TEMA 3: ECUACIONES ECUACIONES DE 2º GRADO Las ecuaciones de 2º grado son de la forma ax 2 +bx+c=0 y su solución es:

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1 TEMA : ECUACIONES ECUACIONES DE º GRADO Ls ecuciones de º grdo son de l form +b+c=0 y su solución es: b b 4c Cundo b=o o c=0 son incomplets y se resuelven de l siguiente form. Cso b=0, por ejemplo: 6 7=0 (scmos fctor común l ) (6-7)=0 Cso c=0, por ejemplo: -7 =0 (Despejmos l ) 7 X = ; Ejercicio:. En un triángulo rectángulo, el ldo myor es cm más lrgo que el medino, el cul, su vez, es cm más lrgo que el pequeño. Cuánto miden los ldos? ECUACIONES BICUADRADAS Son ecuciones de 4º grdo sin términos de grdo impr, es decir, de l form: 4 +b +c=0 Pr resolverls relizmos el cmbio de vrible =t y de est form obtenemos un ecución de segundo grdo cuy incógnit es t. Un vez resuelt igulmos los resultdos y resolvemos. Vemos unos ejemplos: ) X =0 ( = t) t t +6=0 b) 4 7 =0 c) 4-6 = 0

2 ECUACIONES CON LA X EN EL DENOMINADOR Pr resolverls se clcul el m.c.m. de todos los denomindores, y un vez hn desprecido los denomindores se resuelve según l ecución obtenid. En este proceso pueden precer soluciones flss por lo que hemos de comprobr ls soluciones. Vemos un ejemplo: ECUACIONES CON RADICALES Son ecuciones en ls que l prece bjo un ríz cudrd. Pr resolverls se ísl l ríz, se elevn l cudrdo los dos miembros y se procede según l ecución obtenid. Al quitr l ríz se conservn ls soluciones de l ecución originl, pero se pueden colr soluciones que tenemos que rechzr. Por este motivo hemos de comprobr ls soluciones. Vemos unos ejemplos: ) 7 b) 4 6

3 ECUACIONES DEL TIPO ( )( ).( )=0 Pr que un producto de fctores se cero, bst con que lo se lgunos de sus fctores. Vemos un ejemplo: ) X(-)( -8)(-7)=0 b) - +4 =0 Scmos fctor común c) - -+ =0 descomponemos en fctores con Ruffini Ejercicios:. Invent un ecución cuys soluciones sen, -, y 0 ECUACIONES EXPONENCIALES Son quells que tienen l incógnit en el eponente, como por ejemplo: Pr resolverls epresmos cd miembro como un sol potenci, mbs de l mism bse e igulmos los eponentes. Un vez hecho esto resolvemos l ecución sí obtenid. Ejercicios:. Resolver ls siguientes ecuciones eponenciles: ) 0 b) 8 7 c) 7

4 d) 8 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Concepto de ritmo. Cundo me piden el ritmo en bse de b, que se epres pidiendo es un número que elevdo de cómo resultdo b. Por ejemplo: ) porque b) 7 49 b, lo que me están c) 000 d) e) f) En generl: Ejercicios: 4. Clcul los ritmos siguientes: ) 0,06 b) 0,04 c) d). Clcul l en ests epresiones rítmics ) 8 b c quiere decir que c b b) c) 7 d) 0,00 e)

5 Propieddes de los ritmos. º A. B A B A º A B B m º A m. A n 4º A. A n Ejercicios 6. Desrroll ls siguientes epresiones utilizndo ls propieddes de los ritmos: A.B ) C A. B b) C. y c) z 7. Clcul el vlor de ls siguientes epresiones: ) 4 6 b) 8. Sbiendo que 0, y que 0,48, clcul estos ritmos: ) 4 b) 0 c) 6 d) e) 4,4 0,0 f) 8 Ecuciones rítmics Son quells en ls que l incógnit est en un ritmo. Por ejemplo: ) 4 00 en este cso el objetivo es dejr mbos miembros con un solo ritmo.

6 b) en este cso el objetivo es dejr un ritmo en el primer miembro y un número en el segundo miembro. EN TODOS LOS CASOS HEMOS DE COMPROBAR LAS SOLUCIONES Ejercicios: 9. Resuelve ls siguientes ecuciones rítmics: ) 6 b) 9 c) EJERCICIOS. Resuelve ls siguientes ecuciones: ) (4 + )(4 ) 4( ) = b) + ( 4) = 7 + ( )( + ) : ) = b) = 0, = c) = d) =, =. Cómo se puede sber si un ecución de segundo grdo, + b + c = 0, tiene dos, un o ningun solución, sin resolverl?. Un de ls soluciones de l ecución + + k = 0 es. Clcul k y l otr solución. : L otr solución es, y k = 6.

7 4. Comprueb que ls ecuciones siguientes son de segundo grdo incomplets. Resuélvels sin plicr l fórmul generl. : ) = 0, = b) =, = c) = 0, = 0/ d) No tiene solución.. Averigu cuáles de ls siguientes ecuciones no tienen solución y cuáles tienen infinits soluciones. : ) No tiene solución. b) Tiene infinits soluciones. c) Tiene infinits soluciones. d) No tiene solución. 6. Resuelve ls siguientes ecuciones: : ) = 0 b) = 9/6 = c) No tiene solución. d) No tiene solución. e) = / 7. Resuelve. ) = 0 b) = 0 c) 4 4 = 0 d) 4 6 = 0 : ) =, =, =, 4 = b) =, =, = ½ 4 = -/ c) = ; = d) = = 8. Resuelve. ) = 0 b) 4 6 = 0 c) 4 = 0 d) = 0 e) ( + ) + 6 = ( + ) f ) ( + ) = ( + )( ) : ) =, =, =, 4 = b) =, = c) = 0, =, = 9. Resuelve. d) =, = e) =, =, =, 4 = f) = 0. : ) =. b) =, = /4 c) = d) =, = 0. Resuelve ls siguientes ecuciones: : ) =, = b) =, = / c) = 7/ d) =. Resuelve ls siguientes ecuciones: : ) =,489; =,8 b) = ; = 4/ c) = ; = -/

8 . Resuelve: : ) = b) = ; = 4 c) = 6; = -8/. Resuelve. : ) = b) = 9 c) = 0, = d) =, = 4. Dos de ls siguientes ecuciones no tienen solución. Averigu cuáles son y resuelve ls otrs. : ) No tiene solución. b) = 0, = c) No tiene solución. d) = /4 = ¼. Resuelve: : ) No tiene solución. b) = 4 c) = 4 d) = e) =. 6. Di cuáles son ls soluciones de ls siguientes ecuciones: ) ( )( ) = 0 b) ( )( + ) = 0 c) ( + )( 4) = 0 d) ( + 4) = 0 e) ( )( ) = 0 f) ( + + ) = 0 : ) =, = / b) = 0; = ; = c) = ; = ; = d) = 0 e) = ; = ; = f) = 0; = ; = 7. Escribe un ecución de segundo grdo cuys soluciones sen y /. 8. Descompón en fctores y resuelve. ) 4 = 0 b) + 6 = 0 c) + = 0 d) = 0 : ) = 0; = ; = b) = 0; = ; = c) = ; = ; = d) = (doble); = 9. Resuelve ests ecuciones : ) = b) = 0; = c) = d) = ; = 8 e) = ; = f) = ; = - 0. Resuelve ls siguientes ecuciones eponenciles: : ) = / b) = c) = d) = 4 e) = 4 f) = /4 g) = 9/ h) = i) =. Resuelve ests ecuciones eponenciles : ) = ± b) = 0 c) = -/ d) = ¼

9 . Resuelve ls siguientes ecuciones: : ) = b) =. Resuelve: : ) = b) = - c) = = 4. Resuelve: : ) = 4 b) = 7 = - c) = d) = e) = 4. Resuelve: : ) = -/4 b) = 4 c) = /4 d) = / 6. Resuelve: : ) = - b) = c) = 4 ; = - d) = 7. Resuelve: : ) = /8 b) = 8/9 c) - = 0 d) = e) = ; = -/ 8. Resuelve ls siguientes ecuciones: ) 4 c 64 : ) = -/ b) = 6 = 6 c) = 0 d) = 6 9. Aplic l definición de ritmo pr hllr, sin clculdor: ) 64 b) 6 c) /4 d) e) 8 f) / g) h) Aplic l definición de ritmo pr clculr en cd cso: ) ( ) = b) (,) = c) 4 = d) ( 8) = 0 : ) = b) = c) = d) = ±. Clcul l bse de los siguientes ritmos: ) b = b) b = c) b 4 = d) b = ½. Clcul l bse de los siguientes ritmos: ) b) c) d) e) 0,04 f ) Demuestr l siguientes igulddes plicndo ls propieddes de los ritmos: ) 6 ) b 4

10 4. Clcul, emplendo l definición de ritmo, el vlor de cd un de ls siguientes epresiones: ) b) 8 7 c) 6 4 : ) / b) 9 c). Clcul l en ls siguientes epresiones: ) 4 b) c) f ) 6 6 g) h) k) : 6. Resuelve ls siguientes ecuciones: ). 0 : 000 d) i) e) 8 ) b) c) d) e) Sin solución f ) g) h) 0, i) j) 8 k b). 9 c) i) d) e) 7 f ) : 0 0 g). :0 ; 0 h). 6 0 j) k) 8 : 0,000 : 7. 4 l) 7. Clcul el vlor de ests epresiones: : 9 ; : ; : :/ ; : : ; / 6 : ; j) ) 6 0 ) b) : ) 7/6 ; b) 9/6 8. Resuelve, tomndo ritmos, ests ecuciones: 4 : ),96 b),4 c),4 d),70.

11 9. Resuelve ls ecuciones: : ) = ; = b) = c) = 4 d) = Resuelve ls ecuciones: : ) = / b) = c) = 0 ; = 0 9/ d) = ; = e) = ; = 6 f) = e/ 4. Resuelve: : ) = 0; = ; = b) = ; = ; = ; 4 = c) = ; = d) = 4 e) = 6; = 4 f) = g) = ; = 4 h) = ; = / i) = 0; = ; = ; 4 = ½ j) = ; = k) = 0; = 4. Resuelve: Resuelve:. Resuelve: 4 AUTOEVALUACIÓN 4. Resuelve: 9. Resuelve: 6. Clcul l en cd cso: Resuelve: Resuelve l ecución: Resuelve l ecución: Resuelve l ecución:. Comprueb que: 4