NÚMEROS REALES 1º Bachillerato CC. SS.

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1 Números Reles NÚMEROS REALES 1º Bchillerto CC. SS. Reles R Irrcionles I Enteros Rcionles Z Q Nturles Nturles N 1,,,... EnterosZ, 1, 0, 1,... Rcionles Q 7,, 6'... 5 N Irrcionles I π,, 7' Números Reles Números Rcionles. Representción Representr /5

2 Números Rcionles. Representción Números Rcionles. Representción Representr /5 Representr /5 Números Rcionles. Representción Números Rcionles. Representción Representr /5 Representr /5

3 Números Rcionles. Representción Representr rdicles Representr 17/5 Represent 5 5 = /5 17/5 18/5 19/5 5 Representr rdicles Representr números irrcionles Represent 10 Represent π 10 = + 1 [, 4] [ ' 1, ' ] 10 π 4 [ ' 14, ' 15] [ ' 141, ' 14]

4 Epresión proimd de un nº rel Representr números irrcionles Aproim = 1, Represent π Intervlos Semirrects y Entornos Intervlos Semirrects y Entornos Representr los vlores que cumplen que < 4 en l Rect Rel. A = [ 6, ] B = ( 4, 4] ( 0 5) C =, (, 4] ó ], 4] [ ) D =, + ( ) E =, F = (, 10]

5 Intervlos Semirrects y Entornos Intervlos Semirrects y Entornos Entornos ( ) ( ) E 1,, 4 1 < [ ] [ ] E 1, 4 5, Epresión proimd de un nº rel Aproim 7 =, Unidd Décim Centésim Milésim Defecto,6,64,645 Eceso,7,65,646 Redondeo,6,65,646 Error bsoluto Es l diferenci entre el número y su proimción en vlor bsoluto. = 1, Errores. Cálculo con proimciones E = Aproimción número Unidd Décim Centésim Milésim Aproimción 1 1,7 1,7 1,7 Error bs. 0, ,005 0,0005 0,00005

6 Error reltivo Es el cociente entre el error bsoluto y el. = 1, Errores. Cálculo con proimciones E r E = Número Unidd Décim Centésim Milésim Aproimción 1 1,7 1,7 1,7 Errores. Cálculo con proimciones El número π =, se h epresdo por ls frcciones según 55 7 Arquímedes y según Adrián Metius. Compr estos vlores con el vlor 11 verddero de π, y di cuál es el error bsoluto y reltivo. Arquímedes =, E =, , = = 0, Metius =, E =, , = = 0, Error bs. 0, ,005 0,0005 0,00005 Error reltivo 0,464 0, , , , Er = = 0, , , Er = = 0, , Potencis Eponente Entero Un potenci de eponente negtivo equivle un potenci con el mismo eponente en positivo cuy bse es el inverso de l bse inicil o un cociente con l bse en positivo en el denomindor. 1 1 n n = n = Ls potencis de eponente entero cumplen ls misms propieddes que ls potencis de eponente nturl. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS Potenci de un producto: Potenci de un cociente: Producto de potencis de l mism bse: Cociente de potencis de l mism bse: ( b ) n = n b n ( : b ) n = n : b n m n = m + n m : n = m n Ejemplo: = 5 = Potenci de un potenci: ( m ) n = m n

7 Potencis Eponente Entero Epres como un únic potenci: Simplificr: Potencis Eponente Entero ) f) b) 10 = ( 5) = 5 = ( ) c) d) = = ( ) ( ) 5 = = 1 5 = 8 e) Simplificr: Potencis Eponente Entero = = ( 5) ( ) 5 (5 ) = (5 ) 4 ( ) 5 ( 5) = = = = Notción Científic Un número escrito en notción científic const del producto de: Un número deciml comprendido entre 1 y 10. Un potenci de bse 10 y de eponente un número entero. Ejemplo. Los rdios proimdos del Sol y del átomo de hidrógeno son de y de 0, metros, respectivmente. Epres ests cntiddes de form más compct. Utilizndo l notción científic el rdio del Sol se escribe: 6, metros y el del átomo de hidrógeno se escribe: 5, metros.

8 Notción Científic Epres con tods ls cifrs: ) 6, b), c) 10 6 d) 5, e), f ) ) b) 0,0007 c) 0,00000 d) e) 0, f ) 0, Escribe en notción científic: ) b) 0, c) d) 0,00057 ) 4, 10 9 b) c) 8, d) 5, ( ) ( ) ' ' 1 10 = ' 7 5' 1 10 = 1' = 1' ( ) ( ) Notción Científic ' 7 10 : 5' 1 10 = ' 7 : 5' 1 10 = 0' = 4' ( ) ' ' 1 10 ' ' 1 10 ' 7 5' = + = + = = 54' = 5' Rdicles Se llm ríz de orden n de un número rel culquier otro número rel b que, elevdo l potenci n, nos d como resultdo. n n = b b = Un rdicl es l ríz indicd de un número: Propiedd fundmentl de los rdicles: 8, 10, 5... Si se multiplic o divide el índice de un rdicl y el eponente del rdicndo por un mismo número distinto de 0, se obtiene otro rdicl equivlente l primero, siempre que se tome el mismo signo pr ls ríces. 4 6 = = = 1 6 =... = 1, Dos rdicles son equivlentes si representn l mismo número rel. Potencis de Eponente Frccionrio Un rdicl se puede epresr como un potenci de bse el rdicndo y de eponente un frcción: m n m n = 6 Ejemplo: Investig si son equivlentes los rdicles 4 5, 15, = = 5 = 5 = = 5 = 5 = 5 Son equivlentes.

9 Potencis de Eponente Frccionrio Epres como potenci únic: ) b) 1 4 ) = = 1/ 1/ 5/ b) = = = = 1/ / / 4 1/ / 8 8 c ) = = = 1/ / 4 4 5/6 8 c) 4 Potencis de Eponente Frccionrio Epres como potenci únic: d) 8 d) e) = = 8 8/ / 1 1 = = / / 1 f 1 = 1 ) = = 1/ 1/ 1 1 e) f ) 1/ Propieddes de ls ríces Propieddes de ls ríces Producto: n n n b = b Potenci: m ( n ) = n m = = = 5 6 = 0 6 ( ) = = 8 Cociente: : b = : b n n n n n b = n b Ríz: n m = n m 6 : = 6 : = 15 : 5 = 15 : 5 = 6 = = 7 7 7

10 Ejemplos: 1) Clcul y simplific: Propieddes de ls ríces 4 : : 6 = 6 4 : 6 = 6 4 : = 6 = = = 6 ) Etre el máimo de fctores posibles del rdicl = 5 = 5 5 = 5 5 = 10 5 Propieddes de ls ríces Simplific los siguientes rdicles 6 5 = = 10 8 = 5 4 Propieddes de ls ríces Simplific los siguientes rdicles Operciones con Rdicles Etre fctores de los siguientes rdicles: 1 b = b = = 8 ( ) 4 y = y = y = = = 1 ( ) = = = = = = 75y 5 y 5y y

11 Operciones con Rdicles Introduce dentro de l ríz y simplific: = 4 = 4 = 4 = = 1 = = = 9 9 = = = 4 4 Dos rdicles se llmn semejntes si, un vez simplificdos, se escriben como números con l mism prte rdicl. Ejemplo: Oper y simplific = + = = + = + 6 = ( ) Rdicles semejntes = + 6 = 8 Sum: Operciones con Rdicles Sum: Operciones con Rdicles = + = = 1+ = = = = = = = ( ) = 7

12 Operciones con Rdicles Rcionlizción Rcionlizr un epresión frccionri con rdicles es encontrr otr epresión equivlente que no conteng ríces en el denomindor. Rcionliz los siguientes denomindores: Rcionlizción Rcionlizr un epresión frccionri con rdicles es encontrr otr epresión equivlente que no conteng ríces en el denomindor. Rcionliz los siguientes denomindores: Rcionlizción Rcionlizr un epresión frccionri con rdicles es encontrr otr epresión equivlente que no conteng ríces en el denomindor. Rcionliz los siguientes denomindores:

13 Si es un número rel positivo y distinto de 1, el logritmo en bse de un número N es el eponente l que hy que elevr l bse pr obtener dicho número. Ejemplo: Logritmos b log N = b = N log 8 = = 8 Logritmos log5 5 = porque 5 = 5 4 log = 4 porque 10 = log10 0,0001 = 4 porque 10 = 0,0001 log = porque = = 8 8 log = porque 5 = = Logritmos Propieddes de los logritmos Aplicndo l definición de logritmo, clcul en cd cso: 1 1 log ( ) = = = = = = log 16 = 16 = = 1 1 log = = = = 9 Logritmo de un producto: ( ) ( ) log 5 = log + log 5 log P Q = log P + log Q P Logritmo de un cociente: log = log P log Q log = log log 5 5 Q

14 Propieddes de los logritmos n Logritmo de un potenci: log P = n log P log 5 = log 5 Propieddes de los logritmos Clcul usndo l clculdor: log 5 0,69897 log 5 = = = 1, log 0, Cmbio de bse: log P = log log b b P log 7 log5 7 = = 1, log5 log 5 = log5 log log1 log7 1 = = 1, log 7 Propieddes de los logritmos Convierte l epresión lgebric tomndo logritmos. log A = log y z ( ) log A = log y log z log A = log + log y log z log A = log + log y log z A = y z Propieddes de los logritmos Elimin los logritmos de log B = log + 7 log y 5log z log B = log + log y log z 7 5 ( ) log B = log y log z y log B = log 5 z B = y 5 z 7

15 Propieddes de los logritmos Sbiendo que log 0,01 y que log 0,477, hllr: log8 log log 0,01 log 8 = = = = 1,89 log log log 0,477 Propieddes de los logritmos Sbiendo que log 0,01 y que log 0,477, hllr: 1 1 log 0,01 = log = log = = log = ( log1 log1000) = ( ( ) ) ( ) 1 1 = log = log + log 0,9605 Propieddes de los logritmos Tom logritmos en l epresión ( ) A = log ( ) ( A = log = ) = log = log = log log A = log