Expresiones Algebraicas

Transcripción

1 CAÍTULO Epresiones Algerics En Espñ, donde l influenci áre fue muy importnte, surgió el término álger, se utilizó pr referirse l rte de restituir su lugr los huesos dislocdos y por ello, el término lgerist hcí referenci l person que sí rreglr ls dislocciones (en El Quijote podemos encontrr estos términos en muchos de sus cpítulos). El liro Kit l-jr w l-muqlh, fue l or más importnte del mtemático áre Al-Khowrizmi, prte de su título dio nomre tod un disciplin mtemátic: el álger. Al-jr quiere decir lgo sí como "restitución", que es lo que se intent hcer cundo se resuelve un ecución, restituir el vlor de l incógnit. Con el álger psmos del número l símolo, de lo prticulr lo generl. L grn epresividd del lenguje lgerico fcilit l otención de relciones, propieddes y l resolución de prolems. r trjr eficzmente en mtemátics deemos operr convenientemente con epresiones lgerics, de modo que se trnsformen ls epresiones en otrs idéntics, pero más fáciles de mnejr. En este cpítulo: Adquiriremos destrezs pr conseguir identiddes que resulten más convenientes. Recordremos ls identiddes notles: cudrdo de un sum, cudrdo de un diferenci, diferenci de cudrdos. Recordremos ls operciones con polinomios. Aprenderemos que ls regl de Ruffini no sólo sirve pr dividir un polinomio por, sino que tmién es útil pr evlur polinomios. Descompondremos los polinomios en fctores cundo sus ríces sen enters. Aprenderemos que un frcción lgeric es el cociente indicdo de dos polinomios y que se comportn de form similr ls frcciones numérics. L ejercitción estrá destind dquirir práctic en el mnejo y comprensión de l fctorizción, de ls operciones con polinomios y de ls operciones con epresiones lgerics frccionris. Repsemos lgunos conceptos ásicos: Vriles o indeterminds: se llmn sí ls letrs que se utilizn en los polinomios, usremos fundmentlmente un, si necesitmos más usremos: y, z, t... Constntes: son números o epresiones que representn números y compñn ls vriles, pr ells se usn ls primers letrs del lfeto:,, c... Monomios son epresiones lgerics en ls que ls vriles están multiplicds entre sí y/o por constntes. 9

2 Ejemplos: y ; ; yz ; t ; L constnte del monomio se llm coeficiente; en los ejemplos nteriores, son coeficientes:, /,,, -, respectivmente. L, o ls vriles, de un monomio se l llm prte literl del monomio. El grdo de un monomio está ddo por el número de fctores literles y se otiene sumndo los eponentes los que están elevds ls vriles; sí: y es de grdo o tercer grdo es de tercer grdo yz es de curto grdo t es de segundo grdo es de primer grdo Ls constntes son monomios de grdo cero, se k culquier constnte, luego: 0 k k. k. Dos monomios del mismo grdo, con ls misms vriles elevds ls misms potencis, son semejntes Así, los monomios y y y son semejntes, tmién lo son y. No son semejntes estos últimos ninguno de los nteriores, pesr que todos tienen igul grdo. Es inmedito sumr o restr monomios semejntes: L sum de monomios no semejntes, por ejemplo: nunc es otro monomio, en este cso prticulr l sum nos d un inomio. Un inomio es l sum de dos monomios no semejntes, un trinomio, de tres y en generl, un polinomio es l sum lgeric de culquier número de monomios no semejntes (en prticulr, un monomio tmién es polinomio).. olinomios Ejemplos: ) y y y ) En delnte, trjremos solmente con polinomios en un sol vrile, como el polinomio del ejemplo ). Este polinomio es sum de cutro monomios no semejntes:,, y. Los coeficientes de estos monomios, llmdos tmién coeficientes del polinomio, son,, - y. Los grdos de estos monomios son,, y 0 respectivmente. El grdo del polinomio es el myor de los grdos de los monomios que lo formn. En este cso el polinomio es de quinto grdo. 0

3 En form generl: Un polinomio en un vrile rel es un epresión lgeric de l form: n n n ( ) n n n... 0 donde 0,,...n,n, n son constntes, llmds coeficientes del polinomio, n 0 es un número entero y es l vrile. Si n 0, es éste el coeficiente principl y n es el grdo del polinomio. A los monomios sumndos de un polinomio se los llm términos del polinomio. Algunos ejemplos: A ( ) ; B( ) ; C ( ) ; D ( ) 8 ; E( ) 0 A(), C(), D() y E() son polinomios completos porque están tods ls potencis decrecientes de. B(), es un polinomio incompleto porque fltn los términos de segundo y de cero grdo, B() se puede completr gregndo los términos que fltn con coeficientes igules cero: B( ) 0 0 El polinomio A() es de segundo grdo, los coeficientes son:, y ; y el coeficiente principl es. En B(), los coeficientes son, -, 0,, 0; el coeficiente principl es y el polinomio es de curto grdo, C() es un polinomio de primer grdo, con coeficientes, y el coeficiente principl es, D() es un polinomio de grdo cero, tiene un único coeficiente, que es tmién coeficiente principl: -8 y por último E() es el polinomio cero, que es el único polinomio l cul no se le sign grdo, y que no tiene ningún coeficiente distinto de cero, puesto que cero puede considerrse como: Los ejemplos nteriores nos muestrn el siguiente resultdo generl: Todo polinomio de grdo n tiene n + coeficientes. Operciones con polinomios De quí en delnte podremos oservr l grn similitud que eiste entre ls operciones con polinomios y ls operciones con números enteros... Sum y rest r sumr dos o más polinomios se grupn los monomios semejntes. A l rest de dos polinomios l trnsformmos en sum, sumndo l minuendo el opuesto del sustrendo. Ejemplo: Sumr y restr los siguientes polinomios: ( ) Q( )

4 L form práctic de sumr o restr es uicndo los polinomios uno dejo del otro, de mner que los términos semejntes queden en column: Sum: Q Q Rest: Q( ) Q EJERCICIOS.- Sen, Q y 0 R Determinr: ) el grdo de cd polinomio y sus respectivos coeficientes. ) Q S c) Q T d) R U e) el grdo de S, de T y de U.- Clculr los vlores de,, c y d pr que se cumpl: ) 9 d c ) c d.- Efectur ls operciones indicds y reducir l epresión resultnte: ) 0 ) 8.. Multiplicción Necesitmos previmente repsr: Ejemplos: 0 8 El producto de dos monomios es otro monomio con coeficiente igul l producto de los coeficientes de los fctores y el grdo es sum de los grdos de los fctores

5 En l multiplicción de un polinomio por un monomio, plicmos l propiedd distriutiv del producto respecto l sum: 0 Ahor si, estmos en condiciones de multiplicr polinomios y lo hcemos plicndo reiterdmente l propiedd distriutiv, es decir, se multiplic cd término de uno por cd término del otro, sí por ejemplo: 0 0 Un mner práctic de relizr l multiplicción de polinomios, efectundo los cálculos de mner ordend y segur, es l siguiente: Identiddes Notles Ests identiddes son importntes, ls encontrmos frecuentemente en los cálculos, por ello, se costumr llmrls notles Cudrdo de un inomio Cuo de un inomio Sum por diferenci Recuerd dejr un espcio cundo flt el monomio de grdo intermedio. ) )( ( ) ( r recordr

6 Ls identiddes notles son útiles en l fctorizción de polinomios, sirven pr trnsformr un epresión lgeric en otr más sencill, por ejemplo: l epresión finl 8 es ms sencill que l dd inicilmente y es idéntic ell, luego, podemos sustituir l primer epresión por l últim y el cmio es ventjoso. Más ejemplos: EJERCICIOS.- Clculr: ) ) c).- Si el polinomio A es de tercer grdo y grdo de A B?-.- Completr l siguiente multiplicción: B es de segundo grdo, cuál es el 8.- Desrrollr ls siguientes epresiones: ) ) c) e) d) f).- Fctorer (es decir, epresr como producto): ) 9 ) 9 c) d) e) f)

7 .. División Comenzmos dividiendo monomios: El cociente de dos monomios, uno de grdo m y otro de grdo n, con m n, es otro monomio, cuyo grdo es l diferenci de los grdos y el coeficiente se otiene dividiendo los coeficientes de los monomios ddos, es decir: m n mn : Ejemplos: : : 8 : Recordemos como se procede en l división de dos polinomios relizndo un ejemplo. Ejemplo Dividir: por Q pr ello uicmos los polinomios como sigue: cociente sos relizdos resto. Ordenmos según ls potencis decrecientes el dividendo y el divisor. Completmos el dividendo.. r clculr el primer término del cociente, dividimos el término de myor grdo del dividendo por el término de myor grdo del divisor:. El producto de por Q (divisor), se coloc jo el dividendo y se rest.. El primer resto prcil es, jmos el término:, prtir de quí procedemos repetir lo relizdo en y.. Detenemos el proceso cundo el grdo del resto es menor que el grdo del divisor. En nuestro ejemplo tenemos: C( ) 9 y R( ) 8 En l división nterior, hemos dividido dos polinomios: el dividendo Q, oteniendo dos polinomios: el cociente C y el resto R definición de cociente, tenemos: y el divisor. Luego, plicndo l

8 () Q () de donde ( ) Q( ) C( ) R( ) R () C() o ien, dividiendo mos miemros de l iguldd nterior por ( ) R( ) C( ) Q( ) Q( ) Q : Un cuestión importnte pr recordr es que el resto R ( ), es un polinomio de grdo menor que el grdo del divisor Q ( ), o es cero. Según esto, el resultdo de l división en generl no es un polinomio. Vemos est firmción plicndolá en el Ejemplo : ( ) Q( ) 9 8 () Oservndo l epresión (), vemos que el grdo del cociente es l diferenci de los grdos del numerdor y del denomindor, el grdo del resto es menor que el del denomindor. El último término es un epresión rcionl que se sum l cociente, luego () no es un polinomio. A l división entre polinomios, se le llm división enter, cundo el resto es distinto de cero. Cundo el resto es cero, l división es ect. L siguiente es un división ect 8 : el cociente es el polinomio y es resto es cero, por lo tnto odemos firmr que: 8. Cundo l división es ect, el cociente es un polinomio EJERCICIOS.- En un división de polinomios, el dividendo es de curto grdo y el divisor de segundo grdo. ) Cuál es el grdo del cociente?. ) Qué puede decir del grdo del resto?..- Clculr ls siguientes divisiones ) ) c) d) e)

9 .- Cuánto deen vler m y n pr que l siguiente división: m n ) se ect?. ) teng resto?... División de un polinomio por Los polinomios, en similitud con los números enteros, se pueden descomponer en producto de fctores, luego, cd uno de esos fctores divide l polinomio ectmente. El prolem que se nos present es determinr esos fctores, es decir: Tenemos el polinomio ( ) ; Eistirá lgún polinomio distinto de él mismo y de tl que pued dividirlo de modo que l división se ect? Est pregunt es difícil de responder en el cso generl. Comenzremos l úsqued de esos divisores considerndo polinomios especilmente simples, como son los de l form. r efectur divisiones de este tipo disponemos de un recurso práctico y cómodo conocido como l:... Regl de Ruffini L recordmos plicándol en un división: Ejemplo : Dividir el polinomio por usndo l regl de Ruffini Resto Los psos seguidos son los siguientes: Coeficientes del cociente. En l primer fil del cudro nterior se colocn los coeficientes del polinomio completo y ordendo según ls potencis decrecientes de.. En l segund fil, l izquierd se escrie, en este cso,. En l tercer fil, se j el coeficiente del término de myor grdo: (éste será el coeficiente del º término del cociente).. Los otros números de l º y º fil se vn oteniendo de l siguiente mner: multiplicmos, que v dejo del coeficiente del º término y en l º fil y luego se sumn, es decir, ( ). Así otenemos el º coeficiente del cociente, uicdo en l º fil.

10 . Reitermos el proceso: ( ) hst terminr.. Este último número:, es el resto de l división (nturlmente nos tení que dr un número porque el resto es siempre de menor grdo que el divisor, por lo tnto, en nuestro cso el grdo del resto dee ser 0.. Ahor podemos rmr el resultdo de l división, el grdo de éste es un unidd menor que el grdo del dividendo puesto que estmos dividiendo por un polinomio de º grdo: por lo que el cociente es: C ( ) 8 y r Oservción: L Regl de Ruffini l podemos plicr sólo cundo dividimos un polinomio () por otro de l form, el cociente C () otenido, es un polinomio de grdo menor en un unidd l de () y el resto r es un constnte. Al dividendo de l división podemos escriirlo sí: 8 dividiendo mos miemros de l epresión nterior por, podemos epresr el cociente: 8 oservmos que el cociente nterior no es un polinomio En un división ect el último término no prece porque el resto es cero, entonces, en este cso, el cociente nos d un polinomio. Vemos el cso donde l división es ect: Ejemplo : C r 0 Anlizndo los coeficientes otenidos podemos etrer otrs consecuencis importntes: Oservmos que pr que l división se ect deen ser igules y de signos opuestos, el término independiente del dividendo, 9 y el producto 9. Esto es: 9 es múltiplo de. Luego, podemos enuncir, lgo precido un criterio de divisiilidd de polinomios: Si un polinomio tiene coeficientes enteros, pr que se divisile por necesrio que su término independiente se múltiplo de es 8