TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS

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1 TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Ejercicio: º) Resuelve ls siguientes ecuciones plicndo ls propieddes de ls potencis:. = = = 0. + = = 6. = 6. = = 7. = 0,5 8. = = = 000 En un cultivo de bcteris un ejemplr se divide en dos individuos proimdmente cd dí. Si queremos verigur l poblción l cbo de dos dís, o después de un mes, tendremos que clculr: 0 9 = individuos l cbo de dos dís, =,077 0 individuos l cbo de un mes. L relción entre el nº de individuos y los dís trnscurridos es un función dd por un potenci de bse. Conocemos ls funciones del tipo n f() = llmds funciones potenciles porque l vrible independiente está fectd por un potenci. Tmbién podemos intentr definir funciones en ls que l vrible independiente esté en el eponente, como. L función que sign l vrible independiente el vlor f ( ) = se llm función eponencil de bse, con >0 y. Así, por ejemplo, ls funciones f ( ) = y f ( ) = 0, son funciones eponenciles de bse y de bse 0,, respectivmente. NOTA: L bse,, debe ser positiv (>0), y que si es negtiv, puede no eistir ejemplo ( ) = R en R ; por El número e: El número e es uno de los números irrcionles de myor relevnci en mtemátics. Su vlor es e =, y se define como el límite de + cundo n. Aprece en n multitud de fenómenos nturles (cpitl cumuldo un interés continuo nul, evolución de ls poblciones, desintegrción rdictiv,..) y en estdístic. n / IBR - IES LA NÍA

2 Ejercicios: º) Represent f ( ) = y g( ) = y nliz dominio, recorrido, continuidd, cotción, y los límites cundo + y cundo º) Utilizndo l clculdor (que permite obtener e ) represent l función eponencil f ( ) = e Estudi los mismos prtdos que en el ejercicio nterior.. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Observ l gráfic de ls siguientes funciones eponenciles: Vemos que ls gráfics de ls funciones eponenciles presentn crcterístics similres. Ls clsificmos en dos grupos, según que l bse se myor o menor que : Si > l: Si 0< <l El dominio es tod l rect rel: Dom( f ) + El recorrido es el conjunto de los números reles positivos: Re c( f ) = R = ] 0, + [ f (0) = y que = R 0 =, es decir, l gráfic siempre psrá por el punto (0,). L función eponencil es continu. Es inyectiv, es decir, vlores distintos de les corresponden imágenes distints. L función eponencil está cotd inferiormente por 0 y no está cotd superiormente. / IBR - IES LA NÍA

3 L función es creciente L función es decreciente lim + = +, lim = 0 lim = 0, lim + = + Asíntot horizontl : Eje X (por l izquierd) Asíntot horizontl : Eje X (por l derech) Ejercicios: º) Rzon, sin hcer l gráfic, si ls siguientes funciones son crecientes o decrecientes: f()=(,), g()=(/), h()=0,8, i()=( ), j()= - 5º) Ls mebs son seres unicelulres que se reproducen por biprtición. Un biólogo estudi l evolución de un ciert poblción de mebs y comprueb que su número se dobl todos los dís. ) D un epresión del nº de mebs N en función del tiempo t. b) Determin el nº de mebs los dís, 5 dís y 5 dís. c) Cuánts mebs hbí un dí ntes? y dos dís ntes? y tres dís? d) En qué instnte hbrá 7 millones de mebs?. LOGARITMOS Si queremos obtener el vlor de en ls epresiones: =, =, observmos que en el primer cso es relmente sencillo, mientrs que en el segundo es mucho más complicdo. Podrímos hcerlo si conociérmos l función invers de f()=. El problem que se pretende resolver con l introducción de los logritmos es el del cálculo del eponente l que se debe elevr un n o pr obtener otro. Llmremos logritmo en bse del n b, y lo representremos como log b, c otro número c que cumpl = b, es decir, c es el n o l que se debe elevr l bse () pr obtener el número b: log b = c c =b Ejemplos: log 9, se lee logritmo en bse de 9, y es el número l que hy que elevr pr que dé 9, es decir,, porque = 9 log 5, no se especific l bse del logritmo cundo es 0 y el logritmo se llm deciml; se lee logritmo deciml de 5, es decir, el n o l que hy que elevr 0 pr que dé 5. Aunque nosotros no sbemos su resultdo, lo podemos obtener con l clculdor. loge 67, logritmo en bse e de 67, el n o l que se debe elevr el n o e pr obtener 67. En este cso prticulr, cundo l bse es el n o e, el logritmo se llm neperino, y se suele representr con ls letrs: ln o L, en lugr de log e. Tmbién se pueden clculr directmente con l clculdor. El log 8 = porque = 8 / IBR - IES LA NÍA

4 Ejercicio: 6º) Aplic l definición de logritmo y clcul: ) log00 b) log c) log d) log e) log0.000 f) log 0' g) log 5 5 h) log 8 i) ln e j) log 7º) Epres en form logrítmic ls siguientes relciones: 8º) Hll en ls siguientes epresiones: ) log = b) log 6 = c) log5 = d) log 8 = e) log = f) log5 = g) log 5 = h) log 7 = k) log 7 l) log0 m) log7 7 n) log o) log ( ) p) log 8 q) log 9 r) ln e =, 0 = 7, 8 =, i) log 0, = j) k) log = 7 log 7 9 = log = l) m) log 5 n) = log (log ) = [:00; b:; c:/5; d:/; e:/; f:65; g:5; h:-; i:-/; j:; k:/; l: ; m: 5 ; n:0] 0,77 = 0. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS. log =, porque. log 0 =, porque = 0 =. log (. y) = log + log y, el logritmo de un producto es igul l sum de los logritmos de sus fctores. p p = log = Llmmos q q = log y = y p q p q y = = + log ( y) = p + q = log + log y / IBR - IES LA NÍA

5 . log = log log y, el logritmo de un cociente es igul l logritmo del dividendo y menos el logritmo del divisor. p p p = log = p q Llmmos q = = log q = p q = log log y q = log y = y y y m 5. log ( ) = m log, el logritmo de un potenci es igul l producto del eponente por el logritmo de l bse. Llmmos p m p m p m p = log = = ( ) = m log ( ) = p. m = m log Ejercicios: 9º) Usndo que log=0,77, clcul el log de: 0; 00; 000; 0, ; 0,0 ; 0,00 ; 7; 0º) Utilizndo solmente que log=0,00 clcul el log5 º) Usndo log=0,00 y log =0,77, clcul los logritmos de: ) 7 b) 0,0008 c) 0,6 e) 5 0, 0 f) 0, g) d) 8 h) 7 º) Justific cuáles de ls siguientes igulddes son cierts: ) log (-) + log = log b) log (-) + log = log (-) log c) log (-b) = log b d) log6 = log 6 e) log00 + log 0'0 6 log0 = 7 i) j) 0,6 k) 0, FUNCIÓN LOGARÍTMICA L función que sign l vrible independiente el vlor f ( ) = log se llm función logrítmic de bse, con >0 y. Si representmos ls funciones : f ( ) = log y f ( ) = log 5/ IBR - IES LA NÍA

6 . El comportmiento de est fmili de funciones (según los distintos vlores de l bse ) será muy precido. Si recordmos demás que ls funciones eponenciles son distints según que l bse se myor o menor que, prece lógico esperr que ocurr otro tnto con ls funciones logrítmics. Así pues, estudiremos ls propieddes comunes tods ls funciones logrítmics y, después, ls diferencis según que l bse se myor o menor que. Propieddes:. L función logrítmic de bse es l función invers de l función eponencil de bse. (sus gráfics son simétrics respecto de l bisectriz del primer y tercer cudrntes) ] 0, [ ] 0, [ R + log + R y = log = y. Dominio: ] 0,+ [ y que debe coincidir con el recorrido de l función eponencil. En consecuenci, no eisten los logritmos de números negtivos ni de cero.. Recorrido: R, coincide con el dominio de l función eponencil.. Continuidd: l función logrítmic es continu en todo su dominio ] 0,+ [ 5. Acotción: no está cotd. 6/ IBR - IES LA NÍA

7 6. Tods ls gráfics psn por el punto (0,), y que log = Etremos reltivos: no tiene Cundo > : Cundo 0 < < : 8. L función es creciente L función es decreciente 9. Signo: si 0 < < log < 0 si > log > 0 lim log 0 + lim log + = = + Signo: 0. Asíntot verticl: eje Y, =0 si 0 < < log > 0 si > log < 0 lim log 0 + lim log + = + = Ejercicios: º) Clcul el dominio de ls siguientes funciones: ) f ( ) = ln( + ) b) f ( ) = log + 5 c) f ( ) = ln e) g ( ) = ln + 6 d) g ( ) = log + º) Hll el dominio, el recorrido y l función invers de ls siguientes funciones: g) f ( ) = log ( + ) h) f ( ) = log ( ) i) f ( ) = + j) f ( ) = e f) f + log( ) ) = ( 6. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Llmmos ecuciones eponenciles quells ecuciones cuy incógnit prece en el eponente de un potenci. CASO: Los dos miembros de l ecución son potenci de l mism bse: = = = 5. CASO: Los dos miembros de l ecución no son potenci de l mism bse: =, tomndo logritmos decimles o neperinos en mbos miembros de l ecución: 5 7/ IBR - IES LA NÍA

8 ln ln( ) = ln ln = ln = =, 6 ln + CASO: Hy sums o rests de potencis: 5 = 7, relizndo un cmbio de vrible = t ( ) 5 = 7 t 5t = 7 qued un ecución polinómic que se resuelve normlmente. Después hy que deshcer el cmbio pr obtener el vlor de. Llmmos ecuciones logrítmics quells ecuciones cuy incógnit viene fectd por un logritmo. Pr resolverls utilizremos l definición y ls propieddes de los logritmos. Ejercicios: 5º) Resuelve ls siguientes ecuciones: + 6 ) =, [9/] 8 6 ) = 68 ( ), [-7/5] ) 8 = 6, [-] ) ( ) =, [ y ] 5) 0 00 = 0000, [0] 6) 0 00 = 000, [-/] 7) 8) 5 = 5, [5/ y /] =,[-5/] 9) 5 + =, [-0,86] 0) = 5, [-9,] ) = 8, [,7856] ) log 5 =, [,5966] ) ) =, [] =, [] 6) 6 = 0, [] 7) = 0, [0,589 y 0] 8) 9) =, [ y -] =, [] 0) = 5, [] ) =, [-] ) log ( + 8) =, [ y -5] ) log = log 6 + log, [/] ) log log( 6) =, [80 y 0] 5) log( + 7) = + log( + ), [-/7] 6) =, [/5] log( ) log(6 ) 7) log + log = log 5, [/5] 8) ( )log + log8 = log, [0] 9) log(5-)+log(+)= [] 0) log(7-9) + log(-) =, [ y /] ) + = 0, [-0,6] 5) =, [ y 0] 6º) Resuelve los siguientes sistems: log + log y =. = 5 y log5 ( ) log5 y =. + y =.. ( ) log ( y 8) = log( + 6) log(y + ) = = 6 6 y+ y = y 7 = y : = = = y y / IBR - IES LA NÍA

9 7º) Durnte cierto período de tiempo l demnd de cfé de un poblción qued justd l 0' t función: D(t) = 600 e, donde t indic el número de meses, y D l cntidd de kilos de cfé vendidos. Qué tipo de función es? L demnd de cfé está umentndo o disminuyendo? Cuál er l demnd hce medio ño? Cuál es l demnd ctul?. Cuándo se reducirá ést l mitd? En lgún momento l vent de cfé fue doble que l de hor? 8º) Un plg de insectos tiene un función de crecimiento: K t I ( t) I e donde I 0 es l cntidd inicil de insectos, t tiempo en dís y K es un constnte. Si l cbo de 6 dís hy 0000 insectos y el vlor K=0, ) Cuántos hbí inicilmente? b) Qué cntidd de insectos hbrá l cbo de 0 dís? c) Cuándo hbrá proimdmente ? 9º) Pr describir los efectos de un terremoto se utiliz l escl de Ritchter. Según est escl, l mgnitud M de un terremoto viene dd por l epresión = 0 E M = log, donde E es l energí E 0 liberd por el terremoto (J), E 0 es un constnte de vlor,5 0 J. Clcul l energí liberd en el terremoto de Sn Frncisco del ño 906 si su mgnitud fue de 8,5 en l escl Richter. 7. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Podemos definir funciones que signen l vlor de un ángulo, medido en rdines, el vlor de cd un de sus rzones trigonométrics. Ests funciones se denominn funciones trigonométrics o circulres. Ls tres principles son l función seno, l función coseno y l función tngente. FUNCIÓN SENO: f ( ) = sen Su dominio es R pues el seno de un ángulo culquier siempre está definido. Recorrido: [,] Acotción: está cotd inferiormente por - y superiormente por. Es continu en R Periodicidd: es periódic con período fundmentl π (Est es l propiedd más crcterístic de ls funciones trigonométrics) 9/ IBR - IES LA NÍA

10 Simetrí: puesto que f ( ) = sen( ) = sen = f ( ), l función seno es un función impr y su gráfic es simétric respecto del origen de coordends. π π π 5π 7π 9π Creciente en..,,,,,,... π π π π 5π 7π Decreciente en...,,,,,,... π π 5π 9π Máimos reltivos en =...,,,... 5π π π 7π Mínimos reltivos en =...,,,... FUNCIÓN COSENO: f ( ) = cos Su dominio es: Recorrido: Acotción: Es continu en Periodicidd: Simetrí: Creciente en.. Decreciente en Máimos reltivos en Mínimos reltivos en 0/ IBR - IES LA NÍA

11 FUNCIÓN TANGENTE: f ( ) = tg Dominio: π kπ R + Recorrido: Acotción: Continuidd: Periodicidd: Simetrí: Crecimiento y decrecimiento: Etremos reltivos: Asíntots: 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Ls inverss de ls funciones trigonométrics son ls que permiten hllr, conocidos el seno, el coseno o l tngente, el vlor en rdines del ángulo correspondiente. FUNCIÓN ARCOSENO: f ( ) = rc sen Cuál es el ángulo cuyo seno vle /? L respuest puede ser 0º o π/6 rdines o 5π/6 o -7π/6.. Pr que el rcoseno se un función sólo puede tener un imgen, por tnto hy que elegir un de ls respuests nteriores: rcsen/=π/6 (el rcoseno de / es π/6, es decir, el rco cuyo seno es / es π/6 rdines). Vmos hcer corresponder cd vlor de entre - y un ángulo del intervlo [-π/,π/]. / IBR - IES LA NÍA

12 L función rcoseno se define como, π π cumpliendo que seny = f :[, ], y = rc sen FUNCIÓN ARCOCOSENO: f ( ) = rc cos L función rcocoseno hce corresponder cd vlor de l vrible independiente entre - y, un ángulo cuyo coseno es. El intervlo que se escoge hor pr el recorrido es [ 0,π ] [ ] [ ] f :, 0, π cumpliendo que cos y = y = rc cos FUNCIÓN ARCOTANGENTE: f ( ) = rc tg L función rcotngente hce corresponder cd vlor rel de l vrible independiente, un ángulo del intervlo ]-π/, π/[ (como el rcoseno). π π f : R, y = rctg cumpliendo que tgy = Ejercicios: 0º) Clcul l imágenes por ls siguientes funciones de =, ) f ( ) = sen( rc sen) b) g( ) = sen(rccos ) º) Clcul el vlor de:. rc sen b. rc sen c. rc sen d. rc sen( ) e. rc sen 0 f. rc cos º) Hll ls funciones inverss de:. f ( ) = sen b. f ( ) = cos c. f ( ) = tg =, = : g. rc cos h. rc cos i. rc cos( ) j. rc cos 0 k. rctg 0 l. rctg( ) m. rctg d. f ( ) = sen7 e. f ( ) = cos5 f. f ( ) = rcsen() / IBR - IES LA NÍA

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