3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

Transcripción

1 LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener el número. Pr indicr que x es el ritmo en bse de n se escribe: Log n x y se lee «ritmo en bse de n es igul x». Por lo tnto : Log n x x n Ejemplos : Log porque Log porque Log porque Consecuencis de l definición de ritmo 1. El ritmo de 1, en culquier bse, es 0: Log 1 0, y que El ritmo de un número igul l bse es 1: Log 1, y que 1 3. El ritmo de un potenci cuy bse es igul l bse del ritmo es igul l exponente de l potenci: Log m m, y que m m 4. No existe el ritmo en culquier bse de un número negtivo o cero. 5. El ritmo de un número n myor que cero y menor que 1, estrictmente, 0< n <1, es negtivo si l bse del ritmo es >1. 6. El ritmo de un número n myor que cero y menor que 1, estrictmente, 0< n <1, es positivo si l bse del ritmo es <1. 7. El ritmo de un número n >1 es positivo si l bse es > 1. Así, 3 9 2; y que El ritmo de un número n >1 es negtivo si l bse es < 1.

2 Propieddes de los ritmos 1. Logritmo de un producto El ritmo de un producto de dos números es igul l sum de los ritmos de cd uno de ellos. Log (X Y) X + Y Demostrción: Se X m ; esto signific que m X. Se Y n ; esto signific que n Y. Log (X Y) ( m n ) m+n m+n X + Y 2. Logritmo de un cociente El ritmo de un cociente de dos números es igul l ritmo del numerdor menos el ritmo del denomindor. Demostrción: Se X m; esto signific que m X Se Y n; esto signific que y Y X Y m n m n m - n X Y 3. Logritmo de un potenci El ritmo de un potenci es igul l exponente multiplicdo por el ritmo de l bse de l potenci. Log X n n X Demostrción: Se X m; esto signific que m X.

3 Log X n ( m ) n mn mn n X 4. Logritmo de un ríz El ritmo de un ríz es igul l ritmo del rdicndo dividido entre el índice de l ríz. Demostrción: Este es un cso prticulr del prtdo nterior, ritmo de un potenci. Obsérvese que ls propieddes nteriores se refieren l ritmo de un producto, un cociente, un potenci y un ríz, pero nd se h dicho sobre el ritmo de un sum o un rest. El ritmo de un sum o de un rest no dmite desrrollo. LOGARITMO DECIMAL Y LOGARITMO NEPERIANOS De tods ls posibles bses que pueden tomrse pr los ritmos, ls más usules son l bse 10 y l bse e. Los ritmos que tienen bse 10 se llmn LOGARITMOS DECIMALES, ritmos vulgres o ritmos de Briggs, y pr representrlos se escribe sencillmente sin necesidd de especificr l bse: Log 10 X X Ls tbls que trdicionlmente se hn usdo pr clculr ritmos, son tbls de ritmos decimles. Se escriben continución lgunos ejemplos de ritmos decimles: 1 0; puesto que ; puesto que 10 1; puesto que ,1-1; puesto que ,1. Los ritmos que tienen bse e se llmn LOGARITMOS NEPERIANOS O NATURALES. Pr representrlos se escribe ln o bien L: Log e X ln X L X

4 Algunos ejemplos de ritmos neperinos son: ln 1 0; puesto que e 0 1 ln e 2 2; puesto que e 2 e 2 ln e -1-1; puesto que e -1 e -1 El número e tiene grn importnci en ls Mtemátics. No es rcionl (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de l sucesión Su vlor, con seis cifrs decimles, es e 2, CAMBIO DE BASE Pr un mismo número X existen infinitos ritmos, dependiendo de l bse que se tome. Por ejemplo, el ritmo de 8 es 1, -1, 3, -3, 0,903090, 2, según que l bse considerd se 8, 1/8, 2, 1/2, 10, e... Es posible psr del ritmo de un número en un bse determind l ritmo de ese mismo número en otr bse b, sin más que plicr l siguiente fórmul: Ejemplo: Relción entre ritmos decimles y neperinos Conocido el ritmo deciml de un número, l fórmul que permite obtener su ritmo neperino es: Conocido el ritmo neperino de un número, l fórmul que permite obtener su ritmo deciml es:

5 CENT Nº 2 COMPLEMENTOS DE ALGEBRA I TRABAJO PRACTICO DE LOGARITMO 1) Clcul: 1 ) b) c) ) Señl con verddero (V) o flso (F) según correspond. 5 x ) 5 x + 5 y y 5.b b) + b - c + d c.d c) x + y x. y 2 d) ( x. y. z ) x - 2 z + y 3) Desrroll ls siguientes expresiones plicndo ls propieddes de los ritmos. 3 x. y. z ) ( ). b b) c + d 3.b c) 2 c. d 5.(b - d) d) ln 3 d 4) Expres como ritmo único teniendo en cuent ls propieddes del ritmo ) x y + z b) b c c) b 6 d) 1/2 + b 3/2 c 5) Resuelve ls ecuciones siguientes. ) 3 x 27 b) 2 x+1 8 c) 2 ( x + 4 ) -1 d) 4 (6 5 x ) 2 6) Clcul los siguientes ritmos ( reliz el cmbio de bse ) ) Sbiendo que el 2 0, y 7 0,845098,clculr 7 2 b) Sbiendo que el ,clculr 9 27 c) 4 9 d) 2 10

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