción que se reliz frecuentemente en físic. L sum de vectores permite relizr l operción invers que es descomponer un vector en sus componentes. Est descomposición se puede hcer de vris mners, pero l que más nos interes es l que corresponde unos ejes de coordends crtesinos. Cundo tenemos un vector que no coincide con lguno de los ejes de coordends de nuestro sistem, debemos descomponer este vector. Pr ver cómo se reliz est descomposición vmos ilustrrlo. Se cumple l ecución vectoril; siguiente mner: = + ls componentes quedn de l = cosϕ = senϕ demás diremos que se cumple que: = tgϕ =+... Producto de un esclr por un vector. Otrs de ls operciones que se relizn de mner común es l de multiplicr un vector por un número. El resultdo de est operción será otro vector, con l mism dirección sentido que el vector de prtid pero con un módulo tnts veces mor como indique el número por el que hemos multiplicdo l vector. Si el número por el que multiplicmos es negtivo, el sentido del vector resultnte será el contrrio l del vector originl..3. Vector unitrio de un vector ddo. Un vector unitrio es quel cuo módulo es l unidd. Ddo un vector, conseguiremos un vector unitrio si dividimos este vector por el módulo del propio 3

4 r vector. Aplicremos l epresión: u v r v = r. Como norm generl diremos que todo v vector se puede epresr como el producto de su módulo por su vector unitrio..4. Componentes esclres de un vector. Si tommos un sistem de referenci ortonorml en el espcio, (tres ejes, X, Y, Z), definimos tres vectores unitrios correspondientes cd uno de los ejes, podemos epresr culquier vector en función de estos tres vectores unitrios. Un vector en el r espcio tiene tres componentes, V = V + V + Vz = Vi + V j + zkv donde V, V, V z son ls componentes esclres del vector. Se puede definir el módulo del vector en función de sus componentes esclres: r V = V V ++ V Si, por el contrrio, tenemos el vector en el plno, sólo tendremos dos componentes crtesins, ls correspondientes los ejes X e Y. Antes hemos visto cómo se sumn vectores gráficmente. Ahor vmos estudir l sum nlític de vectores. Est operción se reliz sumndo ls componentes esclres de los vectores correspondientes cd eje..5. Producto esclr de dos vectores. El resultdo de est operción es un número. Esto es mu importnte. Est operción se puede relizr de dos modos distintos. El primero que vmos ver viene ddo en función del ángulo que formn entre los dos vectores, α. r A = A cosα Propieddes. r ) Conmuttiv. A = A. Esto es lógico puesto que el ángulo que h entre mbos vectores es el mismo en mbos csos. r b) Distributiv respecto de l sum. Se verific que: A ( + C) = A + A C c) Si p es un esclr, tenemos que: p( A ) = ( pa) = A ( p) d) Si dos vectores son perpendiculres el producto esclr es cero. Porque el ángulo que formn entre sí es de 90 el cos 90 = 0. e) El producto esclr de un vector por sí mismo es el cudrdo de su módulo. Y que el ángulo es 0 el cos 0 = 1. El segundo modo de clculr el producto esclr de dos vectores es el denomindo nlítico. Este se hce en función de ls componentes esclres de los vectores. A r r = A A ++ Az z Esto se debe que el producto esclr de los vectores unitrios correspondientes cd un de ls componentes es 1, que los vectores unitrios son prlelos..6. Cosenos directores. z 4 4

5 5 Estos cosenos directores son mu útiles pr determinr l dirección de un vector con respecto los ejes de coordends. Estos cosenos directores irán referidos cd uno de los ejes. Los cosenos de estos ángulos cumplen l siguiente propiedd: cos + cos + cos cb = 1 Est propiedd se puede entender si definimos cd uno de los cosenos de los ángulos dibujdos: V V Vz cos = r ; cos b = r ; cos c = r V V V r V + + V V Vz cos + cos b + cos c = r = r = 1 V V.7. Producto vectoril de dos vectores. El resultdo de est operción es otro vector, que tiene perpendiculr l plno formdo por los dos vectores multiplicdos cuo sentido viene ddo por l regl del sccorchos. Esto se hce girndo los vectores de uno hci otro por el cmino más corto. El módulo del vector resultnte tiene como módulo el producto de los módulos de los vectores multiplicdos por el seno del ángulo que formn: r r A = C = A senα 5

6 6 Propieddes. r ) Anticonmuttiv. A = A. Al plicr sobre los vectores l regl del sccorchos, podemos ver cómo en mbos csos se obtienen dos vectores de sentidos opuestos. r b) Distributiv respecto de l sum. A ( + C) = A + A C c) El producto vectoril de un vector por sí mismo es cero. Esto es debido que seno 0 = 0, por lo que obtenemos un módulo nulo. Tmbién podemos plicr un epresión nlític pr obtener ls componentes esclres del vector resultnte. Pr poder hcerlo es necesrio dominr el cálculo de determinntes. Hremos un determinnte 33 en el que colocremos, en l primer fil, los vectores unitrios correspondientes cd eje, en l segund fil, ls componentes esclres del primer vector en l tercer últim fil, ls componentes esclres del segundo vector. i j k r r A = A A A Resolviendo este determinnte, obtenemos ls componentes esclres del nuevo vector, compñds de sus respectivos vectores unitrios. Este determinnte se puede resolver plicndo l regl de Srrus o desrrollándolo por fils columns..8. Momento de un vector respecto de un punto. Se define como el producto vectoril entre el vector de posición del vector con respecto l punto el propio vector. Se un vector V un punto de referenci O, tenemos que: M O = V. El vlor del momento no vrí unque el vector deslice lo lrgo de su dirección, que el ángulo entre mbos vectores sigue siendo el mismo. Por definición, el vector que se obtiene es perpendiculr l plno que formn los dos vectores su sentido viene ddo por l regl del sccorchos. En el cso de que tengmos vrios vectores plicdos sobre un mismo punto, el momento de todos ellos respecto de un punto ddo es igul l momento de l resultnte de todos ellos con respecto ese punto. Esto se conoce como el Teorem de Vrignon. r = A,, C = A + + C = A + + C = M O ( ) ( ) R Si en lugr de un punto tenemos un vector un eje, ddo por dos puntos, tenemos que clculr el vector unitrio que represent este eje con él clculremos el producto vectoril: M eje = u M O, siendo u el vector unitrio M O el momento del vector con respecto un punto culquier del eje. z z 6