Ecuaciones de Segundo Grado II

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1 Alumno: Fech:. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Ecuciones de Segundo Grdo II Nturlez de Ríces depende = b - 4c Discriminnte si Propieddes de ls Ríces sum b x x producto c x. x Formción de l Ecución se debe tener Sum = S S b Producto = P c P > 0 Ríces reles diferentes = 0 Ríces igules < 0 Ríces complejs y conjugds > 0 Ríces reles Diferenci x x donde x Sx + P = 0 x x x = x x = m + ni x = m ni m; n R demás: i

2 Observciones Ríces Simétrics u Opuests Ríces Recíprocs o Inverss Ecuciones Cudrátics Equivlentes si si si ls ecuciones Un ríz es: x = m, l otr es: x = -m Un ríz es: x = m, l otr es: x m x + bx + c = 0 ; 0 mx + nx + p = 0 ; m 0 se cumple se cumple tienen x + x = 0 x x = Ls misms ríces o soluciones se cumple b c m n p Ejercicios Resueltos. Ejemplo: En l ecución x + 6x + 5 = 0 Clculemos el DISCRIMINANTE: = b 4c = (6) 4()(5) = 6, es decir > 0 b Por l fórmul Generl: x 6 6 x () De donde: x ; x 5 es decir C.S. = {-; -5} ríces reles y diferentes!.. Ejemplo: En l ecución x 4x + 49 = 0 Clculmos el DISCRIMINANTE: = b 4c = (-4) 4()(49) = = 0, entonces ls ríces son reles e igules. Comprobemos: L ecución dd tmbién se escribe sí: (x - 7) = 0 ó (x - 7)(x - 7) = 0

3 Igulndo cd fctor CERO: x 7 = 0 x = 7 x 7 = 0 x = 7 entonces: C.S. = {7; 7} 3. Ejemplo: En l ecución x 6x + 5 = 0 Los coeficientes son: = ; b = -6; c = 5 El DISCRIMINANTE es: = b 4c = (-6) 4()(5) = -, es decir < 0 Lo que signific que ls ríces no son reles, sino COMPLEJAS Y CONJUGADAS. 4. Ejemplo: Indicr l sum y producto de ríces de: x + 5x + 3 = 0 Solución: Identificmos: = ; b = 5; c = 3 b Entonces: S sum de ríces 5 S 5 c P producto de ríces 3 P 3 5. Ejemplo: Formr l ecución de segundo grdo si se tienen ls ríces x = ; x = -3. Solución: Sbemos: S = x + x = 3 = - P = x x = ()(-3) = -6 entonces de l ecución: x Sx + P = 0 x (-)x + (-6) = 0 x + x 6 = 0 Ecución de º Grdo 6. Ejemplo: Hllr ls ríces de l ecución e indicr que tipo de ríces tiene: x 00 = 0 Solución: Fctorizndo (x + 0) (x - 0) = 0 x = -0 x = 0 Son simétricos EJERCICIOS DE APLICACIÓN. Indicr l sum y producto de ríces de cd un de ls ecuciones: ) x + x + = 0 b) x + x + = 0 c) 5x + x + 3 = 0 d) 7x + x = 0 e) 3x x + 5 = 0 f) x + 8x + 9 = 0. Indicr de que nturlez son ls ríces de ls ecuciones siguientes: ) x + x + = 0 b) x + = 0 c) x + 5x + = 0 d) x = 0 e) x x + = 0

4 f) 5x + 3x + = 0 8. Si l ecución: (b + 5)x + 3bx + b = 0 present ríces igules. Hllr: b ) 0 b) - c) 4 d) 8 e) 6 g) 7x + 4x = 0 h) x + 3x 3 = 0 3. Si: x y x son ls ríces de l ecución: x + 5x + = 0 Indicr el vlor de: E = (x + x ) x x ) 0 b) c) 3 d) 4 e) 5 4. Hllr m, si l sum de ríces de l ecución es 0. (m - )x (m + 5)x + 8 = 0 ) 5 b) 5/9 c) 9/5 d) /4 e) N.A. 5. Dd l ecución: 9x + 5x + = 0 con ríces x y x ; clculr k. Si: 3(x x ) k-4 = ) 9/ b) 7/ c) 5/ d) 4 e) 9 6. En l ecución 3x + x + 6 = 0, pr qué vlor de ls ríces serán igules? (Ríz doble) ) ± b) ± c) ±3 d) ±4 e) N.A. 7. Si un de ls ríces de l ecución: x + ( + 3)x + + = 0 es (-6), entonces l otr ríz es: ) - b) - c) -3 d) -4 e) N.A. 9. Si l ecución: x + 3x + 6k = 0 no tiene solución rel, entonces se cumple: ) k b) k c) k d) k 4 e) N.A. 0. Indique los vlores de k si en l ecución: x (k + )x + k + = 0 su discriminnte es igul l sum de sus ríces. ) ; b) - ; / c) ; - d) -/ ; e) - ; -. Formr ls ecuciones de º grdo prtir de ls ríces x y x. ) x = 3 ; x = b) x = 5 ; x = - c) x = -3 ; x = -4 d) x = - ; x = e) x 3 ; x 3 f) x 3 ; x 3. Sen ls ecuciones equivlentes:

5 x + x + 5 = 0.. (I) 3x + x + b = 0.. (II) Indicr:. b ) 45/3 b) 30 c) 35 d) /3 e) 5/3 3. Clculr /b, si ls ecuciones: x (8b - 3)x + 8 = 0 x + (b + 5)x + 6 = 0 son equivlentes (tienen ls misms ríces). se igul l producto de ls misms. (k < 0) ) -3 b) - c) 0 d) - e) N.A. 5. Hllr el vlor de k en l ecución: (k - )x 5x + 3k 7 = 0 pr que un de ls ríces de l ecución se l invers multiplictiv de l otr. ) b) c) 3 d) 4 e) 6 ) b) 6 9 d) e) 3 c) 9 4. Hllr el vlor de k que hce l sum de ls ríces de l ecución: x + kx + x k + 4 = 0. Hllr el vlor de de modo que ls ríces de l ecución: x ( 3)x 0 se difieren en 5. 4 ) 5/3 b) 7/3 c) 0/3 d) 5/6 e) 0/3. Indicr l sum de ls ríces que verificn l ecución: x 6x 9 4 x 6x 6 c) x Mx + = 0 4. Sen S y P l sum y el producto de ríces de l ecución de incógnit x : (k - )(x x) = -(k + ) Si: S < P; son números consecutivos. Hllr k en función de. ) b) c) 3 d) 3 e) ) b) 6 c) 5 d) 8 e) 3 3. Formr l ecución de segundo grdo, si tiene por ríces: M M 5. Los límites hci los que tienden ls ríces de l ecución: ( - )x (7 - )x + 6 = 0 cundo crece indefinidmente. ) y 6 b) y 3 c) y 3 d) y 6 e) N.A. ) x Mx + = 0 d) x Mx + = 0 b) x 4Mx + = 0 e) x Mx + = 0

6 n n 3 6. Siendo: ; el conjunto solución n n de l ecución cudrátic en x : x + bx + 4c = 0 ( 0) b 4c Clculr el vlor de: L ( b c) 7. Sbiendo que x x son ls ríces de l ecución: x 5x + = 0 x x Reducir: N 4 4 x x x x TAREA DOMICILIARIA Nº 5. Indicr l sum y producto de ríces de cd un de ls ecuciones: ) x + 3x + = 0 d) x + 5x + = 0 b) x + 5x + = 0 e) x + 7x + 6 = 0 c) 3x + 4x + = 0. Indicr de que nturlez son ls ríces de ls ecuciones siguientes: ) x x + = 0 e) 5x + x + = 0 b) x + x + = 0 f) x 5 = 0 c) x + 5x + = 0 g) x + 3x = 0 d) x 7x + = 0 h) 3x 7x + = 0 3. Siendo x y x son ls ríces de l ecución: x + 4x + = 0 x Indicr el vlor de: x A 3xx ) 4/3 b) -4/3 c) /3 d) -/3 e) -3/4 4. Se x y x ríces de l ecución: x + x + = 0 ( x Indicr: x ) xx 3x x ) 4 b) - c) 3 d) e) 5. Hllr k, si l sum de ríces de l ecución es 0. ) 3 d) 9 (k - 3)x (k + 4)x + 30 = 0 67 b) 9 9 e) 9 c) 6. Indicr el vlor de m si el producto de ríces es igul l sum de ls misms en l ecución: (m + 4)x mx + 3m + = 0 ) / b) -/3 c) /3 d) /3 e) -/ 7. Hllr m, si l ecución present ríz doble. x (m + )x + 5 = 0 ) b) c) 3 d) 9 e) 0 8. Hllr m, si l sum de ríces de l ecución es 8. (m + )x (7m + 6)x + 4m + 5 = 0 ) - b) - c) -6 d) -0 e) - 9. Hllr m, si el producto de ríces es 6. (m + )x (m + 5)x + 0m + 4 = 0 ) - b) - c) -3 d) -4 e) Hllr m, si l ecución tiene por ríz l unidd, m > 0. 4x 4x + m m = 0 ) b) c) 3 d) 4 e) 6. Dds ls ecuciones: mx + 5x + 0 = 0..(I) x + nx + = 0..(II) Equivlentes (tienen ls misms ríces) Indicr el vlor de: E = m + n ) 0 b) -0 c) - d) e) 3. Indicr el vlor de p si un de ls ríces es l invers multiplictiv de l otr. (p + )x 3x + p + = 0 ) - b) c) d) 3 e) 4 3. Hllr si l ecución present ríces simétrics: x + ( )x + + b = 0 Siendo: b > 5

7 ) b) 3 c) 4 d) - e) 4. Se l ecución: 5x x + 3 = 0 Donde: x y x son sus ríces Clculr: M = ( + x ) ( + x ) ) b) c) 3 d) 4 e) 5 5. Formr ls ecuciones de º Grdo prtir de ls ríces dds x y x. ) x = - x = - b) x = 3 x = 4 c) x = 5 x = 3 d) x = x = 3 e) x = 3 x = 3 f) x = 6 x = -