TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES

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1 TEMA. LOS NÚMEROS REALES. Operciones con números nturles. Los números nturles son los que se utilizn pr contr 0,,,,,, Con los números nturles podemos relizr diferentes operciones, como - Sum + = 8 - Rest = (Atención pr poder restr números nturles, el minuendo h de ser myor o igul que el sustrendo) - Multiplicción = - División = (Atención Nunc se puede dividir entre 0 ) Actividd. Reliz ls siguientes operciones ) = b) = 8 c) = 0 d) = 8 e) = f) 8 = (clcul el cociente y el resto) c 8, r PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Siempre que tenemos operciones combinds de sums, rests, multiplicciones y divisiones, hy que relizrls en este orden º. Préntesis y corchetes siempre de dentro hci fuer. º. Multiplicción y división en el orden en que precen. º. Sum y rest en el orden en que precen. Vemos un ejemplo + [ (-)] = (primero hremos el préntesis de = ) = + [ ] = (hor el corchete. Pr ello hcemos ls multiplicciones primero) = + [0 8] = (continumos con l rest que hy dentro del corchete) = + = (l multiplicción) = + 8 = 8

2 Actividd. Reliz ls siguientes operciones ) + = 0 b) + 8 = c) + + = d) 0 + = e) + ( + ) + = f) 0 + ( - 8) = 0 g) + ( + ) + = 0 h) [( + ) ] = 8 i) (8 ) [ ( + )] =. Operciones con números enteros. Hy muchs ocsiones que no se pueden expresr utilizndo sólo los números nturles, sino que son necesrios otro tipo de números - Un scensor que bj l º sótno. - Un tempertur de º bjo cero. Pr expresr ests situciones se utilizn los números negtivos. Diremos - El scensor está en el piso -. - L tempertur es de º. Al conjunto de los números nturles con los signos + y delnte se les llm números enteros. Cundo tienen delnte el signo + se dice que son positivos y si tienen delnte el signo se dice que son negtivos. El 0 tmbién es un número entero que no se consider ni positivo ni negtivo. Cundo un número no tiene delnte ningún signo se consider positivo. Es lo mismo que +. Conjunto de números enteros = { -, -, -, -, -, 0,,,,,, } Actividd. Expres medinte números positivos o negtivos ls siguientes situciones ) Debo.000 b) Este mes he cobrdo c) metros bjo el nivel del mr. d) Hce 8 ños.

3 SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS Pr sumr y restr dos números enteros, primero quitremos los préntesis siguiendo l regl de los signos que tenemos en el siguiente prtdo. Cundo y tengmos quitdos los préntesis, sumremos y restremos de l siguiente form. Si los dos números tienen el mismo signo, se sumn y se dej ese signo en el resultdo. Ej ( ) + (+ ) = + + = + (+ ) = =. Si los números tienen distinto signo, se restn y se dej el signo del myor. Ej ( + ) ( ) = + = + Actividd. Reliz ls siguientes sums y rests ) + (-8) + (-) = b) + (-0) (-) = 8 c) (-8) + + (-) = - d) (-) ( + ) = - e) (- + ) + (-) = f) (-8 + ) + (-) = 0 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Pr multiplicr o dividir números enteros, primero hremos ls operciones con los signos, y luego con los números (sin signos). Regl de los signos + + = + + = + = = + Ej ( ) ( ) = + 8 (+ ) ( ) = ( ) (+ ) =

4 Actividd. Reliz ls siguientes operciones ) (-) = - b) (- + ) = - c) (- + ) = - d) (-) (-) = 0 e) (-) (-) = 0 f) (-) = -0 g) (-) (-) = 0 h) (-) = - i) = j) = k) (-) (-) = l) 0 (- + 0) = 0 m) (-0 + ) (-) = n) [ - 8 (-) ] = 0 o) [ - (-) ] (-) = - p) -(-) (-) (-) = 0 q) (-8) (-) = r) (-8) [ (-)] =. Operciones con frcciones. En l vid nos encontrmos muchs veces con situciones que no se resuelven con números enteros cundo tenemos que reprtir un pizz en porciones, cundo vmos l compr y no queremos Kg de jmón, sino sólo un prte de ese kg Pr expresr ests situciones necesitmos otro tipo de números los números frccionrios o los números decimles, que en relidd son dos forms distints de expresr l mism relidd. Un frcción es el resultdo de dividir l unidd en prtes. L frcción const de dos números b, dónde y b son números enteros, con b distinto de cero. Llmremos b denomindor y nos indic el número de prtes igules en ls que dividimos l unidd, y es el numerdor e indic cunts de ess prtes cogemos. Así l frcción signific que hemos dividido l unidd en prtes igules y hemos tomdo. Un frcción b tmbién puede indicr el resultdo de dividir entre b (b).

5 Dependiendo del denomindor, ls frcciones se leen uniddes (denomindor ), medios (), tercios (), curtos (), quintos (), sextos (), séptimos (), octvos (8), novenos (), décimos (0), etc A prtir del 0, podemos utilizr tmbién l nomencltur número + vos (dieciseisvos, docevos, etc ) PROPIEDADES ) b) 0 0 d) no existe b 0 FRACCIONES EQUIVALENTES Son ls que representn l mism prte de l unidd o el mismo número deciml. Así, l frcción es equivlente 0. Pr comprobr si dos frcciones son equivlentes, se multiplic en cruz. Ejemplo porque = = Pr clculr frcciones equivlentes un dd, multiplicmos o dividimos numerdor y denomindor por el mismo número. 8 Ejemplo... 0 Actividd. Busc tres frcciones equivlentes cd un de ls siguientes ) b) c)

6 Actividd. Comprueb si ls siguientes frcciones son equivlentes o no ) y no b) y si 0 8 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Se trt de conseguir un frcción equivlente con el numerdor y denomindor más pequeños posibles. Hy vris forms de conseguirlo. Un form es ir dividiendo numerdor y denomindor por el mismo número mientrs se pued. Ejemplo 8 (entre) 8 (entre) Otr form consiste en descomponer numerdor y denomindor en fctores primos y tchr los fctores repetidos. Ejemplo 0 0 Otr form es dividir numerdor y denomindor por el mcd de mbos. Cundo un frcción no se puede simplificr más diremos que es irreducible. Un frcción irreducible nunc puede tener el denomindor negtivo. Si se presentse ese cso, tomrímos como frcción irreducible sus equivlentes con denomindor positivo. Ejemplo y NOTA Culquier frcción de l form Culquier frcción de l form b b es equivlente l frcción b es equivlente l frcción b y b

7 Actividd 8. Hll l frcción irreducible ) b) c) d) 0 (/, /, -/, /0) 0 8 e ) f ) g) h) (-/8,/,-/, -/) 8 00 REDUCCIÓN DE FRACCIONES AL MISMO DENOMINADOR Pr reducir dos o más frcciones l mismo denomindor se hll el m.c.m. (mínimo común múltiplo) de los denomindores y se pone como denomindor de tods ls frcciones. Pr hllr el numerdor de cd frcción, se divide el m.c.m. por el denomindor que tení l frcción y el cociente obtenido se multiplic por el numerdor. Veámoslo con un ejemplo y.. Clculmos el mcm de los denomindores. Mcm (, ) =. Éste será el denomindor de ls frcciones resultntes, el nuevo denomindor común.. Pr clculr el nuevo numerdor de cd frcción, dividimos el denomindor común por el denomindor que tení y se multiplic por el numerdor. 0 8 y Actividd. Reduce denomindor común 0 ) y b) y y 0 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES. Si tienen el mismo denomindor, summos o restmos los numerdores y dejmos el mismo denomindor.

8 Ejemplos. 0 b Si tienen distinto denomindor, primero ls psremos denomindor común y luego procederemos como hemos visto nteriormente. Ejemplo Not Cundo en un operción con frcciones prezcn números enteros, pondremos éstos en form de frcción, poniéndoles un como denomindor. Ejemplo Actividd 0. Reliz ls siguientes operciones, simplificndo l frcción resultnte l máximo ) b) c) 8 d) 0 e) MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Pr multiplicr dos frcciones se multiplicn los numerdores por un prte y los denomindores por otr, siguiendo l siguiente regl Ejemplos b c d c b d ) b) 0 0 8

9 Actividd. Reliz ls siguientes operciones, simplificndo l frcción resultnte l máximo ) b) c) DIVISIÓN DE FRACCIONES Pr dividir, se multiplicn en cruz numerdores y denomindores, siguiendo l siguiente regl c b d d c b Ejemplo Actividd. Reliz ls siguientes operciones, simplificndo l frcción resultnte l máximo ) b) Actividd. Reliz ls siguientes operciones, simplificndo l frcción resultnte l máximo ) 8 b) 0 c) d)

10 NÚMERO DECIMAL Y NÚMERO FRACCIONARIO Hs visto que hy muchs situciones en l vid rel en ls que no tommos uniddes enters, sino sólo prte de ells. Ests situciones se expresn medinte los números frccionrios. Pero hy otr form de expresrls, que es utilizndo los números decimles. Un número deciml es un secuenci de cifrs seprds por un com. Const de - Prte enter ntes de l com - Prte frccionri después de l com Ejemplo, Pr escribir un frcción en form deciml se divide el numerdor entre el denomindor. Ejemplo 0, 8 Pueden drse los siguientes csos. El número deciml es excto (Al hcer l división lleg un momento en que el resto d 0). El número deciml es periódico (Nunc d 0 el resto de l división, y el cociente es un número deciml con infinits cifrs decimles que se repiten indefinidmente) Ejemplo 0,... A l cifr o cifrs que se repiten se les llm periodo y se escriben debjo de un rquito ( ˆ ) Ejemplo,8, Hy dos tipos de decimles periódicos Periódicos puros El periodo comienz detrás de l com. Periódicos mixtos Entre l com y el periodo hy un o vris cifrs decimles. Ejemplo, =,.. A ls cifrs que hy entre l com y el periodo se les llm nteperiodo. 0

11 Actividd. Escribe en form de número deciml ls siguientes frcciones ) b) c) d) e) f ) 0. Potencis POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL Un potenci es un expresión del tipo dónde es l bse y el exponente. Su significdo es el de multiplicr l bse por sí mism tnts veces como indique el exponente. = = 8 Cundo un número está elevdo exponente se dice que está elevdo l cudrdo y cundo tiene exponente, que está elevdo l cubo. Propieddes. Culquier número elevdo 0 siempre d. Ej 0 =. Culquier número elevdo es el mismo número. Ej = Actividd. Clcul ) = b) 0 = 000 c) = d) = Actividd. potenci Expres los siguientes números en form de ) 8 b) c) d) 000 (,,,0 ) POTENCIAS DE BASE NEGATIVA Al elevr un número negtivo un exponente pr el resultdo es un número positivo, y l elevrlo un exponente impr, el resultdo es negtivo.

12 Actividd. Clcul (, -000,, -) ) (-) b) (-0) c) (-) d) (-) POTENCIAS DE BASE FRACCIONARIA Pr elevr un frcción un exponente, se elevn por seprdo el numerdor y el denomindor dicho exponente. Actividd 8. Clcul (8/, /, /, /) ) b) c) d ) OPERACIONES CON POTENCIAS. Pr multiplicr potencis de l mism bse, dejmos l bse y summos los exponentes. Ej = 8. Pr dividir potencis de l mism bse, dejmos l bse y restmos los exponentes. Ej =. Pr clculr l potenci de un potenci, dejmos l bse y multiplicmos los exponentes. Ej ( ) =. Pr multiplicr potencis del mismo exponente, multiplicmos ls bses y dejmos el mismo exponente. Pr dividir potencis del mismo exponente, dividimos ls bses y dejmos igul el exponente. Ej = Actividd. Clcul expresndo el resultdo en form de potenci. 0 = b. 0 = c. ( ) = 8 d. = e. = f. ( ) 0 = g. = h. = i. (( ) ) = 0 j. ( ) = k. (0 ) 8 = 0

13 . Ríces A los números,,,, se les llm cudrdos perfectos porque son números de l form n. = = = =. Como es el cudrdo de, se puede decir tmbién que l ríz cudrd de es. El signo de l ríz cudrd es Así decimos que =. Sin embrgo, y hemos visto nteriormente que tmbién (-) =, luego, tmbién podemos decir que = -. Esto se expres sí Actividd 0. Clcul ls ríces cudrds, positivs y negtivs, de los siguientes números ) b) 8 c) d) 0