TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES

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1 TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES 4.. CONCEPTO DE FUNCIÓN Ls funciones que hbitulmente utilizmos son funciones reles de vrible rel. f es un función de R en R si cd número rel Dom, le hce corresponder otro número rel, f(). Dom R Dom R f () El conjunto Dom de los vlores que puede tomr l vrible independiente,, se llm dominio de l función. El conjunto de los vlores que tom l función se llm recorrido. Destquemos que cd vlor de Dom, l función le sign un único vlor f(): f() es único pr cd Dom Puesto que tnto l vrible como l función f() tomn vlores reles, ests funciones se llmn funciones reles de vrible rel. De ls dos siguientes gráfics, l de l izquierd es un función porque cd vlor de le corresponde uno (o ninguno) de y. Sin embrgo, l gráfic de l derech no es un función, pues hy vlores de los que corresponden más de un vlor de y.

2 Cundo queremos estudir funciones lguns curvs como l que tenemos más bjo, ls descompondremos en dos, de modo que cd un de ells cumpl l condición requerid: cd vlor de le corresponde un único vlor de y. 4.. DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN Se llm dominio de definición de un función f, y se design Dom(f) o, simplemente, Dom, l conjunto de vlores de pr los cules eiste l función, es decir, pr los que hy un f(). Rzones por ls que el dominio de definición puede restringirse Imposibilidd de relizr lgun operción con ciertos vlores de, por ejemplo: Denomindores que se nuln. Ríces cudrds de números negtivos. Conteto rel del que se h etrído l función. Por voluntd de quien propone l función. Ejm : Clcul el dominio de l siguiente función: f ( ) ± Igulmos cero el denomindor: 5 ± ± Por tnto, pr y, l función no tom ningún vlor; esto es; ( ) ( ) + 4 f ( ) + 5 ( ) ( ) ( ) + 5 f ( ) ( ) Porque 4 y 5 no eisten. En definitiv, ( f ) R {, } Dom. Ejm : Considermos l función ( ) + 4 f pr (,6)

3 Ejm : Clcul el dominio de l siguiente función: f ( ) + L ríz cudrd solo se puede clculr pr vlores positivos, entonces se debe cumplir Si resolvemos est inecución, igulmos cero l ecución de segundo grdo.. Y obtenemos dos soluciones y. - 4 > (, ) ( ) (, ) < (, + ) 4 > Por tnto, el dominio de l función es: Dom ( f ) (, ) (, + ) Ejm 4: El áre de un cudrdo es un función rel de vrible rel; f ( ), es evidente, que los vlores que puede tomr el ldo de un cudrdo serán siempre positivos, luego Dom f,+ ( ) ( ) Ejercicios.- Clcul el dominio de ls siguientes funciones:. f ( ) + + d. f ( ) g. f ( ) b. f ( ) + e. f ( ) h. f ( ) + 4 c. f ( ) f. f ( ) i. f ( ) FUNCIONES LINEALES L función polinómic de primer grdo o función linel f ( ) m + n ó y m + n, se represent medinte un rect de pendiente m que ps por el punto (, n), l n se llm ordend en el origen. Pendiente de un rect es l vrición (umento o disminución) que se produce en l vrible dependiente y cundo l vrible independiente ument. En un ecución linel, l pendiente de l rect es el coeficiente que compñ l cundo se despej l y. Si conocemos ls coordends de dos puntos de l rect, P (, y ), Q (, y ), pr hllr l pendiente procedemos sí: y y y y es l vrición de l y m es l vrición de l

4 IMPORTANTE: Dos rects son prlels si tienen l mism pendiente. Ejm : Escribe l ecución de l rect que ps por (, 5) y tiene pendiente -. y + 5 Ejm : Clcul l pendiente, l ordend en el origen o l ecución de l rect en los siguientes csos:. y 5 b. Rect que ps por (5, ) y (6, 4). c. Rect que ps por (, 5) y tiene pendiente -.. L pendiente vle 5 y l ordend en el origen -. 4 b. m, l pendiente vle. L ecución de l rect serí y + n, 6 5 sustituimos en culquier de los dos puntos que por pertenecer l rect verificn su ecución, esto es; (5, ) 5, y, 5 + n; + n; despejndo n - 8 Por tnto, l ecución de l rect es y 8. c. L ecución de l rect serí y - + n, sustituimos en el punto (, 5); esto es,, y n ; 5 + n n 7 Por tnto, l ecución de l rect serí y

5 f? Clculmos los vlores de l función en los etremos del intervlo, es decir, f ( ) 5 5 ; f ( 5) Ejm : Cómo se represent l función ( ) 5, [,5] Ejm 4: Escribir l ecución de ls rects representds en l gráfic L rect ps por los puntos (, 4) y (, 5). Los dos puntos deben stisfcer l ecución de l rect y m + n ; esto es, 4 m + n resolvemos 5 m + n 4 n el sistem de ecuciones lineles 5 m + n 5 m m m m Por tnto, l función linel será f ( ) + 4. L rect b ps por los puntos (, ) y (, ). Al `psr por el origen de coordends l función linel tiene l epresión f ( ) m ; como el punto pertenece l rect verific su ecución, y, por tnto, m m Luego l ecución de l función linel será f ( ). 5

6 L rect c ps por los puntos (5, ) y (, 7). Teniendo dos puntos podemos clculr l pendiente de l rect, de mner que: m 5 4 Por tnto, l ecución de l rect será y + n, sustituyendo culquier de los dos puntos que verificn dich ecución, de mner que 4 9 n 5 + n n n 8 8 n n 4 8 En definitiv, l ecución vendrá dd por f ( ) +. Ejercicios.-. Di cuál es l pendiente de cd un de ls funciones lineles:. f ( ) 5 c. f ( ) + b. + y 5 d. f ( ) 5. Escribe ls ecuciones de ls siguientes rects:. Ps por (, 5) y (, ) b. Ps por ( 7, ) y su pendiente es,75. c. Cort los ejes en los puntos ( 5, ) y (, 5). d. Es prlel l rect y + y ps por (, ).. Elige dos puntos en cd un de ests rects y escribe su ecución: 6

7 4.4. FUNCIONES CUADRÁTICAS Ls funciones polinómics de segundo grdo o funciones cudrátics, f ( ) + b + c,, se representn medinte prábols. Tienen sus ejes prlelos l eje Y. Ls forms de ess prábols (que sus rms estén hci rrib o hci bjo, que sen más o menos nchs ) dependen, eclusivmente, del vlor de. o Si dos funciones cudrátics tienen el mismo vlor de (el mismo coeficiente de ), ls prábols correspondientes son idéntics, unque estén situds en posiciones distints. o Si >, ls rms hci rrib, y si <, hci bjo. o Cunto myor se el vlor bsoluto de,, más estilizd es l prábol. b L bscis del vértice de l prábol es. Los puntos de corte con los ejes son: o (, c) el punto de corte con el eje Y o Los puntos de corte con el eje X son ls soluciones de l ecución de segundo grdo f() ; esto es, + b + c Ejm: Representr ls siguientes prábols: ) f ( ) b) f ( ) ), b 4 y c 6 Como >, l prábol está orientd hci rrib. 4 L bscis del vértice es, y, su ordend será f ( ) f () Por tnto, ls coordends del vértice son (, ). El punto de corte con el eje Y es (, 6) y los puntos de corte del eje X son ls soluciones de l ecución de segundo grdo, 4 ± ( 4) ± ± No tiene solución rel, luego no tiene puntos de corte con el eje X. Como solo tenemos dos puntos y un prábol se determin con tres, entonces clculmos un tercer vlor, por ejemplo: 7

8 f (4) 4 y b), b 8 y c 4 Como <, l prábol está orientd hci bjo. 8 L bscis del vértice es, y, su ordend será ( ) ( ) + 8 ( ) f ( ) f ().Por tnto, ls coordends del vértice son (, ). El punto de corte con el eje Y es (, 4 ) y los puntos de corte del eje X son ls soluciones de l ecución de segundo grdo, 8 ± ( ) ( 4) ( ) 8 + 9,798,798,45 8 ± 96 8 ± 9, ,798 7,798 4, Luego los puntos de corte con el eje X, son (,45, ) y (4,45, ),45 4,45 y ±

9 Ejm: Represent l función f ( ) 6 +, [,5) Como >, l prábol está orientd hci rrib. 6 L bscis del vértice es, y, su ordend será f ( ) f () Por tnto, ls coordends del vértice son (, 8). Y clculmos los vlores de l prábol en los etremos del intervlo; esto es, f () f (5) 5 y Ejm: Los costes de producción (en euros) de un empres vienen ddos por f ( ) ( uniddes producids). El precio de vent de cd unidd es de 5. ) Epres en función de el beneficio de l empres y represéntlo gráficmente. b) Cuánts uniddes hy que producir pr que el beneficio se máimo? ) B ( ) 5 f ( ) Como es un función cudrátic, y el coeficiente <, l prábol est orientd hci bjo - Clculmos su vértice 5 5 y l ordend f (5) ( ) Por tnto, ls coordends del vértice son (5, 5) - El punto de corte con el eje Y es (, 4), y los puntos de corte con el eje X son ls soluciones l ecución de segundo grdo: 4 ( ) ( 4) ( ) 5 ± ± ± 9 5 ± 5 4 Los puntos de corte serán (, ) y (4, ). 9

10 b)el máimo vlor, l ser un prábol, se lcnz en el vértice. Por tnto, el beneficio máimo serán 5 y se lcnz cundo se producen 5 uniddes. Ejercicios:-. Represent ls siguientes funciones cudrátics, hllndo previmente el vértice, los puntos de corte con los ejes y lgún punto próimo l vértice:. f ( ),5 c. f ( ) + b. f ( ) + + d. f ( ) Los gstos fijos de un empres por l fbricción de televisores siguen l función G( ) + 5, en euros, y los ingresos mensules son I 6,, tmbién en euros. Cuántos televisores deben fbricrse pr que el beneficio (ingresos menos gstos) se máimo?. Un pelot es lnzd verticlmente hci rrib desde lo lto de un edificio. L ltur viene dd por l función f ( ) ( en segundos y f() en metros). Dibuj l gráfic en el intervlo [, 5]. b. Hll l ltur del edificio en el instnte sg. c. En qué instnte lcnz l máim ltur? 4. El coste de producción de uniddes de un producto es igul C ( ) euros y el precio de vent de un unidd es P( ) Escribe l función que nos d el beneficio totl si se venden ls uniddes producids. b. Hll el número de uniddes que deben venderse pr que el beneficio se máimo. Not.- Los ingresos por l vent de uniddes son 5 4

11 4.5. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA k Se llmn funciones de proporcionlidd invers quells cuy ecución es f ( ). Sus R ó,, +. gráfics son hipérbols. Su dominio de definición es { } ( ) ( ) Recordemos que cd hipérbol se ciñe un pr de rects llmds síntots. Pues bien, en ls funciones de proporcionlidd invers ls síntots son los ejes de coordends, esto es; e y. + b Tmbién son hipérbols ls gráfics de ls funciones f ( ). c + d 4.6. FUNCIONES RADICALES L función f ) +,+ y pr representrl tenemos en cuent que ps por (, ); (, ); (4, ); (9, ); (6, 4); Ls siguientes funciones son de l mism fmili: (. Su dominio de definición es [ ) Ejercicios.-. Dos de ests gráfics no son funciones. Di cuáles son y soci cd un de ls otrs cutro l epresión nlític que ele correspond.. f ( ) + c. h( ),5 b. g ( ) d. j ( ) 4

12 . Asoci cd de ls gráfics un de ls siguientes epresiones nlítics:. f ( ) + c. h ( ) + b. g ( ) ( + ) d. j ( ) + +

13 . Represent ls siguientes funciones:. f ( ) c. f ( ) + b. f ( ) + d. f ( ) FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Ls epresiones nlítics de l siguiente función son muy peculires: f ( ) > Requieren de vris fórmuls, cd un de ls cules rige el comportmiento de l función en un cierto trmo. Pr representr l primer, procedemos del siguiente modo: ) Representmos l función f ( ) hst l bscis. b) Representmos l función f ( ) desde en delnte. c) Tenemos en cuent que en solo es válido el punto correspondiente l primer rm (el signo igul de l epresión sirve pr incluir dicho vlor). Por tnto, ecluimos con un circulito el punto de l otr rm. En definitiv, ls representciones de ls funciones definids trozos son fáciles si sbemos representr cd uno de los trmos y se prest tención su comportmiento en los puntos de emplme. Ejm: Representr l siguiente función: f ( ) + + < < 4 4 ) Representmos f ( ) + + y nos quedmos con el trozo que hy hst. Ddo que es un prábol, necesitremos tres vlores pr determinr su gráfic: y 4

14 b) Representmos f ( ) entre y 4, pero como ls desigulddes son estricts en los dos etremos, pondremos un circulito en mbos puntos. 4 y c) Representmos f ( ) desde 4. Como es un función linel, solo debemos clculr dos vlores, incluyendo siempre el etremo inferior del intervlo, es decir, d) Finlmente, observmos los puntos de emplme. En ese cso, cd dos trmos emplmn de form continu. Quedndo l curv de l siguiente form: Ejercicios.- Represent gráficmente ls siguientes funciones:. si < f ( ) si < 4 si 4 b. + 6 si < f ( ) + si > c. si f ( ) si < < si d. f ( ) + si < si 4

15 FUNCIONES EXPONENCIALES Se un número rel positivo no nulo y distinto de. Se llm función eponencil rel de bse, l función f : R R f ( ) Ls funciones eponenciles más importntes, son quélls que tienen como bse:, e. Se escribe entonces, f ( ) ó f ( ) e. Propieddes +. f ( + ) f ( ) f ( ) ; esto es,. f ( ). f ( ) 4. f ( ) >, es decir, l función eponencil es siempre positiv y esto es consecuenci de l definición de potenci de eponente rel. 5. L función eponencil rel es siempre estrictmente creciente o decreciente.. Si < < l función es estrictmente decreciente b. Si > l función es estrictmente creciente 6. Si considermos l convergenci se tiene. < < lim f ( ) b. n lim f ( ) n > < < > De quí se deduce que l función eponencil no está cotd superiormente, pero sí inferiormente por que es su etremo inferior. 7. L función eponencil es continu en todo R. 8. El dominio de l función eponencil es R, y su recorrido (, + ) 5

16 FUNCIONES LOGARÍTMICAS Se un número rel positivo tl que >. Se llm función logrítmic rel de bse, l función L función y f : R R f ( ) log, > es l función recíproc de l función logrítmic, ddo que log y y Que es precismente l relción que define el logritmo de un número. Si cmbimos ls vribles, como se hce normlmente pr obtener l función recíproc, se tiene que: y y log Est equivlenci trduce tod propiedd logrítmic propieddes eponenciles y, recíprocmente. Ls gráfics de ests funciones son simétrics respecto de l bisectriz del primer y tercer cudrnte. Por otr prte, dd l iguldd log log Tenemos que ests dos funciones son opuests, de mner que conocid l gráfic de y log, l gráfic de y es simétric respecto del eje OX. Tmbién log podemos considerr est función como recíproc de l función eponencil y. 6

17 Propieddes log log. ( ) + log. log. log 4. Si < < entonces log > pr < log < pr > Si > entonces log < pr < log > pr > 5. Si < < entonces l función es estrictmente decreciente Si > entonces l función es estrictmente creciente 6. L función logrítmic no está cotd ni superior ni inferiormente. 7. L función logrítmic es continu en todo su dominio. 8. En cunto l convergenci, se tiene: < < limlog + + limlog + > limlog + limlog El dominio de l función logrítmic es (, + ), y su recorrido R. 7