CURSO PROPEDÉUTICO 2013 B

Transcripción

1 CURSO PROPEDÉUTICO 01 B INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ZAPOPAN Fís. Edgr I. Sánchez Rngel L.P. Alm Luz Rndeles Gómez M en C. Frncisco Jvier Villseñor Pérez Mtr. A. Lizette Gutiérrez Gutiérrez Profs. de l Acdemi de Ciencis Básics Mtr. Ev Guzmán Mirmontes Mtr. Hydeé Troncoso González Prosf. de l Acdemi de Inglés 1

2 ÍNDICE ÍNDICE... Directorio del Instituto Tecnológico Superior de Zpopn... 4 INTRODUCCIÓN... 7 Módulo I - Operciones con frcciones... 9 Módulo II - Expresiones lgerics Módulo III - Teorí de los exponentes y rdicles Módulo IV - Operciones lgerics fundmentles... 6 Módulo V - Productos y cocientes notles Módulo VI - Fctorizción Módulo VII - El teorem de Pitágors Módulo VIII - Descomposición vectoril y el Pitágors Módulo IX- Funciones Trigonométrics Módulo X - Funciones Trigonométrics Inverss (Arco) Módulo XI - Ley de los Senos y Cosenos Módulo XII - Identiddes Trigonométrics Módulo XIII - Rzón y Proporción Módulo XIV - Porcentjes Modulo XV - Visión y Misión de los Institutos Tecnológicos Breve Histori de los Institutos Tecnológicos de México Visión SNEST Misión SNEST Vlores Visión DGEST Misión DGEST Ojetivos Misión y Visión del ITSZ Modulo XVI - Ser Universitrio Modulo XVII - Competencis El inglés como competenci profesionl

3 Modulo XVIII - Linemientos de creditción y Rúrics Propósitos de los linemientos Modulo XIX - Técnics y háitos de estudio Qué es el prendizje? Comprensión-memorizción Orgnizción en el estudio Modulo XX - Formto APA Estilo APA L importnci de l ortogrfí Componentes de un trjo cdémico Cómo uscr informción con crcterístics científics Modulo XXI - Tutorís Qué es l tutorí? Beneficios de l tutorí Funciones del Tutordo REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS Ruts de Trnsporte ITSZpopn Croquis del ITSZpopn... 17

4 Directorio del Instituto Tecnológico Superior de Zpopn Director Generl Dr. Héctor Enrique Slgdo Rodríguez Ext. 111 Dirección Administrtiv Lic. Ruén Rmírez Rmírez Ext. 1 Sudirector de Finnzs. C.P. Jorge Frncisco Cpill Pcheco cpill@itszpopn.edu.mx Ext. 11 Jefe de difusión Lic. Mrí de l Fe Torres Prd mfe.torres@itszpopn.edu.mx Ext. 150 Recursos Humnos Lic. Cinthi Lizeth Rmos Osun crmos@itszpopn.edu.mx Ext. 10 Jefe de Servicios Generles Ing. Muro Cruz Arrig muro@itszpopn.edu.mx Ext. 1 Jefe de Deprtmento de Adquisiciones Ydir Lizzette Guerreo Gutiérrez ydir@itszpopn.edu.mx Ext. Jefe de Sistems de Informción y Telecomunicciones Ing. Jorge Cruz Vrgs jorge@itszpopn.edu.mx Ext. 16 Director Acdémico Ing. Sergio Arturo Mrtínez Méndez smrtinez@itszpopn.edu.mx Ext. 14 4

5 Sudirector Acdémico Arq.Luís Armndo Mut Muñoz Ext. 146 Jefe de División Desrrollo Acdémico M. en C. Slvdor Cervntes Petersen Ext. 18 Jefe de División de ingenierí en Sistems Computcionles Ing. Luís Escor Hernández Ext. 144 Jefe de Deprtmento de lortorios y tlleres L. E. I. José Frncisco Jfet Pérez López jfet@itszpopn.edu.mx Ext. 175 Jefe de División de Ingenierí Electrónic Ing. Germán Rodríguez Flores germn@itszpopn.edu.mx Ext. 145 Jefe de Depto. Desrrollo Docente y Diseño curriculr Ing. J. Jesus Ruiz Reyes jesus.ruiz@itszpopn.edu.mx Ext. 160 Jefe de División de Ingenierí Electromecánic Ing. Jun Antonio González Zúñig jun.gonzlez@itszpopn.edu.mx Ext. 147 Jefe de Deprtmento de metodologí eductiv e innovción Ing. Edurdo Dmián Rodríguez edu.dmin@itszpopn.edu.mx Ext. 171 Jefe de División de Ingenierí Industril Ing. José de Jesús Rmírez Sánchez jesusrmirez@itszpopn.edu.mx Ext. 15 5

6 Jefe Acdémico de Ciencis Básics José Mrtín del Cmpo Espinoz Ext. 16 Sudirector de Gestión Desrrollo. Competitividd Empresril Rfel Pz Roles Ext. 151 Jefe de Investigción Phd. C..José Antonio Aviñ Méndez Ext. Sudirector de Vinculción y Servicio Socil Lic. Erik Giovnn Vill Dávlos erikvill@itszpopn.edu.mx Ext. 15 Jefe de Servicios Escolres Lic. Mrth Griel Reyn Briones mrth.griel@itszpopn.edu.mx Ext. 141 Sudirector de Plneción. Ing. Ricrdo Gómez Lee ricrdo.gomez@itszpopn.edu.mx Ext. 158 Jefe de Plneción. L.A.E. Rfel Otero St.Hill. rfelotero@itszpopn.edu.mx Ext. 18 6

7 INTRODUCCIÓN Deido l creciente necesidd de profesionists competentes en el pís y siendo el álger el lenguje de ls mtemátics, es de sum importnci que los estudintes o spirntes cursr un ingenierí o un crrer nivel superior estén preprdos en este cmpo. Es de sum importnci contr con un curso que nos permit desrrollr nuestrs hiliddes pr trjr y mnejr el lenguje científico y técnico que se ven en instituciones como ls Universiddes o Institutos Tecnológicos o culquier otr escuel donde l formción mtemátic se de sum importnci. Un curso propedéutico es un preprción previ un siguiente nivel cdémico, es un preludio pr que el estudinte conozc el sistem y l metodologí utilizd en el Instituto Tecnológico Superior de Zpopn. Por est rzón se desrroll un mnul que tiene l finlidd de introducir l estudinte l sistem de competencis y cpciddes que exige est Universidd. Por est rzón, el ITSZ reconoce l creciente necesidd de profesionists competentes en el pís y siendo el álger el lenguje de ls mtemátics, es de sum importnci que los estudintes o spirntes cursr un ingenierí o un crrer nivel superior estén preprdos en este cmpo. Este curso le permitirá l lumno desrrollr hiliddes pr trjr y mnejr el lenguje científico y técnico que será usdo con frecuenci durnte sus ños de estudio. Además el presente trjo tmién plnte l identidd de l Institución, los linemientos de evlución, forms ásics pr l presentción de trjos y el eneficio del progrm tutoril. El lumno deerá estr enterdo de los servicios con los que cuent pr hcer de su crrer un proceso eductivo confile y seguro, pr de est mner umentr ls posiiliddes de éxito. 7

8 El mnul se divide en módulos: operciones con frcciones, expresiones lgerics, teorí de los exponentes y rdicles, operciones lgerics fundmentles, productos y cocientes notles, fctorizción, misión y visión del ITSZ, qué es ser Universitrio, evlución por competencis, linemientos de evlución, técnics y háitos de estudio, Guí APA y servicio tutoril. Por último, ce señlr que demás de ser un cudernillo de informción pr el estudinte, tmién es un instrumento de práctic y que se encontrrá con un serie de ejercicios pr su práctic futur. 8

9 Módulo I - Operciones con frcciones Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno podrá relizr ls operciones ásics con frcciones. Mrco Teórico 1.1 Ls frcciones. Cundo dividimos entre podemos simplemente relizr l operción o podemos escriirlo como un frcción, es decir, donde el número que se encuentr por rri de l líne es conocido como numerdor y el que se encuentr jo es conocido como denomindor. Si el vlor del numerdor es menor que el del denomindor estmos Quien no quiere pensr es un fnático; quien no puede pensr es un idiot; quien no os pensr es un corde (Sir Frncis Bcon) frente un frcción propi como en el cso de. Por el contrrio, si el vlor del numerdor es myor que el del denomindor como en entonces tenemos un frcción impropi y puede ser expresdo incluso como un frcción mixt, es decir, Si queremos simplificr un frcción deemos dividir tnto el numerdor como el denomindor entre el mismos número, un simplificción por cero no es permitid. Existen ls cutro operciones ásics en ls frcciones, vmos ver un ejemplo de cómo se resuelven cd un de ells. 1. Sum y rest de frcciones. Si queremos sumr ls frcciones un form de resolverlo es multiplicndo ms frcciones por un 1 conveniente, pr l primer frcción podemos multiplicrl por y l segund por y que ms cciones me permitirán otener frcciones que comprten denomindores igules y sí sólo st sumr mos denomindores pr otener el resultdo uscdo. En símolos tenemos: 9

10 De igul form podemos multiplicr de form cruzd cd uno de los términos y otener el mismo resultdo, sí Otro cmino lterno es sumr (o restr) ls frcciones usndo su equivlente en notción mixt, sumr (o restr) los enteros y después ls frcciones, como se muestr continución pr el cso de un rest de frcciones, donde se restn en primer lugr los enteros y después se multiplic por pr otener y dejr ms frcciones con un común denomindor que es 6. En símolos tenemos entonces Otr form de resolverlo serí psr tods ls frcciones sextos y después proceder con l rest de los numerdores, como l hímos visto nteriormente. 10

11 1. Multiplicción de frcciones. En l multiplicción ls coss son más sencills, originlmente st con multiplicr numerdor por numerdor y denomindor por denomindor, siempre oservndo que no hy frcciones que se puedn simplificr es decir, que podmos fctorizr numerdores o denomindores de tl suerte que uno de los fctores se simplifique con un numerdor o un denomindor u otro fctor, multipliquemos ls siguientes frcciones, clrmente podemos oservr que el 14 y el 15 los podemos fctorizr, de tl form que otengmos lo siguiente [EL ÚNICO OBSTÁCULO PARA CONSEGUIR LO QUE DESEAS ERES TU MISMO] Y después hí podemos simplificr el siguiente término Otro ejemplo es 11

12 1. División de frcciones. El procedimiento pr l división es multiplicr el numerdor de l primer frcción por el denomindor de l segund frcción y colocrl en el numerdor de l nuev frcción, después se multiplic el denomindor de l primer frcción por el numerdor de l segund frcción y se coloc el resultdo en el denomindor de l nuev frcción, se simplific y listo. Este mismo procedimiento se hce colocndo ls frcciones un sore de otr y usndo l conocid ley de l tortill, como se ejemplific continución Otro ejemplo será Conclusión En este módulo conocimos lgunos fundmentos ásicos pr relizr ls operciones ásics con funciones y descriimos lgunos métodos lternos pr su solución, ce destcr l importnci de ests operciones tnto en nuestr vid diri como en los cursos posteriores de mtemátics que llevrán en el Instituto. Ejercicios propuestos 1

13 1

14 Módulo II - Expresiones lgerics Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno diferencirá el método ritmético y el lgerico pr resolver prolems concretos. Mrco Teórico.1 El Álger El álger es un generlizción de l ritmétic. El álger generliz ls proposiciones que se hcen cerc de ls cntiddes. En el álger se utilizn letrs pr representr ls cntiddes (,, c, etc.) y símolos pr representr ls operciones y relciones que se estlecen entre ells (+, -, x, /, etc.). Es propio del álger "deducir regls" generles pr l solución de relciones ritmétics que presentn plntemientos semejntes lo que conocemos como ecuciones (5x+8=, etc.); en este sentido, el álger es un strcción de lo prticulr (l myor de ls veces mostrdo por l experienci) lo generl. Ls operciones ásics en álger son l dición, sustrcción, multiplicción, división, elevr un potenci y extrcción de un ríz. En ritmétic ls cntiddes se representn por números y éstos expresn vlores determindos. Así, 0 expres un solo vlor: veinte; pr expresr un vlor myor o menor que éste hrá que escriir un número distinto de 0. En álger, pr logrr l generlizción, ls cntiddes se representn por medio de letrs, ls cules pueden representr todos los vlores. Así represent el vlor que nosotros le signemos, y por tnto puede representr 0, más de 0 o menos de 0, nuestr elección, unque conviene dvertir que cundo en un prolem signmos un letr un vlor determindo, es letr no puede representr, en el mismo prolem, otro vlor distinto del que le hemos signdo. Un expresión lgeric se compone por los siguientes elementos: 14

15 Los números se emplen pr representr cntiddes conocids y determinds. Ls letrs se emplen pr representr tod clse de cntiddes, y sen conocids o desconocids. Ls cntiddes conocids se expresn por ls primers letrs del lfeto:,, c, d,, etc. Ls cntiddes desconocids se representn por ls últims letrs del lfeto: u, v, w, x, y, z. Los signos empledos en álger son de tres clses: Signos de operción, Signos de Relción y Signos de grupción.. Signos de operción OPERACIÓN SIGNOS SE LEE Sum + ms Rest - menos Multiplicción x, *, H, ( ), sin signo por División / entre Potencición n x x l n-esim potenci Rdiclizción n x ríz n-esim de x. Signos de relción.4 Signos de grupción RELACIÓN SIGNOS SE LEE Igul = igul Myor que > myor que Menor que < menor que NOMBRE SIGNOS Préntesis ( ) Corchete [ ] Llve { }.5 Método lgerico y numérico en l solución de prolems Exponemos continución un ejemplo pr hcer notr l diferenci entre el método ritmético y el lgerico en l resolución de prolems, fundndo este último en l notción lgeric y en l generlizción que esto implic. Ejemplo: Ls eddes de A y B sumn 48 ños. Si l edd de B es 5 veces l edd de A, qué edd tiene cd uno? 15

16 Solución: ) Método interprettivo: Edd de A más edd de B = 48 ños Como l edd de B es 5 veces l de A, tendremos: Edd de A más 5 veces l edd de A = 48 ños O se Luego, 6 veces l edd de A = 48 ños; Edd de A = 8 ños Edd de B = 8 ños x 5 = 40 ños ) Método lgerico: Como l edd de A es un cntidd desconocid l representmos por x Se: x = edd de A Entonces: 5x = edd de B Como ms eddes sumn 48, tendremos: X + 5x = 48 ños O se 6x = 48 ños Si 6 veces x equivle 48 ños, x vldrá l sext prte de 48 ños. O se Entonces X = 8 ños de edd de A 5x = 5 x 8 ños = 40 ños de edd de B.6 Lenguje lgerico Un expresión lgeric puede estr precedid por un signo negtivo o por un signo positivo o ningún signo; en el primer cso decimos que l expresión es negtiv, mientrs que en el segundo y tercer cso l expresión es positiv. Se dice que el vlor soluto de un cntidd es el número que represent l cntidd prescindiendo del signo o sentido de ést, y el vlor reltivo es el sentido de l cntidd, representdo por el signo (recuerd l rect numéric); dicho vlor se represent colocndo el número que correspond dicho vlor entre dos línes verticles. Así, el vlor soluto de un número que llmremos, present tres posiiliddes: 16

17 si si De lo nteriormente expuesto se deduce l diferenci entre cntiddes ritmétics y lgerics: Cntiddes ritmétics: son ls que expresn solmente el vlor soluto de ls cntiddes representds por los números, pero no nos dicen el sentido o vlor reltivo de dichs cntiddes. Así, cundo en ritmétic escriimos que un person tiene $5, tenemos solmente l ide del vlor soluto de $5 de est cntidd, pero no semos si l person tiene $5 de her (tener) o de deud. Cntiddes lgerics: son ls que expresn el vlor soluto de ls cntiddes y demás su sentido o vlor reltivo por medio del signo. Así, escriiendo que un person tiene $5 expresmos el vlor soluto $5 y el sentido o vlor reltivo (her) expresdo por el signo + (implícito). Los signos + y - tienen dos plicciones en álger: un indicr ls operciones de sum y rest respectivmente y otr, indicr el sentido o condición de ls cntiddes. Est dole plicción se distingue porque cundo los signos + o tienen l significción de sum o rest, vn entre términos o expresiones incluids en préntesis, como por ejemplo en (8) + (-4) y en (-7) (6)- Cundo vn precediendo un término, y se literl o numérico, expresn el sentido positivo o negtivo, como por ejemplo en,, Clsificción de ls expresiones lgerics Monomio es un expresión lgeric que const de un solo término, como x y, 5,. 4 Polinomio es un expresión lgeric que const de más de un término, como, x y, x x x 7, Algunos csos especiles son los siguientes: 17

18 Binomios que es un polinomio que const de dos términos, como: 5mx, x y, 6 4 Trinomio es un polinomio que const de tres términos, como: Evlución finl c, x 5x 6,5x 6y Trnscrie lenguje lgerico los siguientes prolems (plnte l ecución del prolem) y encuentr l solución que se te pide, es decir, l incógnit. 1. Tení $00. Coré $56 y pgué un deud de $189 Cuánto tengo ctulmente?. Compré rop por un vlor de $665 y limentos por $1178. Si después recio $80. Cuál es mi estdo económico? Conclusión En este módulo conocimos lgunos fundmentos ásicos pr interpretr prolems y trducirlos lenguje mtemático. Oservmos que existen dos métodos pr relizr est trducción l elección de uno u otro dependerá de l nturlez propi del prolem. Recordemos que grn prte del prolem del proceso enseñnz - prendizje en ls mtemátics es deido un flt de tención y, por ende de comprensión, de l metodologí desrrolld quí, tmién es cierto que l otr prte del prolem se dee l flt de práctic por prte del lumno en cunto l solución de ejercicios en su cs o rtos lires. 18

19 Módulo III - Teorí de los exponentes y rdicles Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno expresrá y mnejrá l teorí de los exponentes y rdicles. Mrco Teórico.1 Potencición Potenci de un expresión lgeric es l mism expresión o el resultdo de tomrl como fctor dos o más veces. L primer potenci de un expresión es l mism expresión: Así () 1. L segund potenci o cudrdo de un expresión es el resultdo de tomrl como fctor dos veces: Así ( ) SIGNO DE LAS POTENCIAS Culquier cntidd de un potenci positiv es evidentemente positiv, porque equivle un producto en que todos los fctores son positivos. En cunto ls potencis de un cntidd negtiv se oservn ls siguientes regls: 1. Tod potenci pr de un cntidd negtiv es positiv.. Tod potenci impr de un cntidd negtiv es negtiv. Así: 4 ( ) 4 ( ) 8. Teorí de los exponentes..1 EXPONENTE CERO El significdo del exponente cero es: el exponente cero proviene de dividir potencis igules de l mism se. Así, 0 y decimos que tod cntidd elevd l cero equivle l unidd, es decir; 19

20 0 1.. EXPONENTE FRACCIONARIO El exponente frccionrio proviene de extrer un ríz un potenci cundo el exponente de l cntidd surdicl no es divisile por el índice de l ríz. 1 Pr entender el significdo de un potenci frccionri deemos entender que tod cntidd elevd un exponente frccionrio equivle un ríz cuyo índice es el denomindor del exponente y l cntidd surdicl l mism cntidd elevd l potenci que indic el número del exponente. De form generl decimos que: m n m n.. EXPONENTE NEGATIVO El exponente negtivo proviene de dividir dos potencis de l mism se cundo el exponente del dividendo es menor que el exponente del divisor. Así, 1 x x x 7 4 L interpretción de un exponente frccionrio es que tod cntidd elevd un exponente negtivo equivle un frcción cuyo numerdor es 1, y su denomindor, l mism cntidd con el exponente positivo. De form generl decimos que: n 1 n Un cso especil que comin lguns de ls regls que y mencionmos rri son quells en ls cules es necesrio psr los fctores del numerdor de un expresión l denomindor y vicevers. L condición que se impone pr hcer posile esto es que se les cmie los signos los exponentes l momento de hcer dicho movimiento. Pr entender esto mejor, hgmos un ejemplo: x y Se l expresión. De cuerdo con el significdo de los exponentes negtivos tenemos que: 4 5 0

21 y x y x y x y x Otr form de trjr con estos exponentes es trnsformr un expresión con exponentes negtivos en un expresión equivlente con exponentes positivos. Vemos lgunos ejemplos: 1. Expresr con exponentes positivos 1 y x y 1 c 1 1 xy y x 1 c c. Expresr con exponentes positivos y 4 1 x y x y x x y x x 4 y x Oserv que l psr un fctor del numerdor l denomindor o vicevers el coeficiente numérico no se ps.. Expresr con exponentes positivos c c c c c c

22 c MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS CON EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS En el modulo III vimos que, de cuerdo l Ley de los exponentes pr l multiplicción, pr multiplicr potencis de l mism se se sumn los exponentes en generl, y se plic igulmente cundo ls cntiddes que se multiplicn tienen exponentes negtivos o frccionrios. Por ejemplo: DIVISIÓN DE MONOMIOS CON EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS Como se vio en el módulo II, de cuerdo l Ley de los exponentes pr l división, pr dividir potencis de l mism se se restn los exponentes en generl, y se plic igulmente cundo ls cntiddes que se dividen tienen exponentes negtivos o frccionrios. Por ejemplo: ) ( ) (

23 De igul form se pueden generlizr ests misms regls pr l multiplicción y división de polinomios, tn sólo hy que recordr que tod expresión de este tipo se puede reducir un expresión que involucr tn sólo monomios.. Rdicción Ríz de un expresión lgeric es tod expresión que elevd un potenci reproduce l expresión dd. Así, es ríz cudrd de porque ( ) 4. 4 ) 4 y ( tmién es ríz cudrd de 4 porque El signo de ríz es ríz llmd por eso cntidd surdicl., llmdo signo rdicl. Dejo de este signo se coloc l cntidd l cul se extre l El signo llev un índice que indic l potenci que hy que elevr l ríz pr que reproduzc l cntidd surdicl. Por convención el índice se suprime y cundo el signo. no llev índice se entiende que éste es..1 EXPRESIÓN RADICAL O RADICAL Es tod ríz indicd de un número o de un expresión lgeric. Así 4, 9, 4 16 son expresiones rdicles. Si l ríz indicd es exct, l expresión es rcionl; si no es exct, es irrcionl. Ls expresiones irrcionles como, son ls que comúnmente se llmn rdicles. El grdo de un rdicl lo indic su índice. Así tercer grdo; 4 x es un rdicl de curto grdo. es un rdicl de segundo grdo; 5 es un rdicl de.. SIGNO DE LAS RAÍCES 1. Ls ríces impres de un cntidd tienen el mismo signo que l cntidd surdicl: 7 porque ( ) 7

24 7 porque ( ) 7. Ls ríces pres de un cntidd positiv tienen dole signo: + y - : 5x 5x o 5x porque ( 5x) ( 5x) 5x o porque ( ) ( ) CANTIDAD IMAGINARIA Ls ríces pres de un cntidd imginri no se pueden extrer, porque tod cntidd y se positiv o negtiv, elevd un potenci pr, d un resultdo positivo. Ests ríces se llmn cntiddes imginris. Así 4 no se puede extrer...4 RAÍZ DE UNA POTENCIA Pr extrer un ríz un potenci se divide el exponente de l potenci por el índice de l ríz. Semos que: n m m n Por lo que: m n n m n n m Aplicndo est regl tenemos 4 4 x 9 x 9 x Si el exponente de l potenci no es divisile por el índice..5 RAÍZ DE UNA POTENCIA Pr extrer un ríz un producto de vrios fctores se extre dich ríz cd uno de los fctores. Así n c n n n c 4

25 porque n n n n n n n n n c c c, Cntidd surdicl..4 Teorí de los rdicles Rdicl, en generl es tod ríz indicd de un cntidd. Si un ríz indicd exct, tenemos un cntidd rcionl, y si no lo es, irrcionl. Así, 4 es un cntidd rcionl y es un cntidd irrcionl. Ls ríces indicds inexcts o cntiddes irrcionles son los rdicles propimente dichos. El grdo de un rdicl es el índice de l ríz. Así, tercer grdo. x es un rdicl de segundo grdo, es un rdicl de.4.1 REDUCCIÓN DE RADICALES No te preocupes por tus prolems con ls mtemátics, los míos son todví myores (Alert Einstein) Reducir un rdicl es cmir su form sin cmir su vlor..4. SIMPLIFICAR UN RADICALES Simplificr un rdicl es reducirlo su más simple expresión. Un rdicl está reducido est expresión cundo l cntidd surdicl es enter y del menor grdo posile CASO I Cundo l cntidd surdicl contiene fctores cuyo exponente es divisile por el índice. Ejemplos: ) Simplificr: 9 9 ) Simplificr: x y 5

26 4 5 75x y 5 x 4 y 4 y x y y 5x y y 10x y y c) Simplificr: x y x y x y 6 xy 1 7xy 7 xy xy xy 4 d) Simplificr: ( ) 4 ( ) ( ) e) Simplificr: x 1x 1 x 1x 1 ( x 4x 4) ( x ) ( x ) 9 f) Simplificr: 5 8x 6

27 9 8x 5 x 5 4 x 6 x 4 x 6 x x x x x Not: En el segundo pso se introdujo en el numerdor un cntidd x que es l que se le gregó l denomindor pr incrementr ls potencis de l se y x respectivmente y sí seguir conservndo l iguldd entre mos miemros de l ecución..4.. CASO II Cundo los fctores de l cntidd surdicl y el índice tienen un divisor común. Ejemplos: ) Simplificr: ) Simplificr: 6 9 x 9 x x 6 6 7

28 6 6 x x 1 x 7x y c) Simplificr: x y x y xy.4. INTRODUCCIÓN DE CANTIDADES BAJO EL SIGNO RADICAL Est operción es invers l simplificción de rdicles. Pr introducir el coeficiente de un rdicl jo el signo rdicl se elev dicho coeficiente l potenci que indique el índice del rdicl. Ejemplos: 1. 4 ( ) (1 ) 1 1 (1 ) (1 ) 1 ( 1 )(1 ) 1 8

29 .4.4 REDUCCIÓN DE RADICALES SEMEJANTES Los rdicles semejntes, o se los rdicles del mismo grdo que tienen igul cntidd surdicl, se reducen como términos semejntes que son, hllndo l sum lgeric de los coeficientes y poniendo est sum como coeficiente de l prte rdicl común. Ejemplos: 1. 5 ( 5) (4 7 1) ( ) 5 ( ) 5 (6 ) 5 ( ) SUMA Y RESTA DE RADICALES Se simplificn los rdicles ddos; se reducen los rdicles semejntes y continución se escrien los rdicles no semejntes con su propio signo. 1. Simplificr: Simplificndo término término: Entonces: ( 0 1) (18 8)

30 . Simplificr: Simplificndo término término: Entonces: MULTIPLICACIÓN DE RADICALES CASO I RADICALES DEL MISMO ÍNDICE Se multiplicn los coeficientes entre sí y ls cntiddes surdicles entre sí, colocndo este último producto jo el signo rdicl común y se simplific el resultdo. Multiplicr:

31 CASO II RADICALES COMPUESTOS El producto de un rdicl simple por uno compuesto se hll como el producto de un polinomio por un monomio y el producto de dos rdicles compuestos se hll como el producto de dos polinomios. Multiplicr: x( x ) x x x x x x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 6 x x 1 x x x 1 (6 1) x x 1 x ( x 1) 5 x( x 1) x x 5 x x x x 5 x x.4.6. CASO III RADICALES DE DISTINTO ÍNDICE Se reducen los rdicles l mínimo común índice y se multiplicn los rdicles del mismo índice. Multiplicr: () (4 )

32 DIVISIÓN DE RADICALES CASO I RADICALES DEL MISMO ÍNDICE Se dividen los coeficientes entre sí y ls cntiddes surdicles entre sí, colocndo este último cociente jo el signo rdicl común y se simplific el resultdo. En form generl tenemos que: n y n x n y x Por ejemplo 7 81x x 81x x 7 7x 5 x x x x.4.7. CASO II RADICALES DE DISTINTO ÍNDICE

33 Se reducen los rdicles l mínimo común índice y se dividen como rdicles del mismo índice. 4 4 (4 ) 1 4 () POTENCIACIÓN DE RADICALES Pr elevr un rdicl un potenci se elev dich potenci el coeficiente y l cntidd surdicl y se simplific el resultdo. Es decir, Por ejemplo: m n m n m RADICACIÓN DE RADICALES Pr extrer un ríz un rdicl se multiplic el índice del rdicl por el índice de l ríz y se simplific el resultdo. Es decir, m n mn Por ejemplo:

34 Evlución finl Expres con signo rdicl Expres con exponente frccionrio x Expres con exponentes positivos y simplific. 1. x y Ps los fctores literles del numerdor l denomindor. y 1 x 4. Ps los fctores literles del denomindor l numerdor. 5. Multiplic x por x Divide x entre x 1 Simplific

35 Introduce cntiddes jo el signo rdicl. 9. Reduce Simplific Multiplic por Divide xy x Desrroll Simplific Conclusión A lo lrgo de ests págins se pudo consttr que un uen se teóric en álger es fundmentl pr entender y nlizr los distintos prolems que se presentn en mtemátics y que nos yudrán pr resolver prolems de l vid rel. Es de sum importnci hcer hincpié en que el orden y un secuenci lógic en los procesos es vitl pr llevr uen término un prolem. 5

36 Módulo IV - Operciones lgerics fundmentles Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno dominrá ls operciones fundmentles que se pueden relizr con ls expresiones lgerics. Mrco Teórico 4.1 Términos semejntes Dos o más términos son semejntes cundo tienen l mism prte literl, o se, cundo tienen igules letrs fectds por igules exponentes. y, - y 8, -5 y -8 En los siguientes términos 4 y -6 se oserv que no son semejntes, porque unque tienen igules letrs, ésts no tienen los mismos exponentes, y que l del primero tiene de exponente 1 y l del segundo tiene de exponente. Los términos x 4 y 4 no son semejntes, porque unque tienen los mismos exponentes, ls letrs no son igules. 4. Reducción de términos semejntes Es un operción que tiene por ojetivo convertir en un solo término dos o más términos semejntes. En l reducción de términos semejntes pueden ocurrir los cutro csos siguientes: 1. Reducción de dos o más términos semejntes. Se sumn los coeficientes, poniendo delnte de est sum el mismo signo que tienen todos y continución se escrie l prte literl Reducción de términos semejntes de distinto signo. Se restn los coeficientes, poniendo delnte de est diferenci el signo del myor y continución se escrie l prte literl. 6

37 Reducción de más de dos términos semejntes de signos distintos. Se reducen un solo término todos los positivos, se reducen un solo término todos los negtivos y los dos resultdos otenidos se plic l regl del cso nterior. Reducir: Rediciendo los positivos: Reduciendo los negtivos: Reduciendo ms prtes: Por lo que el resultdo finl es: Reducción de un polinomio que conteng términos semejntes de diverss clses. Se identificn ls distints clses de ls que está compuesto el polinomio y se reducen cd un de ells de form seprd siguiendo ls regls de los csos nteriores. Reducir: Se reducen por seprdo cd clse: 5 6 8c 9 0c 6 c c 0c c 1c Tendremos 5 6 8c 9 0c 6 c 14 1c 4. Sum L sum o dición es un operción que tiene por ojeto reunir dos o más expresiones lgerics (sumndos) en un sol expresión lgeric (sum). Así, l sum de y es +, porque est últim expresión es l reunión de ls dos expresiones lgerics dds: y. L sum de y es -, porque est últim expresión es l reunión de ls dos expresiones dds: y. 7

38 Recordemos que en ritmétic, l sum siempre signific umento, pero en Álger l sum es un concepto más generl, pues puede significr umento o disminución, y que hy sums lgerics como ls del último ejemplo, que equivlen un rest en Aritmétic. Pr sumr dos o más expresiones lgerics se escrien uns continución de ls otrs con sus propios signos y se reducen los términos semejntes si los hy. Ejemplos: ) Sum de monomios Sumr:,4,,7,6 Tendremos: Reduciendo términos: ) Sum de polinomios Sumr:, c, 4 5 Tendremos: ( ) ( c) ( 4 5) Reduciendo términos: ( ) ( c) ( 4 5) 7 c 4.4 Rest L rest o sustrcción es un operción que tiene por ojeto, dd un sum de dos sumndos (minuendo) y uno de ellos (sustrendo) hllr el otro sumndo (rest o diferenci). Es evidente, de est definición, que l sum del sustrendo y l diferenci tiene que ser el minuendo. Pr restr dos o más expresiones lgerics se escrie el minuendo con sus propios signos y continución el sustrendo con los signos cmidos y se reducen los términos semejntes, si los hy. Ejemplos: ) Rest de monomios Rest: Tendremos: 4 de

39 Reduciendo términos: ) Rest de polinomios Rest: x 5z 6 de 4 x y z Tendremos: 4x y z (x 5z 6) Reduciendo términos: 4x y z (x 5z 6) x y 4z Multiplicción L multiplicción es un operción que tiene por ojeto, dds dos cntiddes llmds multiplicndo y multiplicdor, hllr un tercer cntidd, llmd producto, que se respecto del multiplicndo, en vlor soluto y signo, lo que el multiplicdor es respecto de l unidd positiv. El multiplicndo y el multiplicdor son llmdos fctores del producto. L ley conmuttiv de l multiplicción prod en Aritmétic, se cumple tmién en Álger en l que se se que el orden de los fctores no lter el producto. Así, el producto puede escriirse ; el producto c puede escriirse tmién c o c. Ley de los signos 1 Signos igules dn + y signos diferentes dn -. El producto es positivo cundo se multiplicn un número pr de fctores negtivos.. El producto es negtivo cundo se multiplicn un número impr de fctores negtivos. Ley de los exponentes Pr multiplicr potencis de l mism se se escrie es se y se le pone por exponente l sum de los exponentes de los fctores Ley de los coeficientes El coeficiente del producto de dos fctores es el producto de los coeficientes de los fctores

40 Distinguiremos tres csos en l multiplicción: Multiplicción de monomios Se multiplicn los coeficientes y continución de este producto se escrien ls letrs de los fctores en orden lfético, poniéndole cd letr un exponente igul l sum de los exponentes que teng en los fctores. El signo del producto vendrá ddo por l Ley de los signos. xy mx y ( )( )(1)5 mx y 5mx y 5 5 Multiplicción de un monomio por un polinomio Se multiplic el monomio por cd uno de los términos del polinomio, teniendo en cuent en cd cso l regl de los signos, seprndo los productos prciles con sus propios signos. Est es l Ley distriutiv de l multiplicción. 4x (x 6x 7) x (4x ) 6x (4x ) 7(4x ) Multiplicción de dos polinomios 4 1x 4x 8x Se multiplicn todos los términos del multiplicndo por cd uno de los términos del multiplicdor, teniendo en cuent l Ley de los signos y reduciendo términos semejntes. 4.6 División ( 4)( ) ( ) ( )( ) 4() 4( ) L división es un operción que tiene como ojeto, ddo el producto de dos fctores (dividendo) y uno de los fctores (divisor), hllr el otro fctor (cociente). De est definición se deduce que el cociente multiplicdo por el divisor reproduce el dividendo. Ley de los signos 1 Signos igules dn + y signos diferentes dn - 40

41 . El cociente es positivo cundo se multiplicn un número pr de fctores negtivos.. El cociente es negtivo cundo se multiplicn un número impr de fctores negtivos. Ley de los exponentes Pr dividir potencis de l mism se se escrie es se y se le pone por exponente l rest de los exponentes de los fctores. 5 5 Ley de los coeficientes El coeficiente del cociente de dos fctores es el cociente de los coeficientes de los fctores. Distinguiremos tres csos en l división: División de monomios Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y continución se escrien en orden lfético ls letrs, poniéndole cd letr un exponente igul l diferenci entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo lo d l ley de los signos. 4 4 División de un polinomio por un monomio Se divide cd uno de los términos del polinomio por el monomio seprndo los cocientes prciles con sus propios signos. Est es l Ley distriutiv de l división. Ejemplo: 6 9 ( 6 9 )

42 División de dos polinomios Procedimiento: 1. Se ordenn el divisor y el dividendo con relción un mism letr y en orden decreciente con respecto sus exponentes, seprndo mos con un símolo similr l mostrdo en el ejemplo.. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente. El resultdo se coloc en l prte inferior del primer término del dividendo.. Este primer término del cociente se multiplic por todo el divisor y el producto se rest del dividendo, pr lo cul se le cmi el signo cd término, escriiendo cd uno de éstos dejo de su semejnte. Si lgún término de este producto no tiene término semejnte en el dividendo, se escrie en el lugr que le correspond de cuerdo con l ordención del dividendo y el divisor. 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente. 5. En este segundo término del cociente se multiplic por todo el divisor y el producto se rest del dividendo, cmindo los signos término término. 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectún ls operciones nteriores; y sí sucesivmente hst que el residuo se cero. Ejemplo: Dividir x 8 x entre x 1 x 8 x x x 8 x x x 8 x x x x 6x x 4

43 4x 8 4 x 8 x x x 6x x 4 4x 8 5 x 8 x x x 6x x 4 4x 8 4x 8 Evlución finl Multiplic los siguientes términos: m x 1. ( )( )( )( x) 1. x y xy 10 x x y x ( 6 x 9 x 8) 4 4. ( x x x x 1)( x x x 6) 5. ( 5 4)( 1) Dividir los siguientes términos:

44 Conclusión En este módulo conocimos el fundmento teórico de ls operciones ásics plicles un expresión lgeric, es de sum importnci seguir los procedimientos descritos en este mnul pr resolver stisfctorimente un prolem donde se involucren dichs operciones. Ce clrr que est metodologí no dee interpretrse como oligtori pr resolver los prolems, se dee nlizr el prolem y después tomr un decisión sore el procedimiento seguir, siempre tomndo en cuent ls leyes ásics del álger. Fórmuls comunes ( ), Si n 0 ( ), Si 0 ( ) ( ), Si y 0 Ejercicios Propuestos 1. Complet l siguiente tl escriiendo en l column de l derech l expresión lgeric (lenguje simólico) que represente el enuncido de l column de l izquierd. LENGUAJE COMÚN LENGUAJE ALGEBRAICO 1. El dole de un número, más l mitd del mismo.. El triple de m menos l tercer prte de m. 44

45 . El cudrdo de un número umentdo en trece uniddes. 4. L ríz del producto de dos números. 5. L sum de los cudrdos de dos números. 6. L tercer prte del cuo de un número. 7. El cudrdo de l sum de dos números. 8. El cuo de l diferenci de dos números. 9. El triple de un número es igul l dole de otro. 10. el cudrdo de l diferenci del dole de un número menos otro. 11. L mitd del triple de l diferenci de dos números. 1. El cuo de un número disminuido en 6 uniddes. 1. El dole de más el quíntuplo de d. 14. El triple de un número por l diferenci del dole de un número menos otro. 15. L quint prte de l diferenci de los cudrdos de dos números. 16. El cudrdo de l sum de ls ríces de dos números. 17. L edd de A es el triplo de l de B y hce 4 ños l sum de ms eddes er igul l que tendrá B dentro de 16 ños. 18. Hce 10 ños l edd de un pdre er el dole de l de su hijo y dentro de 10 ños l edd del pdre será / de l de su hijo. 19. Un person tiene los ¾ de l edd de su hermno. Dentro de un número de ños igul l edd ctul del myor, l sum de ms eddes será 75 ños 0. L sum de ls eddes de A y B es 65 ños y dentro de 10 ños l edd de B será los 5/1 de l de A. Resuelve los ejercicios siguientes. ADICIÓN

46 RESTA O SUSTRACCIÓN 1.. (1x+6y) - (-9x-1y)=. (-18x -9x ) - (11x +1x )= 4. (1x y-4x y ) - (15x y+1x y -7xy )= 5. (-9x +1x -16x) - (-6x -5x +x)= MULTIPLICACIÓN (-1x-8y)(-1x-5y)=. (-7x -8x )(x +x )= 46

47 4. (x y-4x y )(4x y+x y +5xy )= 5. (5x+9y-4z)(-x+y-5z)= DIVISIÓN Simplific ls siguientes expresiones lgerics: 1. [ ]. [ ]. { [ ]} 4. { [ ]} { [ ]} 5. [ ][ ] 6. Sumr 5,6,8c 7. Sumr,4,,7,6 47

48 8. Sumr (-)+(+-c)+(-4+5) 9. Sumr m-n+4,6n+4p-5,8n-6 y m-n-4p. 10. Restr 4 de 11. Restr 4 de De 4x-y+z restr x+5z de Multiplicr xy por -5mx 4 y 15. Multiplicr - por 4 m n c 16. Efectur ()(- )(- ) 17. Multiplicr x -6x+7 por 4x 18. Multiplicr x-4 x +5x -x 4 por - x 19. Multiplicr -4 por + 0. Multiplicr 4x-y por -y+5x 1. Multiplicr + -- por +1. Multiplicr x(x+)(x-)(x+1). Dividir 4-4. Dividir -5 4 c entre 5. Dividir x+ m+ entre x+ m+1 6. Dividir entre ª 7. Dividir x --4x entre +x 48

49 Módulo V - Productos y cocientes notles Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno expresrá los productos y cocientes notles, como simplificción de ls funciones lgerics. Mrco Teórico I. Productos notles Se llmn productos notles ciertos productos que cumplen regls fijs y cuyo resultdo puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificr l multiplicción. 5.1 Cudrdo de l sum de dos cntiddes (inomio l cudrdo) ( ) ( )( ) o se ( ) Ejemplos: 1. ( x 9) x 18x 81. ( 5x ) 9 0 x 5x 4 6 Cudrdo de un monomio 1 ( 4 ) Cudrdo de l diferenci de dos cntiddes ( ) ( )( ) o se ( ) Ejemplo: 1. ( x 4) x 8x 16 49

50 5. Producto de l sum por l diferenci de dos cntiddes (diferenci de cudrdos) ( )( ) Ejemplos: 1. ( x)( x) x. ( )( ) Cuo de un inomio ( ) más ún ( ) Ejemplos: 1. ( x ) x x () x() x 6x 1x 8. (4x 5) (4x) (4x) (5) (4x)(5) (5) 64x 40x 00x Producto de dos inomios de l form ( x )( x ) 1. El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los inomios.. El coeficiente del segundo término del producto es l sum lgeric de los segundos términos de los inomios y en éste término l x está elevd un exponente que es l mitd del que tiene est letr en el primer término del producto.. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los inomios. Ejemplos: Multiplicr: ( x 7)( x ) Coeficiente del segundo término 7 = 5 Tercer término 7 x (- ) = - 14 Luego ( x 7)( x ) x 5x 14 50

51 51 Multiplicr: ) 7)( ( x x Coeficiente del segundo término 7 + = 10 Tercer término 7 x () = 1 Luego 1 10 ) 7)( ( 4 x x x x II. Cocientes notles Se llmn cocientes notles ciertos cocientes que oedecen regls fijs que pueden ser escritos por simple inspección. 5.6 Cociente de l diferenci de cudrdos de dos cntiddes entre l sum o l diferenci de ls cntiddes. o ien Ejemplos: 1. y x y x y x 9. n n n 1 ) ( 1 ) ( Cociente de l sum o diferenci de los cuos de dos cntiddes entre l sum o diferenci de ls cntiddes. o tmién Ejemplos: 1. 4 ) ( ) ( 8 y xy x y y x x y x y x

52 . 8x 1 x 79y 4 9y 6 4x 8 18x 4 y 81y 4 Evlución finl Desrroll los siguientes productos y cocientes notles: 1. ( 10x 9xy 5 ). (6x m x)(6x m x). ( 4n ) 4. ( 1)( 7) 5. 6m 49n 6m 7nx x x 1 x m4 m 7. x 6 x 7y y Conclusión En este módulo conocimos lgunos productos y cocientes notles, como su nomre lo indic, son expresiones que se encuentrn en muchos ocsiones dentro de ls mtemátics y se pueden desrrollr de cuerdo ls regls que se mencionn en este prtdo. 5

53 Fórmuls comunes Expresión Fctorizd Expresión Desrrolld - Prolems propuestos 1. Desrroll los productos notles m. 4. 4x 1 5. x yx y 6. x x m 6m 5 9. x x x 18x

54 1. c cx x 1. 6xy 9x 4y x 0xy 5y 15. x 8x` m n 64m n 18. x 19. m m x 7x 10. Efectú ls operciones que se te piden y simplific ls expresiones 1. 7x 11. x y. x y x 9xy y y y y 9. m n m n 10. n 19n

55 1. m 5m 6m x y xy x y 16. mx nx my ny x 54xy 9y x 9y 60x y 0. x y 1. 1 x x m x y 5. x 5x 6 6. x y x 8. x 5x x x 8 0. x 5x 1. 0 =. (x+5-y) 0 =. ( ) 4 = 4. (x -/ ) 5/6 = 55

56 5. ( ) = 6. (xy) -4/ = 7. (y) -1/ = 8. (x y - ) 5 = m 6. 7x x y 64. x y m 5n 66. 8xy 9m 67. ( x 1 x y ) x x x CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES x x 9xy 56

57 CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES m 76. 7x x y 78. x y m 5n 80. 8xy 9m 81. ( x 1 x y ) x x x CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDDAES x x 9xy x 5 57

58 m n 76. x y x x x PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES 80.- x y x y 81.- x x y y y y 84.- m n m n 85.- x1 x1 x1 x xy 8xy 1 58

59 87.- x y z x y z 88.- m n 1 m n PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA x x m 6m 5 7. n 19n x1 x x 1x 77. x y 6x y n 1 n 0 59

60 Módulo VI - Fctorizción Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno reconocerá ls diferentes forms de fctorizr expresiones lgerics. Mrco Teórico 6.1 Fctores Se llmn fctores o divisores de un expresión lgeric ls expresiones que multiplicds entre sí dn como producto l primer expresión. Así, multiplicndo por + tenemos: ( ) y +, que multiplicds entre sí dn como producto +, son fctores o divisores de + De igul form ( x )( x ) x 5x 6 luego, x + y x + son fctores de x + 5x + 6 Descomponer en fctores o fctorizr un expresión lgeric es convertirl en el producto indicdo de sus fctores. 6. Fctorizción 6..1 Fctorizción de un monomio Los fctores de un monomio se pueden hllr por simple inspección. Así, los fctores de 15 son:, 5, y. Por tnto:

61 6.. Fctorizción de un polinomio No todo polinomio se puede descomponer en dos o más fctores distintos de 1, pues del mismo modo que en ritmétic hy números primos que sólo son divisiles por ellos mismos y por 1, hy expresiones lgerics que solo son divisiles por ells misms y por 1, y que, por tnto, no son el producto de otrs expresiones lgerics. Así, + no puede descomponerse en dos fctores distintos de 1 porque sólo es divisile por + y por 1. Existe vrios csos en los cules se puede descomponer un polinomio en sus fctores, ser son los siguientes: Cso I 6. Cundo todos los términos de un polinomio tienen un fctor común 6..1 Fctor común monomio. Descomponer en fctores 1. Identificmos el fctor común de cd término de l expresión. En este cso: es el fctor común de y.. Escriimos el fctor común como coeficiente de un préntesis: ( ). Y dentro de este préntesis escriimos el resultdo (cociente) de dividir: 4. Finlmente tendremos l siguiente expresión: y ( ) Otros ejemplos son: (1 ) ( 1 ). 18mxy 54m x y 6my 18my ( x mx ) 4. 6xy 9nx y 1nx y n x 4 y xy (nx 4nx n x ) 61

62 6.. Fctor común polinomio Descomponer en fctores x( ) m( ) 1. Oservmos que los dos términos de est expresión tienen en común el inomio ( + ).. Escriimos como coeficiente de un préntesis dicho inomio: ( + ) ( ). Y dentro de este préntesis escriimos los cocientes de ls siguientes divisiones: x( ) x ( ) y m( ) m ( ) 4. Finlmente tendremos l siguiente expresión: x( ) m( ) ( )( x m) Otros ejemplos son: 1. x( 1) y( 1) ( 1)(x y). m ( x ) x ( x )( m1). ( x 1) x 1 ( x 1)( 1) 4. ( x )( x 1) ( x 1)( x ) ( x 1)[( x ) ( x )] ( x 1)( x x ) ( x 1)(5) 5( x 1) Cso II 6.4 Fctor común por grupción de términos L grupción puede hcerse de más de un modo con tl que los dos términos que se grupn tengn lgún fctor común (1), y siempre que ls cntiddes que quedn dentro de los préntesis después de scr el fctor común en cd grupo, sen exctmente igules (). Si esto no es posile logrrlo, l expresión dd no se puede descomponer por este método. 1. x x y y ( x x) ( y y) 6

63 . x( ) y( ). ( )( x y) Otros ejemplos son: 1. m 6mn 4m 8n (m 6mn) (4m 8n) m( m n) 4( m n) ( m n)(m 4). x xy 4x 6y (x xy) (4x 6y) x( x y) (x y) ( x y)( x ). x x 4y 4y (x x) (4y 4y) Cso III 6.5 Trinomio cudrdo perfecto x( 1) 4y(1 ) x ( 1) 4y( 1) ( 1)(x 4y) Un cntidd es cudrdo perfecto cundo es el cudrdo de otr cntidd, o se, cundo es el producto de dos fctores igules. Así, 4 es cudrdo perfecto porque es el cudrdo de. En efecto: multiplicd por sí mism d 4, es l ríz cudrd de 4. ( ) 4 y, que Oserv que ( ) ( )( ) 4 ; luego, - es tmién l ríz cudrd de 4. Lo nterior nos dice que l ríz cudrd de un cntidd positiv tiene dos signos + y -. Ríz cudrd de un monomio Pr extrer l ríz cudrd de un monomio se extre l ríz cudrd de su coeficiente y se divide el exponente de cd letr por. 6

64 4 Así, l ríz cudrd de 9 es porque ( ) ( )( ) 9 4 L ríz cudrd de 6x y es 6x y Un trinomio es cudrdo perfecto cundo es el cudrdo de un inomio, o se, el producto de dos inomios son igules. Así, z es cudrdo perfecto porque es el cudrdo de. En efecto: ( ) ( )( ) Un trinomio es cudrdo perfecto con relción un letr cundo el primero y tercer términos son cudrdos perfectos (o tienen ríz cudrd exct) y positiv, y el segundo término es el dole producto de ls ríces cudrds de dichos términos. Así, 4 4 es cudrdo perfecto porque: y 4 Finlmente el dole producto de ests ríces me d el segundo término del trinomio, es decir: Por el contrrio, 6x 18xy 4y no es trinomio cudrdo perfecto porque unque: 6x 6x y 8 4y y 4 son ríces cudrds excts. El dole producto de dichs ríces no me d el segundo término del trinomio, es decir: 6xy 4xy 4 4 Otros ejemplos son: x x 4 x

65 65 Cso especil L regl nterior se puede plicr tmién pr csos en que ls expresiones son compuests, y se uno, dos o tres de los términos del trinomio. Así en este cso: ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( o tmién ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( x y x x x y x y x ( x) y x ( ) y ( y) Cso IV 6.6 Diferenci de cudrdos perfectos En l Práctic (Pág. 6), se vio que l sum de dos cntiddes multiplicds por su diferenci es igul l cudrdo del minuendo menos el cudrdo del sustrendo, o se, ) )( ( luego, recíprocmente podemos, pues, enuncir lo siguiente: ) )( ( Otros ejemplos son: 1. ) )(1 (1 1. ) 5 )(4 5 ( y x y x y x

66 Cso especil L regl empled en los ejemplos nteriores es plicle ls diferencis de cudrdos en que uno o mos cudrdos son expresiones compuests. Por ejemplo: 1. ( ) c [( ) c][( ) c] ( c)( c). 4x ( x y) [x ( x y)][x ( x y)] ( x x y)(x x y) ( x y)( x y). ( x) ( x ) [( x) ( x )][( x) ( x )] ( x x )( x x ) ( x )( ) Cso V 6.7 Trinomio de l form x x c Son trinomios que cumplen ls siguientes condiciones: 1. El coeficiente del primer término es 1.. El primer término es un letr culquier elevd l cudrdo.. El segundo término tiene l mism letr que el primero con exponente 1 y su coeficiente es un cntidd culquier, positiv o negtiv. 4. El tercer término es independiente de l letr que precen en el primero y segundo términos y es un cntidd culquier positiv o negtiv. Ejemplos: x 5x 6 15 Pr fctorizr este tipo de trinomios es importnte seguir los siguientes psos: 66

67 1. El trinomio se descompone en dos fctores inomios cuyo primer término es x, o se l ríz cudrd del primer término del trinomio.. En el primer fctor, después de x se escrie el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo fctor, después de x se escrie el signo que result de multiplicr el signo del segundo término por el signo del tercer término del trinomio.. Si los dos fctores inomios tienen en medio, signos igules, se uscn dos números cuy sum se el vlor soluto del segundo término del trinomio y cuyo producto se el vlor soluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los inomios. 4. Si los dos fctores inomios tienen en medio, signos distintos, se uscn dos números cuy diferenci se el vlor soluto del segundo término del trinomio y cuyo producto se el vlor soluto del tercer término del trinomio. El myor de estos números es el segundo término del primer inomio, y el menor, el segundo término del segundo inomio. Ejemplos: Pso No. Desrrollo 1. x 5x 6 x x. x 5x 6 x x. Por lo tnto: x 5x 6 x x 1. x x 15 x x. x x 15 x x 4. Por lo tnto: x x 15 x 5x Cso especil Fctorizr: x 5x 6 x 5x 6 ( x )( x ) Como el coeficiente de x en el segundo término es 5. Busquemos dos cntiddes cuy diferenci se 5 y cuyo producto se 6 67

68 x 5x 6 ( x 9)( x 4) Cso VI 6.8 Trinomio de l form x x c Son trinomios de l form: x 11x 5 10n n 7m m 6 Fctorizr: 6x 7x 1. Multipliquemos el trinomio por el coeficiente de x que es 6 y dejndo indicdo el producto de 6 por 7x, se tiene: 6x 6(7x) 18. Pero 6x (6x) y 6(7x) 7(6x), de cuerdo l conmuttividd de l multiplicción, luego, podemos escriir l ecución nterior como: (6x) 7(6x) 18. Descomponiendo este trinomio, según se vio en el cso nterior, el primer término de cd fctor será l ríz cudrd de ( 6x ) o se: ( 6x )(6x ) 4. Y como 9 7 y 9 18 otendremos: ( 6x 9)(6x ) 5. Como en un principio multiplicmos el trinomio ddo por 6, hor tenemos que dividir entre 6, pr no lterr el trinomio, y tendremos: ( 6x 9)(6x ) 6 68

69 6. Pero como ninguno de los inomios es divisile por 6, descomponemos 6 en x y dividiendo ( 6x 9) entre y ( 6x ) entre se tendrá: (6x 9)(6x ) (x )(x 1) Por lo tnto 6x 7x (x )(x 1) Cso especil 4 Fctorizr: 15x 11x 1 Multiplicndo por 15 (15)(15x ) 15(11x ) 15(1) 4 (15)(15x (15x 4 ) ) 15(11x 11(15x ) 15(1) ) 180 Descomponiendo este trinomio, el primer término de cd fctor será l ríz cudrd de 15x, por lo que otendremos: ) ( 15x o se (15x 0)(15x 9) Dividiendo entre 15: Cso VII 6.9 Cuo perfecto de inomios En los productos notles se vio que: ( 15x 0)(15x 9) (x 4)(5x 5 ) ( ) y ( ) Lo nterior nos dice que pr un expresión lgeric ordend con respecto un literl se el cuo de un inomio, tiene que cumplir ls siguientes condiciones: 1. Tener cutro términos. 69

70 . Que el primero y el último término sen cuos perfectos.. Que el segundo término se más o menos el triple producto del cudrdo de l ríz cúic del primer término multiplicdo por l ríz cúic del último término. 4. Que el tercer término se más o menos el triple producto de l ríz cúic del primer término por el cudrdo de l ríz cúic del último. Si todos los términos del trinomio son positivos se us l primer expresión, si por el contrrio, los términos son lterndmente positivos y negtivos, se us l segund expresión. Ejemplos: Encontrr si 8x 1x 6x 1 es el cuo de un inomio. L ríz cúic de 8x es x L ríz cúic de 1 1 El segundo término es: (x) (1) 1x El tercer término es: (x)(1) 6x Cumple ls condiciones y como todos sus términos son positivos, l expresión que se us es l primer. Por lo tnto. 8x 1x 6x 1 (x 1) 6 4 Encontrr si 8x 6x y 54x y 7y es el cuo de un inomio. 6 9 L ríz cúic de L ríz cúic de 6 8x es 9 7x x y El segundo término es: (x ) (y ) 6x y 4 El tercer término es: (x )(y ) 54x y 6 Cumple ls condiciones y como todos sus términos son positivos, l expresión que se us es l primer. Por lo tnto. 8x 6 6x 4 y 54x y 6 7y 9 (x y ) 70

71 71 Cso VIII 6.10 Sum o diferenci de cuos perfectos Semos que: y y como en tod división exct el producto el dividendo es igul l producto del divisor por el cociente, tendremos que: ) )( ( (1) ) )( ( () Fctorizr: 1 x L ríz cúic de x es x y l ríz cúic de 1 es 1. Según l regl (1) tenemos que: 1) 1)( ( ] 1 (1) 1)[ ( 1 x x x x x x x Fctorizr: 6 7 ) )(9 ( ] ) ( ) ( ) )[( ( Cso especil Fctorizr: ) ( ) ( ] ) ( ) )( ( ) )][( ( ) [( ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( Evlución finl

72 Fctoriz: 1. 14x y 8x 56x 4. 5x ( 1) ( x 1)( 1) n n ( ) 6. x 5x ( m n) 5( m n) y 15y x 54x 7x x 6 ( x ) Conclusión De form similr l sección nterior, es importnte mencionr que l relevnci que present est sección es deid que ls expresiones que se presentn en culquier rm de ls mtemátics llev implícit grn cntidd de ests cntiddes. 7

73 Prolems propuestos FACTORIZACION POLINOMIO CON FACTOR COMUN 1 x x 6x 18x m 5m 6m xyz 8x y z 4x y z x y 76x y 95x y x y 108x y 40x y xy 5 xy FACTORIZACION POR AGRUPACION 11. x y xy x y 1. c cx x 7

74 1. 6xy 9x 4y mx nx my ny x 14x 8x x 1x 5x c c 18. mx 4my nx 4ny x 1x 15x m x n x m n FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 1. 9x 0xy 5y. x 8x` x 54xy 9y x 9y 60x y 6. 0mn 4m 5n r s 64p q 11r sp q 74

75 p 6 q r 1p qr 9. 4x y 5m n 0mnxy 0. x x 1 FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS 1. x y. 1 x x m n 64m n 6. 1 x xy y 7. 4x 9y 8. 4x y 4xy y 1 y x 4 75

76 FACTORIZACION DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS 41. x 4. x y x m x y x 15 y m n 51( m n) 49. x y 51m n 50. 8x 7 FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x mx n 51. x 5x 6 5. m m x 5x 14 76

77 54. x 7x x x x 1x x x x 1x x 5x x x 10 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x x c 61. x 5x 6. 4x 1x 6. 8x 10x 64. 1x 7x x x x 14x x 7x 68. x 4x 4 77

78 69. 4x 11x 70. 6x 17x 1 78

79 Módulo VII - El teorem de Pitágors. Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno podrá relizr diverss plicciones geométrics del Teorem de Pitágors. Mrco Teórico El teorem de Pitágors constituye uno de los conceptos más fmosos y útiles de l geometrí y de ls Mtemátics en generl; en Físic e Ingenierí, éste teorem es fundmentl. L demostrción forml de este teorem y sus orígenes, no son los ojetivos principles de est sección, sino de desplegr su importnci en diverss plicciones geométrics. El teorem de Pitágors nos dice: l sum de los cudrdos de los ctetos de un triángulo rectángulo es igul l cudrdo de l hipotenus de ese mismo triángulo. El enuncido se expres medinte l fórmul: y su interpretción geométric se muestr en l siguiente figur 79

80 Ejemplo 1: clcule l longitud que flt en el siguiente triángulo rectángulo. Solución: en éste cso se nos pide encontrr l hipotenus del triángulo, que es el ldo desconocido, por lo que sustituyendo los dtos en l fórmul del Teorem de Pitágors, podemos encontrr su vlor de l siguiente form: despejndo el cudrdo del ldo derecho tenemos 80

81 Por lo tnto, el vlor de l longitud que flt (l hipotenus) es de 10. Ejemplo : clcule l longitud que flt en el siguiente triángulo rectángulo. Solución: en éste cso el ldo desconocido del triángulo, es uno de sus ctetos, por lo que sustituyendo los dtos en l fórmul del Teorem de Pitágors, podremos encontrr su vlor de l siguiente form: 81

82 despejndo el vlor conocido del cteto l ldo derecho resolviendo l rest despejndo el cudrdo del ldo izquierdo tenemos Por lo tnto, el vlor de cteto que flt es de 1. Ejemplo : Encuentre el vlor del l hipotenus del triángulo rectángulo cuys longitudes de los ctetos son 64 y 48. Solución: en éste cso el prolem se present en form de un enuncido, y no con un imgen, pero vst identificr cuáles son los dtos que se dn, pr sustituirlos en l fórmul del Teorem de Pitágors, y poder dr l respuest correct: 8

83 despejndo el cudrdo del ldo derecho tenemos Por lo tnto, el vlor de l hipotenus es de 80. Ahor vemos un plicción del teorem de Pitágors. Ejemplo 4: En l figur se ilustr l uicción de tres poldos, el puelo B está 40 km l Norte del puelo A y el puelo C está 0 km l Este de B. Cuál es l distnci entre los puelos A y C?. 8

84 Solución: El prolem consiste en clculr l distnci que sepr los poldos A y C. Al oservr en l figur ls uicciones de los tres poldos, formn un triángulo rectángulo, y l distnci entre A y C, no es más que l hipotenus del triángulo. Sustituyendo los dtos que se tienen en l fórmul del Teorem de Pitágors, encontrremos ést distnci, de l siguiente mner: despejndo el cudrdo del ldo derecho tenemos 84

85 Por lo tnto, l distnci que sepr los puelos A y C, es de 50km. Ejemplo 5: Clcule l ltur del siguiente triángulo y posteriormente su áre Solución: Pr encontrr l ltur del triángulo, nos poymos del Teorem de Pitágors, y que conocemos un cteto y l hipotenus, de uno de los triángulos rectángulos que lo formn: 85

86 despejndo l ldo derecho despejndo el cudrdo del ldo izquierdo tenemos Por lo tnto, l ltur del triángulo es de 48. Con yud de l formul conocid encontrmos el áre del triángulo totl, de l siguiente form: 86

87 Conclusión En este módulo conocimos lgunos fundmentos ásicos pr relizr cálculos trigonométricos en se l Teorem de Pitágors y descriimos lguns estrtegis pr su solución, ce destcr l importnci de ests operciones tnto en nuestr vid diri como en los cursos posteriores de mtemátics que llevrán en el Instituto. Ejercicios propuestos 1.-Clcul ls longitudes que fltn en los siguientes triángulos rectángulos..-encuentr el vlor de l hipotenus de los siguientes triángulos rectángulos cuys longitudes de los ctetos son ls que se dn. ) 40 y 80 87

88 ) 1. y.5 c) 7.5 y 4 d) 4 y 10 e) 5 y 1 f) 7 y 4.-Clcule el vlor del cteto que flt pr los siguientes dtos del un triángulo rectángulo. ) h=7 y c=5 ) h=50 y c=14 c) h=5 y c=4 d) h=15 y c=9 e) h=74 y c=5 f) h=7 y c= g) h=145 y c=8 h) h=0 y c=4 4.-Un futolist entren corriendo l digonl del terreno de juego de un cmpo de futol. Qué distnci totl recorre?. El terreno de juego tiene uns medids de 105 x 67 m. 5.- Cuánto mide un cle que j de un poste que tiene un ltur de 4 m y está colocdo un distnci de 7 m del pie del poste?. 6.- Cuál es l ltur de un cs, si pr suir l zote se necesit un escler que mide 10 m y el extremo de ell se coloc l nivel del piso 6 m del muro?. 88

89 7.-Clcul l ltur de un triángulo equilátero de 14 cm de ldo. 8.-Clcul l digonl de un cudrdo de 9 cm de ldo. 9.-Clcul el ldo de un romo cuys digonles miden mm y 4 mm. 10.-Un muro proyect un somr de.51 m en el piso, siendo que l hipotenus del triángulo rectángulo que se form con su somr en el piso es de 4 m, encuentre l ltur del muro. 89

90 Módulo VIII - Descomposición vectoril y el Pitágors Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno podrá identificr que es un vector y como se represent medinte componentes Cx y Cy, y medinte ests últims, clculr su mgnitud y dirección. Mrco Teórico El Teorem de Pitágors cor grn importnci cundo se estudin figurs geométrics en el plno crtesino XY. Cuál es l distnci del punto de coordends (5,) que se mide desde el origen del plno crtesino?. En l figur, prece el punto uicdo en el plno crtesino y el segmento cuy distnci se dese clculr. Este segmento es l hipotenus del un triángulo rectángulo, que tiene un cteto de 5 uniddes y otro cteto de uniddes. 90

91 Entonces medinte el Teorem de Pitágors, podemos clculr su hipotenus que es l distnci desde el origen del plno XY hst el punto (5,). 91

92 despejndo el cudrdo del ldo derecho tenemos esto indic que l distnci o hipotenus desde el origen hst el punto (5,) es de 5.4 uniddes. Este segmento que une el origen del plno crtesino XY con el punto (5,) tom el nomre de VECTOR en Físic y Mtemátics. Se le llm VECTOR porque señl donde se encuentr uicdo el punto (5,), y generlmente se le represent con un ech que punt en l dirección que queremos indicr. En Físic e Ingenierí los vectores como éste, no solo sirven pr indicr puntos, sino que tmién son importntes porque indicn direcciones de fuerzs, velociddes, desplzmientos, etc. 9

93 Si imginmos este vector representndo por un ech, diujdo en el plno crtesino XY, y suponemos que le lnzmos un luz, con un lámpr de mno, como se oserv en l siguiente figur. Entonces podemos drnos cuent que proyect su somr en dos direcciones: Un somr en el eje de ls Y (ver figur )), y otr somr en el eje de ls X ( ver figur )). A ests somrs se les llm componentes del vector y podrás notr que son los ctetos de un triángulo rectángulo. Si queremos conocer su vlor necesitremos de unos dtos extr: es decir necesitmos ser qué ángulo se encuentr el vector con respecto l piso (en este cso el eje X)), y tmién el vlor de l distnci totl (Mgnitud). V, desde el origen hst donde señl dicho vector, que se puede ver como l hipotenus de un triángulo rectángulo (ver l siguiente figur). 9

94 Entonces l mner en como relcionmos el vlor del ángulo de inclinción del vector y su mgnitud V, pr conocer sus somrs o componentes, se d con yud de ls siguientes formuls: Ejemplo 1: Clcule ls componentes del vector cuy mgnitud es V=500N y su ángulo de inclinción es. 94

95 Solución: Pr conocer el vlor de ls componentes o somrs proyectds del vector sore los plnos X e Y, hremos huso de ls formuls ntes plnteds, de l siguiente mner: sustituyendo los dtos: 95

96 por lo que los vlores de ls componentes Cx y Cy son: Ejemplo : Clcule ls componentes del vector cuy mgnitud es V=.4m y su ángulo de inclinción es,como se muestr en l figur. 96

97 Solución: Primero clculremos el ángulo verddero vector: l que se encuentr orientdo el entonces con ls formuls de ls componentes en X y Y del vector y sustituyendo el ángulo verddero y l mgnitud del vector en ells, tendremos: 97

98 por lo que los vlores de ls componentes Cx y Cy son: En este cso los vlores numéricos de ls componentes tienen signos negtivos, porque nos indicn que ests componentes puntn en direcciones contrrís los ejes X e Y positivos. Esto se muestr en l siguiente figur, donde podemos oservr que coinciden con l posición del vector. Clculo de l Mgnitud y Dirección de un vector. 98

99 Otro cso l cul nos enfrentmos cundo trjmos con vectores, es cundo en vez de l mgnitud y el ángulo de inclinción, los únicos dtos con los que contmos, son los vlores de ls componentes Cx y Cy. Si los únicos dtos que nos d el prolem son ls componentes Cx y Cy, entonces l mgnitud V del vector se clcul medinte el Teorem de Pitágors, de l siguiente form: sustituyendo en el teorem ls componentes y cmindo l hipotenus por l mgnitud del vector V despejndo el cudrdo del ldo derecho entonces l Mgnitud de culquier Vector se clcul con: 99

100 Por su prte l Dirección se encuentr de modo directo dividiendo ls componentes y l resultdo encontrándole el rco tngente: ( ) Ejemplo : Encuentre l mgnitud y dirección pr el vector cuys componentes son: Cx = 1 y Cy =. Solución: Sustituyendo el vlor de ls componentes en l formul de l mgnitud tendremos entonces su mgnitud es de Por su prte l dirección se clcul como: ( ) sustituyendo ls componentes 100

101 ( ) Entonces l mgnitud del vector es de V=. y su dirección de. Conclusión En este módulo conocimos lgunos fundmentos ásicos pr l descomposición de vectores en se l Teorem de Pitágors y descriimos lguns estrtegis pr su solución, ce destcr l importnci de ests operciones tnto en nuestr vid diri como en los cursos posteriores de mtemátics que llevrán en el Instituto. Ejercicios propuestos 1.-En los prolems encuentre ls componentes Cx y Cy, pr los vectores cuys mgnitudes y direcciones se dn continución. ) V= y = 0º ) V=1 y = 45º c) V=8 y =60º d) V=6 y = 10º e) V=1 y = 0º f) V= y = 0º g) V=7 y = 15º h) V= y = 90º 101

102 .-En los prolems encuentre l mgnitud y dirección del vector ddo en componentes. ) Cx = 4 y Cy = 4 ) Cx = -1 y Cy = c) Cx = -4 y Cy = 4 d) Cx = y Cy = 1 e) Cx = -5 y Cy = 8 f) Cx = 11 y Cy = -14 g) Cx = y Cy = h) Cx = 0 y Cy = 10

103 Módulo IX- Funciones Trigonométrics Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno podrá relizr diverss plicciones geométrics y mtemátics de ls Funciones Trigonométrics. Mrco Teórico En l introducción de este cpítulo, mencionmos que l Trigonometrí es l rm de ls mtemátics que se ocup de ls propieddes de los ángulos, en est sección ordemos de que trt el tem. Como y se explico, cundo conocemos dos ldos de un triángulo rectángulo, el tercer ldo pueden clculrse fácilmente con se en el Teorem de Pitágors: Pero si suponemos que medimos uno de los ángulos internos (excluyendo el que mide 90º) y l longitud de un ldo (cteto) de un triángulo. Pueden clculrse ls longitudes de los otros dos ldos del triángulo que nos fltn? (ver figur siguiente). 10

104 L respuest es: No podemos clculr estos ldos con yud del Teorem de Pitágors, pues este teorem no tiene en cuent l medid ngulr. Y es quí donde l Trigonometrí entr en juego. Comenzremos por trjr con los triángulos rectángulos, y que nos hemos fmilirizdo con ellos en ls secciones nteriores. En primer lugr, clrremos que los vlores de ls funciones trigonométrics solo dependen de l medid de los ángulos gudos (los que miden menos de 90º). En segundo lugr, utilizremos ls letrs x e y, pr referirnos los ctetos del triángulo (ver siguiente figur), esto con l intención de no confundirnos con los tems psdos. Seguiremos utilizndo l mism letr h, en el cso de l hipotenus. Pr referirnos l ángulo gudo que se utilizr en ls funciones trigonométrics, utilizremos l letr grieg. Podemos, entonces con est notción representr el triángulo rectángulo de l figur nterior. Por lo tnto, ls funciones trigonométrics que recien diferentes nomres especiles por su importnci, se pueden expresr como sigue. 104

105 FUNCIÓN ABREVIATURA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 1: Pr el triángulo ddo, clculr ls 6 funciones trigonométrics de l tl. Solución: En lgunos csos ls funciones trigonométrics necesitn del vlor de l hipotenus, por lo que clculremos primero este vlor pr el triángulo ddo. 105

106 entonces plicndo l primer función trigonométric sustituyendo los dtos ( ) Pr ls cinco funciones fltntes, se tiene ( ) ( ) ( ) ( ) 106

107 ( ) ( ) ( ) Aplicciones de ls funciones trigonométrics. Ejemplo : Un explordor dese conocer l ltur de un misterioso monolito de piedr, del cul solo conoce el ángulo y l hipotenus que prte desde l finl de l somr que proyect l esttu, como se muestr en l figur. 107

108 Solución: Se trt de encontrr l ltur de l esttu, en este cso y. Los únicos dtos con los que contmos, son en el vlor del ángulo = 45º y l hipotenus h= m, entonces podemos oservr que l función trigonométric que se just estos dtos es: Sustituyendo los dtos tenemos despejndo l vrile que estmos uscndo, en este cso y entonces el monolito tiene un ltur de 6. m. Ejemplo : Un homre de 1.75 m proyect un somr de 0.75 m. Encuentre l tngente del ángulo que formn los ryos del sol con l horizontl. 108

109 Solución: En este cso conocemos el vlor de y=1.75 m que es l ltur del homre, y el vlor de x=0.75 m que es l longitud de su sor, sí que utilizremos directmente l función trigonométric de l tngente: ( ) sustituyendo los vlores conocidos, encontrremos el resultdo esperdo ( ) ( ) USO CORRECTO DE LA CALCULADORA. Cundo conocemos el ángulo de ls funciones trigonométrics, entonces se puede otener el vlor de ests funciones trigonométrics con yud de un clculdor científic. Ests mquins electrónics cuentn con tecls destinds clculr ls rzones trigonométrics seno, coseno y tngente, denotds generlmente en sus tecldos como: sin, cos y tn. 109

110 Antes de encontrr el vlor de ángulos prtir de un rzón trigonométric dd, es necesrio verificr que l clculdor se encuentre en el modo deg y no en rd o grd. Pr otener el vlor de sen(65º): se tecle el número 65. se oprime l tecl sin. 110

111 En l pntll prece su vlor proximdo: ; est cntidd se puede redonder pr seguirl utilizndo en cálculos posteriores. Si se quiere hllr el cos(58º). se tecle el número 58. se oprime l tecl cos. En l pntll prece su vlor: Si se dese encontrr tn(74º). se tecle el número 74. se oprime l tecl tn. En l pntll prece su vlor: Conclusión En este módulo conocimos los fundmentos ásicos de ls Funciones Trigonométrics y l relción que gurdn con el Teorem de Pitágors. Descriimos lguns estrtegis sore su plicción y posterior solución, ce destcr l importnci de ests operciones tnto en nuestr vid diri como en los cursos posteriores de mtemátics que llevrán en el Instituto. Ejercicios propuestos 111

112 1.-Clcule ls seis funciones trigonométrics pr ls prejs de dtos x=n y y=n que se dn continución. ) x= y y=4 ) x=5 y y=1 c) x= y y= d) x= y y= e) x = y y=1 f) x = 1/ y y= /10.-Se x=4 m y =0º. Cuáles son ls longitudes de y y h?..-se y=6 m y = 45º. Cuáles son ls longitudes de x y h?. 4.-Se h=10 m y = 60º. Cuáles son ls longitudes de x y y?. 5.-Se y=8 m y = 5º. Cuáles son ls longitudes de x y h?. 6.-Altur de un árol. Un gurdosques, que está m de l se de un árol de secoy, oserv que el ángulo entre el suelo y l prte superior del árol es de = 60º, como lo muestr l figur siguiente. Clcule l ltur del árol. 11

113 7.-Distnci l monte Fuji. L cim del Monte Fuji de Jpón tiene un ltur proximd de 779. m. Un explordor, que se encuentr vrios kilómetros de distnci de es montñ, oserv que el ángulo entre el nivel del suelo y l cim es de = 0º. Clcul l distnci que hy desde donde está el explordor l punto nivel del suelo que está directmente jo l cim. 8.-Supong que un muchcho está volndo un comet l extremo de un cuerd de 100 m que hce un ángulo de = 45º con el suelo. Encuentre el coseno del ángulo que form l cuerd con el suelo. 9.- Pr ls siguientes funciones trigonométrics: ) si sen( )=1/, encuentre csc( ) ) si cos( )=/, encuentre sec( ) c) si tn( )=10/7, encuentre cot( ) 11

114 Módulo X - Funciones Trigonométrics Inverss (Arco) Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno podrá relizr diverss plicciones geométrics y mtemátics de ls Funciones Trigonométrics Inverss. Mrco Teórico Ls funciones trigonométrics inverss pueden emplerse pr otener los vlores de ángulos en csos en que se conozcn ls longitudes de dos ldos de un triángulo. Tmién se les llm comúnmente funciones de rco, ests funciones se escrien rcotngente (rctn), rcocoseno (rccos) y rcoseno (rcsen). Consideremos por ejemplo l función invers de rcotngente, pr deducir su formul prtimos de l función trigonométric tngente: ( ) entonces se trt encontrr o despejr el vlor del ángulo, por lo que escriimos l función trigonométric de l siguiente mner ( ) est es entonces l función rcotngente que tmién se escrie utilizndo l plr rctn o, que es como generlmente prece en los tecldos de ls clculdors electrónics: 114

115 ( ) En l siguiente tl se muestrn ls tres funciones rco comúnmente utilizds en trigonometrí: FUNCIÓN ABREVIATURA Ejemplo 1: Cul es el ángulo de elevción de un plno inclindo si se elev 1 m en un distnci de 40 m? Solución: Se trt de encontrr el ángulo l que est elevdo un plno inclindo, el cul podemos imginr o relcionr con un triángulo rectángulo como el de l siguiente figur: 115

116 pr esto utilicemos l función invers ( ) porque tenemos los dtos de ls longitudes horizontl x=40 m y verticl y=1 m de l rmp. sustituyendo los dtos encontrmos que podemos ver que el ángulo de elevción de l rmp es de USO CORRECTO DE LA CALCULADORA. Cundo no conocemos el ángulo, se puede otener su vlor con yud de ls funciones trigonométrics inverss y un clculdor científic. Ests mquins electrónics cuentn con tecls destinds clculr ls rzones trigonométrics inverss rcoseno, rcocoseno y rcotngente, denotds generlmente en sus tecldos como:, y. 116

117 Pr esto se oprime l tecl SHIFT (en lguns clculdors es l tecl INV) y después l tecl de l rzón trigonométric. Por ejemplo: Pr otener el vlor de : 117

118 se tecle el número en l clculdor. se oprime l tecl INV o SHIFT según el modelo de clculdor. se oprime l tecl cos. En l pntll prece el vlor: , que se puede redonder 1º. Conclusión En este módulo conocimos los fundmentos ásicos de ls Funciones Trigonométrics Inverss o Arco y l relción que gurdn con los ángulos internos del triángulo y su relción con el Teorem de Pitágors. Descriimos lguns estrtegis sore su plicción y posterior solución, ce destcr l importnci de ests operciones tnto en nuestr vid diri como en los cursos posteriores de mtemátics que llevrán en el Instituto. Ejercicios propuestos 1.-Si ls longitud de los ldos de un triángulo rectángulo son y=9 m y x=15 m, encuentre el vlor de su ángulo gudo..-l hipotenus de un triángulo rectángulo es de 0 m y su se mide x=15 m, clcule el vlor de elevción de l hipotenus..-un contrtist construye un techo con un sliente de m respecto un nivel de 1 m. Cuáles el ángulo de l sliente respecto l horizontl?. 4.-Clcule el vlor de ls expresiones siempre que se encuentren definids. ) ) c) 118

119 d) e) f) g) 5.-Clcule el vlor del ángulo, pr ls expresiones siempre que se encuentren definids. ) cos( ) = ) tn( ) =.7 c) sen( ) = d) sen( ) = Distnci entre dos regiones lluvioss. En meteorologí en ocsiones es posile conocer que ltitud ( ) se encuentrn dos regiones lluvioss muy cercns entre sí. Pr lo cul se utiliz l siguiente fórmul: ( ) siendo que l distnci entre dos regiones lluvioss es de d=9.7 km donde sopln vientos de con un velocidd de v=45 km/h, y que el rdio de l Tierr es de R=669 km; clcule con yud de l formul nterior que ltitud ( ) del plnet se loclizn ests dos regiones. 119

120 Módulo XI - Ley de los Senos y Cosenos Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno podrá relizr diverss plicciones geométrics y mtemátics de ls leyes de Senos y Cosenos. Mrco Teórico Cundo no tenemos triángulos rectángulos como en todos los tems psdos, ls coss se complicn un poco. Hy triángulos que no contienen ángulos rectos. A estos triángulos se les llm triángulos olicuos. Un ejemplo generl es el triángulo mostrdo en l siguiente figur, donde vemos que tiene ángulos, y, con ldos opuestos, y c, respectivmente. ls relciones entre los ángulos y los ldos de este tipo de triángulos están dds por l ley de los senos y l ley de los cosenos. L ley de los Senos estlece: 10

121 Ejemplo 1: Un triángulo olicuo tiene un ldo = 46 cm, y ángulos = 6º y = 71º. Cuáles son ls longitudes de los otros ldos del triángulo?. Solución: Semos que pr culquier triángulo se cumple que l sum de sus tres ángulos internos es: en nuestro cso tenemos los vlores de = 6º y = 71º, por lo que l sustituir en l formul nterior y despejr el ángulo que nos flt, tendremos Entonces utilizndo ls leyes de los senos pr encontrr los ldos y c del triángulo: 11

122 L ley de los cosenos se expres en ls tres forms generles: L ley de los cosenos se us cundo l ley de los senos, un poco más simple, no puede plicrse, según se ve en el siguiente ejemplo. Ejemplo : Un lecho tringulr de ores tiene dos ldos con longitudes =4.5 m y =.5 m, con el ángulo = 110º. Cuál es el vlor del otro ldo? Solución: En los dtos ddos osérvese que l ley de los senos no es plicle. Si se us l form propid de l ley de los cosenos pr encontrr el ldo fltnte c se otiene: 1

123 sustituyendo los dtos conocidos Conclusión En este módulo conocimos ls leyes de Senos y Cosenos, su relción con los ángulos internos del triángulo y los triángulos olicuos. Descriimos lguns estrtegis sore su plicción y posterior solución, ce destcr l importnci de ests operciones tnto en nuestr vid diri como en los cursos posteriores de mtemátics que llevrán en el Instituto. 1

124 Ejercicios propuestos 1.-En cd cso clcule ls otrs prtes del triángulo olicuo. ) = 41º; = 77º; = 10.5 ) = 0º; = 17.9; = 5.8 c) = 81º; c = 11; = 1 d) = 50º; = 70º; c = 57.-Un triángulo olicuo tiene un ldo =10 m, = 40º y = 60º. Cuáles son ls longitudes de los otros ldos del triángulo?..-un triángulo olicuo tiene ldos =6 cm y c=1 cm, con del otro ldo y de los otros ángulos?. = 50º. Cuáles son los vlores 14

125 Módulo XII - Identiddes Trigonométrics Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno podrá relizr diverss simplificciones y demostrciones mtemátics con ls Identiddes Trigonométrics. Mrco Teórico Si se diuj un círculo de rdio=1 (circulo unitrio), como se muestr en l siguiente figur, con el centro en el origen del plno crtesino XY, entonces ls coordends de un punto sore l circunferenci son P = p(x; y) = (cos ; sen ), donde es l ángulo cuyos ldos son l prte positiv del eje X y el rdio del círculo que ps por el punto P, ntes menciondo. Si utilizmos el Teorem de Pitágors, pr clculr l distnci l que se encuentr este punto, desde el origen del plno XY, entonces se cumple l condición: 15

126 en este cso l hipotenus del triángulo que está dentro del circulo es el rdio, y los ctetos son cos y sen, entonces sustituyendo estos dtos en el Teorem de Pitágors se tiene l siguiente identidd trigonométric: Est identidd trigonométric es válid pr culquier ángulo, porque el vlor del seno o el coseno de un ángulo no dependen de l longitud de l hipotenus. L siguiente tl muestr modo resumido ls diferentes identiddes trigonométrics fundmentles. IDENTIDADES PITAGÓRICAS IDENTIDADES DE COCIENTE IDENTIDADES RECÍPROCAS 16

127 En l imgen inferior se muestr un mp mentl con los cminos pr construir ls identiddes trigonométrics mostrds en l tl nterior, que podrá serte de much utilidd. En Mtemátics vnzds, ciencis nturles e ingenierís, veces es necesrio simplificr complicds expresiones trigonométrics y resolver ecuciones en donde precen funciones trigonométrics. 17

128 Ejemplo 1: Verificr que se cumpl l iguldd Solución: Empezmos por trnsformr el ldo izquierdo plicndo l identidd recíproc de : ( ) En seguid summos como si fuern frcciones cmindo se tiene * + como, l sustituir compromos que se cumple l iguldd 18

129 Conclusión del tem: En este módulo conocimos el origen de ls Identiddes Trigonométrics y su utilidd en ls simplificciones y demostrciones mtemátics. Descriimos lguns estrtegis sore su plicción y posterior solución, ce destcr l importnci de ests operciones tnto en nuestr vid diri como en los cursos posteriores de mtemátics que llevrán en el Instituto. Ejercicios propuestos 1.-Compror l iguldd.-compror l iguldd.-compror l iguldd 19

130 Módulo XIII - Rzón y Proporción Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno podrá relizr cálculos sore rzones y proporciones, que son un mner de encontrr relciones entre cntiddes que umentn o disminuyen. Mrco Teórico Ls rzones y proporciones tienen un grn plicción en diverss disciplins; por ejemplo, en ingenierí se emplen ls escls pr relizr mquets, en el áre contle, pr relizr movimientos finncieros y, en l vid diri, pr efectur cierts operciones ritmétics. L relción de un cntidd otr es un frcción, y es el número de veces que un cntidd está contenid en otr cntidd de l mism clse. Si un cntidd es directmente proporcionl otr, entonces, l otr cntidd tmién se duplic. Cundo un cntidd es inversmente proporcionl otr, entonces, cundo est cntidd se duplic, l otr cntidd se reduce l mitd. Ejemplo 1: En un limento se encuentrn 0g de zúcr por cd g de grs, Cuál es su rzón? Solución: Expresndo en form de rzón, que es un división de un cntidd sore otr, tenemos Entonces l rzón es de 10g de zúcr por cd grmo de grs. Ejemplo : Un lt de coc col tiene 4g de sprtme cd 100 grmos de solución de Coc Ccol. Indique l rzón de sprtme sore grmos de Coc Col con los dtos nteriores. Solución: Expresndo en form de cociente los dtos conocidos tenemos 10

131 Entonces l rzón es de 6: 5 o 0.4: 1. Ejemplo : Un pedzo de mder de 7 cm de longitud es cortd en tres piezs en con un proporción de 7 y 11. Determinr ls longitudes de ls tres piezs. Solución: El número totl de prtes es +7+11, es decir, 1. Por lo tnto 1 prtes corresponden 7 cm: 1 prte corresponde prtes corresponden 7 prtes corresponden 11 prtes corresponden es decir, ls longitudes de ls tres piezs son 9 cm, 91 cm y 14 cm. Ejemplo 4: Un rued dentd tiene 80 dientes y está conectd con un engrnje de 5 dientes. Cuál es l relción de trnsmisión? Solución: L relción de los engrnes será igul Entonces l relción de trnsmisión es de 11

132 Ejemplo 5: Un leción está compuest de metles A y B con un relción de.5: 1 en peso. Cuánto de A tiene que ser ñdido 6 kg de B pr hcer l leción?. Solución: LA relción entre A y B es: A: B =.5: 1 (es decir, A hez B como.5 1) o Como B = 6 kg, entonces sí encontrmos que l cntidd, que tiene que ser ñdid es de Ejemplo 6: Si persons puede completr un tre en 4 hors, Cuánto tiempo se trdn 5 persons pr completr l mism tre, suponiendo que l ts de trjo permnece constnte? Solución: Cunto myor se el número de persons, l tre se reliz más rápido, por lo tnto, existe un proporción invers. persons completr l tre en 4 hors. Entonces un person le tom tres veces más tiempo, es decir, Por lo tnto, 5 persons pueden hcerlo en un quint prte del tiempo que un person trd, que es de hor, o hors y 4 minutos. Conclusión En este módulo conocimos l importnci de Ls rzones y proporciones, que tienen un grn plicción en diverss disciplins, y descriimos lgunos métodos pr su clculo, ce 1

133 destcr l importnci de ests operciones tnto en nuestr vid diri como en los cursos posteriores de mtemátics que llevrán en el Instituto. Ejercicios propuestos 1. Dividir 61 cm un proporción de 7 1. R=[81cm 189cm 51cm]. Al mezclr un cntidd de pinturs, se tienen tintes de cutro colores diferentes y se utilizn con un relción de 7: : 19: 5. Si l ms del primer colornte utilizdo es R=[17g] determinr l ms totl de los colores utilizd.. Determinr l cntidd de core y l cntidd de zinc que se necesit pr hcer un lingote 99 kg de ltón, si tienen que estr proporciones de core: zinc: 8: por ms. R=[7kg : 7Kg] 4. Se trdn 1 hors 1 homres en reconstruir un trmo de crreter. Encontrr cuántos homres se necesitn pr reconstruir un frnj similr de crreter en 50 hors y 4 minutos, suponiendo que el ritmo de trjo se mntiene constnte. R=[5] 5. Se trd hors y 15 minutos de vuelo desde l ciudd A l ciudd B un velocidd constnte. Encontrr el tiempo que el vije dur si: ) l velocidd es de veces l de l velocidd originl y ) si l velocidd es de tres curts prtes de l velocidd originl. R=[() hors y 10 minutos, () 4 hors y 0 minutos] 1

134 Módulo XIV - Porcentjes Ojetivo Al finlizr este módulo el lumno podrá relizr cálculos sore prolems de tnto por ciento, presentes en contextos lorles y cotidinos. Mrco Teórico Los porcentjes, l igul que los decimles y ls frcciones, constituyen otr mner de expresr un prte determind de un unidd. El porcentje de un todo que se h dividido en 100 porciones igules; de hí l plr porcentje o tnto por ciento. El porcentje se expres con un número seguido con el signo % (por ciento). Por ejemplo 50% represent lo mismo que ó que 0.5. Y 100% es 100 / 100, o exctmente 1 (100% de culquier número es el mismo número) Y 00% es 00 / 100, o exctmente (00% de culquier número es el dole del número) Los porcentjes se usn pr: Relcionr un prte con el todo: Ejemplo: "El 58% de los spirntes ingresr en l Universidd son mujeres" Determinr un proporción entre dos cntiddes: Ejemplo: "L proporción de levdur y hrin pr el izcocho es del %". Descriir l polción, indicndo el peso reltivo de un mgnitud sore ell. Ejemplo: "El 16% de l polción tiene estudios superiores". Grn prte de l estdístic se expres en porcentjes. Determinr l vrición reltiv de un cntidd: Ejemplo: "El nivel del gu lmcend en los emlses h suido un 8% en lo que v de ño". 14

135 El interés ncrio Ls entiddes finnciers (ncos, cjs de horros, etc.) dn sus clientes un interés por tener depositdo su dinero. Es directmente proporcionl l cntidd gurdd y l tiempo que dur el depósito, y se mide en tnto por ciento. Cundo se pide un préstmo l nco tmién se pg un interés. Ejemplo 1: L cj de horros locl ofrece Mrt un 4% nul pr los soles que tiene horrdos. Qué interés otendrá Mrt por su cpitl finl de ño? Solución: Un interés del 4% nul signific que de cd 100 soles otiene 4 l ño. Por tnto, Pero y si Mrt gurd el dinero en l cj durnte 4 ños? En cutro ños le producirá cutro veces es cntidd: Ejemplo : Exprese como porcentjes: () y () Solución: Un frcción deciml se convierte en un porcentje multiplicndo por 100. Por lo tnto, ( ) corresponde x 100%, es decir 187.5% () corresponde x 100%, es decir, 1.5% Ejemplo : Expresr en form de porcentjes: y Solución: Pr convertir frcciones porcentjes, se relizn dos psos: 15

136 1. convierte ls frcciones decimles y. multiplicdo por 100, por lo tnto corresponde Similrmente Ejemplo 4: Ciert prte de un máquin, se trd 50 minutos. Utilizndo un nuevo tipo de herrmient, el tiempo se puede reducir en un 15%. Clculr este nuevo tiempo Solución: 15% de 50 minutos = minutos por lo tnto, l nuev hor se tom como =4.5 minutos. Alterntivmente, si el tiempo se reduce en un 15%, hor se tiene 85% del tiempo originl, es decir 85% de 50= minutos, como nteriormente se clculo. Ejemplo 4: Exprese 5 minutos como un porcentje de hors, corregir con un precisión de 1%. Solución: El trjo en uniddes de minutos, hors=10 minutos. De hí que 5 minutos es de hors. Al cncelr, Expresndo en frcción deciml se tiene 0.08 Multiplicndo por 100 l frcción deciml se convierte en el porcentje de 0.08X100=0.8% Así, 5 minutos son el 1% de hors, con un precisión del 1%. 16

137 Ejemplo 5: Un leción de plt lemn const de 60% de core, 5% de zinc y 15% de níquel. Determinr l ms del core, zinc y níquel en un loque.74 kilogrmos de l leción. Solución: L proporción direct es 100% corresponde.74kg 1% corresponde kg 60% corresponde 60X0.074=.44 kg 5% corresponde 15X0.074=0.561 kg Así, ls mss del core, zinc y níquel son.44 kg, 0.95 kg y kg, respectivmente. (Verifique que: =.74) Conclusión En este módulo conocimos l importnci de los cálculos sore prolems de tnto por ciento, y descriimos lgunos métodos pr su clculo, ce destcr l importnci de ests operciones tnto en nuestr vid diri como en los cursos posteriores de mtemátics que llevrán en el Instituto. Ejercicios propuestos 6. Conviert porcentjes: () () 0.74 y (c) R=[ () 5.7% () 7.4% (c) 18.5%] 7. Exprese en form de porcentjes, corrigiendo cifrs: () () (c). R=[ () 1.% () 79.% (c) 169%] 17

138 8. Clcule 4 cifrs significtivs () 18% de 758 tonelds () 47% de 18.4 g (c) 147% de 14.1 segundos R=[ () t () 8.67 g (c) 0.7 s] 9. Cundo se fricn 1600 pernos, 6 son instisfctorios. Determinr el porcentje instisfctorio. R=[.5%] 10. Expresr: () 140 kg como un porcentje de 1 t () 47 s como un porcentje de 5 min (c) 1.4 cm, como un porcentje de.5 m. R=[ () 14% () 15.67% (c) 5.6%] 11. Un Bloque de leción de Monel const de 70% de níquel y 0% de core. Si contiene 88. g de níquel, determinr l ms de core en el loque. R=[ 7.8 g] 1. Dos kilogrmos de un compuesto contienen 0% del elemento A, 45% del elemento B y el 5% del elemento C. Determinr ls mss de los tres elementos presentes. R=[ A 0.6 kg, B 0.9 kg, C 0.5 kg] 1. Un mezcl de hormigón contiene siete prtes en volumen de lstre, cutro prtes en volumen de ren y dos prtes en volumen de cemento. Determinr el porcentje de cd uno de estos tres constituyentes con un precisión de 1% y l ms de cemento en un mezcl de dos tonelds sec, con l precisión de un cifr significtiv. R=[ 54%, 1%, 15%, 0. t] 18

139 Conclusión generl A lo lrgo del presente mnul se hn visto ls diferentes técnics y desrrollos que se pueden esperr en ls mtemátics sin cer demsido en spectos tn strctos como ls demostrciones y que requerirín un myor tención por prte del prticipnte y que res ls expecttivs de éste curso. Se h visto que ls mtemátics no deen ser vists como un serie de psos pr resolver un prolem, sino que es necesrio nlizr cd prolem y resolverlo de cuerdo ls leyes y procedimientos que se pueden ver en los módulos del III l VI. Tmién vimos que están identificds vris expresiones que son llmds productos y cocientes notles y que ésts precen en muchs ocsiones en los cálculos comunes dentro de ls mtemátics de hí l importnci de estudirlos y comprenderlos. Finlmente se trj con rdicles y potencis, ls cules solo se mencionn en cursos comunes y no se les prest l importnci requerid y que l igul que los productos y cocientes notles éstos precen con much frecuenci en los cálculos. 19

140 Modulo XV - Visión y Misión de los Institutos Tecnológicos Breve Histori de los Institutos Tecnológicos de México Los primeros Institutos Tecnológicos surgieron en México en 1948, cundo se creron los de Durngo y Chihuhu. Poco tiempo después se fundron los de Sltillo (1951) y Ciudd Mdero (1954). Hci 1955, estos primeros cutro Tecnológicos tendín un polción escolr de 1,795 lumnos, de los cules 1,688 ern homres y sólo 107 mujeres. En 1957 inició operciones el IT de Oriz. En 1959, los Institutos Tecnológicos son desincorpordos del Instituto Politécnico Ncionl, pr depender, por medio de l Dirección Generl de Enseñnzs Tecnológics Industriles y Comerciles, directmente de l Secretrí de Educción Púlic. En el liro L Educción Técnic en México. Institutos Tecnológicos Regionles, editdo por l Secretrí de Educción Púlic, en 1958, se mrcó l desincorporción plen de los IT y el inicio de un nuev etp crcterizd por l respuest que dn ests instituciones ls necesiddes propis del medio geográfico y socil, y l desrrollo industril de l zon en que se uicn. Al cumplirse los primeros veinte ños, los diecisiete IT existentes estn presentes en ctorce estdos de l Repúlic. En l décd siguiente ( ), se fundron otros 1 Tecnológicos, pr llegr un totl de 48 plnteles distriuidos en veintiocho entiddes del pís. Durnte est décd se creron tmién los primeros centros de investigción y poyo l educción tecnológic, es decir, el Centro Interdisciplinrio de Investigción y Docenci en Educción Tecnológic (CIIDET, 1976) en Querétro y el Centro Regionl de Optimizción y Desrrollo de Equipo (CRODE), en Cely. En 1979 se constituyó el Consejo Ncionl del Sistem Ncionl de Educción Técnic (COSNET), el cul representó un nuevo pnorm de orgnizción, surgiendo el Sistem Ncionl de Educción Tecnológic, del cul los Institutos Tecnológicos fueron prte 140

141 importnte l integrr el Sistem Ncionl de Institutos Tecnológicos (SNIT). De se fundron doce nuevos Tecnológicos y tres Centros Regionles de Optimizción y Desrrollo de Equipo. L investigción y los posgrdos se impulsron con grn intensidd grcis l creción progresiv de los Centros Regionles de Estudios de Grdudos e Investigción Tecnológic (CREGIT) en cd uno de los plnteles. Pr 1988 los IT tendín un polción escolr de 98,10 lumnos, mism que en los cinco ños siguientes crecier hst 145,99, con un plnt docente de 11,9 profesionles y 7,497 empledos como personl de poyo y sistenci l educción. En 1990 iniciron ctividdes los Institutos Tecnológicos Descentrlizdos, con esquems distintos los que opern en los IT federles y que se creron como orgnismos descentrlizdos de los goiernos esttles. En 005 se reestructuró el Sistem Eductivo Ncionl por niveles, lo que trjo como resultdo l integrción de los Institutos Tecnológicos l Susecretrí de Educción Superior (SES), trnsformndo l Dirección Generl de Institutos Tecnológicos (DGIT) en Dirección Generl de Educción Superior Tecnológic (DGEST). Como consecuenci de est reestructurción, se desincorpor el nivel superior de l Dirección Generl de Cienci y Tecnologí del Mr y de l Dirección Generl de Educción Tecnológic Agropecuri y se incorpor l recién cred DGEST. A junio de 010, el hor Sistem Ncionl de Educción Superior Tecnológic (SNEST) está constituido por 49 instituciones, de ls cules 114 son Institutos Tecnológicos federles, 19 Institutos Tecnológicos Descentrlizdos, cutro Centros Regionles de Optimizción y Desrrollo de Equipo (CRODE), un Centro Interdisciplinrio de Investigción pr el Desrrollo de l Educción Tecnológic (CIIDET) y un Centro Ncionl de Investigción y Desrrollo Tecnológico (CENIDET). En ests instituciones, el SNEST tiende un polción escolr de 87,414 estudintes en licencitur y posgrdo en todo el territorio ncionl, incluido el Distrito Federl. 141

142 Desde julio de 008, su Director Generl es el doctor Crlos Alfonso Grcí Irr. Visión SNEST Ser uno de los pilres fundmentles del desrrollo sostenido, sustentle y equittivo de l nción. Misión SNEST Ofrecer servicios de educción superior tecnológic de clidd, con coertur ncionl, pertinente y equittiv, que codyuve l conformción de un sociedd just y humn. Vlores Con el fin de guir y orientr ls cciones cotidins de todo su personl, el SNEST define los siguientes vlores institucionles: El ser humno Es el fctor fundmentl del quehcer institucionl, constituyéndose en el vlor centrl, pr incidir en su clidd de vid. El espíritu de servicio Es l ctitud proctiv que distingue l person por su profesionlismo en su desempeño, proporcionndo lo mejor de sí mismo. El liderzgo Es l cpcidd pr l conducción innovdor, prticiptiv y visionri de l operción y desrrollo institucionl. El trjo en equipo Es el proceso humno relizdo de mner rmónic con ctitud proctiv, multiplicndo los logros del ojetivo común. L clidd Es l cultur que motiv mejorr l form de ser y hcer, fundmentd en ls convicciones del ser humno. 14

143 El lto desempeño Cumplir y elevr estándres de clidd, sustentdo en el desrrollo humno. Visión DGEST Ser un entidd modern, reconocid por su clidd en el servicio y que grntice el lto desempeño del Sistem Ncionl de Educción Superior Tecnológic. Misión DGEST Con el propósito de hcer relidd su visión, l DGEST estlece como su misión: Potencir y segurr, con liderzgo y servicios de clidd, el desrrollo de un Sistem Ncionl de Educción Superior Tecnológic de lto desempeño. Ojetivos Elevr l clidd de l educción pr que los estudintes mejoren su nivel de logro eductivo, cuenten con medios pr tener cceso un myor ienestr y contriuyn l desrrollo ncionl. Amplir ls oportuniddes eductivs pr reducir desigulddes entre grupos sociles, cerrr rechs e impulsr l equidd. Impulsr el desrrollo y utilizción de tecnologís de l informción y l comunicción en el sistem eductivo pr poyr el prendizje de los estudintes, mplir sus competencis pr l vid y fvorecer su inserción en l sociedd del conocimiento. Ofrecer un educción integrl que equilire l formción en vlores ciuddnos, el desrrollo de competencis y l dquisición de conocimientos, trvés de ctividdes regulres del ul, l práctic docente y el miente institucionl, pr fortlecer l convivenci democrátic e interculturl. Ofrecer servicios eductivos de clidd pr formr persons con lto sentido de responsilidd socil, que prticipen de mner productiv y competitiv en el mercdo lorl. Fomentr un gestión escolr e institucionl que fortlezc l prticipción de los centros escolres en l tom de decisiones, corresponsilice los diferentes ctores sociles y eductivos, y promuev l seguridd de lumnos y profesores, l trnsprenci y l rendición de cuents. *Informción otenid directmente de l págin electrónic SNEST, DGEST, ITSZ. El Instituto Tecnológico Superior de Zpopn inici operciones en septiemre de 1999, con el fin de impulsr el desrrollo de l región centro del Estdo de Jlisco. Hst el mes de mrzo del 01 egresron un totl de 95 ingenieros en 17 generciones semestrles, 14

144 quienes en su desempeño profesionl hn demostrdo ser competentes nte ls exigencis del sector productivo. El ITSZ h logrdo grcis l ctución de su personl cdémico, dministrtivo y de poyo l certificción ISO demostrndo productividd en todo su proceso eductivo desde el momento en que ingres el lumno, hst su titulción. Misión y Visión del ITSZ Nuestr Misión Ser un instrumento de desrrollo de l comunidd, generndo un sistem eductivo de excelenci pr l formción profesionl e integrl del ser humno, trvés de un modelo de clidd centrdo en el prendizje. Nuestr Visión Ser un institución líder, en sus lores eductivs, tecnológics y de investigción científic, proporcionndo un formción de excelenci, pr enfrentr con éxito los retos de l competitividd nivel mundil. Vlores El Instituto Tecnológico Superior de Zpopn promueve el sentido ético. L vid modern, nos exige vivencir los vlores en lo individul y en lo socil, especilmente en el ámito eductivo. 144

145 Modulo XVI - Ser Universitrio ACTIVIDAD Responde ls siguientes pregunts desde tu perspectiv personl (no hy respuests corrects e incorrects) A qué vengo l universidd, qué ppel juego, cuáles son mis responsiliddes? (Lluvi de ides: reflexión grupl) Ingresr l Universidd implic cmios que incluyen dptción, trnsformción, reorgnizción fmilir, personl, socil y lorl, los nuevos universitrios experimentrán retos de cómo ctur, cómo orgnizr sus tiempos, quién recurrir cuándo teng duds, incluso confusión. Ahor que el estudinte se encuentr en niveles superiores se le sugiere que se protgonist de su crrer, que pong en movimiento l voluntd y el deseo de crecer pr superr pequeños o grndes prolems, con los que segurmente se enfrentrá. L fortlez será necesri pr llegr los ojetivos que desde este momento h tomdo l decisión de logrr: SER INGENIERO (Luján, Montenegro, Ponti, Sánchez, Svino, Vsquetto y Vélez, s.f.) L clve, dicen los que sen, es reconocer que entrr en l Universidd exige, ntes que nd, un cmio de ctitud: desde hor, l responsilidd personl será el motor, sin que est utonomí signifique islmiento. 145

146 Qué es ser Universitrio? El ser Universitrio es un privilegio, un oportunidd que implic un compromiso que no es sólo con los pdres, con un ec o con un crédito, el compromiso tmién es con l comunidd eductiv y l sociedd. Es importnte tener concienci y considerr que l inversión que ofrece el Estdo por cd estudinte es importnte. Por lo tnto el universitrio dee tomr en serio l misión que se le encomiend y ls expecttivs que en él h puesto el pís. Elegir un profesión es un de ls tres más importnte que reliz un person, y que l hcer esto escogemos un modo de vid, un modo de ser y hcer, tmién de est elección de profesión, oficio o trjo se otendrán ls retriuciones que le permitn stisfcer necesiddes mteriles y de crecimiento personl, se elige un mner de prticipr en l sociedd que deerí ser con responsilidd y compromiso. Es por esto que el universitrio no deier conformrse con un vlor numérico pr psr ls mteris, jr de internet un trjo o copir en ls prues, el universitrio responsle no dee hcerse cómplice de l ileglidd y de l mediocridd, no será un uen estudinte si sólo cumple con scr uens nots, esto no st pr ser UNIVERSITARIO, estudir incluye el desrrollo de un pensmiento crítico y reflexivo, dee recordr que no sólo su fmili esper un profesionist, l sociedd tmién. Según el diccionrio de l Rel Acdemi Espñol estudir, como vero trnsitivo, signific oservr, exminr, pensr o considerr lgo con detenimiento, pr conocerlo, comprenderlo o uscr un solución, es decir que no es solmente memorizr sino que trvés de los estudios el lumno desrrollrá un reflexión crític cerc de su propio proceso formtivo. Mientrs que l vocción es un interés interior pr dedicrse un form determind de vid tmién es un úsqued sore lo que quiero, es un construcción lo lrgo de l vid, prtir de ls experiencis con diverss ctividdes, de ls relciones con otrs persons, de ls mets que queremos lcnzr y del reconocimiento de ls condiciones y los esfuerzos que ésts últims significn (op. Cit. Luján) Como universidd púlic el Instituto Tecnológico Superior de Zpopán cre un miente propicio pr l diversidd culturl, l plurlidd ideológic y l equidd de género, tmién cre un contexto propicio pr el crecimiento tecnológico dirigido hci un economí del conocimiento y l innovción que impcte en el desrrollo sustentle de nuestro pís y fvorezc l clidd de todos los mexicnos. En esper de que est se su lm mter el ITSZ les dese SUERTE Y BIENVENIDOS. Ser pr trscender 146

147 Modulo XVII - Competencis Los Institutos Tecnológicos hn doptdo el modelo de competencis como un necesidd los cmios del sistem eductivo del pís, por ello es de grn importnci hcer mención de ells en este mnul con l finlidd de dejr en clro lguns de ls interrogntes que segurmente se presentrán lo lrgo de los cursos regulres. Ce mencionr que estos conceptos serán plicles culquier signtur cursd lo lrgo de tod l crrer y por lo tnto se deen entender estos términos desde el principio. No hy plr verdder que no se unión inquerntle entre cción y reflexión (Pulo Freire) Ls competencis ásics del siglo XX: 1. Hlr y Escuchr.. Leer.. Escriir. El modelo eductivo nterior que consider l lumno tn sólo como receptor de conocimientos h sido modificdo, hor se convierte en gestor de su propio prendizje y el mestro, demás de educdor, tmién jueg el ppel de un guí durnte el proceso, l siguiente informción plnte grndes rsgos mostrr l lumno este nuevo modelo y l 147

148 form de evlución pr que su experienci eductiv se más exitos, crí entonces formulr l siguiente pregunt: QUÉ SON LAS COMPETENCIAS? Según Spencer y Spencer: es un crcterístic suycente de un individuo, que está cuslmente relciond con un rendimiento efectivo o superior en un situción o trjo, definido en términos de un criterio. Pr Ansoren Co son un hilidd o triuto personl de l conduct de un sujeto, que puede definirse como crcterístic de su comportmiento, y, jo l cul, el comportmiento orientdo l tre puede clsificrse de form lógic y file. (González, 008) CÓMO EL ESTUDIANTE APRENDERÁ? L dquisición de competencis profesionles es posile si se logr hcer que el prendiz controle su propio proceso de formción. Se dice que un prendizje es significtivo cundo los contenidos se relcionn con lo que el lumno se. Cundo se logr l ctivción de los conocimientos e ides previs trvés de l presentción del mteril nuevo potencilmente significtivo. Se está hciendo un reflexión sore l cción y se introducen los nuevos contenidos. Al logrr movilizr l memori constructiv del estudinte, se logr motivrlo, estimulrlo y disponerlo l prendizje porque pr el estudinte dquiere significdo l integrr lo que se prenderá, sus conocimientos y experiencis previs (metcognición). El prendizje significtivo ocurre cundo un nuev informción se conect con un concepto relevnte preexistente que esté decudmente 148

149 clro y disponile en l estructur cognitiv del individuo y que funcionen como un punto de nclje pr ls primers. L met es dquirir ls siguientes culiddes: SABER SABER HACER SABER SER Dtos. Hechos. Informción. Conceptos. Conocimientos. Hiliddes. Destrezs. Técnics pr plicr y trnsferir el conocimiento ctución. Norms. Actitudes. Intereses. Vlores que llevn tener convicciones Asumir responsiliddes. L siguiente figur present mner esquemátic ls competencis. CÓMO SE EVALUA? Ls competencis tienen su máxim expresión en un ser hcer fundmentdo en un ser, por lo que l evlución l lumno desde este enfoque, y no predomin el ser sino lo que se hce con ese conocimiento en diferentes contextos, es decir se nliz el 149

150 desempeño o ls cciones específics en situciones concrets, seres, hiliddes, vlores, ctitudes, motivción. El ITSZ mnej linemientos pr l evlución y creditción de signturs en l que se confirm que el estudinte posee ls competencis que están definids en un signtur o progrm de estudio y que son necesris pr el desrrollo del perfil de egreso. El inglés como competenci profesionl L competenci en el ámito profesionl es mucho myor en los últimos ños. L exigenci por prte de l sociedd y clidd del trjo v en umento. Hoy en dí se compite con otrs persons por conseguir un oportunidd de empleo. El uso de l computdor, del Internet y de l pqueterí que ést mnej es un herrmient indispensle pr elorr el más sencillo de los trjos. De igul mner está psndo con el idiom Inglés. Por qué Inglés? Estdos Unidos se convirtió en un de ls potencis más influyentes en los últimos ños y deido l cercní con México, se hizo indispensle el trto con los mericnos. Asimismo, l glolizción h unificdo mercdos, socieddes y culturs trvés de un serie de trnsformciones económics, culturles y polítics que fectn profundmente los individuos, empress y nciones, por lo que dominr el idiom Inglés en culquier crrer profesionl dej de ser un hoie, pr convertirse en un herrmient indispensle pr otener un trjo en culquier empres; siendo esto de vitl importnci dentro del progrm cdémico en culquier licencitur. Hoy más que nunc result imprescindile prender el idiom Inglés, y que cd dí se emple más en csi tods ls áres del conocimiento y desrrollo humnos. En primer lugr, se trt de l herrmient que permite l comunicción con persons de otros píses, dentro del mundo glolizdo en que vivimos. Es indiscutile que el idiom Inglés se h convertido en el idiom glol de comunicción por excelenci, uno de los de myor uso en el mundo. Es idiom oficil, o tiene un sttus especil, en unos 75 territorios en todo el mundo. 150

151 Estimciones recientes sugieren que unos 40 millones de persons lo hln como su primer idiom, sí como es utilizdo en l ctulidd por más de millones de hlntes no ntivos. Dentro de poco más de un décd lo hlrán tres mil millones de persons, es decir, l mitd de l humnidd. L lengu Ingles es de ls más fáciles de tods pr prenderl. Ést es un de ls rzones por ls cules prevleció en los Estdos Unidos. Por consenso mundil el inglés h sido elegido como el idiom de l comunicción interncionl. En el cmpo económico, l industri, los negocios, el comercio interncionl, todo el universo productivo se escrie, se hl y se lee en inglés. Ls principles erolínes, por ejemplo, lo hn doptdo como idiom oficil. El idiom inglés, como herrmient, mplirá ls oportuniddes en el cmpo de l educción y en el mundo lorl, desde un empleo con slrio medio hst los más ltos niveles ejecutivos. Son y muchs ls oferts de trjo que se vlen de este idiom: no sólo pr comunicrse con directivos, sino tmién en puestos de menor responsilidd su conocimiento puede convertirse en un competenci esencil (ls instrucciones de ls máquins, ls técnics, los liros que estén que estén escritos en est lengu). Qué producto comercil vendido o etiquetdo no viene con texto en inglés? Hoy en dí, culquier investigdor o profesionl que quier estr l dí o cceder liros especilizdos necesit irremedilemente ser Inglés pr estr informdo de los rápidos vnces que están teniendo lugr en su áre del conocimiento. Este hecho tmién rc 151

152 otros contenidos proporciondos por los distintos medios informtivos existentes (televisión, rdio, periódicos, videos, películs, etc.) Por otro ldo, ddo el rápido vnce de l tecnologí en todos los cmpos, llegn constntemente ls empress nuevos equipos, prtos e instrumentos cuys instrucciones y se de montje, uso funcionmiento, mntenimiento y limpiez- suelen venir myormente en inglés. Es l lengu de ls telecomunicciones, del totl estimdo de 40 millones de usurios de Internet, un 80% se comunic ctulmente en este idiom. L myorí de los sitios se encuentrn editdos en inglés. Además, el porcentje de usurios de l red que no son hlntes ntivos del inglés está incrementándose rápidmente, especilmente en Asi. Por otr prte, prácticmente todos los centros del tipo que se disponen de ordendores pr fcilitr el trjo, y culquier person costumrd mnejrlos se que, unque muchos de los progrms informáticos están y trducidos l cstellno, es frecuente encontrrse en situciones donde es necesrio ser inglés pr poder comprender el lenguje interctivo del ordendor. Igulmente es indispensle conocer el inglés cundo se vij o se sle de vcciones l extrnjero: pr ir de comprs, pr tomr un medio de trnsporte sin perderse, pr pedir l cuent en un resturnte, pr entrr en contcto con l gente y su cultur de modo mplio. Es, tmién, el lenguje del entretenimiento y l cultur populr: con l industri de l músic y del cine. En el terreno de los estudios, es un herrmient clve pr el triunfo cdémico, especilmente en cierts crrers profesionles en ls que es requisito exigile pr l otención del título. Es, con diferenci, el idiom más 15

153 enseñdo en los centros eductivos de tod Europ, lcnzndo l 46% de los estudintes en Pensr es el trjo más difícil que existe. Quizá se ést l rzón por l que hy tn pocs persons que lo prctiquen. Henry Ford un 80% de l polción hl l lengu ingles con fluidez. primri y l 91% de secundri. En Espñ, sin emrgo, pesr de ser el idiom extrnjero predominnte, sólo lcnz un porcentje del 6%. Son unos dtos que nos colocn en un situción de clr desventj con respecto píses como Dinmrc, Holnd o Sueci donde Por ello h hido un rpidísim proliferción de Escuels Oficiles de Idioms. Además, hrí que mencionr tmién todos los vijes e intercmios que se orgnizn Grn Bretñ, los Estdos Unidos y Cndá, principlmente, tnto por inicitiv esttl como privd, como pr l relizción de cursos de perfeccionmiento. Evidentemente, todo este despliegue no es producto de l csulidd, sino un clr muestr de l innegle importnci del inglés. Así pues, su dominio se h convertido en un necesidd cd vez más preminte. Se trt, en definitiv, de un lengu que todos, nos guste o no, hemos de ceptr. Y nunc es trde pr prenderl! En el siguiente modulo se presentn los siguientes puntos específicos de los linemientos de evlución que reguln los Institutos Tecnológicos Federles y Descentrlizdos dependientes de l Dirección Generl de Educción Superior Tecnológic. 15

154 Modulo XVIII - Linemientos de creditción y Rúrics Propósitos de los linemientos L creditción de un signtur es l form en l que se confirm que el estudinte posee ls competencis que están definids en un signtur o progrm de estudio y que son necesris pr el desrrollo del perfil de egreso. Acreditción de signturs Se pruee el 100% de ls competencis específics estlecids en el progrm de estudio. Acreditr un signtur en ls siguientes oportuniddes: curso ordinrio y curso de repetición. L escl de vlorción es de 0 (cero) 100 (cien) en culquier oportunidd de evlución que se considere en este linemiento y l vlorción mínim de creditción de un signtur es de 70 (setent). Curso ordinrio Es en el que un signtur se curs por primer vez. Evlución de primer oportunidd Es l evlución sumtiv que se reliz por primer ocsión pr cd competenci específic y se en el curso ordinrio o de repetición, durnte el periodo plnedo. Evlución de segund oportunidd Es l evlución sumtiv de complementción, que cumple con l integrción de ls evidencis no presentds o incomplets en l evlución de primer oportunidd y se reliz l finlizr el curso, de cuerdo ls fechs progrmds por el docente. 154

155 Curso de repetición Se efectú cundo el estudinte no creditó l signtur en el curso ordinrio y se llev co con ls misms oportuniddes. Deerá cursrse de mner oligtori en el período posterior l que no creditó l signtur, siempre y cundo éste se oferte. No se tomrán en cuent ningun de ls competencis específics que el estudinte hy lcnzdo en el curso ordinrio. Si el estudinte no credit un signtur en curso de repetición, tendrá derecho cursrl por únic vez en un curso especil. Curso glol Se efectú cundo el estudinte solicit cursr un signtur y le permite creditr sin sistir regulrmente, convirtiéndose en un estudinte utodidct Procede pr el estudinte utodidct que hy cuierto con ls competencis previs estlecids en los progrms de estudio. Se podrá solicitr un curso glol de un signtur no creditd en el curso ordinrio, en el siguiente período cundo ést se oferte, considerándose como curso de repetición. El estudinte El estudinte de nuevo ingreso deerá cursr oligtorimente ls signturs que le signe el deprtmento correspondiente. Dee concluir el pln de estudios, incluyendo los periodos en que no se hy reinscrito, en un máximo de 1 (doce) periodos semestrles, considerndo que su crg cdémic deerá ser de créditos como mínimo y 6 como máximo. Tiene derecho drse de j prcil de lgun signtur. Dee presentrse en el lugr, fech y hor señld pr desrrollr l ctividd que gener l evidenci de un competenci de cuerdo l plneción del curso presentd por el docente, de no hcerlo se le consider competenci no lcnzd, slvo situciones justificds. Tiene un sol oportunidd de evlución de primer oportunidd pr l creditción de cd competenci en curso ordinrio o en repetición. 155

156 De no logrr Competenci lcnzd en l evlución de primer oportunidd tendrá derecho l evlución de segund oportunidd, excepción del estudinte que está en curso especil. Si en l segund oportunidd del curso ordinrio no prue el 100% de ls competencis, tiene derecho repetir l signtur en el periodo posterior en que se ofrezc. Puede cursr en repetición sólo un vez cd signtur y dee hcerlo en el período escolr inmedito en que se ofrezc ést, siempre y cundo se cuente con los recursos. El estudinte utodidct podrá cursr dos signturs en curso glol por periodo. El estudinte podrá solicitr hst dos cursos especiles por periodo, sin derecho cursr otrs signturs. El estudinte que solicite un sólo curso especil, podrá inscriirse hst con un crg de créditos. El estudinte que durnte su crrer cumule seis cursos especiles, cusrá j definitiv de los Institutos Tecnológicos dependientes de l Dirección Generl de Educción Superior Tecnológic. Bj definitiv de los Institutos Tecnológicos El estudinte no credite como mínimo tres signturs del primer semestre. No logre l creditción de un signtur en curso especil. Cundo hy gotdo los 1 (doce) periodos escolres semestrles permitidos como máximo pr concluir su pln de estudios. Contrveng ls disposiciones reglmentris lterndo el funcionmiento de l institución en precición de l utoridd competente. En cso de j definitiv, el estudinte podrá solicitr y reciir el certificdo prcil correspondiente ls signturs que hy cursdo. Bj temporl de los Institutos Tecnológicos Todo estudinte que hy cursdo l menos un semestre en el Instituto Tecnológico, tiene derecho solicitr j temporl en l totlidd de ls signturs en que esté inscrito, dentro de los 0 dís háiles prtir del inicio oficil de los cursos. Pr poder relizr este trámite, el estudinte mnifiest su determinción por escrito l Jefe de Deprtmento correspondiente. Un j temporl utorizd no registr clificción en ls signturs. 156

157 Bj prcil de los Institutos Tecnológicos Todo estudinte que hy cursdo l menos un semestre en el Instituto Tecnológico, tiene derecho solicitr j prcil en lguns signturs, durnte el trnscurso de 10 dís háiles prtir del inicio oficil de los cursos, respetndo siempre el criterio de crg mínim reglmentri ( créditos) y que no se el curso especil. Pr poder relizr este trámite, el estudinte mnifiest su determinción por escrito l Jefe de Deprtmento correspondiente. Un j prcil utorizd no registr clificción en ls signturs. 157

158 Modulo XIX - Técnics y háitos de estudio Qué es el prendizje? El prendizje es un función mentl trvés de l cul se dquieren, modificn y se mejorn conducts, vlores, conocimientos y hiliddes. Éste se dquiere por medio del estudio, l experienci y l instrucción. Durnte el proceso formtivo se pueden dquirir diferentes háitos, los cules deiern ser en pro de un eneficio, si se concientiz este hecho se pueden logrr spectos positivos y enéficos pr el estudio, por ejemplo designr un tiempo leer todos los dís. L motivción nos impuls comenzr y el háito nos permite continur (Jim Ryun) Comprensión-memorizción Es fundmentl que el lumno entiend l diferenci que existe entre comprensión y memorizción, y que en ocsiones se puede interpretr de mner erróne que el uen estudinte es quel que se todo de memori. L memorizción implic funciones de lmcenmiento de informción, recitr no signific que se hy comprendido l totlidd de los contenidos, est ctividd puede ser sencill pr lgunos estudintes no ostnte se sugiere que se utilicen otros niveles cognitivos superiores como es l comprensión. Comprender es entender en su máxim expresión el funcionmiento de ls coss, es un cción que se vive y se siente, el utilizr est función mpli l perspectiv que se tiene sore culquier fenómeno estudir, demás ument l cpcidd de memorizción. Pr el estudinte el recordr dtos es necesrio, pero si se comprende lo que se recuerd desrrollrá hiliddes superiores necesris que le hrán conquistr culquier áre del conocimiento. Con l finlidd de comprender culquier tem de estudio se dee tener en cuent lo siguiente: 158

159 ) Pre-lectur o lectur explortori: se leen los títulos y sutítulos pr tener un ide generl del texto. Se oserv cómo está orgnizdo, principlmente se identific el tem centrl de l lectur. ) Sury lo más significtivo: se puede hcer con lápices de colores, uno pr ides principles y otro pr ides secundris. c) Relizción de esquems: l form gráfic es un uen elemento pr recordr los contenidos. Los más frecuentes y funcionles son los mps mentles y los conceptules. Orgnizción en el estudio L orgnizción es un proceso sencillo que yud l concentrción y l prendizje. Ls siguientes sugerencis proponen l estudinte gilizr y sistemtizr el estudio, con l finlidd de hcerlo más sencillo y significtivo. 1.- Desyunr ntes de ir l escuel. El cuerpo necesit proteíns, crohidrtos y vitmins pr poder rendir durnte el dí. El desyuno es el limento más importnte del dí! Cundo el cuerpo no desyun o éste no tiene los nutrientes decudos, es difícil que se dé l concentrción en clses..- Escoger un lugr en el ul donde se pued ver y oír clrmente. Si el lumno no cuent con estos dos elementos, estrá más ocupdo en ver y oír que en l propi concentrción del tem..- Anotr ls ides principles de l clse. Esto puede ser en form de itácor, mps conceptules o mentles, se pueden utilizr ls notciones como un preámulo pr trjos finles o exámenes. Se sugiere que el estudinte note ls instrucciones del docente y que esto puede trer confusiones pr entregr trjos. 4.- No dude en preguntr. Si el lumno llegrá tener lgun dud no dee vcilr en preguntr, y que l pérdid de culquier dto puede trer consecuencis negtivs en los exámenes o tres. 5.- El uso de gend. En el ámito universitrio ls notciones se vuelven fundmentles, ls fechs de entreg de trjos, exposiciones, visos, los componentes de trjos cdémicos, etc. L orgnizción es importnte y que son vris signturs durnte un semestre, se sugiere no confir en l memori. 159

160 6.- Buens relciones. L comunicción proctiv con docentes y compñeros yud l desrrollo de ctividdes y gener rmoní en el ámito eductivo. 7.- Un lugr propicio pr estudir. Siempre hy un espcio fvorle pr el estudio, el ITSZ cuent con un iliotec, ls plps o un ul, l elección depende del nivel de concentrción que teng el estudinte con y sin sonidos externos. Se sugiere un lugr trnquilo. 8.- El uso de tiempo lire. El uso de esprcimiento durnte el dí se vuelve indispensle, y que l presión cdémic no fvorece l retención y comprensión de los tems, demás puede generr un sentimiento de desespernz y relcionrlo con l cpcidd intelectul. Ests son lguns sugerencis sencills que pueden ser utilizds en los momentos más convenientes pr el lumno. 160

161 Modulo XX - Formto APA Estilo APA L Americn Psychologicl Assocition (APA) es un orgnizción científic fundd en 189 por G. Stnley Hll. Hoy cuent con más de miemros. El Mnul de Pulicción de l APA fue credo en 199, inicilmente, con el nomre de Instrucciones relcionds con l preprción de trjos. Present un serie de recomendciones pr l preprción y presentción de trjos científicos, este estilo es uno de los más utilizdos por ls comuniddes científics. EI Instituto estlece este estilo pr l presentción de trjos finles en cd un de ls signturs, práctics finles y tesis. Es importnte mencionr que cd mestro elige l composición finl de trjos escolres, es decir l inclusión o l usenci de un hoj de presentción, introducción, justificción, desrrollo, conclusiones, etc. sin emrgo sí se solicit el uso decudo de l ortogrfí, redcción, cits de texto, tipo de letr, fundmento científico de l teorí y referencis iliográfics según el estilo APA. Por rzones ovis de espcio y tiempo, no se present en este trjo l totlidd del mnul APA, se introducirán lgunos componentes con l finlidd de que el estudinte conozc l generlidd de este estilo y que sig su proceso de uto-formción cdémic, no ostnte los elementos necesrios serán proporciondos l inicio del primer semestre. En los siguientes recudros se presentn tres ejemplos de referencis iliográfics más comunes. 161

162 APA Cittion Style Puliction Mnul of the Americn Psychologicl Assocition Liro Apellido del utor, com, espcio, inicil o iniciles del nomre seguids de punto, espcio, ño en préntesis, punto, espcio, título del liro (letr cursiv, myúscul l primer letr; excepciones: nomres propios, de congresos, seminrios), punto, espcio, ciudd (en cso de USA: ciudd, estdo revido; ejemplo: Boston, MA), dos puntos, espcio, editoril y punto. Jiménez, G. F. (1990). Introducción l Psicodignóstico de Rorschch y lámins proyectivs. Slmnc: Amrú Ediciones. Urdg, C., Mureir, F., Sntiñez, E. & Zuluet, J. (1990). Investigción en educción populr. Sntigo: CIDE. Artículo de revist Apellido del utor, com, espcio, inicil o iniciles del nomre seguids de punto, espcio, ño en préntesis, punto, espcio, título del rtículo (en letr norml), punto, espcio, nomre y tomo de l revist (en letr cursiv y números ráigos), com, págins seprds por guión en letr norml y punto. L primer letr de ls plrs principles (excepto rtículos, preposiciones, conjunciones) del título de l revist v en myúscul. Sprey, J. (1988). Current theorizing on the fmily: An pprisl. Journl of Mrrige nd the Fmily, 50, Amrosini, P. J., Metz & C., Binchi. (1991). Concurrent vlidity nd psychometric properties of the Beck Depression Inventory in outptients dolescents. Journl of Americn Acdemy of Child nd Adolescent Psychitry, 0,

163 Medios electrónicos Apellido del utor, com, espcio, inicil o iniciles del nomre seguids de punto, espcio, ño en préntesis, punto, espcio, título del rtículo (en letr norml), punto, espcio, nomre y tomo de l revist (en letr cursiv y números ráigos), com, págins seprds por guión en letr norml y punto. Extrído el dí y mes, com, espcio, ño, espcio, de, dos puntos, espcio, poner l págin y punto. Bigln, A. (00). The role of the community psychologist en the 1st century. Prevention & Tretment, 5, Extrído el 1 de Enero, de 00 de: http//journls.p.org.prevention/volume5/pre html. Pr myor informción se sugiere l siguiente págin L importnci de l ortogrfí L ortogrfí es el elemento que mntiene con myor firmez l unidd de un lengu, es el rtificio que se le d en este cso l espñol, si se representrá l escritur sin estos símolos con el pso del tiempo precerín grves prolems de comprensión que conducirín l incomunicción. L ortogrfí no es sólo un hecho estrictmente grmticl, sino que tmién oedece motivos clrmente extrlingüísticos y de met-comprensión, es decir que l puntución gener el nivel de rzonmiento decudo pr entender l expresión escrit y hld del otro. El uso de un correct ortogrfí incluye ls tildes ( ), puntos, coms, -v, s-c-z, h, m-mp, g-j, por mencionr lguns. Se sugiere l siguiente págin pr myor informción Componentes de un trjo cdémico L presentción de un trjo no es cto de improvisción los elementos o componentes son indispensles pr l exposición de culquier documento escrito, se requiere de un proceso de investigción ordendo, l finlidd: es trnsmitir l lector ls ides preconceids por el escritor y que se entiend, que logre entender los ojetivos, el discurso, los resultdos o ls conclusiones que el escritor pretende sen comprendids y entendids. 16

164 Durnte ls crrers en el ITSZ, se le requerirá l estudinte diversos escritos, como l investigción, ensyos, memoris, informes, etc. L composición de estos puede vrir dependiendo de ls mteris, del profesor y l finlidd del trjo, no ostnte cd uno de ellos deerá contener forms ásics pr logrr un nivel de clidd (Orelln, 006), esto no quiere decir que se limitrá l cretividd del estudinte. Es importnte tener en cuent que l informción de culquier trjo deerá estr ien fundmentd (pr su representción escrit consulte l Guí APA). Pr que l escritur se comprendid por otro es necesrio que el estudinte pong especil tención en l redcción, y que pr envir un mensje escrito se dee cuidr que l escritur se estructurd en form clr y correct, pr que el lector logre comprender l totlidd del mensje. A continución se le present l estudinte lgunos elementos ásicos que serán importntes seguir lo lrgo de su crrer. Prtes ásics del trjo Descripción Portd Índice Titulo, dee reflejr l descripción y núcleo centrl del trjo. Se indic l págin donde comienzn los cpítulos, epígrfes, módulos, etc. Introducción Desrrollo Se expone el propósito del trjo, el contexto en el que se llev co el tem, se coloc un síntesis del prolem, quí se explic un por qué y pr qué. Este es el prtdo donde se le motiv l lector leer el trjo. Es ásicmente l descripción teóric de l totlidd del trjo, quí se descrie el 164

165 fenómeno que se está estudindo o de lo que se está descriiendo. Conclusión El escritor plsm su punto de vist. Se reliz un cierre propido y eficz, se entrelz lo que se expuso en l introducción, el ojetivo y los tems que se ordron, finlmente que se puede decir de éstos; sin divgr en nuevs cuestiones. Se puede dejr en clro que el trjo re otros cuestionmientos pr retomr en un futuro. Cómo uscr informción con crcterístics científics Otro elemento importnte en l presentción de trjos cdémicos es l fundmentción teóric que representrá el trjo escrito, hor que el universitrio se encuentr en nivel superior deerá optr por l úsqued de informción científic, est indgción requiere de hiliddes y técnics específics, ls destrezs pr encontrr el contenido de un trjo se desrrolln con l práctic por lo que se le sugiere l estudinte pcienci pr encontrr rtículos, investigciones o informes decudos que poyen sus trjos cdémicos. El ojetivo es encontrr con precisión contenidos con elementos del conocimiento científico por lo que en l úsqued de trjos escritos, es importnte considerr l seriedd de estos, lguns crcterístics que pueden yudr l estudinte discernir el contenido son: informción ojetiv, fáctic, rcionl, contrstle, sistemátic, metódic, comunicle, nlític, generlizle, verificle, crític y universl. Otrs prticulriddes que se pueden oservr en los trjos de investigción son los componentes del formto: Fech 165

166 Titulo Autores Resumen/Astrct Introducción/Presentción Desrrollo/Contenido Método: éste precerá si es un investigción experimentl, hipotétic-deductiv, etc. y que sí utiliz el método descriptivo o nlítico no contendrá este elemento, no ostnte puede presentr informción teóric con l cul se puede fundmentr el trjo de investigción o guir en l úsqued. Resultdos Conclusiones/sugerencis Referencis iliográfics/biliogrfí Ce mencionr que estos prtdos pueden vrir dependiendo del formto de l revist o institución donde está siendo pulicdo. Pr fcilitr l síntesis y/o nálisis de los estudios y utilizr l informción en los escritos cdémicos del estudinte, se pueden hcer ls siguientes pregunts, ests pueden servir de guí: Qué es lo que se está investigndo Cómo lo está hciendo Dónde lo hicieron Quiénes son los prticipntes Cuáles fueron ls técnics A qué conclusiones llegron Cuál es su relevnci Cuál es su portción 166

167 El hecho de entrr l WEB no grntiz que l informción que rroje se científic y que se l decud pr el trjo escolr, considere ls terminciones con.org o.edu, lgunos formtos vienen en PDF, en estos csos se recomiend rirlos y que lgunos son pulicciones de universiddes, entre l págins científics sugerids l estudinte del ITSZ están ls especilizds en investigciones de ingenierí como: Redlyc y Concyt. 167

168 Modulo XXI - Tutorís Qué es l tutorí? El Sistem Ncionl de Educción Superior Tecnológic (SNEST) en el 006 diseñ l tutorí como un estrtegi eductiv y tiene los siguientes propósitos: contriuir l mejormiento del desempeño cdémico de los estudintes, codyuvr en el logro de su formción integrl con l prticipción de docentes y otrs instncis que puedn conducirlo superr los ostáculos que se presenten durnte su desrrollo como son: jos niveles de desempeño, repetición, rezgo y frcso estudintil, deserción, ndono y j eficienci terminl, e incidir en ls mets institucionles relcionds con l clidd eductiv, fvoreciendo con ello l eficienci terminl de los progrms eductivos (SNEST,01). L tutorí, como lo señl l UNESCO, comprende un conjunto de ctividdes que propicin situciones de prendizje y poyn el correcto desrrollo del proceso cdémico, l orientr y motivr los estudintes, pr que su vez desrrollen y concluyn eficzmente su propio proceso formtivo. Por su prte l ANUIES, (000) mencion que: L tutorí es un Acompñmiento personl y cdémico lo lrgo del proceso formtivo pr mejorr el rendimiento cdémico, fcilitr que el estudinte solucione sus prolems escolres, desrrolle háitos de estudio, trjo, reflexión y convivenci socil (SNEST, 01). Beneficios de l tutorí L tutorí poy los estudintes en l plnificción de un proyecto de vid que les permit tomr decisiones utónoms y responsles, sds en sus crcterístics y expecttivs personles prtir de los requerimientos de ls opciones cdémics y lorles que el contexto ofrece. El progrm de tutorís está diseñdo precismente pr yudr l estudinte superr los retos que pued encontrr en su proceso eductivo, que se evite en myor medid l deserción y l reproción, ést no es un ctividd isld sino que es un prte fundmentl en el proceso de formción. Se le sugiere l lumno provechr este servicio que ofrece el Instituto. 168

169 Funciones del Tutordo ) Prticip ctivmente en ls ctividdes que implique su tención tutoril. ) Identific sus necesiddes personles que requieren de l tención tutoril. c) Asiste ls reuniones que se convocdo por el Tutor. d) Recurre l Tutor pr efectos de solicitr tención tutoril y/o cundo se le solicite. e) Aport l informción que le se requerid por el Tutor pr fines de integrción del trjo de este. f) Reliz ls ctividdes que le sen sugerids por el Tutor pr dr tención sus necesiddes. g) D l importnci y respeto que merecen el PIT, el Tutor y el Tutordo. h) Prticip en el seguimiento cdémico que reliz el Tutor. i) Asume un ctitud responsle orientd hci l utoyud y prticip ctivmente en ls ctividdes que implique su tención tutoril. 169

170 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ayres, F. Moyer, R. E. (1970). Trigonometrí. Espñ: MC grw hill. Serie Schum. APA. (010). Formto de l Asocición Psicológic Mexicn. Online Writing University Online. L de l Purdue Bldor, A. (1995 ). Geometrí Pln y del Espcio y Trigonometrí. México: Culturl. Bldor, A. (005). Álger. México: Editoril Ptri. Culer, C. (004) Tller de ortogrfí y redcción ásic. Centro Ncionl de Investigción y Desrrollo Tecnológico. V1. Extrído el 5 de julio del 01 de: DGEST (010) Linemientos pr l evlución y creditción de signturs. Versión 1.0. págs. 19 González R. M. (008) Competencis genérics y formción profesionl: un nálisis desde l docenci universitri. Revist Ieromericn de Educción. Extrído el dí de julio del 01 de: González, C. R., González-Piend, J., Rodríguez, M. S., Nuñez, P. J. y Vlle, A. (005) Estrtegis y Técnics de Estudio: Estudinte estrtégico. Mdrid: Person. Instituto Tecnológico Superior de Zpopn. (01). Identidd. Extrido el dí 16 de julio del 01 de: Orelln, N. (006) Norms Básics pr l Elorción de Trjos. Universidd de Vlenci. Pp. 17 Sistem Integrl de Informción. Dirección Generl de Educción Superior Tecnológic/ Sistem Ncionl de Educción Superior Tecnológic. (011). Breve histori de los Institutos Tecnológicos de México. Extrído el dí 16 de julio del 01 de: Sistem Ncionl de Educción Superior Tecnológic (01) Mnul del tutor del SNEST. Swokowski, Erl & Cole. (1998). Álger y Trigonometrí con Geometrí Anlític. México: Thomson. (S.D.). L importnci de conocer el idiom inglés. (S.D.). Extrído el 5 de Julio del 01, de: Actividdes de inicición l vid universitri. (s. f.) Modulo: Prolemátic Universitri y Sociedd. [Folleto]. Luján, S., Montenegro, A., Ponti, L., Snchez, A., Svino, C., Vsquetto, R., y Vélez, G.: Autores. 170

171 ANEXOS Ruts de Trnsporte ITSZpopn 171

172 Croquis del ITSZpopn 17