71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

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1 71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 5. APLICACIONES (EN UNA BASE ORTONORMAL) 6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Vectores 7. 1

2 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA Nos disponemos trvesr ndo un río de 20 m de ncho. L velocidd de l corriente es de 3 m/s y l nuestr es de 4 m/s (según el diujo). Diuj el punto l que iré prr.. Diuj l velocidd resultnte. c. Clcul l velocidd que llevré: módulo y dirección (ángulo que form con l dirección de l corriente) d. Hci dónde tendrí que ndr pr trvesrlo de form perpendiculr l orill. 4 m/s 3 m/s Dos remolcdores rrstrn un trnslántico según ls fuerzs que se hn representdo en el diujo. Cuál será el vector de l fuerz resultnte? Dos homres tirn de un cuerpo medinte cuerds. El primero lo hce con un fuerz de 30 N el otro con un de 50 N y formndo un ángulo de 60º entre ells. Hllr l intensidd de l resultnte (R). 30 N 60º 50 N Vectores 7. 2

3 Un vión es llev l velocidd del diujo por efecto de sus motores; si l co de un cierto tiempo prece un viento con l velocidd del gráfico, cuál será l nuev velocidd que tendrá el vión? (Resolverlo gráficmente). viento vión Un vgón es rrstrdo por un fuerz de 50 Kilos según se ve en l figur: Cuál es el vlor de l componente útil? 60º 50 K 2. VECTORES Y OPERACIONES GEOMETRIA ANALITICA PLANA. VECTORES Geometrí es l prte de ls mtemátics que estudi el espcio, los ojetos y sus trnsformciones. Anlític signific que el estudio se hce en coordends. Esto permite psr l lenguje lgerico. Un rect, por ejemplo, se convierte en un ecución de primer grdo: y = 3x 5 Pln, en dos dimensiones. Es decir, en el plno. Aquí entrn puntos, rects, polígonos, giros, semejnzs Se llm MAGNITUD todo quello que se puede medir. Dentro de ls mgnitudes se hl de mgnitudes esclres y vectoriles Ls mgnitudes esclres son quells que sólo precisn de un número pr su cuntificción. Por ejemplo, l ms (5 Kg), l tempertur (20 C) Ls mgnitudes vectoriles son direccionles y, por tnto, necesitn más elementos. Por ejemplo, l posición en el plno, l fuerz, l velocidd, l trslción. En estos últimos csos hlremos no de «esclr» sino de vector. Vector de posición, vector de fuerz, vector de velocidd, A vectores de posición de un móvil fuerz de rrstre de un vgón velocidd del ire B trslción del punto A l B Vectores 7. 3

4 VECTOR Un vector AB es un segmento orientdo. Qued determindo por dos puntos A (origen) y B (finl) Se llm módulo l distnci entre los dos puntos y se represent AB Se llm dirección del vector l de l rect en l que se encuentr y l de tods ls prlels. Sentido l ordención que tiene entre sus extremos. Cd dirección dmite dos sentidos que se dicen opuestos. Los designremos en l form: u, v, w,... Equivlenci o iguldd de vectores Recordr l equivlenci de frcciones. Dos vectores se dicen equivlentes o igules si tienen igul dirección, módulo y sentido. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR El vector resultnte k v tiene L mism dirección. Sentido: Opuesto si k<0 Igul si k>0 Modulo: k v = k v r Ejercicio Se v = 5. Hllr el módulo de 7 v Vector unitrio Es un vector de módulo unidd. 1 u v es un vector unitrio en l dirección de v. (Se puede dejr pr ejercicios) v Por ejemplo si SUMA DE VECTORES 1 1 v 5; v u; u Es l operción que result de l cción conjunt de dos vectores. Vectores 7. 4

5 Ley del prlelogrmo y ley del triángulo o poligonl El vector sum de dos vectores, que situmos + con origen común, equivle + con l digonl principl del prlelogrmo que determinn. Utilizr u y v. A Si los vectores vienen definidos por puntos tendrímos; o ponemos uno continución de otro tendrímos l ley del triángulo o l poligonl. El vector resultnte es el que une el principio con el finl. En el diujo se ve que el resultdo es el mismo vector. B C PROPIEDADES AB BC C Sum de vectores Asocitiv Cundo hy que sumr vrios vectores el orden de socición no vrí el resultdo (u + v) + w = u + (v + w) Asocitiv: c c Vector nulo o cero El vector 0 = AA v + 0 = v Elemento neutro: AA 0; 0 Vector opuesto Conmuttiv El vector opuesto de v es el vector v v + ( v) = 0 El vector opuesto de AB es BA Elemento opuesto: v AB ; v BA; v v 0 El orden de l sum de vectores no lter el resultdo u + v = v + u Ilustrrlo con el diujo: prlelogrmo o triángulo. Conmuttiv: Vectores 7. 5

6 Producto por esclres Asocitiv: Distriutiv 1: Distriutiv 2: Neutro: r (s ) = r s (r + s) = r + s r ( + ) = r + r 1 = Otrs: 0 v = 0. Su módulo es cero, no tiene dirección. -1 v=-v. Los módulos y dirección son igules el sentido es opuesto. 0 0; 1 RESTA DE VECTORES Restr un vector otro es sumr el opuesto. u v = u + ( v) COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES En este prtdo vmos fijrnos en los vectores como direcciones del espcio. Vmos clsificrlos según su dirección. Dos vectores u y v se dicen linelmente dependientes si tienen l mism dirección. Pueden tener distinto módulo y sentido. v r u Dos vectores se dicen linelmente independientes si ocurre lo contrrio: COMBINACION LINEAL Un vector v es cominción linel de x y y si v = x + y En el diujo el vector v es cominción linel de x y y. En concreto, v = 2 x + 3 y Otro ejemplo x -2y c 3. COORDENADAS DE UN VECTOR Dos vectores del plno de distint dirección se dice que formn un se porque culquier otro vector se puede poner como c.l. de ellos. Y est cominción linel es únic. v x y A los números de l c.l. se le llmn coordends del vector respecto de l se. Se llm se ortogonl, l que los vectores son perpendiculres. Bse ortonorml, si demás tiene de módulo 1. OPERACIONES CON COORDENADAS L se lo que me d propimente es un mll en el plno Vectores 7. 6

7 COORDENADAS DEL VECTOR SUMA Sen u(x 1, y1) y v(x2, y2) Mejor usr se ortonorml. u + v = (x 1 + x 2, y 1 +y 2 ) En el gráfico u (1, 3) y v(4,2): u + v = (1, 3) + (4, 2) = (5, 5) + Ejercicio Hllr l sum de los vectores u(3, 4) y v( 1, 5) COORDENADAS DEL VECTOR r u Se r R un número y u(x1, y1) un vector del plno. r u = (r x1, r y1) Por ejemplo, 4 u(3, 5) = (12, 20) COORDENADAS DE UNA COMBINACIÓN LINEAL Sen los vectores u(x 1, y1) y v(x2, y2). Se llm cominción linel de ellos culquier vector que otenemos en l form: Ejercicio.- u v ( x x, y y ) Siendo y dos números reles. Hcerlo pso pso. Sen u(2, -1) y v(-1, 3). Hllr 3u 5v. Hllr u-2v Expresr el vector (4, 3) como c.l. de (2, 1) y ( 1, 3) Vectores 7. 7

8 Ejemplo físico: Aquí vemos lo que signific l cominción linel o l posiilidd de expresr un vector respecto otros dos que hrín como de se. 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Un operción es un correspondenci que dos elementos le hce corresponder otro. Se pueden poner sum de vectores, producto esclr por vector y ls de esclres. Sum de números. Producto de números ( 3,5) x ( 3,5) De los vectores hemos visto distints operciones: sum, rest, producto por esclres. A continución vmos ver un nuev operción que se llm PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES. Producto porque se prece stnte un producto. Esclr porque el resultdo de l operción es un esclr (número) y de vectores porque se le soci un prej de vectores. Est operción de vectores se define prtir del teorem del coseno Por el teorem del coseno: c cosc Pues ien, llmremos producto esclr de los vectores y : cos c Vectores 7. 8

9 Ejemplos Hllr el producto esclr de los vectores y siendo que = 3; = 2 y = 45 Lo mismo pr los vectores y siendo que = 5; = 2 y = 90 Idem pr y siendo que = 5; = 0 y = 45 PROPIEDADES 1. Módulo: = 2 2. Conmuttiv: 3. Distriutiv: c c 4. Perpendiculridd: 0 ( y 0) 5. Asocitiv: (r ) = r ( ) = (r ) EJEMPLOS 1. Siendo que los vectores y tienen de módulo respectivmente: = 5 y = 3; efectú el siguiente producto esclr simplificndo el resultdo: ( + ) ( ) Sol: ( + ) ( ) = ( + ) ( + ) = 2. En el cso nterior, si = 60º, cuánto es el módulo de +? 3. Siendo que = 5, clcul (7 ) (5 ) PRODUCTO ESCALAR EN COORDENADAS Si referimos los vectores un se ortonorml (perpendiculres y de módulo 1) y plicndo ls propieddes nteriores otenemos l expresión del producto esclr en coordends. Sen ( 1, 2 ) y ( 1, 2 ) referidos un se ortonorml i, j. Es decir, = 1 i + 2 j y = 1 i + 2 j Ejemplos = ( 1 i + 2 j) ( 1 i + 2 j) = Hllr el producto esclr de los vectores (3, 5) y (2, 4) = = 26 Lo mismo pr los vectores (3, 4) y ( 4, 3) = 3 ( 4) = 0. Luego son perpendiculres Vectores 7. 9

10 5. APLICACIONES (EN UNA BASE ORTONORMAL) MÓDULO DE UN VECTOR: v v v COSENO DEL ÁNGULO DE DOS VECTORES De l expresión inicil podemos despejr el coseno del ángulo que formn llegndo l siguiente expresión: Ejemplo: cos cos u1v 1 u 2v 2 cos u v Hllr el ángulo que formn los vectores (2, 1) y (3, 5) Cómo dr un vector perpendiculr otro en coordends? suys De v(, ) es perpendiculr n(-,) y tods sus c.l. Lo mismo que n(, -) y tods ls Por ejemplo, dr un vector perpendiculr (2, 3) PROYECCION ORTOGONAL DE UN VECTOR SOBRE OTRO Sen y dos vectores. Se llm proyección ortogonl de sore l segmento que determin l proyección ortogonl de sore p cos pr Es el producto esclr de mos vectores dividido entre el módulo del vector sore el que se proyect. L proyección será positiv si el ángulo es gudo. Será negtiv si el ángulo es otuso. Es decir, según l proyección teng el sentido de o el sentido opuesto. Ejemplo Vmos hllr l proyección de (2, 1) sore ( 3, 5) Proyección de (2, 1) sore ( 3, 6) ÁREA DE UN PARALELOGRAMO. INTRODUCCIÓN AL DETERMINANTE (Se puede dejr. Tmpoco viene en el liro) Se el prlelogrmo determindo por los vectores (1, 2) y (1, 2). Podemos tomr como se el vector y como ltur l proyección de sore. Entonces l ltur del prlelogrmo quedrí: n Vectores 7. 10

11 n S n ( 1, 2) ( 2, 1 ) n Vectores 7. 11

12 6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. VECTORES Y OPERACIONES 2. COORDENADAS DE UN VECTOR 3. OPERACIONES CON COORDENADAS 1. Hllr pr que el vector u(, 3) teng de módulo Determinr el vlor de x pr que el vector v(6, x) teng de módulo Hllr ls coordends de (1, 2) respecto de (2, 1) y c( 1, 1). 4. De los siguientes vectores del plno: (1, 2); (3, 1) y c(0, 5) ) Demuestr que y son linelmente independientes ) Hllr ls coordends de c respecto de y. c) Hllr el ángulo que formn y. d) Determinr l pendiente de y. 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 5. Clcul el vlor de x pr que el ángulo que formen los vectores (3, x) y (5, 2) se de De los vectores y conocemos = 2 y = 5 y el ángulo que formn es = 60º. Clcul Ddos los vectores x, 1 e y 2,, hll los vlores de y pr que x e y sen perpendiculres, y que y Responder los siguientes prtdos: (1 punto) y ) Hll el ángulo que formn los vectores 2, 3 2, 3. ) Cuánto h de vler k pr que los vectores x k, 3 e y k, 3 sen perpendiculres? 9. Hll el ángulo que formn los vectores y ) 2, 3 2, Responder los siguientes prtdos: Siendo que los vectores y son perpendiculres y que tienen de módulo respectivmente: = 5 y = 3; ) Clculr el siguiente producto esclr: (2 + ) ( + 3) ) Clcul + c) Clcul d) Siendo que (x, 3) y (y, z) hllr los vlores de x, y, z. 11. Responder los siguientes prtdos: ) Hllr un vector perpendiculr l u (6, 8) Vectores 7. 12

13 ) Un vector unitrio linelmente dependiente con él. c) L proyección de u sore el v ( 3, 4) d) El ángulo que formn u y v. e) El áre del prlelogrmo que determinn. 12. Responder los siguientes prtdos: ) Ddo el vector u(3,4 ), hllr el vlor de pr que su módulo se 10. ) Hllr un vector perpendiculr él que se unitrio. c) Diujr el vector u y determinr el ángulo que form con el eje X. d) Hllr l pendiente de dicho vector. 5. APLICACIONES 13. Hllr el áre del prlelogrmo determindo por los vectores siguientes (2, 6) y (3, - 3). Vectores 7. 13