UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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1 UNIDAD EXPRESIONES ALGEBRAICAS LECTURA N : LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SU TERMINOLOGÍA Tomdo con fines instruccionles de: Gómez, T., González, N., Vergr, A Mtemátics Básics. Crcs: Universidd Alejndro de Humboldt. Entre ls distrcciones más comunes que utilizn ls persons están: los progrms de televisión, el cine, conciertos, los cules se encuentrn llenos de l mgi de l nimción y udio. Muchos espectdores comentn sobre lo bueno o mlo que resultó l nimción de l crictur o lo inolvidble de los efectos de udio, como ecos, distorsiones o simulciones. Pr l producción de est mgi, los epertos se vlen de progrms de computdors que usn funciones mtemátics denominds splines, en el subcmpo mtemático del nálisis numérico. Un spline es un curv definid trozos medinte polinomios, el siguiente es un ejemplo gráfico: Fuente: Elborción propi. Crcs 00 Así como l nimción y el udio, otros fenómenos requieren del uso de ls mtemátics, pr lo cul es necesrio utilizr un lenguje específico pr su trnsmisión, difusión y comunicción. Este lenguje posee vrios componentes: Símbolos o Signos COMPONENTES Vocbulrio Gráficos Ls funciones mtemátics están conformds por epresiones que generlizn ls operciones ritmétics, emplendo números, letrs y signos; donde, cd letr o signo

2 represent simbólicmente un número u otr entidd mtemátic, ésts se les denominn Epresiones Algebrics. Epresiones Algebrics Es l combinción de constntes, vribles y signos de operción que, entre otrs coss, pueden definir un regl o principio generl. Algunos ejemplos de epresiones lgebrics son: 8 c y y 9 b c b y b d 8 Términos e y 8 y Es un epresión lgebric, donde interviene sólo los signos de multiplicción, división, potencición y rdicción. Se puede diferencir un términos de otro, y que se seprn entre sí únicmente por los signos de dición y sustrcción -. Así, pr los ejemplos nteriores tenemos: El ejemplo tiene un solo término, 8 El ejemplo b tiene un término: c b y b * El ejemplo c tiene tres términos: y, y, 9, 8 El ejemplo d tiene dos términos: El ejemplo e tiene dos términos: y 8, y NOTA: * L epresión c b y b sí como está, sin resolver tiene un término, mientrs que si plicmos l propiedd distributiv obtenemos: c b y b cy b yb b yc bc ybc cb y est epresión tiene términos. Los términos están formdos por los siguientes componentes: Signo: Es el que precede l término, puede ser positivo o negtivo -, si éste no prece, el signo del término es positivo. Vrible de un término: es quell sobre l cul se define el término o epresión lgebric e indic que su vlor v vrindo. Por lo generl se tomn ls últims letrs del

3 lfbeto en minúsculs:, y, z, w, etc.. Ls epresiones lgebrics pueden ser de un, dos o vris vribles. Coeficiente: Es el fctor que compñ l prte vrible, y su vlor no cmbi, es constnte. Los coeficientes pueden ser de crácter numérico o literl. Por lo generl los coeficientes literles se representn con ls primers letrs del lfbeto en minúscul:, b, c, d, etc. Eponente: Es el número que se encuentr en l prte superior derech de l vrible. Así pr el ejemplo : 8, ls vribles, los coeficientes y los eponentes son: Vrible 8 Eponente Signo Coeficiente En el ejemplo b, c b y b es de dos vribles: e y, el coeficiente es c, -cb, cb; el eponente:. En este cso pr determinr los coeficientes y eponentes es necesrio resolver el producto. y 8 Pr el ejemplo e:, los términos son dos: y Términos y y 8 Pr determinr los componentes de cd uno de los términos, como mbos son frcciones, nlizremos tnto el numerdor como el denomindor, sí: Signo Vrible Coeficiente Eponente y Numerdor Denomindor y Hz lo mismo pr el segundo término. Términos Semejntes Son términos cuy prte vrible son igules y demás tienen el mismo eponente. Observ los siguientes ejemplos: 8

4 ,,, Son términos semejntes y que todos contienen b y, y, y Son términos semejntes y que todos contienen y c y, y No son términos semejntes y que y y d y, y y y Son términos semejntes y que todos contienen y y e 9, 9 Son términos semejntes y que todos contienen 9 Es de sum importnci reconocer términos semejntes cundo se quiere reducir un epresión lgebric, y que estos pueden sumrse o restrse y, por consiguiente reducirl. Si dos o más términos no son semejntes, éstos no pueden sumrse ni restrse. Tmbién es de utilidd pr clculr el mínimo común denomindor entre epresiones rcionles. Ejemplo : Reducir l epresión lgebric P. P P P Son términos semejntes y que todos contienen, se grupn y sumn los coeficientes y se coloc un vez el fctor que se repite. Respuest: P Ejemplo : Reducir l siguiente epresión lgebric, grupndo términos semejntes. P y y. Son semejntes por grupos. Si grupmos tendremos: P y y P y P y 9

5 Respuest: P y Ejercicios propuestos:. Señle cuál de ls siguientes epresiones no corresponde un epresión lgebric. Justifique su respuest. b c. Pr los ejemplos c y d, ddos l inicio de est lectur, identifique los términos y cd componente de los mismos, si es posible.. En cd un de ls siguientes epresiones señle los términos y sus componentes: 8 b c 9 d. Dig si los términos y, y, y son semejntes. Justifique su respuest. 0

6 LECTURA N : TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Tomdo con fines instruccionles de: Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojs M., 00. Epresiones Algebrics, Crcs: UNEFA. Ls epresiones lgebrics son de grn utilidd pr epresr mtemáticmente comportmientos de crácter económico, físico, químico, biológico, entre otros. Cd comportmiento tiene un epresión lgebric que lo represent. Algunos ejemplos son: El crecimiento de un bcteri puede estr ddo por l epresión e, observe que el eponente es un epresión que contiene l vrible. b El costo totl pr construir un cerc pr un áre rectngulr con cierts condiciones 00 dds, est representd por l epresión lgebric. En virtud de lo epuesto y de ls crcterístics propis de cd epresión lgebric, ésts se clsificn en: Enters, Rcionles, Rdicles y Combinds. Epresiones Algebrics Enters o Polinómics. Son tmbién llmds polinómics y se definen como tod epresión lgebric en l que ls potencis son de eponente nturl, es decir, los eponentes de ls vribles son números enteros positivos. Ejemplos: y, y, z Ls epresiones lgebrics enters, su vez se clsificn en monomios, binomios, trinomios y polinomios, dependiendo del número de términos que pose. Monomio, epresión que const de un solo término, por ejemplo:, b Binomio, epresión que const de dos términos, ejemplos: y, y, b b b Trinomio const de tres términos, sí como en los siguientes ejemplos:, y / y, y y

7 Así, en generl podemos definir, que un Polinomio es un epresión lgebric que const de más de un término, como: b y, 9,, en el conteo de términos sólo se cuentn los términos que no tienen como coeficiente el número cero. NOTA: Observe que de cuerdo l definición de polinomio, los binomios y los trinomios son polinomios. Ejemplo : Determinr si l epresión lgebric P es un polinomio. Justifique su respuest. No es un polinomio, porque tiene un eponente negtivo en enteros y no negtivos.. Los eponentes deben ser Ejemplo : Determinr si l epresión lgebrics P es un polinomio. Justifique su respuest. P equivle P / No es un polinomio porque tiene un eponente frccionrio. Los eponentes deben ser enteros y no negtivos. NOTA: Si bien es cierto, los ejemplos y no son considerdos como polinomios, pero sí son epresiones lgebrics Crcterístics de los Polinomios Un polinomio posee términos y sus componentes, recuerde que todo polinomio es un epresión lgebric. El Grdo de un Polinomio, se define como el myor eponente que tiene l vrible del polinomio. Los términos de un polinomio se clsificn en:

8 Término Independiente, es quel que no está compñdo de l vrible. Así, pr el polinomio 8b b, el término independiente del polinomio es el término b. Término Dependientes, son quellos que están compñdos de l vrible. Así, pr el polinomio 8b b, los términos dependientes del polinomio son: b, 8. Un Polinomio Completo, es quel que con relción l vrible contiene todos los eponentes sucesivos, desde el más lto hst el más bjo o vicevers. Así, el polinomio: P es completo con respecto su vrible, porque contiene todos los eponentes sucesivos desde el más lto, hst el más bjo 0, 0. El polinomio b b b es completo con respecto l vrible. Note que si definimos como vrible del polinomio " b", b b b b, éste tmbién es un polinomio completo. El polinomio R no es un polinomio completo, y que el término NOTA: no está, es decir el coeficiente de es cero. Podemos decir entonces que un polinomio es completo, si contiene todos los eponentes sucesivos de l vrible y todos los coeficientes del polinomio son diferentes de cero. Diremos que un polinomio está ordendo, si los eponentes de l vrible están en orden scendente o descendente. Así por ejemplo: El polinomio P, es un polinomio ordenndo en form descendente, b El polinomio, es un polinomio no ordendo. c El polinomio R scendente., es un polinomio ordendo En generl, si tenemos l siguiente epresión P Κ Κ Κ 0 en donde: 0 0,,,,Κ Κ Κ n etc. son números reles n es un entero no negtivo n n n

9 Se puede considerr P como un polinomio en de grdo n y: Ls cntiddes 0,,,,Κ Κ Κ n son los coeficientes del polinomio. es l vrible o prte vrible del polinomio n es el myor eponente de y determin el grdo del polinomio entero no negtivo. 0 es el término independiente Vemos lgunos ejemplos: Ejemplo : Determinr ls crcterístics del polinomio P y y y y y. Términos dependientes: y, y, y, y b Vrible: y c Grdo: d Coeficientes: de y, - de y, de y, de y, 0 de y, 0 de y e Término independiente: 0 f Polinomio Ordendo: No. g Polinomio Completo: No, y que eisten coeficientes, el de y y el de y, que son igules cero. Ejemplo : Determinr ls crcterístics del polinomio Términos dependientes:,, ; b Vrible: ; c Grdo: ; d Coeficientes: de, P. de, de, etérmino independiente: f Polinomio Ordendo: Si. g Polinomio Completo: Si. A continución estudiremos ls epresiones lgebrics rcionles, con rdicles y ls combinds, entre ells no podemos distinguir ls misms crcterístics como en el cso de ls epresiones polinómics. Ests epresiones no poseen ls crcterístics mencionds pr los polinomios.

10 Epresiones Algebrics Rcionles Es el cociente de dos epresiones lgebrics enters, donde el denomindor es diferente de cero. Ejemplos: y y, y y y Epresiones Algebrics Rdicles Son epresiones lgebrics donde ls vribles están dentro de un ríz. Ejemplos:, y, z y Epresiones Algebrics Combinds Son epresiones lgebrics que contienen epresiones enters, rcionles y/o rdicles. 9 Ejemplos: ; ; y ; Ejercicios propuestos: y. Pr cd un de ls siguientes epresiones, señle: tipo de epresión y sus crcterístics P, b c R d T. Señle el tipo de epresión l cul pertenecen cd uno de los ejercicios propuestos, en l Lectur Nº.

11 LECTURA N : OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Mteril recopildo con fines instruccionles por: Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojs, M. 00. Epresiones Algebrics. Crcs: UNEFA. Vlor Numérico de Epresiones Algebrics Es el número rel que result de reemplzr ls vribles por números determindos en l epresión lgebric. Ejemplo : Se y y y y y y, hllr el vlor numérico de y pr y. Sustituimos el vlor de y en l epresión y, es decir hllmos 9 Respuest: y y Ejemplo : Se P, y, hllr el vlor numérico de P, y pr, y y y. Sustituimos los vlores de, y en l epresión P, y, es decir hllmos P, 9 9 Respuest: P, Aun cundo clculr el vlor numérico no es un operción mtemátic como tl sobre ls epresiones lgebrics, es considerd un herrmient útil pr determinr cifrs en comportmientos de crácter económico, físico, químico, biológico, entre otros. Vemos el siguiente ejemplo.

12 00 Ejemplo : Si l epresión C determin el costo totl pr construir un cerc, conociendo que represent los metros lineles de cerc. Cuál será el costo de l mism si se requieren 0 metros lineles de cerc pr su construcción? El vlor de es igul los 0 metros lineles de cerc, los cul se sustituye en 00 0 C Respuest: El costo pr un cerc con ests condiciones es de 0 BsF. Operciones con Polinomios: Adición de Polinomios Pr l dición o sum de polinomios es importnte l comprensión del mnejo de términos semejntes, que estudimos en l Lectur Nº. Es conveniente seguir el procedimiento indicdo: Se ordenn los polinomios preferiblemente en form descendente. Se completn los polinomios incompletos, dejndo el espcio en blnco o colocndo cero como coeficiente, junto l potenci de los términos que no precen en el polinomio. Se sumn verticlmente u horizontlmente los coeficientes de los términos semejntes. Ejemplo : Ddos P y, hllr P Se ordenn los polinomios y se colocn en form verticl. Luego se sumn lgebricmente es decir, usndo l ley de los signos los coeficientes de los términos semejntes. P Respuest: P Observe que l respuest se ofrece ordend descendentemente con respecto. Ejemplo : Ddos y P Se pide encontrr P

13 8 Se ordenn los polinomios en form descendente, en función de l vrible. Se sumn lgebricmente los coeficientes de los términos semejntes. P 0 P Respuest: P Ejemplo : Ddos los siguientes polinomios P y. Hllr P P P Respuest: 0 P Sustrcción de Polinomios Se sigue un procedimiento semejnte l dición o sum de polinomios, pero est vez, considerndo el signo negtivo que precede l sustrendo, se puede reescribir l operción NOTA: Est sum de polinomios, tmbién puede resolverse sumndo horizontlmente los coeficientes de los términos semejntes.

14 como un dición, considerndo que en lugr del polinomio ddo en el sustrendo se utilizrá el polinomio opuesto éste es lo que el signo menos nos está indicndo. Ejemplo : Ddos P y. Se pide encontrr P. L operción P se puede reescribir como P [ ]. Ahor se identific polinomio opuesto o simétrico de. Si tenemos entonces. Se ordenn los polinomios y se colocn en form verticl: P Luego procedemos sumr lgebricmente ley de los signos los coeficientes de los términos semejntes: P P P Respuest: P. NOTA: L rest o sustrcción de polinomios, tmbién puede resolverse horizontlmente, tomndo en cuent el signo negtivo que precede l sustrendo. Ejemplo 8: Ddos P y 9. Hllr P. Se multiplicn los signos P - 9 9

15 0 Observ que los signos cmbin l ser multiplicdos ley de los signos P 9 Agrupmos términos semejntes: P 9 Respuest: P Ejemplo 9: Ddos P 8 y. Hllr P P 8 P 8 P 8 P 9 8 Respuest: P Multiplicción de Polinomios Monomio por Polinomio: Este cso se present con much frecuenci y se resuelve utilizndo l propiedd distributiv de l multiplicción. El grdo del polinomio resultnte de l multiplicción de un monomio por un polinomio, es igul l sum de los grdos de mbos. Ejemplo 0: Multiplique por El grdo del monomio es y el grdo del polinomio es, por lo tnto el grdo del polinomio resultnte es. Vemos continución el producto:

16 Se multiplic por cd uno de los términos del polinomio. En cd término multiplicmos los coeficientes y multiplicmos ls vribles Respuest: 8 8 Ejemplo : Multiplique y por y y y y y y y Ordenmos el polinomio considerndo l vrible y y y y y Aplicmos el mismo procedimiento del ejemplo nterior, se multiplic los términos del polinomio y y y y y y y En cd término multiplicmos los coeficientes y multiplicmos ls vribles y y y y y y y y por cd uno de En este cso el grdo del polinomio resultnte será, debido que eiste un fctor donde l vrible y tiene eponente. Respuest: y 8 y y y NOTA: Cundo un polinomio tiene dos vribles se debe considerr un de ls dos, tnto pr ordenr el polinomio, como pr determinr su grdo. b Polinomio por Polinomio: Puede resolverse utilizndo l propiedd distributiv o pueden colocrse un polinomio bjo el otro y relizr un multiplicción en form verticl. El grdo del polinomio resultnte de l multiplicción de dos polinomios es l sum de los grdos de cd polinomio. Vemos continución como resolvemos el producto de dos polinomios:

17 Ejemplo : : Ddos los polinomios P y, hllr P. El grdo del polinomio P es y el grdo del polinomio es, por lo que el grdo del polinomio resultnte es. Ambos polinomios están ordendos en form descendente. Pr multiplicr mbos polinomios vmos colocrlos uno bjo el otro, preferiblemente el de myor número de términos rrib y el de menor cntidd de términos debjo. Si los polinomios no están ordendos, deben ordenrse preferiblemente en form descendente. Y nos qued: 8 Multiplicmos cd término del polinomio de bjo por todos y cd uno de los términos del polinomio de rrib De est form se pueden sumr directmente los términos semejntes, siempre y cundo estén mbos polinomios ordendos en l mism form descendente o scendente. Note que el grdo del polinomio resultnte de l multiplicción es l sum de los grdos de los polinomios. Respuest: P 8 0 Ejemplo : Sen P 8 y. Hllr P. P 8 Multiplicmos cd término del polinomio P por cd uno de los términos del polinomio. P

18 Multiplicmos los coeficientes y multiplicmos ls vribles y nos qued: P Ahor multiplicmos los coeficientes y plicmos ls propieddes de l potencición, y nos qued: P 0 Agrupmos los términos semejntes P 9 0 P Respuest: 9 0 P Ejemplo : Ddos los polinomios P y, hllr: P. P Multiplicmos cd término del polinomio P por cd uno de los términos de P

19 Multiplicmos los coeficientes y multiplicmos ls vribles y nos qued: P - Ahor multiplicmos ls frcciones, demás, plicremos ls propieddes de l potencición y nos qued: P Simplificndo ls frcciones: P Agrupmos los términos semejntes: P Resolviendo ls frcciones, nos qued que: Respuest: P

20 División de Polinomios Pr relizr est operción, el polinomio dividendo debe ser de grdo myor o igul l grdo del polinomio divisor. Al igul que en un división de números reles, los elementos que componen un división entre polinomios son: Dividendo, Divisor, Cociente y Residuo. Si el Residuo es cero l división se clsific como ect. Por ejemplo, dividir el polinomio P entre el polinomio, P, el dividendo es P, el divisor es y el cociente C. Además, P se define como quel polinomio que cumple con l siguiente relción: P C R ; donde R es el residuo. Vemos continución cómo hcer l división entre dos polinomios: Polinomio dividido entre monomio: Ejemplo : Se 0 y se. Hllr P P. P 0 P Cundo el denomindor es un monomio, se sepr l frcción originl en tres frcciones con igul denomindor, y obtenemos: 0 Luego simplificmos, tnto los coeficientes, como ls vribles: Respuest: P Dividiendo los coeficientes: 0 ; ; Dividiendo ls potencis: ; ; Ejemplo : Se P 9 y se. Hllr P. P P 9 9 Simplificndo, tenemos:

21 Respuest: P. NOTA: Observe que el resultdo de l división no es un polinomio, y que el eponente del último término es negtivo. Cundo dividimos en generl un polinomio entre otro polinomio o un monomio, el resultdo no siempre es un polinomio. Si observmos en el ejemplo, el eponente del término de menor potenci 9 es menor que el grdo del divisor. Sin embrgo, un cundo no es polinomio sí es un epresión lgebric. b Polinomio dividido entre Polinomio: El procedimiento que usremos pr resolver l división entre polinomio, será descrito en el siguiente ejemplo: Ejemplo : Hllr El dividendo es y el divisor es. Tnto el dividendo como el divisor tienen que estr completos y ordendos en form descendente; si ello no es sí, entonces éstos deben ordenrse y/o completrse, ntes de comenzr l división. Escribimos el ejercicio de l siguiente form, completndo con el coeficiente CERO los términos que fltn, como es en este cso: y el término independiente. Procedemos resolver: 0 0.-Multiplicmos por y lo colocmos bjo el dividendo, cmbindo el signo del resultdo:.- Dividimos entre usndo el procedimiento de los ejercicios nteriores

22 .-Summos verticlmente y bjmos los términos restntes pr proceder de l mism mner y sí logrr obtener un Residuo prcil. Respuest: Ejemplo 8: Ddos 9 P y. Hllr P. 9 P P Pr los psos comentdos de l solución refiérse l ejemplo nterior Dividimos el término del residuo prcil entre sí.- Repetimos el proceso hst que el grdo del residuo prcil se menor que el grdo del divisor. Observe que ést es un división ect Residuo R Residuo Prcil Residuo Cociente: C

23 8 Como R C P P y el residuo es diferente de cero, entonces 9 P P Respuest: P Operciones con Epresiones Rcionles: Adición de Epresiones Rcionles Pr l dición o sum de este tipo de epresiones, es conveniente seguir el procedimiento indicdo: Simplificr ls frcciones dds, si es posible. Si ls epresiones tienen distintos denomindores: Reducirls l mínimo común denomindor, si es posible. b Efectur ls multiplicciones indicds. c Sumr los numerdores de ls frcciones que resulten, grupndo términos semejntes y mnteniendo el denomindor común. d Simplificr l frcción que resulte, si es posible. Si ls epresiones tienen el mismo denomindor, seguir ls instrucciones prtir del literl c, del pso nterior. Ejemplo 9: Dds ls epresiones m y m, hllr : m m Observ que los denomindores son igules, por lo tnto, procedemos desde el pso c, summos los numerdores y se mntiene el denomindor. 9 m m m m Respuest: 9 m m m Ejemplo 0: Hllr :

24 9 Como los denomindores son distintos, procedemos clculr el m.c.m entre y que es, luego se divide el m.c.m. entre cd denomindor y el resultdo se multiplic por el numerdor correspondiente. 9 Sumr los numerdores de ls frcciones que resulten y ordenndo: 9 9 Respuest: 9 Ejemplo : Dds ls epresiones y, hllr :. Observ que los denomindores son distintos. Clculmos el mínimo común múltiplo mcm entre los denomindores, mcm [ ], se divide éste entre cd denomindor y el resultdo se multiplic por el numerdor: Aplicndo propiedd distributiv: 8

25 0 Finlmente, summos los numerdores de ls frcciones que resulten, grupndo términos semejntes y mnteniendo el denomindor común. 8 8 Respuest: 8 Sustrcción de Epresiones Rcionles Se sigue un procedimiento semejnte l dición o sum de epresiones rcionles, pero est vez, considerndo el signo negtivo que precede l sustrendo. Ejemplo : Dds ls epresiones y, hllr : Como los denomindores son distintos, reducimos l mínimo común denomindor, luego se divide éste entre cd denomindor y el resultdo se multiplic por el numerdor correspondiente. 9 Sumr los numerdores de ls frcciones que resulten, grupndo términos semejntes y mnteniendo el denomindor común. Recuerde que el signo menos fectn los signos de los dos términos de l epresión. 8 9 Respuest: 8 Multiplicción de Epresiones Rcionles L multiplicción de epresiones rcionles pueden ser sencills o complejs dependiendo de ls operciones que ésts involucren, tles como: fctorizción, productos notbles, simplificción y/o rcionlizción. En lgunos csos, debes utilizr uno o más de estos

26 procedimientos en el mismo ejercicio. En est oportunidd trtremos l multiplicción de epresiones rcionles sencills y quells que impliquen fctorizción y/o productos notbles, podrán trtrse con myor destrez en el curso Fundmentos de Mtemátic, que verás durnte el primer semestre. En generl, ls regls pr multiplicr epresiones rcionles son en este orden: Se simplific, suprimiendo los fctores comunes entre los numerdores y denomindores. Se multiplicn entre sí ls epresiones que quedn en los numerdores, y se multiplicn entre si ls epresiones que quedn en los denomindores. b Ejemplo : Dds ls epresiones, b y b, hllr : b Simplificmos los fctores comunes entre el numerdor y el denomindor: b b b b b b Se multiplicn entre sí ls epresiones que quedn en los numerdores, y se multiplicn entre sí ls epresiones que quedn en los denomindores. simplificndo el b b b Respuest: b b Divisiones de Epresiones Rcionles Eisten, por lo menos, dos procedimientos pr dividir epresiones rcionles: Primer procedimiento Multiplicndo el dividendo por el inverso divisor Ejemplo : Dds ls epresiones y hllr : b 9b b 9b Determinmos el inverso del divisor: 9b 9b

27 Epresmos l multiplicción del dividendo por el inverso del divisor b 9b b 9b Resolvemos plicndo el procedimiento pr multiplicr epresiones rcionles 9b b y finlmente simplificmos: b b b b b b b b b Respuest: b b 9b Segundo procedimiento: Multiplicndo en cruz: Aplicmos este método pr resolver el ejemplo nterior Ejemplo : Dds ls epresiones y. Hllr b 9b b 9b Multiplicmos cd numerdor por los denomindores de l otr frcción: 9b b b b 9b b b Ejercicios propuestos:. Hllr el vlor numérico de ls siguientes epresiones lgebrics, pr los vlores ddos:. y y pr, y c y y pr, y b. y pr, y 8. Pr cd un de ls siguientes epresiones grupe los términos semejntes: { b [ c b c b c ] } b mc [ c mc c mc c ]

28 9. Ddos los polinomios, P,, R y S: P ; ; 8 R ; S Hllr: P b P - R c -R S 0. Pr P b b, b b b b R b b b, S b b. Hllr: P b R P c R S. Ddos los polinomios, P y, hllr el producto P : P y y y ; y y b P ; m m c P m m ; m m m d P 8 9y y y y. Ddos los polinomios, P y, hllr l división P y determinr en cd uno de los csos cul es el cociente y cul es el residuo: P ; m 0y b P ; 9 8 c P 8 8 d P y y e P y 0 y y ; y y y

29 LECTURA N 9: PRODUCTOS NOTABLES Tomdo con fines instruccionles de: Sntmrí, J. 00. Productos Notbles. Artículo no publicdo pp.-8. Tinquillo, Estdo Cojedes. Al inicir nuestr ventur por el conocimiento de ls mtemátics, lo primero lo que hcemos referenci es l número como clse, según lo plnten lgunos, o como conjunto, según otros. L cuestión es que el hombre, en su inmens necesidd de orgnizrse en sociedd, poco poco, fue implementndo un lenguje simbólico que le sirvió de instrumento en ls ctividdes cotidins, tnto pr comunicrse como pr demrcr y estblecer norms de convivenci. Primero, se d cuent que el medio nturl le ofrece un serie de herrmients pr tl orgnizción; comienz utilizr ls piedrs como mecnismo de conteo; luego, descubre que puede hcer mrcs en los árboles, en el suelo, en ls predes de ls cverns y sí lleg, sin sber, l intuición de número. El estudio de los números, o mejor dicho l fse de estructurción de los números y su plicción en otrs rms de l mtemátic, como l geometrí, l ritmétic y el álgebr, no h sido fácil. Desde mucho ntes de Cristo, con Pitágors de Smos, psndo por Euclides, Al- Jwārizmī, Fermt, Descrtes, Leibniz, entre otros; todos ellos le dieron form y sentido todo ese conocimiento vgo que desde tiempos remotos, bbilonios y egipcios plicbn en su cotidinidd. Por ejemplo, en l ritmétic, que es l prte de l mtemátic que trt del rte o hbilidd pr contr, sólo se utilizn números o cntiddes conocids que medinte operciones de dición, multiplicción y potencición, de cuerdo con cierts propieddes y eistentes, es posible relizr todos los cálculos hbidos y por hber. En el álgebr, rm de l mtemátic que permite generlizr ls plicciones ritmétics, medinte el uso de cntiddes desconocids representds por letrs, tmbién se vlen de ls operciones de dición, multiplicción y potencición pr tles plicciones. Y en l geometrí del griego geō que signific 'tierr' y metrein 'medir', rm de ls mtemátics que se encrg de ls relciones métrics del espcio y sus propieddes, en su form más elementl y no tn elementl; utilizn el álgebr y l ritmétic pr formlizr y sistemtizr sus plicciones. Dentro de tods ests operciones elementles, como l dición, l multiplicción, l potencición, entre otrs, plicbles en tods ls rms de ls mtemátics nteriormente mencionds, trvés de propieddes de composición bien definids, se derivn procedimientos que permiten simplificr con myor fcilidd ls operciones indicds. Procedimientos como el producto notble y l fctorizción son herrmients muy práctics pr l gilizción en l búsqued de un resultdo concreto. Cundo se reliz un producto notble se está plicndo un multiplicción, pero se hce de un form direct reduciendo l operción un mínimo de psos posibles, por ejemplo en ritmétic no es muy frecuente encontrrse con un producto notble, pero se puede ejemplificr un ejercicio pr hcer sencills demostrciones, de l siguiente mner: 80

30 0 9 Si se reliz l multiplicción plicndo l propiedd distributiv, que es el proceso norml, el procedimiento se hce más lrgo; observ: 9 Ahor bien, si trbjmos dentro del álgebr, el mismo producto notble puede plicrse de l siguiente mner: y y. y..y y. y. y y y y 9 0y y Al llevr este mismo procedimiento l cmpo de l geometrí le drímos el siguiente enfoque: Supong un terreno de form cudrd, donde cd ldo mide y, clcul el áre del terreno: Pr hllr el áre de un cudrdo se multiplic lo que mide de ncho por lo que mide de lrgo; sí: y y y y y y y 8y, es el áre del terreno El producto notble es quell multiplicción que se efectú con epresiones lgebrics de form direct, plicndo un fórmul o procedimiento, de cuerdo un situción específic. Vemos lgunos csos específicos de productos notbles. EL CUADRADO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS Ejemplo : Supóngse que tenemos un región de form cudrd, cuys dimensiones son ls siguientes: de lrgo y de ncho mide " " uniddes. Necesitmos conocer el áre del cudrdo. Sbemos que pr clculr el áre de un cudrdo, sólo tenemos que multiplicr lo que mide de ncho por lo que Entonces; plicmos l fórmul: Áre mide de lrgo, Es decir: Áre del Cudrdo Lrgo Ancho Áre Ldo Ancho Lrgo Por Ley de Potencición: 8

31 Si plicmos l propiedd distributiv nos quedrí: X. X X X..X X.X Luego: Áre Desrrollmos est potenci de l siguiente mner: Doble Primer Término Segundo Término Primer Término Segundo Término El resultdo es un polinomio de tres términos: EL primer término l cudrdo, más el doble del producto del primer término por el segundo, más el segundo término l cudrdo Simplificndo el resultdo, tenemos que: 9 De est mner obtenemos el áre de l región cudrd: Áre 9 Ejemplo : Vmos desrrollr el Producto Notble: y y y y Simplificndo qued: y 0y y Cudrdo del er Término El Doble del producto: del er término por el do término Cudrdo del do Término Ejercicios propuestos: 0- - X/ /9 - / - - y z - X - b c - y y 8- En un club se dese crer un cnch pr l práctic individul de tenis y se dispone de un pred cudrd de ldo. Los especilists en ese deporte solicitn que se más grnde, por lo que se le ñdieron m cd ldo. Cuál es el áre de l nuev pred? CUADRADO DE UNA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS Se resuelve de l mism form que el cso del cudrdo de l sum de dos términos; sólo que pr desrrollr este cso hy que tomr en cuent el signo de los términos. 8

32 Ejemplo : Doble Primer Término Segundo Término Primer Término Segundo Término Simplificndo: 9 El cudrdo de un diferenci es igul : El cudrdo del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cudrdo del segundo Ejercicios propuestos: 9- X - 0- X/ - / - / - - X - - X y - - Si b y. b cuánto vle b? - Clcul los productos: b ué relción eiste entre ellos? Por qué? - Se necesit revestir un piso con cerámic, el cul tiene form cudrd de ldo, pero l cntidd de cerámic sólo cubre un superficie tmbién cudrd que tiene ¾ de metro menos por cd ldo del áre totl. Cuántos m de cerámic se comprron? 8- ué diferenci observs en estos ejercicios? : b - Después de resolverlos, qué precición tienes l respecto? EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN Ejemplo : Tenemos un región de form rectngulr cuys dimensiones y conocemos: Se necesit conocer el áre de l región. Sbemos que el áre de un rectángulo se clcul multiplicndo lo que mide de lrgo por el ncho. Entonces: Áre Lrgo Ancho 8

33 Desrrollmos este producto de l siguiente mner: [ ] Término Común Términos no comunes Término común Sum de términos no comunes Producto de términos no comunes El resultdo de este producto notble es un trinomio: El término común l cudrdo más el producto del término común con l sum lgebric de los términos no comunes más el producto de los términos no comunes. Simplificndo el resultdo, qued: Trinomio De est mner se obtiene el áre de l región rectngulr: Áre Ejemplo : Desrroll el producto: Término Común Términos no comunes Simplificndo cd término: Luego: El producto de los términos no comunes Producto del término común con l sum de los no comunes El cudrdo del término común 8 Ejercicios propuestos: /. / - y /. y Si se cumple que. b - 8 entonces cuánto vle b? - Pr qué vlores de l se cumple que el producto de: por

34 b - es igul cero? - Si un cudrdo cuy áre mide se le sum un ldo 9 cm. y en el otro se le rest cm, cuál será el áre de l nuev figur? b - Clcul el áre del siguiente rectángulo: LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR SU DIFERENCIA: Ejemplo : Se conocen ls dimensiones de un región rectngulr: Lrgo y Ancho Tenemos que clculr el áre respectiv: Pr hllr el áre de un rectángulo plicmos l Fórmul: Áre Lrgo Ancho. o Áre bse Altur Entonces, Áre Pr desrrollr este producto procedemos de l siguiente form: Sum Diferenci El resultdo de este producto notble es un binomio: El cudrdo del primer término menos el cudrdo del segundo término er Término l cudrdo do Término l cudrdo Simplificndo el resultdo: Luego: El áre de l región rectngulr es: Ejercicios propuestos: - y /. y / /. / 0- / /. / / Si un cudrdo cuy áre mide se le sum un ldo m y en el otro se le rest m cuál será el áre de l figur que se originó? - Clcul el áre de l figur sombred: EL CUBO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS: Ejemplo : Se debe determinr el volumen de un tnque que tiene form de cubo, conociendo sus dimensiones: 8

35 Lrgo, Ancho y Alto Pr hllr el volumen de un cubo plicmos l fórmul: Volumen Lrgo Ancho Alto Como ls tres medids son igules entonces Volumen Ldo Entonces: Volumen Por Ley de Potencición: Luego: Volumen Pr desrrollr est potenci procedemos sí:. esto por ley de potencición y como y sbemos clculr el cudrdo de un sum, tenemos que: esto por multiplicción de polinomios.. y esto por grupción de términos semejntes.... El resultdo de este producto notble es un polinomio: El cubo del primer término, más el triple del producto del primer término l cudrdo, por el segundo término, más el triple del producto del primer término por el cudrdo del segundo, más el cubo del segundo término. Triple Primer Término Segundo Término Primer Término Segundo Término Luego; simplificndo cd término:,, 8

36 De est mner tenemos que: Ejemplo 8: Desrrollr el producto notble: Si plicmos el procedimiento nterior; obtenemos: El cubo del primer término El triple del producto del primer término l cudrdo por el segundo término El triple del producto del primer término por el cudrdo del segundo.... El cubo del segundo término Sumndo estos términos Simplificndo cd término del resultdo 8 Luego, el polinomio se reduce : 8 Ejercicios propuestos: - - X/ / - y/ - 8- y z 9- b c 0- y y - Si el volumen de un cubo es cm Cuál será el nuevo volumen si se ument su rist en uniddes? 8

37 EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS. Se desrroll plicndo el mismo procedimiento de el cubo de l sum de dos términos, sólo que en este cso se debe tomr en cuent el signo de los términos. Vemos esto en un ejemplo: Ejemplo 9: Desrroll el producto notble: y y y y y Primer Término Segundo Término Simplificndo cd término en el resultdo: * y y * y y * y y y * 8 Luego simplificndo cd término, el polinomio resultnte es: y y y y 8 En resumen, obtenemos como resultdo: El cubo del primer término, menos el triple del producto del cudrdo del primero por el segundo, más el triple del producto del primero por el cudrdo del segundo, menos el cubo del segundo término. 88 Ejercicios propuestos: X / - X/ - / - / - - X - - y - z - y - 8- Compr los siguientes cubos - p b p - Son igules? Por qué? 9- Ls cjs pr emblje de mercncí de un empres tienen form cúbic con volumen de cm, con l finlidd de disminuir costos, l empres decide reducir el tmño del envse restndo uniddes con < l rist del cubo originl. ué fórmul permite conocer el volumen del nuevo envse? 0- Si b cuánto vle b? - Simplific ls siguientes operciones: c b [ 9 ] - Hll l sum de: el doble del cudrdo de l diferenci entre X y, con el triple del producto de l sum de X y por su diferenci.

38 LECTURA Nº 0: LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA DE SIMPLIFICACIÓN Tomdo con fines instruccionles de: Sntmrí, J. 00. L fctorizción como herrmient de simplificción. Artículo no publicdo pp.-. Tinquillo, Estdo Cojedes. L fctorizción, es el procedimiento contrrio l producto notble, consiste en trnsformr un epresión lgebric en un producto o multiplicción. Cundo un número o culquier otr epresión no pueden descomponerse en fctores, se dice que es un número primo. En ls operciones ritmétics y lgebrics se utiliz mucho el procedimiento de l fctorizción, como herrmient pr simplificr y resolver los ejercicios con menor dificultd y myor rpidez. Observ que hy un sum de frcciones; Por ejemplo: tnto en el numerdor como en el Aritméticmente: 9 9 denomindor de cd frcción, se hizo un descomposición en fctores con quellos números que no son primos, ejemplo:, y 9 Luego se cncelron quellos fctores igules en el numerdor y denomindor de cd frcción, simplificándose cd término. En el álgebr: Aquí tenemos otr sum de frcciones, pero no es ritmétic como l nterior. Se hizo un descomposición en fctores en el numerdor y denomindor de cd frcción. L epresión " " no se pudo descomponer por ser un polinomio primo. Luego, se simplificó cd frcción cncelndo fctores igules en el numerdor y denomindor. Cd frcción lgebric está compuest por epresiones llmds polinomios, que pr fctorizrlos se deben tomr en cuent lguns regls, un ejemplo de ello es l epresión " ", que represent un trinomio de cudrdo perfecto. Pr fctorizr este tipo de epresión primero se debe estr fmilirizdo con ell, pues eisten muchos csos de fctorizción pr ciertos tipos de polinomios. 89

39 LECTURA Nº : CÓMO COMPLETAR CUADRADOS? Tomdo con fines instruccionles de: Suárez, E. y Ceped, D. 00. Mtemátic de Educción Básic. Editoril Sntilln, S.A. p. 9. Crcs, Venezuel. Los primero que utilizron métodos geométricos pr buscr l solución muchos de los problems que hoy se resuelven medinte l simbologí lgebric, fueron los gringos y luego los árbes. Por ejemplo, Mohmmed l-khowrizmi propuso, hci el ño 8, un método geométrico pr obtener un solución positiv de un ecución cudrátic. De cuerdo con lo que él propuso, pr resolver l ecución 8, se siguen los siguientes psos: Suponemos que observemos el gráfico: 8 es un sum de áres, l cul nos d uniddes cudrds, El cudrdo tiene ldos de medids uniddes, pr hllr su áre multiplicmos lo que mide de ncho por lo que mide de lrgo. Así: Lrgo. ncho. Luego, Observ que se hn construido rectángulos cd ldo del cudrdo, cuyos ldos miden y uniddes, respectivmente est medid se obtiene de dividir 8, que es el coeficiente del término linel 8, entre el número de rectángulos. Al clculr el áre de uno de estos rectángulos result: Lrgo. Ancho. Entonces, l construir cutro rectángulos, se form un áre entre todos ellos que está representd por: El áre totl de los rectángulos, más el áre del cudrdo result Entonces, entre los cutro cudritos se tiene un áre igul uniddes cudrds, lo que indic que el cudrdo myor tiene un áre de: 9 Luego, Ahor, se construyen cudrdos pequeños en cd esquin de l figur pr completr el cudrdo myor. Como podrás drte cuent, cd cudrito tiene ldo igul uniddes, siendo el áre uniddes cudrds.

40 Tenemos un cudrdo cuyos ldos miden por lo que el áre serí: Lrgo. ncho. Pero y se conoce el áre totl que es 9 uniddes cudrds Entonces: 9 donde despejndo el cudrdo nos qued: 9 En conclusión, si volvemos l problem originl, el áre del cudrdo de ldo es igul :. 9 uniddes cudrds LECTURA Nº : MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Tomdo con fines instruccionles de: Ocho, A. 00. Métodos de Fctorizción. Unef. Artículo no publicdo pp.-. Crcs. Venezuel. L operción de descomponer en fctores los productos notbles, tmbién se llm Fctorizción. Es el proceso inverso l desrrollo de los productos notbles. Pr fctorizr polinomios eisten vrios métodos: FACTOR COMÚN Consiste en trnsformr l epresión dd en un producto, donde uno de los fctores es común entre los términos y el otro se obtiene l dividir cd término de l epresión originl entre el fctor común. Ejemplo :. Descomponemos el número en dos fctores y observmos que el es común en los dos términos. Multiplicmos y dividimos tod l epresión por el fctor común Est es l epresión y fctorizd Efectumos el cociente de cd término entre el fctor común Cundo nos piden scr fctor común o simplemente fctorizr y hy coeficientes con fctores comunes, se sc el máimo común divisor de dichos coeficientes. 9

41 Ejemplo : Fctorizr el polinomio 8 8 Ordenmos y clculmos el máimo común divisor entre los coeficientes de cd término, mcd,, Como l vrible es común en los tres términos, multiplicmos el mcd por l elevd l menor potenci que prezc. En este cso es elevd l Multiplicmos y dividimos tod l epresión por este fctor común Efectumos el cociente de cd término entre el fctor común Resolviendo cd cociente: - Se dividen los coeficientes, y - Se plic l ley de cociente de potencis de igul bse se copi l bse y se restn los eponentes y sí se obtiene l epresión fctorizd por fctor común Ahor etreremos fctores comunes diferentes por grupción de términos. Ejemplo : Fctorizr y 8y y 8y y 8y y 8y. y y y [. y y ] y. y y y y y y Formmos dos grupos considerndo que los dos primeros términos son divisibles entre y los dos últimos entre Multiplicmos y dividimos ls dos epresiones por estos fctores comunes Simplificndo Observ que surgió un nuevo fctor común entre los dos términos. Se procede multiplicr y dividir por el nuevo fctor común Simplificndo Obtenemos l epresión y fctorizd DIFERENCIA DE CUADRADOS Este cso se bs en l fórmul: Ejemplo : Fctorizr b b. b Epresmos todos los términos en cudrdos Tomndo en cuent que l fctorizción es el procedimiento inverso producto notble y como b. b b 9

42 Ejemplo : Fctorizr... Epresmos todos los términos en cudrdos Tomndo en cuent que l fctorizción es el procedimiento inverso producto notble: b. b b Como el segundo fctor tmbién es un diferenci de cudrdos, se procede fctorizrlo: TRINOMIO Se pueden conseguir tres csos: Trinomio de l form b: L fórmul generl viene dd por: b Ejemplo : y l fctorizrlo qued epresd como n. m donde n.m b y n m Buscmos dos cntiddes, tles que su producto se, ésts deben tener el mismo signo pr que el producto se positivo, y pr que l sum se -, deben ser los dos negtivos. Se sustituyen los coeficientes, un por un dición y l otr por un multiplicción. 0 Aplicndo l fórmul generl. Ejemplo : : Buscmos dos cntiddes, tles que l sum se 0 y su producto se. Se sustituyen los coeficientes, un por un dición y l otr por un multiplicción. 0 Aplicndo l fórmul generl. Ejemplo 8: Buscmos dos cntiddes tles que l sum se y su producto se -00. Pr que el producto se negtivo deben tener signos diferentes. 0. Se sustituyen los coeficientes, uno por un dición y el otro por un multiplicción Aplicndo l fórmul generl 9

43 . Trinomio cudrdo perfecto Se bs en ls siguientes fórmuls: b b b y b b b Anlizmos el procedimiento medinte el ejemplo Nº 9: 0 0 Verificmos si dos de los términos se pueden X y está en form de cudrdo epresr en form de cudrdo. 0. Tmbién verificmos si el término restnte se puede epresr como el doble producto de ls bses de los cudrdos. 0 Al cumplir ls condiciones, se ps fctorizrlo según l fórmul. Ejemplo 9: : 9 9 Verificmos si dos de los términos se pueden epresr en form de cudrdo. 9.. Tmbién verificmos si el término restnte se puede epresr como el doble producto de ls bses de los cudrdos. 9.. Epresmos el trinomio en cudrdos y productos. 9 Fctorizmos plicndo l fórmul. Trinomio de segundo grdo b c Cundo no se cumplen ls condiciones de los dos csos nteriores. En este cso, se procede de l siguiente mner: b c 0 Se igul tod l epresión cero 0. b ± b c Se clculn los dos vlores de, utilizndo l ecución cudrátic.. b c Se plic l fórmul generl. Ejemplo 0: Fctorizr el polinomio 9

44 0 b c - ±... ±. Igulmos cero y determinmos los vlores de, b y c. Sustituimos los vlores de, b y c en l ecución cudrátic Resolvemos lo que está dentro de l ríz: ± 9. ±. Etremos l cntidd subrdicl por ser un cudrdo perfecto. Obtenemos dos vlores de l uno sumndo y el otro restándolo. Así obtenemos: Reemplzmos los vlores en l fórmul generl. Recuerd que -- Regl de Ruffini Se plic pr culquier polinomio que tiene ríces enters; es decir, encontrr vlores de números enteros que l sustituirlos en el polinomio nos d cero. Por ejemplo, si un polinomio de curto grdo b c d e, tiene cutro ríces enters,,, y se fctoriz sí: b c d e Pero cómo se plic l regl de Ruffini pr obtener ls ríces? Ejemplo Nº : Fctorizr Se plic l regl de Ruffini, probndo los divisores del término independiente, en este cso de, o se que se prueb con, -,, -,, -,, -,, -, y 9

45 Probemos con uno Se copin los coeficientes del polinomio. Escribimos el número selecciondo l derech este lo llmremos ríz. Se copi el primer coeficiente debjo de él mismo Se multiplic l ríz por el primer coeficiente que se bjó y el producto se copi en l segund fil debjo del segundo coeficiente. Luego se efectú l sum lgebric de ls dos cntiddes ubicds en ls columns donde se colocó el producto. Se multiplic l ríz por el resultdo de l sum lgebric relizd y este producto se copi en l segund fil debjo del tercer coeficiente. Luego se efectú l sum lgebric de ls dos cntiddes ubicds en ls columns donde se colocó el producto. Se vuelve multiplicr y sumr el producto con el siguiente coeficiente Se efectú el último producto y l últim sum. Como el resultdo finl es cero o, esto nos indic que el sí es un ríz del polinomio y nos sirve pr fctorizr. Hst hor tenemos un producto como se observ l utilizr los nuevos coeficientes obtenidos. Si el resultdo hubiese sido distinto de cero, hbrí que seguir probndo los demás divisores de. De hecho y hemos fctorizdo el polinomio, pero el segundo fctor de tercer grdo debemos intentr seguir fctorizándolo. Probndo hor por y plicndo otr vez l regl qued: Así hemos conseguido l segund ríz, por lo que el polinomio v quedndo fctorizdo de l siguiente mner:

46 .. Ahor seguimos plicndo l regl pr encontrr ls otrs ríces L nuev ríz en - y el último cociente se tom con l ríz - L fctorizción finl es: Si en ls sucesivs pruebs no encontrmos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede fctorizr dentro de los números reles. RESUMIENDO: Según como se el polinomio hy métodos que se pueden plicr y otros que no. Se consej que se intenten plicr los cinco métodos sucesivmente, es decir, en primer lugr se puede etrer el fctor común, y luego se pueden seguir plicndo otros de los métodos. Ejercicios propuestos: Fctoriz: m m y y b Clcul el vlor de k en: P k si P 8- P k si P 8-8 9

47 8- Si el volumen de un prlelogrmo viene ddo por l fórmul: V. Cuáles podrín ser ls medids de ls rists lrgo, ncho y ltur? 8- Pr qué vlor de n se cumple que n? 8- De cuánts mners podemos fctorizr el número? 98