Definición de la función logaritmo natural.

Transcripción

1 L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se sbe que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo n = se tiene un situción muy especil. En este cso l función en el integrndo es f() = /, l cul no est definid en = 0. Sin embrgo, est función es continu en (0, ), y, cundo 0 < < b, l integrl b, represent el áre bjo l curv y = / en el intervlo [, b]. Un propiedd muy importnte de est integrl es que pr culquier número rel q > 0, q b q b. Antes de vnzr más, puede ser conveniente consultr en l yud en líne de Mthemtic l func su uso con integrles definids e indefinids. El símbolo de integrl se introduce usndo l plette. Por ejemplo, pr = y b = 2 se obtiene: In[40]:= 2.0 y con q = 3, se obtiene: In[4]:= Lo nterior se puede interpretr geométricmente de l siguiente mner: El áre bjo l curv y = / en el intevlo [, 2] es igul l áre bjo l mism curv en el intervlo [3, 6]. L siguiente gráfic ilustr est situción: In[67]:= g Plot,,, 2, FillingAis, AesOrigin0, 0, PlotRnge0, 7,0, 3; In[68]:= In[69]:= g2 Plot,, 0., 7, PlotRnge0, 7,0, 3; g3 Plot,, 3, 6, FillingAis, AesOrigin0, 0, PlotRnge0, 7,0, 3;

2 35 funcionlogritmo_v6.0.nb In[70]:= Showg, g2, g3, GrphicsTet"y ",4, 0.5, AesLbel"", "y", PlotLbel "Ls áres son igules" Se debe insistir en que el número q es culquier número positivo, rcionl o irrcionl. Por ejemplo con q = 2, se obtiene: 2 2 In[5]:= 2.0 Este el mismo vlor que se obtuvo en los dos csos nteriores. L propiedd justmente vist tiene implicciones muy importntes. Pr ver ests implicciones, hágse = y b vrible e igul pr definir l siguiente función: F :.0tt; Obsérvese que se h cmbido el nombre de l vrible de integrción de t, y que hor se h usdo l vrible en el límite superior de l integrl. Est es un función bien definid pr en (0, ). Evlundo en, por ejemplo, = 2 y = 3, se obtiene: In[7]:= In[8]:= F2 F3 L función sí definid es precismente l función logritmo nturl. Pr verificr esto se hce uso de l función logritmo nturl definid en Mthemtic: Logz proporcion el logritmo nturl de zlogritmo de bse e. Logb, z proporcion el logritmo de bse b de z. Ver el libro de Mthemtic : Section..3 y Section Si se evlu l función logritmo nturl en = 2 y = 3, se obtiene: In[9]:= In[0]:= Log2.0 Log3.0 Estos son los mismos resultdos que los obtenidos con l función integrl F() que se definió rrib. De hecho, si se us l instrucción Epnd sobre l función F() se obtiene: In[]:= EpndF Esto indic que F() y l función logritmo nturl coinciden y son l mism función. Así que Log() represent el áre bjo l curv y = /t en el intervlo [, ]. Es decir Log.0tt. Por ejemplo, Log(3) represent el áre bjo l curv y = /t en el intervlo [, 3]. En l siguiente figur se muestr el áre correspondiente: In[7]:= ShowPlot,,, 3, FillingAis, AesOrigin0, 0, PlotRnge0, 7,0, 3, Plot,, 0., 7, PlotRnge0, 7,0, 3, GrphicsTet"y t",2, 0.7, AesLbel"t", "y", PlotLbel "Log3 áre sombred"

3 funcionlogritmo_v6.0.nb 36 Propieddes de l función logrtimo nturl Ahor se estudirán ls importntes consecuencis de l propiedd q b q t t bt t, con, b y q números reles positivos. Un de ells es que pr > 0 y y > 0, se tiene: y y Log y tt tt tt tt ytt ddo que LogLogy, y tt ytt. Vmos verificr est propiedd con Mthemtic.Por ejemplo: In[3]:= Log2.0 2 Por otro ldo: In[4]:= Log2.0Log 2 L propiedd nterior es l propiedd más importnte de los logritmos, y puede interpretrse geométricmente de l siguiente form: El áre bjo l curv y = /t en el intervlo [, y] es numéri cmente igul l sum de ls áres bjo l mism curv en los intervlos [, ] y [, y]. Ls demás propieddes de los logritmos son consecuenci de l propiedd nterior. Por ejemplo pr cul quier > 0 lo cul implic que 0 Log Log Log Log Log Log. Est identidd se puede interpretr como sigue: si > ( < ), entonces el áre bjo l curv y = /t en el intervlo [, ] ([, ]) es igul, pero de signo contrrio, l áre bjo l mism curv en el intervlo [/, ] ([, /]). Por ejemplo, con = 3 obtenemos In[5]:= Log.03 Log3.0 Es decir, el áre bjo l curv y = /t en el intervlo [/3, ] es igul l áre bjo l mism curv en el intervlo [, 3]. Ls áres correpondientes se dibujn continución seprds por un segmento verticl:,

4 37 funcionlogritmo_v6.0.nb In[2]:= ShowPlot,, 3,, FillingAis, PlotRngeAutomtic,0, 4, Plot,,, 3, Filling Ais, PlotRngeAutomtic,0, 4, Plot,, 0., 4, PlotRnge0., 4,0, 4, GrphicsTet"y t",.755,., GrphicsLine, 0,,, AesOrigin0, 0, PlotRnge0, 4, AesLbel"t", "y", PlotLbel " Log3 Log3" Con ls dos propieddes nteriores podemos deducir l ley de cocientes de los logritmos: Log(/y) = Log() + Log(/y) = Log() Log(y), que puede interpretrse en términos de áres en l siguiente form: Si > y y >, entonces el áre bjo l curv y = /t en el intervlo [, /y] es numéricmente igul l diferenci de ls áres bjo l mism curv en los intervlos [,] y [/y, ]. Por ejemplo con = 2, y = 3, obtenemos: In[8]:= In[9]:= Log2.03 Log2.0Log3.0 Por lo tnto, l diferenci de ls áres bjo l curv y = / en los intervlos [, 3] y [/3, ] es proimdmente. El vlor negtivo de l diferenci indic que el áre bjo l curv en el intervlo [/3, ] es myor que el áre bjo l curv en el intervlo [, 2]. Ls regiones correspon dientes se dibujn continución seprds por un line verticl: In[]:= ShowPlot,, 3,, FillingAis, PlotRnge0, 4, Plot,,, 2, FillingAis, PlotRnge0, 4, Plot,, 0., 3, GrphicsTet"y t",.5,.2, GrphicsLine, 0,,, AesOrigin0, 0, PlotRnge0, 4, AesLbel"t", "y", PlotLbel " Log23 Log2Log3" Gráfic de l función logritmo nturl. L gráfic de l función logritmo nturl se muestr continución: In[5]:= glog PlotLog,, 0.35, 7.39, PlotRnge2, 2, AspectRtio, AesLbel"", "y"; Showglog, GrphicsTet"y Log",4,.8 Obsérvese que l gráfic es creciente y cóncv. De los cursos de cálculo, se sbe que si l derivd de un función es myor que cero en todo su dominio, entonces l función es creciente. Asímismo, si l segund derivd de l función es negtiv en todo su dominio, entonces su gráfic es cóncv. Vemos que este es el cso pr l función logritmo nturl: In[23]:= Log que es myor que cero pr todo > 0. In[24]:= Log que es clrmente menor que cero. Por otro ldo, el límite cundo tiende cero por l derech es:

5 funcionlogritmo_v6.0.nb 38 In[25]:= LimitLog, 0, Direction Esto indic que l función logritmo nturl tiene l síntot verticl = 0 (el eje y). De cuerdo con ls observciones nteriores, l función Log:(0, ) (, ) es creciente y cóncv siendo, demás, un función y sobre. Debido ls últims dos propieddes, eiste su función invers. L función invers de l función logritmo nturl se denomin función eponencil. Derivds implícits Encontrr dy/d de 2 y y y 2 6. Primero derivmos mbos ldos de l ecución In[]:= D 2 yy 4 6, In[2]:= D8y 2 6, y luego resolvemos pr y [] In[3]:= Solve62 y 2 y 4 y 3 y 6 y y, y Por supuesto que todo el procedimiento se puede obtener en un solo pso SolveD 2 yy 4 6, D8y 2 6,, y Encontrr l derivd dyd de y 2 ln y In[7]:= SolveDy 2 Logy43, 0, y