UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS

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1 Mtemátic Unidd - UNIDAD N : EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Epresiones Algebrics Enters Polinomios..... Actividdes... 4 Vlor Numérico del polinomio Concepto de ríz de un polinomio. 4 Actividdes... 5 Operciones con Polinomios Sum (Rest) de Polinomios Multiplicción de Polinomios Productos Especiles: Cudrdo de un binomio Cubo de un binomio Diferenci de cudrdos División de Polinomios División de un polinomio por un polinomio culquier División de un polinomio por un binomio (Regl de Ruffini). 8 Teorem del Resto Actividdes... 9 Fctorizción de Polinomios Fctor Común.. 0 Trinomio Cudrdo Perfecto Diferenci de Cudrdos..... Fctorizción por medio de ríces: Teorem Fundmentl del Algebr..... Determinción de ls ríces pr un polinomio de primer grdo.. Determinción de ls ríces pr un polinomio de segundo grdo.... Determinción de ls ríces rcionles pr un polinomio de grdo mor que dos con coeficientes enteros Actividdes... 5 Ejercicios prácticos.. 6 Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

2 Mtemátic Unidd - ÍNDICE REDUCIDO DE TEMAS DE LA UNIDAD ESTA UNIDAD CONTIENE LOS SIGUIENTES TEMAS: EXPRESIONES ALGEBRAICAS VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO OPERACIONES CON POLINOMIOS EN UNA INDETERMINADA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS DISTINTOS CASOS DE FACTORIZACIÓN CONSEJOS A TENER EN CUENTA ANTES DE EMPEZAR: LEER CON MUCHA ATENCIÓN LOS CONTENIDOS. PONER ÉNFASIS EN LOS EJEMPLOS. RESOLVER MINUCIOSAMENTE LOS EJERCICIOS. CONSULTAR LAS DUDAS QUE PUEDAN SURGIR. Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

3 Mtemátic Unidd - EXPRESIONES ALGEBRAICAS Es un conjunto de letrs números ligdos por operciones (sum, rest, multiplicción división). Ejemplos: Son epresiones lgebrics ) V = π r h, es un epresión lgebric en ls vribles r h. 5 b) 0 5 es un epresión lgebric en l vrible. 7 c) ( + b) - -.b es un epresión lgebric en ls vribles b. Alguns epresiones lgebrics en prticulr, con ls que se trbjrá en est sección, reciben el nombre de polinomios. POLINOMIOS Un polinomio de grdo n, en l indetermind es un epresión lgebric de l form: En el cul: P() = n n + n- n , n 0 n, n-,...,, 0, son números reles denomindos: coeficientes. es un vrible denomind: vrible rel. n es un número nturl que indic el grdo del polinomio. Pr tener en cuent: Si el polinomio es de grdo cero, se llm polinomio constnte. El coeficiente de l mor potenci de se llm coeficiente principl. Si el coeficiente principl es, el polinomio se dice mónico. El coeficiente 0 se llm término independiente. El polinomio de un solo término (no nulo) se llm monomio, el de dos (no nulos), binomio, etc. Dos monomios son semejntes si tienen l mism prte literl. Si l polinomio no le fltn términos se lo llm polinomio completo. El polinomio puede estr ordendo (en form creciente o decreciente), o desordendo. Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

4 Mtemátic Unidd - 4 Si todos los coeficientes son nulos, incluso 0, el polinomio no tiene grdo se llm polinomio nulo. Desfío: Averigu cómo se denomin los polinomios que sólo tienen dos términos; los que tienen sólo tres términos. Esto es interesnte, pues más delnte los utilizremos mu menudo. ACTIVIDADES. Decir si ls siguientes epresiones son polinomios, en cso de no serlo indicr porqué. ) P() = b) Q() = c) R() = Indicr el grdo de cd uno de los siguientes polinomios: ) P() = + 4 b) P() = c) P() = Indicr si los polinomios están completos, ordendos o mbos. En cso de no estrlo escribirlos completos ordendos en form decreciente. ) P() = 4 + b) P() = Sbiendo que: ( + b) + + (c+ ) d c = , clculr, b, c, d. Dos polinomios son igules si sus monomios semejntes son igules VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Ddo un polinomio P(), l sustituir l vrible por un número se obtiene un número que se denot P() que es el vlor numérico de P() pr =. Ejemplo: Encontrr el vlor numérico del polinomio P() = + 4 pr = P() = +. 4 = 6 Se dice que es ríz del polinomio P() si sólo si P() = 0. Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

5 Mtemátic Unidd - 5 ACTIVIDADES Hllr el vlor numérico de los siguientes polinomios e indicr si es ríz. ) P() = + 4, pr = b) P() = + 4 +, pr = 0 OPERACIONES CON POLINOMIOS Pr operr con polinomios result conveniente completrlos ordenrlos en form decreciente, unque pr l sum (rest) producto no es imprescindible. Sum (rest) de Polinomios L sum (rest) de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene sumndo (restndo) los monomios semejntes. Ejemplos: Sen P( ) = Q( ) = , determinr: ) P( ) + Q( ) b) P( ) Q( ) ) Completndo ordenndo los polinomios ubicándolos de mner que resulten encolumndos los monomios semejntes, result: P() Q() P() + Q() b) P() Q() P() Q() Multiplicción de Polinomios Pr multiplicr dos polinomios se plic l propiedd distributiv del producto respecto de l sum luego se sumn los monomios semejntes. Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

6 Mtemátic Unidd - 6 Ejemplo: Ddos los polinomios R() = 4 + S() = , obtener R() S() En efecto: R( ) S( ) = ( 4 + ) ( )= = = = Productos Especiles: Cudrdo de un binomio "El cudrdo de un binomio es siempre un trinomio, llmdo trinomio cudrdo perfecto, formdo por el cudrdo del primer término más el duplo del primero por el segundo más el cudrdo del segundo término". ( b) =..b + b Ejemplo: Se A () = 5 +, determinr A (). A () es lo mismo que [ A () ] A().A() = ( 5 + )( 5 + ) = = = [ A () ] 5.5. Aplicndo l propiedd, result: [ A () ] = = Cubo de un binomio El cubo de un binomio es siempre un cutrinomio, llmdo cutrinomio cubo perfecto, formdo por el cubo del primer término más el triplo del cudrdo del primero por el segundo, más el triplo del primero por el cudrdo del segundo, más el cubo del segundo término." ( b ) =.. b +..b b Ejemplo: Se B () = +, determinr B().B().B() = [B()] B().B().B() = ( + ). ( + ) ( + ) = ( ).( + ) = Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

7 Mtemátic Unidd - 7 = = = = [B()].. Aplicndo l propiedd, result: [B()] = = Cso prticulr (Diferenci de cudrdos) El producto de l sum por l diferenci de dos términos es igul l diferenci de los cudrdos de mbos, es decir ( + b). ( b) = b Ejemplo: Se R() = P() = +, entonces R(). P() = ( ) ( + ) Aplicndo l propiedd: R(). P() = ( ) ( + ) = 4 O por producto de binomios, tenemos: R(). P() = ( ) ( + ) = + 4 = 4 División de un polinomio por un polinomio culquier Dividir un polinomio D() (dividendo) por otro polinomio Q() (divisor) de grdo menor o igul que D(), es obtener dos polinomios: C() (cociente) R() (resto), únicos, tl que: D() = Q(). C() + R() D() C() Q() R() Q() Ests igulddes provienen de efectur l división: D() R() Q () C () Tener en cuent que: L división se reliz emplendo el mismo lgoritmo que se utiliz pr dividir números reles. Es imprescindible ntes de efectur l división completr ordenr en form decreciente el polinomio D(). Mientrs que el polinomio Q() sólo debe estr ordendo en form decreciente Ejemplo: Sen D() = Q() = + +, clculr D() : Q() Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

8 Mtemátic Unidd - 8 Se ordenn mbos polinomios se complet D() _ Luego: C() = + R() = + Cso prticulr de división de polinomios cundo el divisor se un binomio de l form: Q() = ( ) o Q() = ( + ) En este cso es posible plicr el método conocido como: Regl de Ruffini. Ejemplo de plicción de l Regl de Ruffini. Sen D() = Q() =, clculr D() Q(). ) En primer lugr h que completr ordenr en form decreciente el polinomio D() = ) Proceder como se indic en el siguiente esquem: Coef. de D() = Resto R() Coef. de C() El grdo del polinomio cociente es un grdo menor que el grdo de D(), por lo tnto: Cociente: C() = Resto: R() = 9 Al dividir D() en Q() por el lgoritmo de l división, D() result: D() = C().Q() + R() Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

9 Mtemátic Unidd - 9 Si el resto R() = 0, entonces D() = C(). Q(); esto indic que D() es divisible por Q(). TEOREMA DEL RESTO El vlor numérico que tom el polinomio D() en =, es decir D(), coincide con el resto de dividir D() por (-) D() R = D() C() El teorem nterior es de grn utilidd pues nos permite segurr que: Si = es ríz de D() entonces D() es divisible por ACTIVIDADES. Colocr Verddero ó Flso según correspond, justificr ) + = +... b) + = c) = + 0,5.... Sen los polinomios: M() = 5 ; N() = + ; K() =. Clculr: ) M() + 4N() + K() f) M() : K() b) M() N() g) M(). K() c) M() + N() K() h) [M()] d) M(). N() i) [N()] e) M() : N(). Aplicr l regl de Ruffini pr clculr ls siguientes divisiones verificr el resto por el teorem de resto. ) P() = , Q() = b) P() = , Q() = + 4. Encontrr un polinomio P() tl que: A() B() + P() = , siendo: A() = B() = Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

10 Mtemátic Unidd Al multiplicr P() por se obtuvo 5 4. Cuánto vle P()? 6. Al dividir M() en se obtuvo 5. Cuánto vle M()? 7. Indicr, sin relizr l división, si los siguientes polinomios son divisibles: ) P() = + ; Q() = b) P() = ; Q() = + 8. Hllr el vlor de "k" pr que los siguientes polinomios sen divisibles ) P() = + k 8 Q() = b) P() = ( + k) + k 5 Q() = FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Qué es fctorer un polinomio? Fctorizr o fctorer un polinomio signific escribirlo como producto de fctores (cd fctor es un polinomio irreducible). Cómo se hce? Pr fctorizr un polinomio es necesrio recordr lgunos csos sencillos de fctorizción de polinomios: Fctor Común Scr o etrer fctor común signific identificr en todos los términos del polinomio ddo quellos fctores que se repiten, gruprlos epresr el polinomio originl como producto de un monomio, constituido por los fctores comunes, por un polinomio con términos en los que fltn los fctores presentes en el monomio. Ejemplos: ) Ddo P() = Es fácil ver que todos los números son divisibles por que ls letrs son divisibles por, por lo tnto es el fctor común todos los términos, luego etremos qued el polinomio fctoredo de l siguiente form: P() = ( 9 + ) Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

11 Mtemátic Unidd - b) Ddo R() = 8 b 5 6 b c z b 4 c 4 z, fctorizdo qued R() = b ( 4 b c z b c 4 z ) Trinomio Cudrdo Perfecto Al estudir el cudrdo de un binomio se obtuvo como resultdo un trinomio, llmdo trinomio cudrdo perfecto: P() = ( ) = + Pr sber si un trinomio es un cudrdo perfecto, se debe nlizr:. Si dos de los términos son cudrdos perfectos, en ese cso h que buscr sus bses.. Si el término restnte es el doble producto de ls bses. Ejemplo: P( ) = () (5)..5 = 0 Por lo tnto: = ( 5 ) Diferenci de Cudrdos Si el polinomio ddo es un binomio con mbos términos cudrdos perfectos, uno de ellos es negtivo, entonces se podrá fctorizr como el producto de l sum por l diferenci de ls bses de esos cudrdos. P() = = ( + ). ( ) Ejemplos: ) Se P() = 9 Ls bses son: 9 = () = () Luego el polinomio quedrá fctoredo: P() = 9 = ( + ).( ) b) Se R(s) = ( 9 s + 4 t ) = (4 t 9 s ) = ( t s). ( t + s) pues 4t = (t) 9s = (s) Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

12 Mtemátic Unidd - Teorem Fundmentl del Álgebr. Fctorizción por medio de ríces Todo polinomio de grdo n tiene lo sumo n ríces. Por lo tnto es posible fctorizr el polinomio P() de grdo n, de l siguiente mner: Si P()= n n + n- n tiene n ríces,,..., n entonces P() = n ( ).( )... ( n- ).( n ), con n coeficiente principl. Ejemplo: Se el polinomio P() = sus ríces son: =, =, = Según el Teorem Fundmentl del Álgebr quedrá fctorizdo: P() = =. ( ).( ).( ()) = ( ).( ).( + ) El Teorem nterior es de grn utilidd, siempre que se conozcn ls ríces del polinomio. L pregunt es entonces, Cómo determinr ls ríces en distintos polinomios? A continución se presentn ls forms de fctorizr un polinomio plicndo el Teorem Fundmentl del Algebr de cuerdo l número de ríces que posee dicho polinomio, en concordnci con su grdo. Pr un polinomio de primer grdo (linel) P()= + b Ríces de polinomios de primer grdo Si el polinomio es de l form: P() = + b, con 0, pr determinr l ríz igulmos el polinomio cero, o se P() = 0, despejrmos. Luego el polinomio fctorizdo qued: P() = ( ) Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

13 Mtemátic Unidd - Ejemplo: Fctorizr P() = 5 utilizndo el Teorem nterior. Pr encontrr su ríz igulmos cero despejmos, es decir: 5 = 0. Sumndo 5 mbos miembros, tenemos: = 5. 5 Dividiendo miembro miembro por, result = Luego = 5 es ríz de P() = 5. El polinomio P() fctorizdo qued: P() = ( 5 ). Pr un polinomio de segundo grdo P() = +b + c Ríces de polinomios de segundo grdo Si el polinomio es de l form: P() = +b + c, con 0, pr determinr ls dos ríces igulmos el polinomio cero, o se P() = 0 + b + c = 0 Pr encontrr los vlores de que verificn est iguldd se us l conocid fórmul:, b b 4c Estos vlores, pueden ser números reles distintos, números reles e igules números imginrios. Luego el polinomio fctorizdo qued: P() = ( ) ( ) Ejemplo: Ddo el polinomio P() = 5 + 6, determinr ls ríces fctorizrlo., = b b 4c = = = El polinomio P() fctorizdo qued: P() = ( )( ) = ( ).( ) Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

14 Mtemátic Unidd - 4 Ríces de polinomios de grdo mor o igul dos Pr encontrr ls ríces de un polinomio de tercer grdo, (o mor) de coeficientes enteros, se deberá plicr el siguiente procedimiento: Ddo P () = n n + n - n con 0 0 Buscr los divisores de los términos 0 (independiente) n ( principl) Generr el conjunto de "posibles ríces" con tods ls frcciones Divisores de Divisores de 0 n Probr, utilizndo el Teorem del Resto, cd un de ests frcciones hst obtener un ríz de P(). Aplicndo Ruffini se divide P() en ( ) (siendo l primer ríz encontrd) se obtiene un polinomio de un grdo menor que el ddo. Si éste es dos, se plic el procedimiento de polinomios de grdo dos; si es mor se busc otr ríz se repite desde el pso nterior.. Los psos nteriores sólo sirven pr hllr ls ríces rcionles del polinomio, ls irrcionles ls complejs conjugds se determinn con otros lgoritmos.. Si 0 = 0, fctorer primero etrendo fctor común si el polinomio resultnte verific el enuncido, plicr el procedimiento enuncido. Ejemplo: Se P() = 5 + 6, encontrr sus ríces fctorizrlo 0 = 6 = Ls posibles ríces son: Divisores de Divisores de 0 n : 6, 6,,,,,, P( ) = ( ) ( ) 5 ( ) + 6 = 8 0 no es ríz de P() P( ) = = 0 es ríz de P() Dividir P() por ( ) usndo Regl de Ruffini C() = 6 R() = 0 Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

15 Mtemátic Unidd - 5 Por lo tnto: P() = Puede epresrse: P() = ( 6). ( ) Determinr ls ríces de C( ) = 6 = 0 =, b b 4c 4.( 6) 5 = = = Por lo tnto ls ríces del polinomio P( ) son: =, =, = El polinomio P() fctorizdo es: P() =. ( ). ( ). ( + ) ACTIVIDADES. Fctorer los siguientes polinomios: ) P() = g) C() = b) R() = h) A() = 6 c) M() = 6 + z 4 8 z i) B() = 4 d) N() = 64 + z j) C() = e) T() = 6 4 k) D() = f) D() = 8 l) E() = Encontrr ls ríces de los siguientes polinomios fctorerlos según el Teorem Fundmentl del Álgebr. ) R() = + b) P() = c) Q(z) = z 5 5 z + 4 z + z 4 5 z + d) M() = Simplificr resolver: (Recordr que pr simplificr h que fctorizr previmente l epresión) ) d) : Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

16 Mtemátic Unidd - 6 u v u v b) : u v u v e) c) 5 6 f) EJERCICIOS PRÁCTICOS Ejercicio : Determinr, si ls siguientes epresiones lgebrics, son polinomios. En cso firmtivo, indicr su grdo. d) ) b) e) c) f) 0, Ejercicio : Teniendo en cuent los siguientes polinomios, completr el cudro. R() = + ; N() = ; Q() = - + 4; H() = N() - H() R() + Q() - H() P() H() N() : H() Q() : R() N() : P() R R N() + R() P() R ; P() = 4 - Ejercicio : Aplicr l relción de l división P() = C()Q() + R(), pr encontrr un polinomio que dividido entre:, de cociente: + resto:. Ejercicio 4: Si H m 6 00 cero, de dicho polinomio., siendo m un número entero, verigur si 5 es un Ejercicio 5: Obtener el vlor de t, sbiendo que l dividir B 6 t binomio:, se obtiene resto 0. Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -, por el

17 Mtemátic Unidd - 7 Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J - Ejercicio 6: Obtener ls siguientes potencis ) b c) b b) 5 d) b Ejercicio 7: Usndo el teorem Fundmentl del Algebr, fctorizr los siguientes polinomios. H T Q 0 5 R P Ejercicio 8: Ddo el polinomio fctorizdo, determinr el polinomio originl. ) P() =.( ).( + ) b) Q() = -..( + ).( - ) c) R() = -.( + ) d) S() = -.( ).( + ) Ejercicio 9: Averigur, cul es l respuest correct: 4 4 ) 4 4 b) Ejercicio 0: Reducir l mínim epresión simplificr: ) 9 9 d) z z z z z b) e) 9 6 : c) b b b b b f)