Material Complementario Matemática Básica

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1 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Primer Semestre 006 Autores: M Adl, MC Silv, A Lizn, M Glz & V Fzio DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

2 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 UNIDAD I: PREPARACIÓN PARA EL CÁLCULO Introducción En est Unidd recordremos lgunos conocimientos de Álger en los números Reles, lguns operciones que se pueden relizr con ls epresiones lgerics y ecuciones de primer grdo.. Término Algerico: Se llm término lgerico un cominción de números (coeficiente) y letrs (fctor literl) que se relcionn entre sí por medio de l multiplicción y / o l división. Ejemplo. ; 6 p ; y Oservción: El término lgerico const entonces de un coeficiente y un fctor literl. Se le llm grdo del término lgerico l sum de los eponentes de ls letrs que precen en el término. Ejemplo. En el término literl, y el grdo. y identifique, signo, coeficiente, fctor Solución: Signo : negtivo ( - ) Coeficiente : Fctor literl : y Grdo : 7 Oservciones: ) Si el coeficiente no está escrito entonces es. Actividd: ) Si no prece el signo este es. ) Si el grdo no está escrito, entonces es. Identific, el signo, el coeficiente, el fctor literl y el grdo, de los términos del Ejemplo. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

3 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Epresión Algeric: Se llm epresión lgeric culquier sum o rest de términos lgericos. Si l epresión tiene sólo un término se llm monomio, si posee dos términos se llm inomio; si tiene tres términos se llm trinomio; si tiene cutro o más se hl de polinomios. Ejemplos Binomios : y ; Trinomios : y z ; c Polinomios : y y 6z 8yz ; Oservción: El término polinomio se puede usr en form generl pr culquier epresión lgeric.. Términos Semejntes: Son quellos términos que poseen el mismo fctor literl (en donde cd letr tiene el mismo eponente), pero distinto fctor numérico o coeficiente. Ejemplo: z ; z ; z Clrmente se puede precir en el ejemplo que los términos nteriores son semejntes entre sí, y que, solmente difieren en el fctor numérico. Oservción: Reducir un epresión lgeric, signific sumr y/o restr solmente los términos semejntes. Ejemplo: 6 y y z En el ejemplo hy que reconocer los términos semejntes. En este sentido, tenemos tres términos diferentes ( ; y ; z ). Por lo tnto relizndo l sum de los términos semejntes correspondiente tenemos como resultdo lo siguiente: 7 y z El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

4 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Potencis. n Definición:, se lee: elevdo n, donde n es el eponente ( n Z ), y es l se ( IR ). Propieddes de ls Potencis. ) m n m n : en el producto de potencis de igul se y distinto eponente, se sumn los eponentes y se mntiene l se. Ejemplo m mn ) si 0 : en l división de potencis de igul se, se conserv n l se y se restn los eponentes Ejemplo 6 m n m n ) ( ) : Cundo hy un potenci elevd otr potenci, se dee multiplicr los eponentes conservndo l se. Ejemplo ( ) 6 m m ) si 0 : Un cuociente elevdo un potenci, es igul l m numerdor y l denomindor elevdo l mism potenci. Ejemplo 8 7 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

5 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ) 0 si 0 : Tod se distint de cero, elevdo un eponente cero es igul que Ejemplo 0 n 6) si 0 : Tod se distint de cero, elevd un eponente n negtivo es igul que el recíproco del número elevdo es potenci, pero positiv. Actividd: Ejemplo Invent dos ejemplos pr cd un de ls propieddes ntes mencionds. Puedes pror l propiedd número?. Multiplicción de Polinomios. Pr l multiplicción de polinomios se plicn los propieddes de conmuttividd, socitividd (de l dición y multiplicción en IR ) y l propiedd de l distriutividd de l multiplicción con respecto l sum. Pr tl efecto se distinguirán tres csos: ) Monomio por monomio. Se multiplicn los coeficientes numéricos y los fctores literles. Ejemplo: ( y ) ( y ) 0 y ) Monomio por Polinomios: Se distriuye el monomio con respecto cd término del polinomio, de este modo se otiene un sum de monomios, en l cul si hy términos semejntes se deen reducir. Ejemplo: ( ) c) Polinomio por Polinomio: Cd término del primer polinomio se multiplic por cd término del segundo polinomio, reduciendo continución los términos semejntes (si es que huiesen). A este tipo de multiplicción se le llm multiplicción término término. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

6 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo: ( 6y) ( y y) 6 y 8 y 8y y y Ejercicios: Efectúe ls siguientes operciones. ) ( ) ) ( ) c) 6 ( ) d) 6 y ( y y y ) e) 6 ( m mn n ) m n f) 6m (m n) m (6m n) g) ( y) ( y y ) h) ( ) ( ) 6. Productos Notles. Dentro de l multiplicción lgeric eisten lgunos productos que se pueden desrrollr en form direct y más rápid sin hcer l multiplicción término término. ) Cudrdo de Binomio. El cudrdo de un inomio es igul l cudrdo del primer término, más o menos el dole producto del primero por el segundo, más el cudrdo del segundo término. En lenguje lgerico esto se epres de l siguiente form: ( ± ) ± Ejemplo ( ) 0 Ejemplo y y y El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

7 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ) Sum por Diferenci. L sum por l diferenci de un inomio, es igul l cudrdo del primer término del inomio, menos el cudrdo del segundo. Algericmente esto se epres como sigue: Ejemplo ( 6) ( 6) 6 ( - ) - ( ) Ejemplo y y y c) Binomios con Término Común. Pr multiplicr dos inomios que tienen un término común, el procedimiento es el siguiente: se elev l cudrdo el término común, más l sum de los otros dos términos por el término común, más el producto de los dos términos no comunes. Algericmente esto se puede epresr como sigue: ( ) ( ) ( ) Ejemplo Ejemplo Ejemplo ( )( ) 7 0 ( )( ) 6 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

8 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ( )( ) 6 0 Actividd: Resuelv los siguientes productos: ) p ) ) ( q ( ) c) ( y) ( y) d) ( ) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( 9) g) ( )( ) h) ( r s) i) ( ) j) ( ) 7. Fctorizción. Fctorizr un epresión lgeric (o sum y/o rest de términos lgericos), consiste en escriirl en form de multiplicción, es decir es el proceso inverso de l multiplicción o desrrollo de un producto. Distinguiremos los siguientes csos: ) Fctor Común: Monomio: en este cso se sc el término que es común en todos los términos del polinomio y el resultdo se escrie como producto, por ejemplo: c d ( c d) Binomio: En este cso se fctoriz el inomio que se común en tod l epresión lgeric y se epres como producto, por ejemplo: ( ) c ( ) d ( )( c d) ) Diferenci de dos Cudrdos. Este procedimiento consiste en epresr como producto, l diferenci de dos términos que están l cudrdo, por ejemplo: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

9 Mteril Complementrio Mtemátic Básic ( ) ( - ) Ejemplo: ( ) ( )( ) c) Trinomio Cudrdo Perfecto. Recordemos que l desrrollr un cudrdo de inomio se otiene como resultdo un trinomio, este trinomio lo denominmos trinomio cudrdo perfecto y su fctorizción consiste en volver trás recuperndo el cudrdo del inomio ( ) ± ± Ejemplo: 9 0 ( ) Actividd: Fctorice ls siguientes epresiones. ) m m ) 9 8 t t t c) z y z y z d) y y y e) z y 0yz f) g) 6 m n z h) 8 6 i) t t 9 j) 8. Frcciones Algerics. Un frcción lgeric es el cuociente de dos epresiones lgerics. Ejemplos: y ; y ; 6mp 8y El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

10 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Simplificción de un Frcción Algeric. Pr l simplificción de un frcción lgeric, es necesrio que el numerdor y el denomindor tengn un fctor común. En este sentido, distinguiremos dos csos. ) Si el numerdor y denomindor son monomios, se cnceln los fctores comunes. Ejemplo y simplificndo, qued: y y Ejemplo es decir: 6m p q 7mp q en este ejemplo se dee fctorizr y simplificr por mp q, 6m p q 7mp q mp mp q(m) q(9 pq) 6m p q 7mp q m 9 pq ) Si el numerdor y/o denomindor son polinomios, es necesrio fctorizr el numerdor y/o denomindor y luego cncelr los fctores comunes. Ejemplo En primer lugr se dee fctorizr el denomindor, lo cul qued hor se cnceln el fctor común quedndo ( ) l epresión ( ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

11 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo ( ) 6 Al igul que en el ejemplo nterior se dee fctorizr cncelndo los fctores comunes l epresión finl qued ( ) Ejemplo ( m n ) ( m n ) ( m n ) ( m n) ( m n) m n m n m n Actividd Simplific ls siguientes frcciones lgerics: m m n mn ) m nm ) ( ) c) m m 8m 6 d) p p p 0. Opertori Con Frcciones Algerics Pr sumr y/o restr, multiplicr y dividir frcciones lgerics se plicn ls propieddes de los números reles. Ejemplo Solución: Sume ls siguientes epresiones Tl como se hce en l sum de frcciones se dee encontrr el común denomindor, en este cso los denomindores son igules, por lo tnto el común denomindor es 0 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

12 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. Sumndo tenemos luego se fctoriz el numerdor ( )( ). Cncelndo, l epresión finl qued ) ( Ejemplo Resuelv: 6 Solución: En éste cso hy que recordr como se dividen ls frcciones 6, simplificndo por ) ( qued: 6 y fctorizndo el numerdor ( ) Finlmente l epresión se reduce : Actividd: Resuelve los siguientes ejercicios ) m n m n m n ) c) d) 9 e) f) 6 6 g) h) 0 8 i) 6 7 p p p q p p q p k) 6 l) 9 6 m) m m mn m

13 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Ecuciones. Un ecución es un iguldd, l cul present un o más incógnits, y que es verdder solmente pr lgunos vlores de ests incógnits. Oservción: El grdo de un ecución está determindo por quel término con myor eponente. Ejemplos: Ecución de primer grdo con un vrile y Ecución de primer grdo con dos incógnits 8 0 Ecución de segundo grdo con un vrile 6 0 Ecución de tercer grdo Oservción Se llm ríz o solución de un ecución quellos vlores de l incógnit que verificn l iguldd... Ecuciones de Primer Grdo o Lineles. Resolver un ecución signific encontrr precismente quellos vlores, pr lo cul l ecución se verdder. Pr resolver ests ecuciones veremos lguns propieddes. Propieddes. Propiedd de l sum y de l rest: Al sumr o restr un cntidd mos ldos de l iguldd, ést persiste: / ± c ± c ± c,, c R. Propiedd de l Multiplicción: Si se multiplic l iguldd por un cntidd, ést se mntiene. / c c c,, c R El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

14 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Propiedd de l División: Al dividir mos miemros de l iguldd por culquier cntidd distint de cero, ést se mntiene. / c,, c R c 0 c c. Propiedd de l Potenci: Al elevr mos miemros de l iguldd por un potenci distint de cero, ést permnece. c / c ( c ),, R c Z pero c 0. Propiedd de l Ríz: Al etrer l mism ríz en mos miemros de l iguldd, ést se mntiene. / c c c, > 0 ;, R ; c IN Ejemplo Resolver l ecución Utilizndo l Propiedd, se tiene: / () Verificción: Si 8 8 / El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

15 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 se puede firmr que es l solución de l ecución. Ejemplo Resuelv l siguiente ecución ( ) ( ) Solución: Primero se resuelven los préntesis: 0 Luego se dej l incógnit un ldo de l iguldd: 0 Sumndo: Verificción: ( ( ) ) ( ( ) ) ( 0 ) ( ) 0 0 es l solución de l ecución. Solución: Ejemplo Resolver Muchs de ls ecuciones son presentds en form frccionri como en éste cso. Pr resolverls se dee primero clculr el mínimo común múltiplo (l igul que en l sum o rests de frcciones). En éste ejemplo el mínimo común múltiplo entre y es 6. / 6 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

16 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Luego l mplificr tod l epresión por 6 qued: Y simplificndo qued: 6 Oteniendo de ést form un ecución linel de primer grdo, lo cul y ses resolver. L solución de l ecución es: Ejemplo Resolver l ecución 0 Solución: El mínimo común múltiplo entre, y 0 es 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 60 ( ) No tods ls ecuciones dn como resultdo un número entero, ce recordr que ls soluciones de ls ecuciones puede ser culquier número rel (enteros, frcciones, decimles) e incluso no tener solución. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

17 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo Resolver l ecución Amplificndo por 60 l ecución qued Ejercicios: Resuelv ls siguientes ecuciones: ) ) c) d) ( ) [ ( ) ] ( ) e) 7 y y 9 9y 8 f) ( ) ( )( ) ( ) g) h) 0 0 i) 0 0 j) 6. Ecuciones de primer grdo frccionris. Hst hor hemos trjdo en l resolución de ecuciones, donde l incógnit se present en el numerdor. Sin emrgo, eisten ecuciones en que l vrile se encuentr en el denomindor, el procedimiento pr resolverls es El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

18 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 nálogo l nterior, es decir se dee utilizr l técnic de multiplicr por el mínimo común múltiplo de ls epresiones que son denomindores y simplificr l máimo ls frcciones. Ejemplo Resolver l siguiente ecución 0 Solución: Clrmente, el común denomindor es éste vlor., por lo tnto se mplific l epresión por / 0 despejndo l epresión qued: Ejemplo Resolver l ecución 0 Solución: 0 / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

19 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Simplificndo: ( ) [ ( ) ] Despejndo qued: 9 Actividd. Resuelve ls siguientes ecuciones. ) 6 8 ) c) 0 d) 9 e) f) 6. Ecuciones de Primer grdo literles Ahor trjremos en l resolución de ecuciones, donde l incógnit se present en el numerdor y compñd de coeficientes literles. Sin emrgo, eisten ecuciones en que l vrile se encuentr en el denomindor compñd de coeficientes literles, el procedimiento pr resolverls es nálogo l nterior, es decir se dee utilizr l técnic de multiplicr por el mínimo común múltiplo de ls epresiones que son denomindores y simplificr l máimo ls frcciones. Ejemplo Resolver l siguiente ecución ( ) Solución: / ( ) /, con 0, con 0 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

20 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo Solución: Resolver l siguiente ecución ( ) ( ) ( ) / ( )( ) Actividd. Resuelve ls siguientes ecuciones. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( p) ( p) ( p) - p (p ) c) ( ) ( ) ( ) d) e) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

21 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Rzones, proporciones y porcentjes. Rzones Cundo se comprn dos cntiddes por medio del cuociente se hl de l rzón entre dos cntiddes. L rzón entre m y n se escrie m : n y se lee: m es n. El vlor de l rzón es l resultnte de efectur el cuociente numérico de los términos de l rzón y se not n m, unque su vlor se puede epresr como frcción (número rcionl) o como deciml. Cundo ls dos cntiddes son de l mism especie el vlor de l rzón es un número strcto. Por ej., l rzón entre 80 Km y 6 Km es 80 Km : 6 Km 80 Km y su vlor es (sin especie). Este vlor indic que 80 Km es veces 6 6 Km Km, o ien, que 6 Km es un quinto de 80 Km, (l quint prte). Pero tmién se puede estlecer l rzón entre cntiddes de especies diferentes. En Físic eisten muchs rzones entre cntiddes no homogénes en cunto su especificción. Por ejemplo, l rzón entre l ms de un cuerpo de 6 Kg 6 Kg y su volumen de dm³ es 6 Kg.: dm y su vlor es Kg/dm ; dm est rzón semos que epres l densidd del cuerpo. En generl, en l rzón m : n ls cntiddes m y n pueden o no ser de l mism especie y epres numéricmente l medid de m con respecto un unidd de n. En l rzón cd término recie un nomre especil. El primero será el ntecedente de l rzón y el segundo será el consecuente de l rzón. El ntecedente se corresponde con el numerdor de un frcción o con el dividendo de un división y el consecuente se corresponde con el denomindor o con el divisor. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 0

22 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplos.- Determine el vlor de l rzón entre 8 Kg. y 7 Kg..- Estlezc el vlor de l rzón entre 0 cm. y 6 m..- Oteng l rzón entre $6.00 y 60 m²..- Qué prte es $0 de $80?. Proporciones El vlor de l rzón : es y el de l rzón : tmién es. Luego, ests dos rzones son igules, o se : :. En generl, si c c k y k se otiene l iguldd, o ien : c : d d d Llegmos de est mner l iguldd de dos rzones o proporción. Est proporción se lee es como c es d. (Quiere indicrse con esto que es tnts veces como lo es c de d). En un proporción el ntecedente de l primer rzón y el consecuente de l segund se llmn etremos, y el consecuente de l primer rzón con el ntecedente de l segund rzón, se llmn medios. y d son etremos : c : d 6 : 0 : y c son medios 6 y son etremos y 0son medios Teorem fundmentl de ls proporciones En tod proporción se verific que el producto de los medios es igul l producto de los etremos.es decir: dd l proporción : c:d siempre se cumple que: d c. Ejemplo 6: 0:0 es un proporción y que En cmio l relción :7 : no es un proporción pues 7. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

23 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Porcentjes y plicciones En el último mes de julio unos lmcenes hicieron un rej del % sore los precios de junio en los rtículos de rop pr jóvenes. Un pntlón cost en junio $.000. Qué descuento hy que plicrle?. Cuál es su precio de vent en julio? El porcentje es un cso prticulr de ls proporciones. Un % de descuento signific que de cd $00 del precio del rtículo, el comercio descuent $. El importe del descuento es un mgnitud proporcionl l precio originl. Por lo tnto, pr resolver el prolem hy que plicr el siguiente esquem El cul nos conduce l proporción : 00 :.000 y por lo tnto, el descuento plicdo es $.600. El precio finl de compr es de: $.000 $.600 $0.00. El porcentje es quizás el ejemplo de proporciones que con más frecuenci se present en l vid cotidin. L rzón de proporcionlidd en los prolems de porcentje es un cuociente cuyo denomindor vle siempre 00. Así, en nuestro ejemplo, l rzón es de /00 0,. El prolem se puede resolver multiplicndo el precio originl por l rzón de l proporción, es decir, el descuento será de: $.000 0, $.600 Ejemplo Ciert cs comercil pulicit lo siguiente: Precio de un T.V. color de : $ Precio en ofert : $ Precio de un Minicomponente : :$ Precio en ofert : $ Precio de un Personl Estéreo : $.800. Precio en ofert : $6.00. En cuál rtículo es myor el porcentje de descuento? Solución: ) Televisor: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

24 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Aquí el todo es: Prte de este todo: Por lo tnto: En frcción deciml (denomindor dividido por 00, por ciento o porcentje): 8, 00 ; es decir 8,%. En consecuenci el porcentje de descuento es:00% 8,%,7% ) Minicomponente Todo Prte de este todo , es decir 88%. Por lo tnto, el porcentje de descuento es % c) Personl Estéreo Todo.800 Prte , es decir 7%. El descuento es de %. 800 Conclusión: Al comprr los porcentjes de cd descuento, se concluye que en el cso del Personl Estéreo, es myor el porcentje de descuento. Ejemplo El % de 70, signific: 00 de 70, lo que, en números rcionles, se entiende 7 como: 70, y est frcción deciml, se escrie:, El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

25 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 GUIA UNIDAD I: PREPARACIÓN PARA EL CÁLCULO. Reduzc términos semejntes: ) y 7y 9y 6y Resp.: 9 y y ) y y 9y y y y y Resp.: 8 y 0y. Elimine préntesis y reduzc: ) ( ) ( ) ( ) ( ) Resp.: ) p [ q (r p q)] r Resp.: p q r c) m [ (m n) (m n)] (m n) Resp.: m 8n d) p q { r [ p q (r p q) (r q)] p} Resp.: p q r e) ( ) ( ) ( ) ( ) Resp.: 7 8 f) [ ( ) ( )] Resp.: 9 7 g) { [ ( c) ( c)] } c Resp.: 6 0c h) [ ( 8) ( 8)] Resp.: 8 7 i) { [ (c ) ] ( c )} Resp.: 6 c. ) Ddos los polinomios: A 7 ; B 8 ; C 6 Determine: i) A B C Resp.: 0 ii) (A B) C Resp.: ) Ddos los polinomios: A 6; B ; C 8 Determine: i) (A C) (B C) Resp.: ii) AC BC Resp.: iii) ( A) (B C) Resp.: 7 iv) B (A C) Resp.: Ddos los polinomios: P, Q 7, y R 6 ) Clculr P Q ) Clculr P Q c) Clculr R ( P Q ). Multiplicción de monomios ) ( ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

26 Mteril Complementrio Mtemátic Básic mn mn m n ) ( ) c) ( )( )( ) 6. Multiplicción de monomios por polinomio ) z ( 0y y ) y ) y ( y y y y ) c) y ( y y ) 7. Multiplicción de polinomio por polinomio. ) ( p q )( p p q q ) ) ( y z )( y z) c) 6 y y ( y) 8. Productos notles 6 ) ( y y z ) ) ( ) ( ) c) ( y) ( y) ( y) d) e) f) ( )( ) ( )( ) 7 7 p q p q g) 9. Desrrolle y reduzc: ) ( y) (y y ) Resp.: 6 y y 0y ) ( 6) ( ) Resp.: 6 c) ( y ) Resp.: 6 8y y d) (p q ) (p q ) Resp.: 6p q 6 e) ( y ) Resp.: y y 6 f ) ( ) ( ) ( ) Resp.: g) ( 6) ( ) ( 8) ( 8) Resp.: 6 6 h) (p q) (p q) (p q) Resp.: 7p 9q pq El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

27 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 i) ( )( ) Resp.: 9 j) ( y)(y ) Resp.: 7y y k) ( y) ( y) ( y) Resp.: 7 0y 0y l) (p q) (p q) (p q) (p q) Resp.: p 8pq 0q m) ( ) ( ) ( )( ) Resp.: 6 6 n) [( y) ( y) ] (y ) Resp.: y 6y 9 ñ) ( y )( y ) [( y) (y 6) ] Resp.: 68 y 78 y o) ( y) ( y) ( y) ( y) Resp.: 6y 6 y p) ( y z) ( y z) Resp.: y z yz q) ( c) ( ) ( - c) Resp.: 8c 8 6c r) ( ) ( ) Resp.: s) ( y) ( y) ( y) Resp.: y y 7y p) ( )( 9)( ) Resp.: 8 q) [( ) ( ) ] Resp.: Ddos los polinomios: A ; B 6 0 C Determine: 9 ) A B C Resp.: 6 0 ) C B A Resp.: 8 0. Desrrolle: ) ) c) d) ( ) e) ) ) Resp.: ) ( ( f) ( ) ) 6 9 y 6 c) 7 d) 8 6 e) 6 f) 9 y y y El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

28 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Desrrolle y reduzc términos semejntes: ) ( ) ( ) ) 6 c) 0 d) e) y y 0 Resp.: ) 9 ) c) 7 d) e) y y y Opere y simplifique y/o fctorice. q q q. c c. 6 7 y y 8y 9. y y y 8 8. ( )( ) y( ) 6. m ( c) n( c) c 7. ( ) ( ) ( ) 8. y z yz 9. m n m n 6mn 9m n 0. ( ) ( ) y 9y 9. Simplifique ls siguientes frcciones lgerics: y y 0 7y y R:. R:. R:. R:. 8 y y El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

29 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento ( )( ) ( )( ) y y 8 6. y ( )( ) ( )( ) ( )( ) h kh h k k k h y y y. ) ( 9 y y R:. R: 6. R: 7. R: 8. ( ) 6 R: 9. 9 R: 0. (h k) R:. y R:. y y. Opere y simplifique: m m m m m m m m m m 7. p p p p p y y y y 9. y y y y y : 8. : 6. Opere y simplifique como frcción lgeric: ) Resp.:

30 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9 ) Resp.: 0 c) Resp.: d) ( ) ( ) Resp.: ( ) e) : 7 Resp.: 7 f) : Resp.: ( ) g) 8 Resp.: ( ) h) 6 6 : Resp.: ( )( ) ( )( ) i) 0 8 : Resp.: j) ( ) 8 pq 6 q p : ( ) ( ) Resp.: 8pq k) c c c c c c : 0 c c c c Resp.: ( )( ) c c c l) Resp.: m) : ( ) Resp.: ( ) n) y y y y Resp.: y y o) Resp.: ( ) 6 p) Resp.: ( )

31 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 0 q) Resp.: ( )( ) r) Resp.: s) Resp.: ( ) ( ) t) ( ) h h Resp.: ( ) [ ]( ) h h u) Resp.: ( ) v) Resp.: w) Resp.: ( ) ) 0 Resp.: ( )( ) y) y y y y y y Resp.: y

32 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. z) Resp.: POTENCIAS EN LOS REALES.. Ejercicios de Potencis: Opere y simplifique: ) Resp.: ) 0, m m m Resp.: m c) [( ) ( ) ]:( ) Resp.: ( ) d) ) ( ) ( ) ( Resp.: e) 6 8 c c Resp.: c f) y y : 7 Resp.: 6 y g) 6 Resp.: h) : Resp.: i) X X X : Resp.: 8 j) X X Resp.: 9 k) ( 0 ) Resp.: l) 6 Resp.: 0 7

33 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. m) 0,7 Resp.: n) 0 Resp.: ñ) 7 Resp.: o) Resp.: p) ( ) ( ) ( ) Resp.: q) ( ) ( ) m m m Resp.: r) Resp.: s) ( ) ( ) m m m m m m Resp.: m t) Resp.: u) Resp.: v) ( ) ( ) : Resp.: w) 7 6 Resp.: ) : y y y p n m p n m Resp.: ( ) y mn p y) ( ) ( ) ( ) cd cd Resp.: 0 cd z) : y y Resp.: 7 6 y

34 Mteril Complementrio Mtemátic Básic α) β) : γ) ( ) ( ) ( 8 ) δ) ε) ( ) n y y n Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: ( ) n Resp.: 8 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

35 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Ecuciones de Primer Grdo.. Resuelv ls siguientes ecuciones. y y. ( ) ( ). [( ) ( ) ] ( ) 0. 0 [ ( ) ] 0. ( )( ) ( ) 6. ( y )( y ) ( y )( y ) ( y ) ( ) ( ) ( ) m n m n ( ) 6.. Despeje, en ls fórmuls siguientes, l incógnit que se indic en cd cso: PV. P V T T. v v s 0 T El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

36 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 s. t s g n. S [ ( n ) d ]. d F S El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

37 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Prolems de plicción de ecuciones. Pr preprr un pstel, se necesit l tercer prte de un pquete de mrgrin de Kg. Cuánt mrgrin se necesit?. Felipe h leído 8 págins de un liro de págins. Qué frcción del liro h leído?. An gstó de sus horros en comprr un pstel de mnzns que costó $0. Cuánto dinero tení horrdo?. L edd de Alejndr es l mitd de los dos tercios de Mónic. Cuántos ños tiene Alejndr, si Mónic tiene ños.. En el segundo ño de un colegio hy el dole número de lumnos del que hy en tercer ño, y en el primero, el dole número de lumnos de segundo ño. Cuántos lumnos hy en cd curso, si en los tres hy lumnos? 6. Dos persons A y B, que viven un distnci de km. un de l otr, emprenden vije l mismo tiempo y en l mism dirección, del puelo A hci el puelo B. A hce 0 km. y B 7 km. l dí. En cuántos dís lcnzrá A B? 7. Un prisionero huyó de un cárcel l A.M. de un dí, corriendo un velocidd de 6 km. por hor. A ls A.M. se enví un policí en su persecución, quien recorre un kilómetro en minutos. A qué hor lo lcnz?.. Aplicciones de ecuciones de primer grdo. Si cierto número se greg 0, result el triple de ese número. Cuál es el número?. Si tres veces cierto número se sum con 7, result 8 veces dicho número menos 8. Cuál es el número?. L sum de tres números pres consecutivos es 8. Cuáles son los números?. Si l cudrdo de un número entero se greg 7, se otiene el cudrdo del número entero que sigue. Cuál es el número? El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

38 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Por qué número hy que dividir 6 pr otener? 6. Si me divins cuánts nueces tengo, dijo un niño l otro, te reglo l curt prte menos nueces o, lo que es lo mismo, l set prte más nuez. Cuánts nueces tení? 7. El vlor de un frcción es. Agregndo l numerdor y restndo l denomindor, el vlor de l frcción se convierte en. Cuál es l frcción? 8. Un mensjero dee recorrer ciert distnci con un velocidd de km. por hor, pero l h recorrido con un velocidd de 8 km. por hor y por esto h llegdo su destino con dos hors de trso. Cuál es l distnci? 9. En un tque del enemigo, l mitd de los solddos de un ptrull cyó prisioner, l set prte quedó herid, l octv prte murió y se slvron solddos, De cuántos solddos se componí l ptrull? El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

39 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Prolems de plicción de ecuciones. Cuántos litros de un mezcl que contiene 80% de lcohol se tendrín que gregr litros de un solución l 0% pr otener un solución l 0%?. Si un ldo del triángulo mide un tercio del perímetro, el segundo 7 metros y el tercero un quinto del perímetro, cuánto mide el perímetro del triángulo?. Cuántos glones de gu destild se deen mezclr con glones de un solución de ácido sulfúrico l 90% pr otener un soluci6n l 60%?. L ecución pr convertir grdos Fhrenheit grdos Celsius está dd por: C ( F ). Encuentre l ecución que le permit 9 convertir los C F.. Pr hcer frente ls necesiddes de un comunidd, tres gricultores deciden donr sus ecedentes de pps, sumndo en totl 096 kilogrmos. Si el primero de ellos portó lo que pudo, el segundo el triple de l donción del primero y el tercero el dole de los otros dos juntos, cuánto donó cd un? 6. Dos ángulos sumn 80 y el dole del menor ecede en l myor. Cuáles son sus medids? 7. Pr conseguir l más lt clificción en un clse de procesmiento de tetos, es necesrio mecnogrfir un promedio de 8 plrs por minuto en cinco espcios de tiempo diferentes. Guillermo tuvo velociddes de 77, 78, 87 y 9 plrs por minuto en sus primeros cutro espcios de tiempo. Cun rápidmente tiene que tecler en l siguiente prue con ojeto de otener l clificción más lt? 8. Al finl de un ño-modelo, un vendedor de utomóviles nunci que los precios de list de los modelos del ño nterior tienen un % de descuento. Cuál er el precio originl del utomóvil que se vende por dólres? 9. Pr generr hidrógeno en un lortorio de químic se necesit un solución l 0% de ácido sulfúrico. Se dispone de 0 ml de un solución l 86% de ácido sulfúrico. Cuántos ml de gu deerán El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

40 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ñdirse pr diluir l solución l nivel del 0% de ácido sulfúrico que se requiere? 0. Cuánto lcohol puro dee gregr un enfermer 0 cc (cm ) de un solución l 60% de lcohol pr que ést se conviert en un solución l 90%?. Un médico prescriió 0 g de cierto medicmento en un solución l %. El frmcéutico sólo tiene frscos con soluciones l 0% y l 70%. Cuánto dee utilizrse de cd solución pr otener los 0 g de l solución l %? El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

41 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Frcciones.. Prolems con Frcciones. Mrio tiene que dividir un herenci en nueve prtes igules y drle siete de ells su hermno menor, quedándose él con el resto. Qué frcción de l herenci le corresponde Mrio? Respuests: 9. Pr preprr un pstel, se necesit l tercer prte de un pquete de mrgrin de Kg. Cuánt mrgrin se necesit? Respuests: de Kg.. Felipe h leído 8 págins de un liro de págins. Qué frcción del liro h leído? Respuests:. An gstó de sus horros en comprr un pstel de mnzns que costó $0. Cuánto dinero tení horrdo? Respuests: $ 6.0. En un curso de 0 lumnos fltron clses un dí de ellos. Cuántos lumnos sistieron clses? Respuests: 6. Cuántos litros hy que scr de un estnque de 60 litros pr que queden los 6 7 del contenido? Respuests: L edd de Alejndr es l mitd de los dos tercios de Mónic. Cuántos ños tiene Alejndr, si Mónic tiene ños? Respuests: 8 8. En un iliotec hy 7 persons de ls cules los dos tercios escrien, un quinto clcul y el resto lee Cuánts persons leen? Respuests: 0 9. Si l ols de lmendrs se venden de de kilo Cuánts olss se pueden otener con kilos y medio? Respuests: 0 0. En un cj se tienen 6 pquetes de kilo de hrin y en otr hy 6 pquetes de de kilo. Cuántos pquetes de 8 de kilo se necesitn pr envsr tod l hrin? Respuests: 96. Con los y los de mi dinero compré un cllo de US$ 0. 9 Cuánto teni y cuánto me quedó? Respuest US $ 08, US $. 0 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

42 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Compré un trje por US.$ 0 y lo vendo gnndo los 0 del costo. Hllr el precio de l vent. Respuest US.$ 9). 0. Al vender un cllo en US.$ 90 gno los de l vent. Hllr el costo. Respuest: US.$ 60 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

43 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Prolems de Aplicción con frcciones Ejercicios Propuestos. Enrique hce un compr por US.$ 67; después recie US.$ 7; luego hce otr compr por US.$ 6 y después recie US.$ Cuál es su estdo económico?. A ls 08:00 hrs el termómetro mrc º jo cero; ls 9:00 hrs, h suido 7º; ls 6:00 hrs, h suido º más y ls :00 hrs h jdo º. Determine l tempertur ls :00 hrs.. Un móvil recorre 7 mts. l derech de A y entonces empiez retroceder en l mism dirección, rzón de 0 m/seg. Epresr su distnci del punto A l co del,, y seg.. Un profesionl universitrio re un cuent corriente en un cierto nco comercil con un monto de $ Por comprs efectuds gir cheques por vlores de $8.000 y de $ Hce un depósito de $7.000.Por concepto del dividendo del Depto. que hit, gir un cheque por $0.000 y otro de $.000 por gstos comunes. Cuál es su sldo? Est soregirdo o no?. Un hcenddo tení un finc de 00 hectáres y vendió 6 de 8 hectáres. Qué prte de l finc le qued? 6. Un cllo que costó US$ 0 se vende por los del costo cuánto se pierde? 7. De un finc de 00 Hectáres se cultivn /0; se lquil /0 y lo restnte se vende US $00 l hectáre Cuánto es el dinero otenido por l vent? 8. En un colegio hy lumnos vrones que representn los del totl de lumnos Cuántos lumnos hy y cuánts niñs?.0. Porcentjes. Hllr: ) El 0% de. ) El % de 0. c) El % de 9,6. d) El 6 % de 9. e) El % de El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

44 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Respuests: ),, ) 6, c),78, d) 9, e)... De qué número es ) el %? ) 80 el 7%? c) 9 el %? d) 96 el 0,6%? e) 0 el %? 6 Respuests: ) 700, ) 80, c) 9 e).00..8, d).000,. Clcule: ) % de 700 ),% de, c),% de 0,0 d) % de 000. Respuest: 0; 7,;, 0 ; 0. ) Si el % de un número es entonces el número es: ) El 0,% de es, entonces el % del número es: Respuest: ) 7 ).08.. El 0% del % de un número es 0 Cuál es el número? Respuest: Jun tiene que pgr U$ 90. Si le rejn el % de su deud. Cuánto dee pgr todví? (R: U$ 8.). 7. Un metro de tel me cuest U$ A cómo tengo que venderlo pr gnr el 0% del costo? (R: U$ 8). 8. Al comprr un trje que me costó U$ 0, gsté el % de mi dinero Cuánto tení? (R: U$ 0). 9. Un niño tiene 7 olits zules que representn el 8 % del totl de 7 sus olits. Cuánts olits tiene? (R: 700 olits). 0. Un person tiene pesos pr gstr en un Supermercdo. Si gst el 0%: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

45 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ) Qué cntidd gsto del totl? (R: 0,) ) Cuánto dinero le quedó? (R: 0,8). Un profesor ásico recién tituldo orgniz sus gstos mensules. Si su sueldo ruto mensul es de $60000 y sus gstos se distriuyen de modo que: consume un 0% del totl en Supermercdo; un 0% de lo restnte pr rriendo; un % del restnte en cncelr sus deuds con css comerciles y un 8% en gstos vrios. Determine: Qué cntidd de dinero empleó en el Supermercdo y en gstos vrios?. (R: $ y $7.000) 6.0. Rzones y Proporciones 6.. Prolems de Rzones y Proporciones:. En un lmcén se vende semnlmente eids individules y fmilires. Si l rzón entre el número de eids individules y fmilires vendids es de : respectivmente, Cuánts eids individules se vendieron en l semn, si fmilires se vendieron 0. Respuest: 78.. Si ls eddes de persons están en l rzón ::. Si se se que l sum de sus eddes es de 08 ños, determine ls eddes de cd uno. Respuest:, 6 y 8 ños.. Si :y como :0, entonces el vlor de, cundo el de y es 8, es: Respuest: 6,7. Si : : y se se que 6, Cuál es el vlor de y de respectivmente? Respuest 9 y.. Ls eddes de dos hermnos son entre sí como : y uno de ellos tiene 6 ños más que el otro Cuál es l edd de cd uno? Respuest: 0 y ños. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

46 Mteril Complementrio Mtemátic Básic En un fiest hy homres y sólo 0 mujeres, cuál es l rzón entre homres y mujeres. Respuest: 9: 6.. Resuelv los siguientes prolems propuestos de rzones y proporciones.. En l fricción de pólvor pr romper rocs, el crón y el slitre están en l rzón de 6: y el slitre con el zufre en l rzón de 0:. Cuántos kilos de cd uno entrn en.09kg de pólvor?. Por l compr de dos rtículos del tipo B y un rtículo del tipo A se pg $6.06. Cuánto cuest cd rticulo si los precios de A y B están en l rzón de :?. Hy que reprtir un cpitl de $8.800 entre tres persons. Hlle l cntidd que reciirá cd un de ells siendo que un person recie $.000 y ls otrs dos recien cntiddes que están en l rzón 7:.. Dos persons se reprten U$.00 de modo que sus prtes estén en l rzón :. Cuánto recie cd un? Respuests:..90, kg de Crón; 6,6 kg de Azufre;. kg. de Slitre.. A $8.897,77 y B $ 7.8,. 6.. Resuelv los siguientes prolems de proporcionlidd.. Un vión recorre.600 km 0 km/h. En el mismo tiempo, i) cuántos kilómetros recorrerá 00 km/h? ii) qué velocidd deiese ir pr recorrer.00 km?. Un utomóvil recorre 0 km y consume rzón de 7 km por litro de encin. Si consume el mismo número de litros de comustile, i) qué distnci recorrerí con un rendimiento de km por litro de encin? ii) qué rendimiento tendrí l encin si le lcnz pr recorrer 0 km?. Un vendedor gn $0 por cd vent de $.000 que reliz. Si el índice de su comisión es constnte, i) cuánto corrá de comisión por vents de $70.000? El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

47 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ii) A cuánto deen scender sus vents si se propone reunir por concepto de comisiones $.000?. El eneficio nul en l vent de rtículos por vlor de $ es de $ Estimndo el mismo índice de gnnci, qué eneficio nul deiésemos esperr por l vent de $ en rtículos? Respuests:. i).000 km; ii) 60 km/h.. i) 7 km ii) 8 km/lt.. i) $.00; ii) $ $ El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

48 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 UNIDAD II: FUNCIONES Pr construir el concepto de función, definiremos ntes ls ides de pr ordendo, producto crtesino y relción. PAR ORDENADO Definición: Se llm pr ordendo, dos elemento y dispuestos en este orden, primero y después. Se denot por (, ). OBSERVACIONES: i) Se cumple (, ) (, ), cundo. ii) (, ) (c, d) c d PRODUCTO CARTESIANO Definición: RELACIONES Definición: Sen A y B conjuntos no vcíos. Se llm producto crtesino de A y de B l conjunto formdo por todos los pres ordendos (, ) con A y B..Ejemplo: A {η, δ} B {,, 7} AB {(η, ), (η, ), (η, 7), (δ, ), (δ, ), (δ, 7)} Sen A y B conjuntos. Se llm relción de A en B (en ese orden) o relción en AB culquier suconjunto del producto crtesino. Ejemplo: R {(η, ), (δ, 7)} es relción de A en B nteriores. OBSERVACIÓN: Si (, ) R, se dice que está en relción con y se escrie R. NOTA : Nos interesn ls relciones que se determinn medinte un ciert ley de formción, pr sí determinr su etensión, esto es, definiendo l relción R de A B, de l siguiente form : R { (,y) AB / p(,y) } Donde p(,y) es un fórmul proposicionl que define l propiedd o crcterístic que stisfcen los elementos de l relción R DOMINIO; RECORRIDO Y RELACIÓN INVERSA Definición Sen A y B conjuntos y R un relción en AB. i) Se llm dominio de l relción R Dom(R) { A / y B: (,y) R} El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

49 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ii) Se llm recorrido de l relción R Rec(R) {y B / A: (, y) R} Ejemplo : Si R {(, ), (, ), (, ), (, )} ; encuentre domr y recr. Solución: Dom (R) {,,, } y Rec (R) {,,, } Definición: Se R un relción en AB. Un suconjunto de BA formdo por los pres ordendos (,) tles que (, ) R se llm relción invers de R y se denot por R. Ejemplo: Del ejemplo nterior se tiene : R {(, η), (7, δ)} Ejercicios: Sen los conjuntos A {,,,}, B {,,,} y /N Determine por etensión, ls siguientes relciones:.- R {(,y) AB / y es un número pr}.- R {(,y) AB / es un número pr}.- R {(,) /N/N / }.- R {(,y) /N/N / y} FUNCIÓN Definición Sen A y B dos conjuntos no vcíos. Un función de A en B es un regl que se sign cd elemento en A un únic y en B. El conjunto A pr el cul f sign un únic y B se denomin el dominio de l función f. El conjunto de vlores correspondientes y B se conoce como rngo o recorrido de l función. Dom(f) { A/ y B pr el cul y f()}. Rec(f ) {y B/ A pr el cul y f()}. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

50 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Visulizción de un función Si es el dominio de l función f, cundo entr en l máquin, qued ceptd como mteri prim y l máquin produce un slid, f(), siguiendo ls regls de l función Ls funciones preprogrmds de un clculdor son ejemplos de l función conceid como un máquin Otr form de visulizr es medinte un digrm de flechs.cd flech v de un elemento de A y termin en un elemento de B. Concepto de función El concepto de función es un de ls ides fundmentles en mtemátics. Un función epres l ide de que un cntidd depende o está determind por otr. - El áre de un círculo depende de l longitud de su rdio.- El costo de producir culquier rtículo depende del número de rtículos producidos..- L tempertur l que hierve el gu depende de l ltur ( el punto de eullición j si uno sciende)..- L cntidd en l que crecerán sus horros en un ño dependen de l ts de interés ofrecid por el nco El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

51 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo : Cáncer y Cigrrillo En todos los pquetes de cigrrillos prece l inscripción El consumo de tco puede provocr cáncer Cómo es posile llegr es conclusión? Por un ldo está l evidenci médic propimente tl, que dice que l nicotin y el lquitrán del humo del cigrrillo umentn l presión snguíne, interfieren con el funcionmiento de l tiroides, cusn dño en el estómgo, hígdo y riñones. Si ien el cáncer pulmonr es lo que llm l tención por su grvedd, es mucho más común l grn cntidd de cirugís pr etirpr: pulmones, lringes, riñones y etremiddes. En este cso se consider l evidenci numéric que permite relcionr sin discusión el consumo de cigrrillos y ls gráfics que se otienen permiten demás predecir resultdos. Este es un listdo otenido en vrios hospitles MUERTES POR CADA HABITANTES Promedio de Consumo de Cáncer de Cáncer cigrrillo dirio próstt pulmón de Cáncer de riñón Más delnte se verá un ejemplo mucho más detlldo que será estudido con l líne rect en form lgeric. Con los resultdos de este modelo se podrá predecir, por ejemplo, el número de muertes de persons que consumen 0 cigrrillos l dí. Grfico de funciones Si f es un función cuyo dominio es A, su gráfic es el conjunto de pres ordendos {(,f()/ A }. L gráfic de f consiste en todos los puntos (,y) en el plno coordendo tles que yf() y esté en el dominio de f {(, f ( ) / A} El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 0

52 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 L gráfic de un función f sirve pr otener un imgen útil del comportmiento de un función REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ELEMENTALES. Representción de l función Constnte: f ( ) C, C IR. Representción de l función Identidd: f ( ), IR El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

53 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ) Representción de l función Cúic: f ( ) ) Representción de l función Ríz Cudrd: f ( ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

54 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Función Linel: Un función linel es quell que descrie lgericmente el comportmiento de sus vriles e y por medio de l epresión generl y m n o f ( ) m n, donde m se llm pendiente y n es el coeficiente de posición. L gráfic de l f unción consiste en todos los puntos (,y) en el plno coordendo tles que yf() y esté en el dominio de l función, l pendiente m de un líne rect se define como l rzón de l elevción l recorrido. cmio verticl( elevción) m cmio horizontl( desplzmiento) y y donde P (, y ) y Q (, y ) son puntos de l rect El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

55 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 L pendiente no está definid pr línes verticles. Dee oservrse que l pendiente de un mism líne es siempre el mismo vlor, no importndo ls posiciones de los puntos P y Q sore l líne. L tl resume ls diverss forms sumids por l ecución de un líne rect. Fórmul generl A By C 0, A y B no son cero l vez. -. Fórmul punto - pendiente Fórmul pendiente ordend l origen y - y y m m( ). - Líne horizontl y. - Líne verticl El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

56 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo : El Tquismo y el cáncer l pulmón L nicotin es un constituyente del humo del cigrrillo que produce dicción. Pero no es el único constituyente del humo, pues demàs contiene: monóido de crono (CO), lquitrán, moníco y otros.000 compuestos químicos más como cinuro, plomo, cetldehído, ceton, rsénico, etc. Apens pirdo, el humo irrit ls memrns de l nriz y grgnt, con un consecuente pérdid del olfto. L irritción de los pulmones produce mucus que se mnifiest en l tos de los fumdores. A trvés de l evidenci numéric en vrios hospitles, se puede precisr cuánto influye el tquismo en el cáncer pulmonr. Se tiene l siguiente informción: Promedio de consumo de cigrrillos l ño () Muertes por cáncer pulmonr por cd hitntes (y),8,0 Además, se se que el promedio de muertes por cáncer pulmonr por cd hitntes es de 0,6 pr un promedio de consumo de cigrrillos l ño de.00, y que hy un umento linel entre ms vriles. Así, l rect que descrie est función ps por el punto (.00; 0,6) y tiene pendiente,,8 m 0, L rect que descrie l relción entre ests vriles será: y 0,6 0,006(.00) y permite predecir el número de muertes de persons que consumen 0 cigrrillos l dí: 9, ( y que en el ño 0* cigrrillos) L cifr sue 9, pr dos cjetills diris. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

57 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejercicio. L concentrción de ióido de crono (CO ) en el ire h umentdo en l tmósfer deido l ctividd industril y l deforestción. Si l concentrción de CO ument demsido se producirán efectos dversos en el clim, tles como el reclentmiento de l tmósfer, que nos fectrán todos. Si est concentrción ument en form linel con el tiempo podrímos predecir, en ciert medid, qué sucederá en el futuro. En un oservtorio se miden ls concentrciones en ños y se otiene l siguiente informción: Año Concentrción de CO (ppm) 0 6 ppm signific prtes por millón. Suponiendo que est tendenci linel permnecerá constnte en el futuro. Estime l cntidd de CO en los ños y 00. (Not: puede llmr 0 l 990 de modo que es el número de ños después de 990) Prlelismo y perpendiculr entre rects Dos rects son prlels si sus pendientes son igules Dos rects son perpendiculres si el producto de sus pendientes es - El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

58 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Son funciones lineles: f ( ) 8 con m y n 8 y con m - y n 0 g( ) 000 con m -000 y n y con m 0 y n. El gráfico y los prámetros n y m: El gráfico de l función linel es un líne rect. El número n, indic qué ltur l rect intersect l eje Y. Por tnto, si n es positivo, l rect cort l eje Y por sore el eje X. Si n es negtivo, lo hce por dejo del eje X y si n es cero, l rect ps por el origen del sistem de coordends O (0,0). L pendiente m de l rect, corresponde l inclinción de ést con respecto l eje X. Si mirmos l rect de izquierd derech puede drse uno y sólo uno de estos comportmientos gráficos: ) L rect sue. Decimos que l función linel es creciente. El vlor de m dee ser positivo. ) L rect j. Decimos que l función linel es decreciente. Esto sucede cundo el vlor de m es negtivo. ) L rect es prlel l eje X. Esto ocurre cundo el vlor de m es cero. Oservción: Se h dejdo de ldo el cso en que l rect se prlel l eje Y, cso en que el gráfico no corresponde l de un función. L siguiente tl muestr ls diferentes situciones descrits pr los tipos de vlores de m y n y el gráfico respectivo: n positivo m positivo m 0 m negtivo El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

59 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 n 0 n negtivo El dominio y el recorrido de l función linel es el conjunto de los números reles. Un situción que se descrie por un modelo linel es: El sueldo de un reprtidor de pizz, está ddo por un sueldo se fijo, más un comisión. El sueldo se es de $ y por cd pizz reprtid gn $0. Not que sueldo mensul sueldo se comisión. Si llmmos S l sueldo mensul y l número de pizzs reprtids, vemos que S depende de. L relción lgeric es S() S(0) es el sueldo mensul cundo h reprtido en ese mes 0 pizzs. Función Cudrátic Definición: Un función cudrátic es un epresión descrit lgericmente por y f ( ) c donde c,, son números reles y 0. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

60 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Concvidd: El gráfico de est función cudrátic es un curv llmd PARÁBOLA, l que puede estr iert hci rri o hci jo, lo que denominremos concvidd positiv y concvidd negtiv respectivmente. Concvidd positiv Concvidd negtiv Se d cundo > 0 Se d cundo < 0 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

61 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Intersección con los ejes: - L intersección de l práol con el eje Y es un punto (0, c) donde c es el vlor ddo en l epresión funcionl y f( ) c. Ejemplo : L función f ( ) cort l eje Y en el punto (0,-) porque c -. Además está iert hci rri (concvidd positiv) porque >0. - L intersección con el eje X se determin hciendo c 0. Resolviendo ést ecución de segundo grdo, tenemos los puntos en que l práol cort l eje X. Si se tienen dos soluciones reles distints,, l gráfic cort l eje X en los dos puntos (,0) y (,0 ). Si se tienen dos soluciones reles e igules, l gráfic cort l eje X en un solo punto de coordends (,0) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 60

62 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Si se tienen dos soluciones no reles,, l gráfic no cort l eje X. Ejemplo : Vemos donde l función f ( ), cort l eje X. Resolvemos l ecución 0, y otenemos,. Entonces l práol cort los ejes en los puntos de coordends (, 0 ) y,0 Coordends del vértice de l práol: Otro de los elementos importntes pr elorr un uen gráfic de l práol es conocer ls coordends del vértice de un práol, que es el punto donde d l vuelt. L fórmul del vértice, en función de los coeficientes c,, es:, c V Si l práol tiene concvidd positiv, decimos que V es un punto mínimo de l función. Si l práol tiene concvidd negtiv, V es punto máimo de l función. Esto se preci en l gráfic: Retommos l función f ( ). Como tiene concvidd positiv, por ser >0, en l gráfic el vértice de est práol dee ser punto mínimo. Ocupndo l fórmul, pr, y c -, se tiene: V, c 9 (, 8 ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

63 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejercicio. Oservemos l gráfic de ls siguientes funciones Indic, en cd cso, ls intersecciones con los ejes X e Y, y ls coordends del vértice. Recorrido de un función cudrátic El dominio de l función cudrátic es el conjunto de los números reles, de hí que horizontlmente l curv se etiend infinitmente l izquierd y l derech. El recorrido es un intervlo semi-ierto: - Si l concvidd es positiv, tenemos Recf [ h, ), donde h es l ordend (segund componente) del vértice de l práol.,k, donde k es l ordend (segund componente) del vértice de l práol. - Si l concvidd es negtiv, tenemos Recf ( ] Así, l función f ( ) que tiene concvidd positiv y vértice V 9, 8, tenemos que Recf 9, 8 Ejercicio.. L distnci s sore el suelo (en pies) l que está un ojeto que se dej cer de un gloo erostático t segundos después de que se soltó está dd por s t Donde y son constntes. Supong que el ojeto está 00 pies sore el suelo cinco segundos después de que se soltó, y 900 pies 0 segundos después de que se soltó. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

64 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 (A) Encuentre ls constntes y. (B) A qué ltur está el gloo? (C) Cuánto tiempo trdrá el ojeto en cer? L Función Eponencil Definición: Se un número positivo distinto de. L función eponencil de se está definid por f ( ) y tiene por dominio el conjunto de los números reles y recorrido, el conjunto de los números reles positivos. Propieddes de ls potencis Si > 0, > 0, IR, y IR i) y y ii) ( ) iii) ( ) y y iv) v) Así, l gráfic de l función eponencil sólo se present por sore el eje X y se etiende infinitmente en sentido horizontl. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

65 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 L gráfic de l función eponencil f ( ) es un cuerv creciente si >. Oserv l gráfic de f( ). Not que l curv cort l eje Y en (0,). L gráfic de l función eponencil f ( ) es un curv decreciente si 0< <. Oserv l gráfic de f( ) 0, El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

66 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Not que l gráfic cort l eje Y en (0,). En generl, ls gráfics de ls funciones de l form f ( ) cortn siempre l eje Y en (0,), y que 0 f(0). Comprción del crecimiento de funciones eponenciles: De dos funciones eponenciles con ses myores que uno, crece más rápido quell que tiene l myor se. L curv zul, corresponde l función ( ) 0 f L curv verde, corresponde l función ( ) f Cómo se comportn dos funciones eponenciles con se positiv menor que uno? Oserv el gráfico: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

67 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 En zul está l gráfic de f( ) 0, y en verde f( ) 0,8. Entonces, se visuliz que tiene un decrecimiento más rusco l función de menor se. Aplicciones Veremos lguns plicciones de l función eponencil en ls dos plicciones siguientes: Nuestro primer ejemplo implic el crecimiento de polciones, de persons, nimles, insectos y cteris. Ls polciones tienden crecer eponencilmente y tss diferentes. Un mner conveniente y fácil de entender l medid de l ts de crecimiento es el tiempo de duplicción (éste es el tiempo que le tom un polci6n duplicrse). En periodos cortos, se us menudo el modelo de crecimiento del tiempo de duplicción pr modelr l crecimiento demográfico: P P o t d donde P polci6n en el tiempo t P o polci6n en el tiempo t 0 d tiempo de duplicci6n Oserve que cundo t d, d d P P o P o y l polci6n es el dole de l originl, como se esper. Se usrá este modelo pr resolver un prolem de crecimiento demográfico en el ejemplo siguiente. Ejemplo 6 Crecimiento demográfico Meico tiene un polci6n proimd de 00 millones de persons, y se estim que hrá umentdo l dole en ños. Si sigue creciendo l mism ts, Cuál será l polci6n: (A) en ños prtir de hor? (B) en 0 ños prtir de hor? Clcule sus respuests con tres dígitos significtivos. Solución: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 66

68 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Se us el modelo de crecimiento del tiempo de duplicci6n P P o t d Sustituyendo P o 00 y d, se otiene P 00( t/ ) (A) Encuentre P cundo t ños: P 00( / ) 6 millones de persons (Use clculdor) (B) Encuentre P cundo t 0 ños: P 00( 0/ ) P 69 millones de persons (Use clculdor.) Ejercicio L cteri Escherichi coli (E. coli) se encuentr nturlmente en los intestinos de muchos mmíferos. En un eperimento de lortorio, se encuentr que el tiempo de duplicci6n pr l E. coli es de minutos. Si el eperimento comienz con un polci6n de 000 E. coli y no hy ningún cmio en el tiempo de duplicci6n, cuánts cteris estrán presentes: (A) en 0 minutos? (B) en hors? Escri sus respuests con tres dígitos significtivos. L segund plicción implic el decimiento rdictivo, l que menudo se hce referenci como crecimiento negtivo. Los mteriles rdictivos se usn etensmente en dignósticos y en terpis médics, como fuentes de potenci en stélites y como fuentes de potenci en muchos píses. Si comenzmos con un cntidd A O de un cierto is6topo rdictivo, l cntidd decerá eponencilmente en el tiempo. L ts de decimiento vrí de isótopo isótopo. Un medid conveniente y fácil de entender de l ts de decimiento es l vid medi del isótopo (es decir, el tiempo que le tom decer l mitd de cierto mteril). En est secci6n se usrá el siguiente modelo de decimiento de vid medi: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 67

69 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 A A0 A 0 t h t h donde A Cntidd l tiempo t A O Cntidd l tiempo t 0 h Vid medi Oserve que cundo t h, h A h 0 A0 A0 y l cntidd de is6topo es l mitd de l originl, como se esper. Ejemplo 7 Decimiento rdictivo El isotopo rdictivo del glio 67( 67 G) usdo en el dign6stico de tumores mlignos, tiene un vid medi de 6. hors. Si se empiez con 00 miligrmos del is6topo, Cuántos miligrmos quedrán después de: (A) hors? (B) un semn? Clcule sus respuests con tres dígitos significtivos. Solución: Se us el modelo de decimiento de vid medi: t h A A0 A0 t h Tomndo A O 00 y h 6., se otiene A 00( --t/ 6, ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 68

70 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 (A) Encuentre A cundo t hors: A 00( -/ 6, ) A 69,9 miligrmos (Use clculdor) (B) Encuentre A cundo t 68 hors (un semn 68 hors): Ejercicio A 00( -68/6., ) 8,7 miligrmos (Use clculdor) El oro rdictivo 98( 98 Au) que se us en ls rdiogrfís del hígdo tiene un vid medi de,67 dís. Si se empiez con 0 miligrmos del isótopo, cuántos miligrmos quedrán después de: (A) ½ dí? (B) un semn? Clcule sus respuests con tres dígitos significtivos. L función eponencil de se e El número e, es un número irrcionl (con desrrollo deciml no periódico infinito) que es muy importnte tnto pr ls mtemátics como pr sus plicciones y m se deriv de l epresión: m pr vlores muy grndes de m, con m N. El vlor numérico de e escriiendo sólo decimles es: e, L constnte e prece ser un se idel pr un función eponencil, y que en cálculo y lguns operciones mtemátics vnzds precen en su form más simple usndo est se y se us etensmente en modelos del mundo rel. L función eponencil de se e se define pues como sigue Pr un número rel : f() e Ls gráfics de y e y y e - se muestrn en l figur siguiente: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 69

71 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Aplicciones Ejemplo 8 Crecimiento Bcterino El cóler es un enfermedd intestinl cusd por l cteri del cóler que se multiplic eponencilmente por l división de céluls modeld por:,86 t N N 0 e Donde N es el número de cteris presentes después de t hors y N 0 es el número de cteris presentes cundo t 0. Si se empiez con un cteri, cuánts cteris hrá en: A) hors? B) hors? Solución: A) Utilice N 0 y t ; B) Utilice N 0 y t ;,86 t N N 0 e,86() e 00 N,86 t N 0 e,86() e El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 70

72 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo 9 Cálculo de fechs con el Crono El omrdeo de ryos cósmicos de l tmósfer produce neutrones, los que l regresr reccionn con el nitrógeno y producen crono rdictivo. El crono rdictivo penetr en los tejidos de todos los seres vivos trvés del dióido de crono, el cul es sorido primero por ls plnts. Mientrs que l plnt o el niml esté vivo, el nivel de crono en el orgnismo se mntiene constnte. Un vez que el orgnismo muere, el crono disminuye de cuerdo con l ecución: 0,000 t A A e 0 Donde A es l cntidd de crono presente después de t ños y A 0 es l cntidd presente en el tiempo t 0. Si 000 miligrmos de crono están presentes en un inicio, cuántos miligrmos estrán presentes en: A) ños? B) ños? Solución: Sustituyendo A en l ecución de decimiento, se tiene A) Encuentre A cundo t B) Encuentre A cundo t L Función logrítmic Definición: A 000e 0,000 t 0,000 (0 000) A 000e 89miligrmos 0,000 (0 000) A 000e,0 miligrmos L función logrítmic se define como l invers de l función eponencil, de modo que: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

73 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Si es l se del logritmo (siendo positivo y distinto de ) e y es un número rel positivo, entonces el número en l epresión y se denomin logritmo de y en se y se denot: log y log : IR IR log ( ) donde y log ( ) y Propieddes Se un número rel positivo distinto de entonces log log IR IR Pr IR, y IR log ( y ) log log y log log log y y log r r log log 0 log log log 8 6 log log 8 - log 8 6 log En especil, trtremos l función logrítmic con se 0, que tiene por dominio el conjunto de los números reles positivos y por recorrido todo el conjunto de los números reles. Esto signific que l función logrítmic sólo tiene un representción gráfic l derech del eje Y y puede etenderse infinitmente en sentido verticl. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

74 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Oserv l gráfic de l función eponencil y su invers respectiv (logrítmic) Función eponencil Función logrítmic f( ) 0 f ( ) log( ) En especil, trtremos l función f ( ) log( ), es decir con se logrítmic 0, pr trjrl directmente en clculdor. Con l tl nterior queremos eplicitr que tles funciones son inverss, por tnto, el dominio de l función logrítmic, es el recorrido de l eponencil y el recorrido de l eponencil es el dominio de l logrítmic. Luego Dom log IR y Rec log. IR L Función Logritmo Nturl Los logritmos nturles se conocen tmién como logritmos neperinos, estos son los logritmos de se e. Se denotn por Aplicciones ln log e Intensidd del sonido El oído humno es cpz de oír el sonido en un rngo increíle de intensiddes. El sonido más fuerte que un person sludle puede oír sin dño en el tímpno tiene un intensidd de un illón ( ) de veces l del sonido más suve que puede perciir. Trjr directmente con números con un rngo tn El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

75 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 mplio como éste es muy incómodo. Puesto que el logritmo de se más grnde que, de un número ument mucho más lentmente que el número mismo, con frecuenci se usn los logritmos pr crer escls comprimids más convenientes. L escl de decieles pr l intensidd del sonido es un ejemplo de tl escl. El deciel, llmdo sí por el inventor del teléfono, Alender Grhm Bell (87-9), se define como sigue: I D 0log Escl de decieles I 0 donde D es el nivel de decieles del sonido, I es l intensidd del sonido medid en wtt por metro cudrdo (W/m ) e I 0 es l intensidd del sonido más pequeño udile que un person promedio, joven y sludle puede escuchr. Este último se estndriz I wtts sore metro cudrdo. En l tl se enumer lguns intensiddes de sonidos típicos de fuentes fmilires. Ejemplo 0 Encuentre el número de decieles de un cuchicheo con intensidd de sonido de wtt por metro cudrdo. Clcule l respuest hst dos cifrs decimles. Solución Se us l fórmul de decieles: D 0log 7,6 I I, 0 0log 0 0 log(, 0 0(log, log0 0(0,76 ) 0 0 ) decieles 0 ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

76 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 GUÍA UNIDAD II: FUNCIONES I.-RELACIONES.-En diferentes instntes en l vid de un niño, el número medio de millones de glóulos rojos por mm de sngre, está ddo por l tl siguiente : Edd Al ncer dís dís meses 6 meses ño ños ños 8- ños Glóulos rojos/mm (en millones) ) Cuál es el dominio?.- Cuál es el recorrido?.-determine el dominio y el recorrido de l relción definid por el conjunto de pres ordendos: (,0) (,0) (, ) (0, 6) (, ) (, ) (, ) (,0) (,0).-Sen los conjuntos: A {,, } y {,,,} B.. Determine l siguiente relción por etensión: R {(, y) A B / y es impr }. Indique su dominio y recorrido. c. Determine l relción invers R por etensión..-ddo el conjunto A { IN : es un número que se otiene l lnzr un ddo } y ls siguientes relciones definids en A A : R, A A / es multiplo de {( ) } {(, ) A A es menor que } {(, ) A A es divisor de } {(, ) A A / } (, ) A A / R / R / R R { } El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

77 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Eprese por etensión cd relción.. Eprese por etensión el dominio y el recorrido de cd relción. c. Represente en un digrm cd relción. d. Indique por etensión su relción Invers R, pr cd relción..-sen los conjuntos discretos { Z / } B { Z / }, se define l siguiente relción R {(, y) A B / y < }. Determine R por etensión. Determine el Dominio de R, Recorrido de R y A y R por etensión 6.- log( y) Se l relción: R (, y) IN IN / 0 ).-Determine l relción R por etensión. ).-Indique su dominio y recorrido. c).-determine l relción invers R por etensión. 7. Sore el conjunto {,, 0,, } {(, y) A A / y } R Determine:. L relción R por etensión.. El Dominio y Recorrido de R. c. L relción invers: R por etensión 8.-Sore el conjunto {,, 0,, } {, y) A A y } A ( /. Determine: ).-L relción R por etensión. ).-El Dominio y Recorrido de R, c).-l relción invers: R por etensión 9.-Se el conjunto A { Z : < } R {(, ) A A / es divisile por } Determine:. L relción R por etensión.. El Dominio y Recorrido de R. c. L relción invers: R por etensión A se define l relción: A se define l relción:. Se define en A l siguiente relción: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 76

78 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Determine si cd un de ls siguientes relciones son o no funciones (fundmente):. R {(, y) IR IR / y 0 }. R {(, y) IR IR / y 0 } c. R {(, y) IR IR / y 0 } d. R {(, y) IR IR / y 0 } R (, y) IR IR / y e. { } II.-FUNCIONES. ) Si f () -, encuentre f (-) ) Si d (t) 88 t -,, encuentre d (,) c) Si g () -, encuentre g (h).-si f ( ). Determinr:. f (/ ). f ( ) c. f ( / ) f ( ) f ( ) d. f ( h) f ( ) e. h.-determine los vlores funcionles pedidos pr cd un de ls funciones que se indicn:. f ( ) 7 ; f () f () f (). f ( ) ; f () f (0) f () c. f ( ) ; f () f () f () d. f ( ) ; f ( ) f ( ) f ( ) 7 e. f ( ) 8 ; f () f () f () f. f ( ) ; f () f (0) f () g. f ( ) ; f (0) f () f ( ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 77

79 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006.-Determine el Dominio de ls siguientes funciones:. f ( ) e. f ( ). f ( ) f. f ( ) c. f ( ) g. f ( ) d. f ( ) h. f ( ) III.-FUNCIÓN LINEAL.-Dds ls funciones lineles: i) y ii) y - iii) y iv) y - v) y vi)y - - vii) f() - - viii) v(t) t Determinr: ) Pendiente y coeficiente de posición ) Intersección con los ejes de coordends c) Ls que son crecientes y ls que son decrecientes d) Gráfico de cd un de ells 6.- Determine l ecución de l rect que: ) Ps por el punto A(,) y tiene pendiente ) Cuy pendiente es - y cuy intersección con el eje y es - c) Ps por los puntos A(,) y B(-,7) 7.-Determine l ecución de l rect que es perpendiculr L : y 0, y que ps por (, -) 8.- Determine l ecución de l rect prlel L : y 0 y que ps por el punto P (-,) Ddos los puntos: A(,) ; B(-,) ; C(,-). Determine : e) L ecución de l rect que ps por A, y es prlel l rect que contiene los puntos B y C. f) L ecución de l rect que ps por B, y es perpendiculr l rect que contiene los puntos A y C. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 78

80 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Dd l rect de ecución: y 7 0. Determine :. L pendiente de l rect. L ecución de l rect prlel l rect dd y que ps por el origen del sistem de coordends. c. L ecución de l rect perpendiculr l rect dd y que ps por el punto (-,). d. L ecución de l rect prlel l eje Y y que ps por el punto de l rect dd cuy ordend es -. e. L ecución de l rect horizontl y que ps por el punto de l rect dd cuy scis es..-. Determine l ecución de l rect que es perpendiculr L : y 8 0 y que ps por l intersección de ls rects L : y 0 y L : y 8 0.-Determine el vlor de k pr que l rect perpendiculr l rect y 0 k (k )y 0, se.-(, ) es un punto que pertenece l rect que ps por el punto (,-) y que es perpendiculr L y 0. Determine el vlor de..- El precio P de un noteook después de un ño de uso es de US$90.-, después de cutro ños es de US$700.- Suponiendo que el computdor se depreci linelmente con el tiempo, determine : ) L epresión del precio P en función del tiempo t ) El vlor liro del noteook después de ños de uso. c) El precio en que fue comprdo el noteook (nuevo).-el costo de producción de un cápsul de Ritlin LA, está determindo por l función C (q) 800q 0.000, donde $ es el costo fijo, y el costo vrile es de $800.- por cd cápsul. El lortorio vende cd cápsul en $ ) Cuál es el costo de producir.000 cápsuls? ) Cuánts cápsuls dee vender el lortorio pr otener un utilidd de $ NOTA : Utilidd (U) Ingreso (I) Costo (C) Ingreso (I) precio (p) cntidd (q) 6.-L tempertur T c medid en grdos centígrdos es un función linel de l tempertur T f medid en grdos Fhrenheit, y puede ser representd por l relción T c m T f n,donde m y n son constntes reles. Determine: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 79

81 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ) Ls constntes, si se se que el punto de congelción pr el gu es 0 C y F, y que el punto de eullición es 00 C y F ) L tempertur en grdos centígrdos si l tempertur es de 0 F 7.-Un vsij contiene inicilmente 0 cm de un ácido, y se empiez vcir más ácido dentro de ell. Cinco segundos después ell contiene 0 cm de ácido. Si Q represent l cntidd de ácido en l vsij y T el tiempo, y se se que Q vrí respecto de T según l ecución Q T ) Escri l ecución que relcion Q y T ) En este cso, qué represent l pendiente?, qué represent el coeficiente de posición? c) Supong que l cpcidd de l vsij es un litro. en cuánto tiempo se llenrá? 8.-Desde 990 h hido un incremento, prentemente linel, en el porcentje de l polción de lcohólicos en un ciudd de Chile. En 990 el porcentje fue de 9, %. En el ño 000 se elevó, %. Si P es el porcentje de lcohólicos en l polción y T represent el tiempo en ños desde 990. ) Determine l función linel P(T). ) Interprete el significdo de l pendiente c) Si el modelo de crecimiento sigue mostrndo l mism tendenci, pronostique el porcentje de lcohólicos que se esper tener pr el ño 00 y pr el icentenrio. NOTA: Considere el ño 990 como ño inicil, es decir, T 0 9.-L ntlidd de un región h ido disminuyendo linelmente en los últimos ños. En 99 fue de ncimientos por cd.000 hitntes. En el ño 000 fue de por cd.000 persons. Supongmos que N denot l ntlidd por cd.000 persons y T represent el tiempo medido en ños desde 99. ) Determine l función linel de ntlidd. ) Interprete el significdo de l pendiente. c) Si el modelo linel se mntiene igul. Cuál será l ntlidd esperd pr el ño 0? El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 80

82 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Los recursos r (en pesos) que cd dí dee disponer un consultorio es un función linel de ls p persons que en el se tienden dirimente. Se se que el Lunes de Myo pr tender persons se dispondrá de $8.00.-, y que el Mrtes 6 de Myo, pr tender persons se dispondrá de $ ) Determine l función linel r(p). ) Si pr el Miércoles 7 de Myo se dispone de $ Cuánts persons se proyect tender?.-investigciones crdiovsculres hn mostrdo que un nivel de colesterol superior 0, cd umento de % por encim de este nivel ument el riesgo coronrio en un %.Se encontró, pr un grupo de edd prticulr, que el riesgo coronrio en un nivel de 0 de colesterol, es de 0,60 y un nivel de el riesgo es de 0,9 ) Encuentre un ecución linel que eprese el riesgo R en términos del nivel de colesterol C. ) Cuál es el riesgo pr un nivel de colesterol de 60?. A prtir de l gráfic siguiente: ) Encuentre l ecución generl de l rect L. ) Determine ls coordends del punto P. c) Encuentre l ecución de l rect que ps por el punto P y es perpendiculr l rect L El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

83 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 IV.-FUNCIÓN CUADRÁTICA.-Dds ls funciones cudrátics: i) y - ii) y - - iii) y - iv) y - v) y - 6 vi) y - 6 vii) y - viii) y - Determinr: ) Dominio y recorrido ) Intersección con los ejes c) Vértice y eje de simetrí d) Gráfico e) Intervlos de crecimiento y decrecimiento.-determinr l función cudrátic l cul pertenecen los puntos. P(, ) ; Q(0,), R( -, 9 ). Dd l función cudrátic, f ( ), y su gráfic. Determine : ) Dominio y Recorrido. ) Intersección con los ejes de coordends. c) Eje de Simetrí y Vértice de l práol. d) Intervlos de Crecimiento y Decrecimiento. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

84 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Dd l función cudrátic, f ( ), y su gráfic. Determine : ) Dominio y Recorrido. ) Intersección con los ejes de coordends. c) Eje de Simetrí y Vértice de l práol. d) Intervlos de Crecimiento y Decrecimiento. 7. Determinr l función cudrátic representd por el siguiente gráfico. 8.- Pr que vlor de l scis, l función cudrátic : vlor etremo (máimo o mínimo)? y tiene un 9.-Un investigdor en fisiologí h decidido que l función r ( s) s s 0,es un modelo mtemático ceptle, pr descriir el número de impulsos emitidos después que se h estimuldo un nervio. Aquí, r es el número de respuests por El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

85 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 milisegundo (ms) y s es el número de milisegundos trnscurridos desde que es estimuldo el nervio. ) Cuánts respuests son de esperr después de ms? ) Si hy 6 respuests, cuántos milisegundos hn trnscurrido desde que fue estimuldo el nervio? 0.-El ingreso mensul (en miles de pesos) por l vent de uniddes de un medicmento pr mscots, está ddo por I ( ) 0. El costo totl está ddo por C ( ) 9 0 (en miles de pesos). Determinr: ) el número de uniddes que se dee vender pr que el ingreso se máimo, y cunto sciende ese ingreso. ) El rngo de uniddes que se dee vender pr otener utiliddes..-en Físic se demuestr que l distnci d recorrid por un cuerpo en su cíd lire en el vcío está dd por l función d v 0 gt, donde v 0 es l velocidd inicil del cuerpo, t es el tiempo de descenso y g es l celerción constnte deid l grvedd. Clculr el tiempo que necesit un cuerpo pr metros descender 00 metros en el vcío si su velocidd inicil es de 8( ) y g segundo metros es 9,8( ). segundo.-análisis relizdos en un Lortorio, determinron que el costo de producción de spirins pr niños está definido por l función C ( q) q 6q 888, donde q es l cntidd de spirins pr niños producids (en miles). Si el precio está determindo por p ( q) q 8. Cuál dee ser l cntidd mínim producir pr otener utiliddes?.-supongmos que el número proimdo de cteris en un cultivo en un tiempo t medido en hors, está ddo por N( t) t 000t ) Cuál es el número inicil de cteris? ) Cuánts cteris hy luego de un hor? c) En que tiempo desprece l polción? d) En que tiempo l polción de cteris es máim? El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

86 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006.-L demnd mensul d de un cierto rtículo l precio de p dólres por unidd, está ddo por l función d 0 p. El costo de mno de or y del mteril con que se fric este rtículo es de US$ por unidd, y los costos fijos son de US$ l mes. Qué precio por unidd deerá fijrse l consumidor con el ojeto de otener un utilidd máim mensul?.-un gllinero es tcdo por un epidemi. A prtir del instnte en que se detectó el ml y se le empezó tcr, l mortlidd diri se dio de cuerdo l siguiente ley : f ( t) t 0t 99, donde t son dís y f (t) muertes diris. ) Cuántos nimles murieron el dí que se detectó el ml? ) En que dí se produjo l mortlidd máim?. Cuánto fue? c) Cuánto tiempo duró l plg desde el dí en que se detectó? d) Si el modelo mtemático rige l tiempo psdo, cuántos dís ntes de detectrse l epidemi, est hí comenzdo? V.-FUNCIÓN EXPONENCIAL 6.- Cuáles son ls crcterístics generles de l gráfic de f(), con > 0? 7.-Mencione tres plicciones de ls funciones eponenciles. 8.-Clculr el vlor de en ls siguientes ecuciones: ) ) c),,,8, () 9.-Resuelv ls siguientes ecuciones eponenciles : ) 8 e) -,87 ) 00 f) (/) c) 6 g) d) 00 *, h) (/) (/) 7/6 0 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

87 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Representr gráficmente ls siguientes funciones: ) ) y, y (0,8). Dd l función eponencil: y, y su gráfic. Determine: ) Dominio y Recorrido. ) Intersección con los ejes de coordends c) Ecución de l síntot. d) Intervlos de crecimiento y decrecimiento. Dd l función eponencil: y, y su gráfic. Determine: ) Dominio y Recorrido. ) Intersección con los ejes de coordends. c) Ecución de l síntot d). Intervlos de crecimiento y decrecimiento El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 86

88 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. Dd l función eponencil: y ( ) Determine: ) Dominio y Recorrido. ) Intersección con los ejes. c) Ecución de l síntot. d) Intervlos de crecimiento y decrecimiento..-supong que el número de cteris en un cierto cultivo se duplic cd hor. ) Escri l ecución que permit clculr el número de cteris en el cultivo después de t hors, suponiendo que inicilmente el cultivo contiene N 0 cteris. 6 ) Si l polción inicil es de 0 cteris. Cuánts cteris hy después de hors de inicido el eperimento?.-un nlist estim que ls utiliddes totles cd mes (en dólres) pr un determind compñí, se puede descriir con l siguiente ecución: 0,8 p U ( p) 000(0,0), en l cul p es l cntidd gstd en pulicidd. ) Cuál será l utilidd cundo no se gste en pulicidd? ) Cuáles serín ls utiliddes máims que se podrín logrr? c) Cuál será l utilidd, si se gstn US$0 en pulicidd? 6.-El Argón 9, rdictivo, tiene un vid medi de minutos, es decir, en minutos l mitd de culquier cntidd de Argón 9 se convertirá en otr sustnci deido su desintegrción rdictiv. Si se comienz con A 0 miligrmos de Argón 9. Qué cntidd hy después de t minutos? 7.-Se estim que el vlor de revent v de un mquinri de lortorio está 0,t determindo por l epresión v e, donde t es l ntigüedd de l mquinri. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 87

89 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ) Cuál es el vlor originl de l mquinri? ) Cuál será el precio de vent después de ños?. Después de 0 ños? c) Cuánto trdrá este ien de cpitl en devlurse l 0% de su vlor originl? 8.-L vid medi de un mteril rdictivo utilizdo en rdioterpi es de, dís. Esto signific que l rdictividd decrece l mitd cd, dís. Un hospitl otiene un nuevo suministro de.00 microcuries ( ( μ Ci). Qué cntidd de este mteril será todví rdictivo después de 0 dís? 9.-L mrch de ls vents de l cden de frmcis z, trvés del tiempo, está descrit decudmente por l función y (, ) ; donde en Myo de 006, y l unidd de tiempo es un mes. Predig ls vents pr Diciemre de 007 t 60.-El número de cierto tipo de cteris está ddo por l ecución Q Q 0, donde Q 0 es el número inicil de cteris, es decir, el número de cteris cundo t 0 y t el tiempo en hors desde que se notó l cuent inicil. ) Si Q cundo t, encuentre Q 0 ) Encuentre el número de cteris que hy l co de hors. c) En cuánto tiempo Q se vuelve el dole de Q 0? d) En cuánto tiempo Q se vuelve 8 veces Q 0? VI.-FUNCIÓN LOGARÍTMICA 6.- Cuáles son ls crcterístics generles de l gráfic de > 0, f ( ) log ;con 6.-Mencione tres plicciones de ls funciones logrítmics 6.- Qué signific que log?. Cuánto vle log 0 000? 6.- Diujr l gráfic de f ( ) ln 6.-Qué relción eiste entre ls gráfics de y log e y? Hg un esozo gráfico. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 88

90 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Cuánto vle el logritmo de un producto? Si log 0,77 y log7 0,8 cuánto vldrá log? 67.- Cuánto vle log0 n? Con este resultdo, y siendo que log7,0, hllr : ) log 70 ) log c) log,7 68.-Clculr el vlor de en ls siguientes ecuciones :, ), j) log 6 ),8 k) log,. c) ( ) l) log 7 0, d) log (/ 6) m) log 0, e) log 6 6 n) log 7, f) log ñ) log,, g), o) log (/ ) 00 h),00 p) log 7 8 i) 0, q) log Dd l función Logrítmic: f ( ) log( 6), y su gráfic Determine: ) Dominio y Recorrido. ) Intersección con los ejes. c) Ecuciones de ls síntots. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 89

91 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Dd l función Logrítmic: f ( ) log( ), y su gráfic Determine: ) Dominio y Recorrido. ) Intersección con los ejes. c) Ecuciones de ls síntots.. 7. Dd l función Logrítmic: f ( ) log( ) log( ), y su gráfic Determine: ) Dominio y Recorrido. ) Intersección con los ejes. c) Ecuciones de ls síntots. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 90

92 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Dd l función Logrítmic: f ( ) log, y su gráfic Determine: ) Dominio y Recorrido. ) Intersección con los ejes. c) Ecuciones de ls síntots. 7.-Determinr: dominio, recorrido, intersección con los ejes, síntots, intervlos de crecimiento, decrecimiento y gráfico de ls siguientes funciones : ) y log( ) c) y log( ) ) y log ) d) y log - log( ) 7.-Se cree que muchs clses de cteris tienen un crecimiento eponencil kt según funciones de l form N ( t) N 0 e, donde : N (t) número de cteris en el tiempo t N 0 número de cteris en el tiempo t 0 k constnte de crecimiento (ts porcentul de crecimiento) Determine el periodo que se requiere pr que un polción inicil duplique su tmño 7.-Un noteook cuest $ y se depreci un ts del 0% nul. En cuánto tiempo se deprecirá hst un vlor de $00.000? t Sugerenci: V ( t) V0 ( r) 76.-Un cultivo de l cteri Escherichi coli está creciendo en un medio que 6 const de sles inorgánics y glucos. L polción inicil es de 0 cteris por milímetro y crece un ts eponencil con un constnte de desrrollo de k 0,8 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

93 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 ) Determine l función de crecimiento eponencil. ) Cuál es el tiempo de triplicción? 77.-Al momento de ncer su hijo, el señor Segur, dese invertir un cntidd suficiente pr entregrle $ cundo el hijo teng 8 ños, con el propósito de usrlo en el pgo de l crrer universitri. Qué cntidd será necesri, si el dinero se invierte l %, compuesto trimestrlmente. n Sugerenci: S A( i) 78.-Un Ispre clcul que el número de sus filidos A (t), después de t ños, está dd por : 0,t A( t) (0,0) ) Cuántos filidos tiene inicilmente l Ispre? ) Cuántos filidos tendrá después de ños? c) Al co de cuántos ños triplicrá el número sus filidos? d) Cuál es el número máimo de filidos que tendrá l Ispre? 79.-Si c ) n A( r. Demuestre que: log c log n, y log( r) r n c / El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

94 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Introducción. UNIDAD III.- CONTINUIDAD Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Históricmente, el desrrollo del cálculo por Isc Newton (6-77) y Gottfried Wilhelm Leiniz (66-76) gir en torno dos prolems geométricos fundmentles. Cd prolem está relciondo con l gráfic y f () de un función dd. El primer prolem fundmentl es qué entendemos por l rect tngente l curv y f () en un punto ddo?. L plr tngente surge del ltín tngents, tocr. Así, un rect tngente un curv es quell que sólo toc l curv. El segundo prolem fundmentl es encontrr el áre de un región pln que está jo l curv y f () Precerí que el prolem de l rect tngente no está muy relciondo con ls plicciones práctics de ls mtemátics, pero, como se verá más delnte, el prolem de hllr l rzón de cmio de un cntidd en relción con otr, equivle mtemáticmente l prolem geométrico de encontrr l pendiente de l rect tngente un curv en un punto ddo sore l curv. El descurimiento de l relción entre estos dos prolems celeró el desrrollo del cálculo en el siglo XVII y lo convirtió en un herrmient indispensle pr resolver prolems prácticos. Los siguientes son lgunos ejemplos de tles prolems. *Determinr l velocidd de un ojeto *Determinr l rzón de cmio de un polción de cteris con respecto del tiempo. *Determinr l rzón de cmio de ls gnncis de un compñí con respecto l tiempo. *Determinr l ts de crecimiento (el número de persons que contren un grve enfermedd por dí) de l polción infectd en el instnte t. El estudio del prolem de l rect tngente condujo l creción del cálculo diferencil, el cul se s en el concepto de derivd de un función. El estudio del prolem del áre llevó l creción del cálculo integrl, el cul se s en el concepto de ntiderivd o integrl, de un función. Tnto l derivd como l integrl de un función se definen en términos de un concepto más fundmentl : el límite. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

95 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Límite de un función. L presentción será más ien intuitiv que forml. Ls ides perfilds quí formn l se de un desrrollo más riguroso de ls leyes y procedimientos del cálculo. He quí un definición de límite que será suficiente pr nuestros propósitos: Definición : Si los vlores de l función y f () se proimn más y más lgún número rel: L, siempre que l vrile se proim más y más lgún número:, se dice que L es el límite de l función f cundo tiende o se proim, y se escrie: lim f ( ) L En términos geométricos: lim f ( ) L, signific que el vlor de l ordend del gráfico de l función: y f (), tiende l número rel: L, cundo tiende o se proim :. Los límites descrien el comportmiento de un función cerc de un punto prticulr y no necesrimente en el punto mismo. Ejemplo: 7 Evlúe: lim. Vemos que l función no est definid pr:, pero utilizndo el álger de funciones se puede simplificr el prolem de l siguiente form. lim 7 lim ( )( 7) lim ( 7) () 7 L cncelción del fctor: ( ) es legítim y que l definición ps por lto el comportmiento preciso en:. Por lo tnto no se h dividido por cero. Un clr comprensión del significdo de l plr límite. Est dd en un segund definición: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

96 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Definición : Decir que: lim f ( ) L, Signific que cundo está cerc de:, pero diferente de:, l función y f () est cerc del número rel: L. Un definición forml del concepto de Límite es l siguiente: Definición : Se: y f () un función. Ddo: IR, decimos que: L es el límite de f en el punto:, si pr cd: ε > 0, eiste δ > 0, tl que si: 0 < < δ, entonces: f ( ) L < ε. En tl cso escriimos: lim f ( ) L. El siguiente teorem grntiz que si él limite eiste este es único. Teorem: Si el límite de un función en un punto eiste, dicho límite es único.0. Propieddes de los Límites Los límites oedecen leyes lgerics. Son importntes porque simplificn el cálculo de estos. Ls dos propieddes siguientes trtn sore los límites de dos funciones lineles elementles prtir de ls cules pueden ser construids otrs funciones lgerics:.. El límite de un función constnte Si: y f ( ) k, función constnte, entonces: Lim f ( ) Lim k k. El límite de un función constnte es l constnte mism. En términos geométricos, esto signific que l ltur del gráfico de l función constnte: f ( ) k, tiende l vlor k cundo tiende. Ejemplo: Lim 8 8 L próim propiedd estlece que l ltur de l función identidd: ( ), tiende hci:. f. El límite de l función identidd Si: f ( ), función identidd, entonces: Lim f ( ) Lim. Como: f ( ), es evidente que f () tiende cundo tiende El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

97 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo: Lim.. El Límite de un sum, rest y producto Si Lim f () y Lim g(), eisten, entonces: Lim [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) Lim Lim Lim Lim [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) Lim Lim [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) Esto es, el límite de un sum (o diferenci o producto) es l sum (o diferenci o producto) de los límites individules. Lim Lim Ejemplo Lim (7 ) Lim 7 Lim Lim.. El límite de un constnte por un función Si: y k f (), constnte por función, entonces: Lim k f ( ) k Lim f ( ). Ejemplo Lim (7 ) 7 Lim Lim Lim( ) Ejemplo Lim ( 7 f ( ) g( ) ) 7 Lim f ( ) Lim g( ).. El límite de l función linel Si: f ( ) m n, función linel, entonces: Lim f ( ) Lim ( m n) m n. Oservemos que l función linel: y m n tiene como gráfic un líne rect, con pendiente m y coeficiente de posición n. Cundo:, y siempre está definid e y m n. Cundo tiende, el punto (, y) sore l gráfic de est función se cerc cd vez más l punto (, m n). Esto es, el vlor de y está cd vez más cerc de: m n, como se estleció en l propiedd. O se pr clculr el límite de un función linel se clcul simplemente sustituyendo por. 96 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

98 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo: Lim ( 7 ) 7 Ejercicio: Clculr: Lim ( ).6. El Límite de un cuociente Si: Lim f () Lim Lim f ( ) f ( ) g( ) Lim g( ) y Lim g(), eisten, y si Lim g( ) 0 entonces Esto es, si el límite del denomindor no es cero, el límite de un cuociente es el cuociente de los límites individules. Ejemplo Lim 7 Lim ( ) Lim ( 7 ) ( ) ( ) 7.7. El límite de l función Polinomil Si: y f (), es un función Polinomil y es un número rel, entonces: Lim f ( ) f ( ). L nterior permite encontrr limites de funciones Polinomiles medinte l sustitución de por lo lrgo de tod l fórmul de l función. Ejemplo Lim ( 6 7 ) Ejercicio: Clcule: Lim ( ).8. Límite de un Potenci r Si: Lim f (), eiste, entonces Lim ( f ) Lim f ( ) ( ), pr todo número rel r. r El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 97

99 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Esto es, el límite de un potenci es l potenci del límite. Ejemplo Lim Lim ( 8 ) ( 8) ( () 8 ) 6.9. Límite de l Función Compuest Si: Lim f ( ) L, y Lim g( ) g( L) L, entonces: Lim ( g( f ( )) ) g Lim f ( )..0. El límite de un función irrcionl Si: y n f ( ), función irrcionl, entonces: Lim n f ( ) n Lim f ( ). Lo cul signific, que el límite de l enésim ríz principl de un función positiv es igul l enésim ríz principl del límite de es función. Ejemplo: 9 ( 9) Lim Lim 6.0. Clculo de Límites Pr él clculo de límites de funciones se utiliz l siguiente propiedd de l sustitución: Si y f () es un función polinomil o un función rcionl, entonces: Lim f ( ) f ( ), siempre que el denomindor pr l función rcionl en, no se cero. Ejemplo : lim ( ) () () 7 En el cso de que y f () se un función rcionl se utiliz el siguiente resultdo: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 98

100 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Funciones equivlentes o que coinciden slvo en un punto Se: 0 un número rel y sen f y g dos funciones tles que: f ( ) g( ) pr todo distinto de: 0 en un intervlo ierto I que contiene : 0. Si límite de g () eiste y es L cundo tiende : 0, entonces tmién eiste el límite de f () cundo tiende : 0, y demás: Lim f ( ) Lim g( ) L 0 0 Not : Puede demostrrse que si p () es un polinomio y que sí: p ( c) 0, entonces ( c) es un fctor de: p (). Por lo tnto, si el numerdor y el denomindor de un función rcionl son mos nulos pr: c, entonces: ( c) es un fctor común tnto del numerdor como del denomindor. Ejemplo. Clcúlense los siguientes límites: ( )( ) ( ) ) lim lim lim. ( )( ) ( ) ( )( ) ) lim lim lim ( ) 0 L propiedd nterior se utiliz cundo l función equivlente se usc por l técnic de l fctorizción y cncelción; y tmién en l úsqued de l función equivlente por rcionlizción y cncelción. Ejercicio. Dd l función: f ( ). Otener los siguientes límites: f ( ) f (). lim f ( h) f ( ). lim h 0 h.0. Límites Lterles En est sección etendemos los conceptos de límite límites lterles o por un ldo, los cules son límites cundo tiende desde un ldo, y se por l izquierd o por l derech. Ejemplo : L función: f ( ) tiene límite si tiende cero por l derech y, si tiende cero por l izquierd, es decir lo nterior se puede notr: lim f ( ) y lim f ( ) ; o se tenemos límites distintos por 0 0 l derech y por l izquierd en el origen. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 99

101 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Definición informl de Límites Lterles Definición : Se l función y f () definid en un intervlo ierto de l form: ],[ donde: <. Si f () est ritrrimente cerc de L D cundo tiende desde dentro del intervlo, diremos que L D es el límite por l derech de f en, y escriiremos: lim f ( ) L D Definición : Se l función y f () definid en un intervlo ierto de l form: ] c, [ donde: c <. Si f () est ritrrimente cerc de L I cundo tiende desde dentro del intervlo, diremos que L I es el límite por l izquierd de f en, y escriiremos: lim f ( ) L I Not: Los límites lterles tienen tods ls propieddes dds nteriormente: El límite por l derech de l sum de dos funciones es l sum de sus limites por l derech, y sí, en generl. Ejemplo : Dd l función: f ( ) ) lim f ( ). Otener los siguientes limites:, ) lim f ( ) Solución: ( ) ( ) Pr ) lim lim lim lim Pr ) lim ( ) lim ( )( ) lim lim ( ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 00

102 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 El siguiente gráfico, nos permite visulizr l situción otenid l clculr los limites pedidos, vemos que los limites lterles son distintos: Hemos otenido diferentes resultdos l clculr los limites lterles pr l función dd. L relción entre límites lterles y el límite de un función se estlece en l siguiente proposición: Proposició n: Un función y f () tiene límite cundo tiende si y sólo si tiene limites lterles por l derech y por l izquierd en ese punto y estos son igules, es decir: lim f ( ) L lim f ( ) L y lim f ( ) L Ejemplo : Dd l función:, si > f(), Determine: lim f ( )., si < Solución: En este cso: lim límite y: lim f ( ), y lim ( ), luego eiste el El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 0

103 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo : Clculr: lim 9 Solución: En este cso: 9 ( )( ) lim lim, >, entonces hy que clculr lo siguiente: ( ), < Limite lterl derecho: ( )( ) ( )( ) lim lim lim ( ) 6 ( ) Limite lterl izquierdo: ( )( ) ( )( ) lim lim lim ( ) 6 ( ) Como: eiste. lim f ( ) lim f ( ), se tiene entonces que: lim f ( ), pero: En el gráfico de l función, podemos visulizr que el limite en no eiste. no Ejercicio : Dd l función: lim f ( ) 7 7 f ( ). Otener el siguiente limite: 7 Ejercicio : Dd l función: lim f ( ) f ( ). Otener el siguiente limite: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 0

104 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Continuidd En l práctic, l myorí de ls funciones de vrile rel tienen dominios que son intervlos o uniones de intervlos seprdos, y lo nturl es restringir el estudio de l continuidd funciones con estos dominios. Esto nos hce considerr sólo tres clses de puntos: puntos interiores (puntos que están en un intervlo ierto del dominio), etremos izquierdos y etremos derechos. Definición : Definición : Definición : Un función f () es continu en un punto de su dominio, sí: lim f ( ) f ( ) Un función f es continu en un etremo izquierdo del intervlo: [, ], sí: lim f ( ) f ( ) Un función f es continu en un etremo derecho del intervlo: [, ], sí: lim f ( ) f ( ).. Criterio de Continuidd Teorem: Un función f () es continu en:, si y sólo si se cumplen ls tres condiciones: ) f ( ) Eiste. ) lim f () Eiste. c) lim f ( ) f ( ) Ejemplo. Determine si l siguiente función es continu en: : f ( ),,, si si si > < El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 0

105 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Solución:. Por demostrr que: lim f ( ) f (). Entonces sí:, se tiene que: f ().. Pr clculr: lim f ( ), se deen de considerr los siguientes límites lterles: Limite lterl derecho: lim ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) lim ( ) Limite lterl izquierdo: lim lim ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) lim c. Como: lim f ( ) lim f ( ), se tiene entonces que: lim f ( ) eiste y demás: lim f ( ) f () es continu en:.. Por lo tnto l función dd si Ejercicio : Determine sí l función:, si < f ( ) 0, si es continu en, si > Ejemplo. Determine los vlores de ls constntes y de modo que l función se continu en todo IR: f() - 7, si < -, si -, si > El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 0

106 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Solución. Pr que l función f se continu en. que: lim f ( ) lim f ( ) (), Tiene que suceder Pr que l función f se continu en., Tiene que suceder que: lim f ( ) lim f ( ) () De l ecución () se tiene: lim ( ) () lim ( ), dé donde: De l ecución () se tiene: lim ( ) 0 () lim ( 7), dé donde: Ls ecuciones () y () permiten otener los vlores de y uscdos resolviendo el sistem de ecuciones socido: 0 9 Resolviendo el sistem se otiene que: y 8 Ejercicio : Determine los vlores de ls constntes y de modo que l función se continu en todo IR: f(),,, si < si - si > Solución: Indicción: Los vlores de y uscdos se otienen resolviendo el sistem de ecuciones siguiente: De donde: y, hcen que l función f se continu en 6 0 todo IR. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 0

107 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Regls de Continuidd Teorem: Si ls funciones: y f () e y g() son continus en:, entonces ls siguientes funciones son continus en: :. f g, f g, f g.. k f, donde k es culquier constnte.. f : g, siempre que g ( ) 0.. Continuidd de polinomios y funciones rcionles Teorem: Todo polinomio es continuo en culquier punto de l rect rel. Tod función rcionl es continu en todo punto de su dominio, es decir donde el denomindor es distinto de cero. Ejemplo : L función: f ( ) es continu IR {,}, y que en: y se nul el denomindor... Continuidd de l función compuest Teorem: Si un función f () es continu en:, y si l función g () es continu en f (), entonces ( g o f )( ) es continu en:. Ejemplo : L función: es continu ], ] f ( ) 0 entonces: Límite en el Infinito, y que si: El límite de un función cundo su vrile crece sin cot (llmdo veces límite en el infinito) puede dr informción útil en situciones prctics. Por ejemplo, si l vrile represent el tiempo, dicho límite descrie que le sucederá l función l lrg. El propósito de lo que sigue es mostrr lguns técnics de cálculo que pueden usrse pr hllr el límite de un función cundo su vrile crece sin límite. Definición : El símolo Lim f () se lee el límite de: f (), cundo tiende l infinito y represent el comportmiento de l función () límite. Si f () tiende un número rel finito: L, se escrie: Lim f ( ) L f cundo crece sin El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 06

108 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Definición : Si: f (), crece o decrece sin límite, se escrie: Lim f () Lim f (), o ien: Pr referenci, este es un resumen de lgunos límites importntes que deier conocer, pr potencis de:, si n > 0: 6.. Límite de Funciones Básics Proposició n: n Lim Lim 0 n Proposició n: 0 n Lim pr tod n > 0, con tl que: n esté definid pr < 0. Ejemplo : El siguiente límite cundo: < 0. Lim no eiste porque no est definid Not: El límite de un polinomio cundo crece sin límite est determindo por su término de myor grdo, que crece o decrece más rápidmente que los términos de menor grdo. Si: f () n y, es un función Polinomil, entonces: Lim f ) Lim ( ) n 0. (, con n Esto es, pr hllr el límite en el infinito de un polinomio, st tomr el límite del término de myor grdo. Un cmino pr hllr el límite en el infinito de un función rcionl es comprr primero los grdos del numerdor y del denomindor y dividir numerdor y denomindor por elevdo l myor de los grdos. Esto reducirá el prolem k uno en el que l myorí de los términos son de l form: n, que tienden cero cundo tiende infinito Ejemplo : Determine: Lim Lim Ejemplo : Determine: Lim Lim El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento

109 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejemplo : Determine: Lim 8 Lim 8 ( ) 8 Lim 0 0 Ejemplo : Determine: Lim Lim Lim 0 0 Ejemplo 6: Determine: Ejemplo 7: lim Determine: ( lim lim 7 6 ) lim 7 lim 6 lim LA DERIVADA L derivción es un técnic mtemátic de ecepcionl poder y verstilidd. Es uno de lo dos conceptos centrles en l rm de ls mtemátics llmd cálculo y tiene un vriedd de plicciones que incluyen el esozo de curvs, l optimizción de funciones y el nálisis de ritmos de cmio. Definición: Se y f () un función dd. L primer derivd de l función f con respecto l vrile:, que se escrie por: f '( ), se define medinte el siguiente límite, si este eiste: f '( ) lim h 0 f ( h) f ( ) h Not : El dominio de: f '( ), es el conjunto de todos los puntos en el dominio de y f () pr los cules eiste el límite, puede ser menor que el dominio de: f (). Si f '( ) eiste, diremos que f () tiene derivd o que es diferencile en:. Not : A l derivd tmién se le d el nomre de coeficiente diferencil y l operción de clculr l derivd de un función se denomin derivción o diferencición. Si l derivd de un función eiste en un punto prticulr del dominio de l función: f (), decimos que f es diferencile en tl punto. L derivd f '( ) de l función f () con respecto l vrile independiente se denot tmién por: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 08

110 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 y', D y, D f, df d dy d,, cd un de ells indic ectmente lo mismo. Dee notrse que l primer derivd de un función con respecto l vrile es en generl, otr función tmién de l vrile y dee de ser evlud pr quellos vlores prticulres que interesn. Not : dy L notción: d represent un solo símolo y no deerá interpretrse como el cociente de ls cntiddes dy y d. A fin de mplir l dy notción, note que: d indic l derivd de y con respecto si y dc es un función de l vrile independiente:. L epresión dq denot l derivd de C con respecto q si C es un función de l d vrile independiente: q ; dt indic l derivd de con respecto t si es un función de l vrile independiente: t. 7. Interpretción Geométric: Sí en el límite de l definición nterior considermos que: 0 h, entonces: h 0 y oservmos que: 0, cundo: h 0. Lo nterior nos permite definir el concepto de pendiente de un rect tngente un curv de ecución: y f () en el punto de coordends:, f ( )), del modo siguiente: ( 0 0 Definición: Se y f () un función continu en: 0. L pendiente de l rect tngente l curv dd por l función f en el punto de coordends: ( 0, f ( 0 )), que se escrie por: f ( ) m( ), se define medinte el siguiente límite, si este eiste: ' 0 0 f ( ) f ( 0 ) f '( 0 ) lim m( 0 ) 0 0 Ejemplo: Dd l función: f ( ). Clcule el vlor de l pendiente de l función en el punto: (, f () ), o se, se dee de otener: m ( ) f `() L Diferenciilidd implic l Continuidd: Si un curv tiene tngente en un punto, l curv no puede dr un slto. L formulción precis de este hecho es un teorem muy importnte: Proposició n: Si eiste: f '( 0 ), entonces l función f es continu en: 0. Not : Los dos csos en los cules un función es continu en 0 pero no diferencile en 0 se presentn cundo l gráfic de l función El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 09

111 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 present: desvíos ruscos o punts y cundo eisten tngentes verticles. Así, l continuidd no grntiz l derivilidd. Ejemplo: Dd l función: f ( ) Otener: f ( h) f() ) L derivd de l función, es decir: f `( ) lim h 0 h ) El vlor de l pendiente de l función en el punto: (, f () ), es decir, se dee de clculr: m ( ) f `() donde: f ( ) f () m() f `() lim Pr ) lim h 0 f ( h) f() ( h) lim h h 0 h ( ( h) )( ( h) ) h ( ( h) ) lim h 0 ( h) ( ) lim h 0 h ( ( h) ) h lim h 0 h ( ( h) ) lim h 0 ( ( h) ) Por lo tnto si: f ( ), entonces: f `( ) Pr ) f ( ) f () lim lim ( - )( ) lim ( )( ) lim ( )( ) ( ) lim ( )( ) lim ( ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 0

112 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Entonces l pendiente de l rect tngente l función f en el punto (, f () ) es m Definición: L ecución de l rect tngente l curv l curv y f () en un punto de coordends: ( 0, f ( 0 )), est dd por l ecución: y y0 m( 0 )( 0 ), donde: y f ( 0 ) y l pendiente est dd por: m ) f '( ). 0 ( 0 0 Ejemplo: Dd l función: f ( ) Otener l ecución de l rect tngente en el punto de coordends: (, f () ). Como: (, f () ) (, ), y l clculr: m ( ) f `() se otuvo: m, entonces l ecución pedid es: Ejercicio. Dd l función: y f ) ( ) y y ( Otener: ) L derivd de l función, es decir: f `( ) lim h 0 f ( h) f() h ) L ecución de l rect tngente l función f en el punto: (, f () ). Pr ) lim h 0 f ( h) f() lim h h 0 ( h) h h lim h 0 ( ( h) )( ) ( h)( ) ( h)( ) h ( h )( ) ( h)( ) h ( h)( ) lim h 0 h lim h 0 h ( h)( ) lim h 0 ( h)( ) ( ) Por lo tnto si: f ) (, entonces: f `( ) ( ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

113 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Pr ) Pr determinr l ecución de l rect tngente l función f en el punto: (, f () ), deemos clculr el vlor de l pendiente que corresponde : m ( ) f ( ), o se: f `( ), y ( ) demás ser cul es el punto, que es en este cso: (,8 ), y que: f () 8. Por lo tnto, utilizndo l ecución punto - pendiente de l líne rect dd por: y y0 m( 0 ), se otiene que: y 8 ( ) y 8 y Definición: Un rect es norml un curv y f () en un punto de coordends: ( 0, f ( 0 )), si es perpendiculr l rect tngente l curv en ese punto. L rect se llm l norml l curv en dicho punto. Recordemos que dos rects son perpendiculres, si el producto de sus pendientes es igul, es decir si: m T m N. Por lo tnto si: m ' ( T f 0 ), entonces: m N f '( 0, en consecuenci l ecución de l rect norml est dd ) por l fórmul: y y0 mn ( 0 ) o se: y y ( 0) 0 f ( 0 ) Ejemplo: Dd l función: f ) (, l ecución de l rect Norml en el punto: (, f () ) est dd por: y 8 ( ), o se: y 8, de 89 donde: y es l ecución pedid. Ejercicio: Dd l función: f ( ). Encuentre l ecución de l rect norml l función en el punto: (, f () ). El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

114 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Como se clcul l derivd de un función por definición: El siguiente método o proceso de los cutro psos es útil en el cálculo de l derivd de un función por definición: Pso : Evlur l función f en h f ( h), o se se clcul: Pso : Restr: f () l epresión nterior, es decir otener: f ( h) f ( ) por h: Pso : Forme el cociente de incrementos, dividiendo f ( h) f ( ) h Pso : Simplifique lgericmente el cociente de incrementos. Tomr el límite pr: h 0, o se hg que h tiend cero en el cociente de incrementos simplificdo. L epresión resultnte será l derivd f ( h) f ( ) uscd, esto es: Lim f ' ( ) h 0 Ejercicio : Utilizndo l definición determine l derivd de ls siguientes funciones:. f ( ) k R: f '( ) 0. f ( ) R: f '( ). ( ) f '( ). f ( ) R: f '( ) f R: h. f ( ) R: f '( ) 6. f ( ) R: f '( ) f ( ) R: f '( ) f ( ) 9 R: f '( ) 9. f ( ) 7 R: f '( ) 0. f ( ) 7 R: f '( ) 6. f ( ) 9 R: f '( ) 0. f ( ) m n R: f '( ) m. f ( ) c R: f '( ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

115 Mteril Complementrio Mtemátic Básic ( ) ( ) f ( ) R: f ( ) R: f '( ) f R: ( ) f R: f '( ) f '( ) f '( ) 8. ( ) sen ( ) f '( ) 9. ( ) cos ( ) f '( ) 0. f ( ) e R: f '( ) e. f ( ) ln R: f '( ) 7.. Técnics de derivción 7 ( ) f R: cos( ) f R: sen( ) Se mostró cómo hllr le derivd de un función utilizndo l definición. Incluso pr ls funciones más simples, este proceso es tedioso y eige mucho tiempo. En lo que sigue veremos lgunos tjos. L justificción de lgunos de estos tjos se drá posteriormente en clses, después de her tenido l oportunidd de prcticr su uso. 7.. L derivd de un función potencil r Un función potencil es un función de l form: f ( ) donde r en un / número rel. Por ejemplo: f ( ), f ( ), f ( ) son funciones potenciles. Igulmente lo son: f ( ), f ( ) y que pueden ser reescrits de l form: / f ( ), f ( ), respectivmente. Ahor enunciremos un regl simple que puede usr pr hllr l derivd de culquier función potencil, donde el eponente es un número rcionl: Si: r f ) r (, entonces: f '( ) r () r Esto es, pr hllr l derivd de: f ( ), reduzc el eponente de en y multiplique por el eponente originl de. L fórmul es válid pr todos los vlores reles de r. Ejemplo: Sí: y f ( ), entonces: f '( ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

116 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejercicio : Hllr l derivd de cd un de ls siguientes funciones: 6. f ( ) R: f '( ) 6. f ( ) R: f '( ). ( ) f R: f '( ) 7.. L derivd de un función Constnte L derivd de culquier función constnte es cero. Esto se dee que el gráfico de un función constnte: f ( ) k es un rect horizontl y su pendiente es cero. Si: f ) k (, entonces: f '( ) 0 () Esto es, l derivd de un constnte es cero. Ejemplo: Sí: y f ( ) 7, función constnte, entonces: f '( ) L derivd de un Constnte por un función Se: f () un función diferencile de y k un constnte, por lo tnto: Si: y k f (), entonces: y' k f '( ) () Esto es, l derivd de un constnte por un función es igul l producto de l constnte por l derivd de l función. Ejemplo: Sí: y f ( ), entonces: f '( ) Ejercicio : Hllr l derivd de cd un de ls siguientes funciones:. f ( ) R: f '( ) 0 0. f ( ) 6 R: f '( ) 6. f ( ) R: f '( ). f ( ) 6 R: f '( ) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

117 Mteril Complementrio Mtemátic Básic L derivd de un Sum de funciones Se estlece que un sum de funciones puede ser derivd término término. Si f () y g () son dos funciones derivles de:, entonces se verific que: d d d d d d ( f ( ) g( ) ) ( f ( ) ) ( g( ) ) () Esto es, l derivd de un sum de dos funciones es igul l sum de ls derivds de ls dos funciones. Not: L regl puede ser plicd l sum de un número finito de funciones derivles. De lo nterior por cominción de l regl de l sum con ls regls de l potenci y del múltiplo constnte, se puede derivr culquier polinomio. d d Tmién se puede deducir que: ( f ( ) g( ) ) ( f ( ) ) ( g( ) ). Esto es, l derivd de l rest de funciones es igul l rest de ls derivds. d d d d Ejemplo: Sí: f ( ) 7, entonces: f '( ) 0 Not : Epresiones en que precen préntesis pueden derivrse después de eliminr los préntesis. Por ejemplo, si desemos clculr: f '( ) cundo: f ( ) ( ), en primer término escriimos: f ( ) 6. En est form, podemos derivr como polinomio y otener lo pedido: f '( ) 7. Si: ( ) y, empezmos desrrollndo el cudrdo de inomio y multiplicmos por el monomio, oteniendo: y. A prtir de est etp, procedemos clculr l derivd y otenemos: y '. En form similr, podemos simplificr frcciones con denomindores t 8t 6 monomios ntes de derivr. Por ejemplo, sí: y, l escriimos primero de l siguiente form: t El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

118 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 y (t 8t 6) t 6t t vrile t, otenemos: ' t 6t y.. Después de derivr con respecto l Ejercicio : Hllr l derivd de l siguiente función: f ( ) ( )( ) R: f ' ( ) 7.8. L derivd de un Producto de dos funciones Supong que se le pide derivr el siguiente producto de dos funciones: ( )( ) Se podrí cer en l tentción de derivr los fctores: ( ) ( ) y por seprdo y entonces multiplicr sus soluciones. Esto es, clculr: ( ) 6 d ( ) 0 ; y concluir que: d y d d dy ( 6 )( 0 ) d. Sin emrgo, est respuest es incorrect. 6 Pr ver esto, reescri l función como: y 6 8 0, y oserve que su derivd es: y' , y no es igul : y' L derivd de un producto no es el producto de ls derivds individules. He quí l fórmul correct pr l derivd de un producto: Si: entonces: y u v, en donde u f () y g() v, son funciones derivles de, d d dv du ( u v) u v () d Esto es, l derivd de un producto de dos funciones es igul l primer función sin derivr multiplicd por l derivd de l segund función, más el producto de l segund función sin derivr por l derivd de l primer función. Ejemplo: Sí: f ( ) ( ), entonces: f '( ) 6 ( ) ( 6 ) d Not : En l mism form, l derivd del producto de más de dos funciones derivles es l sum de los productos de l derivd de cd función por ls otrs funciones sin derivr. Por ejemplo, sí: y u v w, en donde: u, v y w, son funciones derivles de, entonces: y u v w u v w u v w El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

119 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Ejercicio : Clcule l derivd de ls siguientes funciones: ) y ( )( ), R: y (6 )( ) ( )( 0 ) ) y ( )( ), R: ( )( ) ( )( y ) c) y ( )(7 ), R: y ( 8)(7 ) ( )( 6 ) d) y ( )( )( ), R: 7.9. L derivd de un cociente o división de funciones L derivd de un cociente no es el cociente de ls derivds u individules. He quí l regl correct. Si: y, en donde u f () y v g(), son funciones derivles de, entonces: v d d u v du v d v u dv d (6) Esto es, l derivd del cociente de dos funciones es igul l denomindor por l derivd del numerdor menos el numerdor por l derivd del denomindor todo dividido por el cudrdo del denomindor. Ejemplo: Sí: f ( ), entonces: ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) Not : L regl de l división o cociente es prolemente l fórmul más complicd que h tenido que prender hst quí en estos puntes. Este es el cmino pr recordrl: El numerdor recuerd l regl del producto slvo que contiene un signo menos, lo cul hce importnte el orden en que están escritos los términos. Empecemos por elevr l cudrdo el denomindor y entonces, mientrs recuerd ún el denomindor originl, repítlo en el numerdor. Esto l hce empezr con el término decudo en el numerdor, y puede fácilmente escriir el resto pensndo en l regl del producto. No olvide insertr el signo menos. Usndo l regl del cociente, puede derivr hor culquier función rcionl. Ejercicio : Clcule l derivd de ls siguientes funciones: El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

120 Mteril Complementrio Mtemátic Básic f ( ), R: f ( ) ( ) f ( ), R: 7 f ( ) ( ) f ( ) 6 f, R: f ( ) ( ). f ( ) 6. 7 f ( ) 9 Not : L regl de l división es lgo incomod pr cierto tipo de funciones frccionris, por tnto, no se use pr derivr un cociente como l función: y que puede ser reescrito como: y, y puede ser derivdo fácilmente usndo l regl de l potenci de l siguiente form: y ` ( ) Derivción de l Función Compuest: Regl de l Cden Se: y f (u) un función en l vrile u y se: u g() un función en l vrile. Entonces podemos escriir: y f [ g() ] que represent y como un función de:, denomind l función compuest de f y g, que se denot por: ( f o g )(). L derivd de ls funciones compuests puede clculrse medinte l propiedd siguiente: 7.. L Regl de l Cden Si y es función de u y u es un función de:, entonces y puede considerrse como un función de: : dy d dy du du d (7) Esto es, l derivd de y con respecto :, es l derivd de y con respecto u, multiplicd por l derivd de u con respecto. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

121 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 L regl de l cden represent l que es prolemente l más útil de tods ls herrmients de derivción. Es un recurso que se utiliz con frecuenci l mnejr el cálculo diferencil. Cundo l usmos l derivr un función complicd, es necesrio reconocer que l función dd se puede escriir como l composición de dos funciones más simples. Not 6: Ejemplo: Un cmino pr recordr l regl de l cden es pretender que ls dy derivds: y du son cocientes y simplificndo por: du, y du dy reduciendo l epresión: du d dy dy epresión: d del ldo izquierdo, es decir: d dy Clcule: d cundo: Entonces: dy du dy De donde: d du del ldo derecho de l ecución l d y u u, y u, 8u u, y d dy du du d Es nturl utilizr l sustitución: du, dy du du d [ 8u u ] ( ) 8 ( ) ( ) ( ) u dy, pr epresr d como función de. dy Ejercicio 6: Clcule: d cundo:. y. c. y y ( ) 6 d. y ( ) Not 7: Un plicción: En muchs situciones práctics, un cntidd de interés viene dd como un función de un vrile, l cul, su vez, puede ser pensd como un función de un segund vrile. En tles csos, l rzón de cmio o tz de cmio de l cntidd con respecto l segund vrile es igul l rzón de cmio de l cntidd con respecto l primer vrile multiplicd por l rzón de cmio de l primer vrile con respecto l segund. Por ejemplo, supongmos que el Costo Totl C de fricción de un ciert fáric en función del número de uniddes q producids, el cul, su vez, es función del número de hors t durnte el cul l fáric h estdo operndo. Sen: C, q y t el costo totl en dólres, el número de uniddes y el número de hors, respectivmente, entonces: dc es rzón de cmio del costo con respecto l dq dq producción (dólres por unidd), y: dt es l rzón de cmio de l El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 0

122 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 producción con respecto l tiempo (uniddes por hor). El producto de ests dos rzones, o tzs de cmio, es l rzón de cmio del costo con respecto l tiempo: dc dq o se rzón de cmio del costo dq dt con respecto l tiempo (dólres por hor). Como l rzón de cmio del costo con respecto l tiempo viene dd tmién por l derivd: dc, se sigue entonces que: dt dt dc dc dq dq dt Ejercicio 7: En un ciert fáric, el costo totl de fricción de q uniddes durnte el proceso dirio de producción est ddo por: C ( q) 0,q q 900 dólres. De l eperienci se h determindo que si se fricn proimdmente q( t) t 00t uniddes durnte ls t primers hors de l mrch de l producción. Clcule l rzón l que está cmindo el costo totl de fricción con respecto l tiempo un hor después de comenzr l producción. En este cso: dc dt dc dq dq dt (0,q )(t 00) (0,( t 00 t ) )(t 00) (0,t 0t )(t 00) dy Not 8: Se: y f (u), y sí: f '( u), otr mner de escriir l regl de l du cden es: dy d f ( u) du d ' (8) Ejemplo: dy Sí: y f ( u) u( ), entonces: d 7.. L Regl de l Cden pr potencis du u d r En. se prendió l regl: Si: f ( ), entonces: f ' ( ) r pr l derivd de funciones potenciles. Hy un regl estrechmente relciond (que es relmente un cso especil de l regl de l cden disfrzd) que se puede usr pr derivr funciones de l form: [ h ( ) ] r, esto es, funciones que son potencis de otrs funciones. De cuerdo con l regl de l potenci, empiece r El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

123 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 r clculndo: r [ h( ) ] y entonces multiplique est epresión por l derivd de l función: () h. Si: f ( u ) u r, entonces: f '( u ) ru r. Así tenemos el cso siguiente de l regl de l cden: Si: f u ) u r (, entonces: d dy r ( r u ) du (9) d Ejemplo: Sí: f ( ) ( ) 6, entonces: f ( ) 6 ( ) ( 8 ) Not 9: Pr ver que l regl de l cden pr potencis de funciones no es relmente más que un cso especil de l regl de l cden, piense en l función: y ( g( ) ) r como l función compuest formd prtir r de: y u y l función: u g(), entonces: dy r ( ( ) ) r ru r g (0) du dy Y l regl de l cden: d d d dy du du, puede ser reescrit como: d r r ( g( ) ) r( g( ) ) d ( g( ) ) () Que es precismente l regl de l cden pr funciones potencis. d Not 0: Al derivr un función compuest, deemos derivr primero l función eterior de l función compuest, y después multiplicr por l derivd de l función interior. En estos términos verles podemos reformulr l regl de l cden pr potencis de funciones de l form siguiente: dy Si: y f (int erior), entonces: f ' (int erior) ( derivd del interior con respecto ) d Si: y (int erior) r r dy, entonces: r (int erior) ( derivd del interior con respecto d ) Aquí interior signific culquier función diferencile o derivle de vrile. dy Ejercicio 8: Clcule: d cundo: ) ( 6 ) y. y 9 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

124 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 A.- LÍMITES DE FUNCIONES. GUÍA UNIDAD III : CONTINUIDAD Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. ESTUDIO DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES. I.- Evlúe los siguientes límites:.- Lim..- Lim ( )..- Lim ( ) Lim..- Lim. 6.- ( ) ( )( ) Lim. 7.- Lim Lim Lim Lim ( )..- 6 Lim..- 6 Lim. ( ).- Lim..- 8 Lim ( 6)..- ( ) Log 9 Lim. II.- Clcule el vlor rel, si eiste, de cd uno de los siguientes límites:.- Lim..- Lim ( )..-.- Lim..- 6 Lim. 6.- Lim. Lim. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

125 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Lim Lim Lim. 0-8 Lim 8..- Lim Lim y n n y y..- Lim ( )..- ( ) Lim. ( c ) c Lim. 6.- Lim Lim. 0 Lim Lim. 0.- Lim Lim Lim h 0 ( h ) n h n..-.- Lim..- Lim Lim. Lim. 7.- Lim Lim. 9 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

126 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 III.- Determine, si eiste, el vlor rel de cd uno de los límites que se indicn:.- Lim Lim..- Lim ( ) ( )..- Lim..- Lim. 6.- Lim. 7.- Lim. 8.- Lim ( ) Lim. 0.- Lim. B.- CONTINUIDAD DE FUNCIONES. I.- Muestre que l función f es discontinu en el número. Luego determine si l discontinuidd es reprle o no. En el cso que se reprle, repárel.:.- f ( ) ;..- Si f ( ) ;. Si El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

127 Mteril Complementrio Mtemátic Básic Si < f ( ) Si ;. 6 Si > Si < f ( ) Si ;. Si > 8 f ( ) ;. 6 f ( ) ; 0. II.- Determine todos los vlores de pr los cules es continu l función dd:.- f ( ) ( )..- f ( ). 8.- f ( ) 7..- f ( ) 7..- ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 8. 6 f ( ). 9.-Encontrr R tl que Lim f ( ) eist, El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 6

128 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Si > f ( ). Defin f de modo que se Si < continu en. C.- DERIVADAS. Cálculo de derivds: funciones:. f () Clcule l derivd de cd un de ls siguientes R: f'(). f(t) t t t... f () R: y' 6 y y R: 6. f() 7. y 6 y' t t t R: y' t t t 8. f(t) 9. y R: y' ( ) 0. f(). f() R: f'() ln El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 7

129 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006. y. f() ( 7)( ) R: f'(). e y R: y' e ( ) ( ). y 6. y ln 7 ln R: y' R: y' 7 ln Regl de l cden: Derive ls siguientes funciones compuests: 7. f() ( ) R: f () ( ) ( ) 8. y 9. F() e ( ) R: F'() 0 6 ( ) 0. f() ( ) ( ). f() ( ) R: f'() 6 ( ). y. y 7 ( ) ln R: y'. y 6. y ln ( ) R: y' 6. f() e R: f'() - e 7. f() e R: f'() e El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 8

130 Mteril Complementrio Mtemátic Básic y e R: y' ( )e 9. y e R: y' e ( ) 0. f() ln R: f'() ln. y ln R: y' ln. y e R: y e Derivds de orden superior :. Encuentre l segund derivd de ls siguientes funciones: ) f() 7 R: f () 8 ) f() c) y d) f() ) e) f() e R: f '' () R: y e ( ) R: f '' () 6 ( ) ( m e R: f () f) y ln R:. Clcule f '' () si f() ( ) d y d e m m R: 860. Oteng y ''' si y ln R: 6. Determine 7. Si y d y d e 8. Demuestre que y si y e R: ( ) e, demuestre que y '' y e e stisfce l ecución y '' y ' y 0 El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 9

131 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Interpretción geométric de l derivd : 9. Clcule l pendiente de l rect tngente l curv y f() en el punto de scis indicdo: ) f(), R: m f () 0 ) y c) F() e, 0 R: m y (0) e ( ), R: m F'() d) f() ( ) ( ) 0 R: m f (0) 0 0. En qué punto de l curv y - 7, l rect tngente ést es prlel l rect y - 0? Grfique l situción.. En qué punto de l curv y, l rect tngente ést es prlel l eje X? R: (, y()) y (-, y(- )). Encuentre los puntos de l gráfic de y 6 en donde l pendiente de l rect tngente es igul. R: (, - ) y (-, ) Pr ls funciones y f() de los ejercicios. 8., determine l ecución de l rect tngente l gráfic en el punto P que se indic:. y ; P(, -) R: y - 9. f() e ; P(/, ) R: y. y ; P(, 7/) R: 6y 6. y ; P(-, /) R: y 7. f() ln ; P(, 0) R: y - 8. y ; P(0,) R: y e El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento. 0

132 Mteril Complementrio Mtemátic Básic 006 Pr ls funciones y f() de los ejercicios 9.., determine l ecución de l rect tngente l gráfic, en el punto de scis : 9. f() R: y 0. y ( ) R: y 0. f(). f() R: y e R: y e( - ) e. f() ln R: y. Oservndo l gráfic, indique el o los puntos donde no eiste derivd:. Oservndo l gráfic, indique el o los puntos donde no eiste derivd:. Derivción implícit dy En los ejercicios 6. 9., clcule d pr y f() definid implícitmente: 6. y y y R: y' y 6y 7. y y 8. ( y) R: y' ( y) El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.

133 Mteril Complementrio Mtemátic Básic y 6y Aplicciones : 60. El IPC de un economí está modeldo por l función F(t) 0,t t 00, con 0 t 0 y donde t 0 corresponde 99. Con qué rzón est cmindo el IPC en 998 y en 000? R: /ño y,6 /ño 6. Un cden de tiends de rop msculin determinó que t dís después de concluir un promoción de vents, el volumen de vents est ddo por V(t) 0,t ( e ), 0 t, dólres. Encuentre l rzón de cmio del volumen de vents cundo t y cundo t. R: /dí y -. /dí 6. Un estudio relizdo en ciert comun h proyectdo el crecimiento de su polción durnte los próimos tres ños conforme l modelo P(t) t 0t, donde P(t) denot l polción dentro de t meses. Con qué rpidez crecerá l polción dentro de 9 meses y en 6 meses. R: /mes, 00 /mes 6. Un Resort de l IV Región tiene 00 deprtmentos pr rrendr. L gnnci mensul otenid por l rent de deprtmentos es G() Cuál es l gnnci rel otenid por l rent del deprtmento, suponiendo que y se hn rrenddo 0 uniddes? Clcule l gnnci mrginl cundo 0 y compre los resultdos con lo otenido ntes. R: $70 y $ L gerenci de producción estim que el costo totl (en dólres) por l producción de equipos de sonido, nuevo producto de l compñí, durnte el primer ño después del lnzmiento será de C() Por otr prte, l gerenci de vents h determindo que l demnd de este nuevo producto es p -0,0 800, , donde p denot el precio unitrio del equipo (en dólres) y l cntidd demndd. Determine l función de ingreso R(), l función de ingreso mrginl y clcule R (000). Determine l función de utilidd U(), l función de utilidd mrginl y clcule U (000). Con l yud de un clculdor o computdor, grfique l función de utilidd e interprete lo otenido. El usurio solo podrá utilizr l informción entregd pr su uso personl y no comercil y, en consecuenci, le qued prohiido ceder, comercilizr y/o utilizr l informción pr fines NO cdémicos. L Universidd conservrá en el más mplio sentido l propiedd de l informción contenid. Culquier reproducción de prte o totlidd de l informción, por culquier medio, eistirá l oligción de citr que su fuente es "Universidd Snto Tomás" con indicción L Universidd se reserv el derecho cmir estos términos y condiciones de l informción en culquier momento.