TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1

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Paula Castillo Cordero
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1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz cudrd de orden dos es un número que se obtiene del siguiente modo: A det(a) A Ejemplo: 2.4 ( 1) DETERMINANTES DE ORDEN.2.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz cudrd de orden tres es un número que se obtiene del siguiente modo: (Regl de Srrus) A Det A A [ ] [ ] 1 2 Ejemplo: [ ( 1) ( )] [ ( 1).0.1] 2 0 [-4+0]-[-24++0] 8+ 20

2 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. El determinnte de un mtriz coincide con el de su trspuest: A A t t A t Si un determinnte tiene un líne (fil o column) de ceros, entonces su determinnte es cero Si permutmos dos fils (o dos columns) de un mtriz, su determinnte cmbi de signo [ ] [ ] B [ ] [ ] Los sumndos son el mismo pero con el signo cmbido B - A 4. Si un mtriz tiene dos fils (o dos columns) igules, su determinnte es cero Si multiplicmos cd elemento de un fil (o de un column) de un mtriz por un número, el determinnte de es mtriz qued multiplicdo por ese número Por tnto α.a α n. A siendo n el orden de l mtriz A. (Un α de cd fil) 6. Si un mtriz tiene dos fils (o dos columns) proporcionles, su determinnte es cero Si un fil (o column) de un mtriz es sum de dos, su determinnte puede descomponerse en sum de los determinntes de dos mtrices, del siguiente modo: + b b b + c + c d c d c d Por tnto A + B A + B

3 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 8. Si un fil (o un column) de un mtriz se le sum un combinción linel de línes prlels, el determinnte no vrí. b + k b k b b c d + k c d c k c d c d 9. Si un mtriz tiene un líne que es combinción linel de ls demás prlels, entonces su determinnte es cero (y recíprocmente) 1 2 (F 2F 2 - F 1 ) [ ] [ ] El determinnte del producto de dos mtrices es igul l producto de sus determinntes: A.B A. B Por ejemplo: A y B A.B A.B A ; B A. B El determinnte de un mtriz tringulr es el producto de los elementos de l digonl principl Not: [1] I 1 [2] A.A -1 I A.A -1 I A. A -1 1 A -1 1/ A RESUMEN PRÁCTICO: Operciones con determinntes: 0 0 I 1 Mtriz tringulr Producto de los elementos de l digonl principl A t A A -1 1/ A A + B A + B α.a α n. A (siendo n el orden de l mtriz) A.B A.B

4 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 4 Un determinnte es nulo si: - Un líne (fil o column) es nul. - Dos línes prlels igules - Dos línes prlels proporcionles - Un líne es combinción linel de ls línes prlels ell. Otrs: - Si intercmbimos dos línes prlels el determinnte cmbi de signo F2 F2 + F1-1 F2 F2 + 4F1 + b b b - + c + c d c d c d.4 DETERMINANTES DE ORDEN CUALQUIERA.4.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz n x n es el resultdo de sumr todos los posibles productos de n elementos uno de cd fil y uno de cd column, con su signo o con el signo cmbido según un cierto criterio..4.2 OTRAS DEFINICIONES: M ij Mtriz Complementri de ij : Mtriz que se obtiene l suprimir l fil i y l column j α ij Menor complementrio de ij : Determinnte que se obtiene l suprimir l fil i y l column j A ij Adjunto del elemento ij : (-1) i+j.α ij (signo del elemento por el del determinnte que se obtiene l suprimir l fil i y l column j) Menor de orden r: Determinnte que se obtiene l seleccionr r fils y r columns de l mtriz 1 2 Ejemplo: A Mtriz complementri del elemento 21 : M Menor complementrio del elemento 21 : α Adjunto del elemento 21 : A 21 (-1) 2+1. α 21 (-1) [ 18 24] Menores de orden 2:,,,

5 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LINEA Si los elementos de un fil o column de un mtriz cudrd se multiplicn por sus respectivos djuntos y se sumn los resultdos se obtienen el determinnte de l mtriz inicil. Se dice entonces que el determinnte está desrrolldo por los elementos de un líne A A A 2 21.(-1) (-1) (-1) MÉTODO PARA CALCULAR DETERMINANTES DE ORDEN CUALQUIERA Desrrollndo por los elementos de un fil o column (por ejemplo, por l primer fil)... 1n.A.A +.A +... ± 1n.A 1n Not: Si conseguimos que un fil o column teng todos sus elementos menos uno nulos, el desrrollo será más corto. F2 F2 + F1 (Pr ello hremos ceros en fils o columns, teniendo en cuent 1 ) F2 F2 + 4F1 desrrollo por 1ª column desrrollo por 1ª column Ejemplo: ª fil por ( ) + 1ª fil 2ª fil por ( 2) + ª fil ( 1). ( 1) 9 1ª fil por 1 + ª fil 18

6 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 6.5 EL RANGO DE UNA MATRIZ A PARTIR DE SUS MENORES El rngo de un mtriz es el máximo orden de sus menores no nulos. ALGORIMO PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ El rngo de l mtriz nul es 0. Si l mtriz A no es nul rng(a) 1. Si el determinnte de lgun mtriz cudrd de orden dos es distinto de cero rng(a) 2. En cso contrrio rng(a) 1 Se ñden l mtriz nterior tods ls fils y columns posibles pr formr mtrices de orden. Si el determinnte de lgun mtriz cudrd de orden tres es distinto de cero Se ñden l mtriz nterior tods ls fils y columns posibles pr formr mtrices de orden 4. En cso contrrio rng(a) 2 Si el determinnte de lgun mtriz cudrd de orden cutro es distinto de cero rng(a) 4 En cso contrrio rng(a) Y sí hst que no se posible continur.6 TEOREMA DE ROUCHÉ FROBENIUS TEOREMA: Ddo un sistem de ecuciones lineles con m ecuciones y n incógnits: x1 + x 2 + x +...1n x n b1 21x1 + 22x 2 + 2x n x n b2... m1x1 + m2x 2 + mx +... mn x n bm Llmmos mtriz del sistem l mtriz, A, formd por los coeficientes de ls incógnits

7 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto n n A m1 m2 m... mn Y mtriz mplid, A, l mtriz del sistem mplid con los términos independientes... 1n b n b2 A m1 m2 m... mn bm Si rngo A rngo A Nº Incógnits Sistem Comptible Determindo Si rngo A rngo A Nº Incógnits Sistem Comptible Indetermindo Si rngo A rngo A Sistem Incomptible.7 REGLA DE CRAMER TEOREMA: Ddo un sistem de ecuciones lineles con n ecuciones y n incógnits: x1 + x 2 + x +...1n x n b1... 1n 21x1 + 22x 2 + 2x n x n b n A n1x1 + n2x 2 + nx +... nn x n b n n1 n2 n... nn 1n b n b2... x x 2 + x x n... A 1 x 1 + A 2 x 2 + A x + + A n x n B... n1 n2 n nn bn Si el determinnte de l mtriz del sistem es distinto de cero, A 0 Rngo A Rngo A Nº de incógnits El sistem es comptible determindo y por tnto tiene un únic solución que se puede hllr del siguiente modo. x 1 B A 2 A... A n, x 2 A1 B A... A n,., x n A1 A 2 A... B.8 SISTEMAS HOMOGÉNEOS Se llm homogéneo el sistem de ecuciones cuyos términos independientes son todos cero. Se crcteriz por ls dos propieddes siguientes: - Un sistem homogéneo tiene, con seguridd, l solución x 1 0, x 2 0, x 0,. Por eso se le llm solución trivil. - Pr que un sistem homogéneo teng otrs soluciones, es necesrio y suficiente que: Rngo A < Nº Incógnits.

8 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 8.9 DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETRO. Si el sistem tiene el mismo número de ecuciones que de incógnits. - Se clcul el determinnte de l mtriz de los coeficientes y se igul cero. - Se resuelve l ecución - Un cso más que vlores del prámetro del prtdo nterior. o CASO I: Si R { 1, 2, } A 0 Sistem Comptible Determindo y se resuelve por Crmer (Qued el resultdo en función del prámetro. o CASO II: 1 Se sustituye l por el vlor de 1 y se resuelve plicndo el teorem de Rouché Frobenius (Se hce Guss y se estudin los rngos) Si el sistem tiene distinto número de ecuciones que de incógnits, se resuelve por Rouché- Frobenius (Guss) - Se ordenn ls ecuciones llevndo el prámetro lo más bjo y l derech posible. - Se hcen ceros debjo de l digonl principl (si hy un rectángulo de ceros se continu hciendo ceros) - Se iguln, por seprdo, los elementos de l digonl cero. - Un cso más que vlores del prámetro y se estudin los rngos..10 CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES L mtriz cudrd A tiene invers si y sólo si 0 Dd l mtriz cudrd A, se llm mtriz djunt de A y se represent dj (A), l mtriz que se obtiene l sustituir cd elemento ij por su djunto A ij. Ejemplo: Dd l mtriz (A) , su djunt serí: -2 2 dj (A)

9 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 9 Se cumple que si 0 entonces l mtriz invers A 1 es igul : A 1 1 dj(a t 1 ) [dj(a)] t Ejemplo: Dd l mtriz A 2 1 0, pretendemos encontrr su invers: 2 2 L mtriz A tiene invers y que det(a) 2 0 Y hemos visto que: dj (A) Entonces: [dj (A)] t Por lo tnto: A [dj (A)]t /2 1

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