Un vector es simplemente un segmento orientado. sentido. módulo a

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1 1 1-MAGNITUDES ESCALARES Y ECTORIALES. CÁLCULO ECTORIAL BÁSICO -CINEMÁTICA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES PARA EL ESTUDIO DEL MOIMIENTO. 3-CLASIFICACIÓN DE MOIMIENTOS. 4-COMPOSICIÓN DE MOIMIENTOS. PROYECTILES. Mgnitud físic es todo quello que se puede medir y según sus crcterístics se dividen en dos grndes grupos: MAGNITUDES ESCALARES: son quells que quedn perfectmente determinds por su número que expres su medid y su unidd correspondiente que sirve pr identificr qué mgnitud pertenece un vlor numérico ddo. Se llmn esclres porque se suelen representr medinte escls numérics. MAGNITUDES ECTORIALES: son quells que pr definirls completmente no bst con el número que expres su medid, necesitmos indicr demás un dirección y un sentido. Por es rzón se expresn medinte vectores. MAGNITUD UNIDAD (S.I.) APARATO DE MEDIDA fuerz ms longitud velocidd celerción peso tempertur tiempo desplzmiento volumen ESCALAR ECTORIAL Un vector es simplemente un segmento orientdo. Los vectores se representn gráficmente como segmentos cbdos en un flech y quedn perfectmente determindos si se conoce: -Módulo: longitud del vector. -Dirección: rect que pertenece ( inclinción del vector en el espcio). -Sentido: indicdo medinte l flech. -Origen o punto de plicción : donde empiez el vector. sentido dirección Aplicdo esto l físic el módulo es el vlor numérico de l mgnitud que se mide. módulo

2 El Álgebr vectoril es un instrumento muy empledo en Físic y conviene mnejrlo con soltur. Si representmos un vector respecto los típicos ejes crtesinos (x,y si estmos en un plno o x,y,z si estmos en el espcio). Tomndo el cso más sencillo, en un plno, quedrí el vector representdo por un pr de números que son su proyección sobre cd uno de los ejes y reciben el nombre de COMPONENTES. Como se puede ver ls COMPONENTES DE UN ECTOR se obtienen restndo ls coordends del extremo del vector (donde está l flech) menos ls del origen o punto de plicción del vector. Pr clculr el MÓDULO del vector bst con plicr Pitágors. y 5 Y β α X 1 5 x En x 5-1=4 luego l componente x es 4 En y 5-=3 luego l componente y es 3 El módulo qued: ( ) = ( ) Los ángulos serán: =5 X + Y Y X sen α = cos α = X Y sen β = cos β = Los vectores se pueden sumr y restr. Sumr un vector es hllr otro vector llmdo RESULTANTE que produzc los mismos efectos que los vectores sumdos si ctusen simultánemente. Pr relizr l sum de vectores complet hy que hcerl numéric y gráficmente. Numéricmente se clcul el módulo del vector resultnte, mientrs que gráficmente se dibuj el vector resultnte según su dirección y sentido, pr relizr l sum de vectores correctmente se deben hcer mbs coss. Pr sumr vrios vectores lo primero que hy que hcer es hcer coincidir sus orígenes. -Si se trt de vectores prlelos entre si (igul dirección) puede ocurrir que: )yn en el mismo sentido con lo que bst con sumr sus módulos. b)yn en sentidos contrrios, con lo cul sus efectos se oponen y por lo tnto se restn sus módulos y el vector resultnte v en el sentido del myor de ellos. + b b Así se observ que con vectores l rest es en relidd un sum en l que uno de los vectores se le h cmbido de sentido, l que llev el signo menos delnte. EL SIGNO DELANTE DE UN ECTOR INDICA SU SENTIDO, UN SIGNO MENOS DELANTE DEL ECTOR (es como multiplicrlo por 1 ) CAMBIA SU SENTIDO. -Si se trt de vectores perpendiculres entre si es fácil tnto l sum como l rest y que se sigue LA REGLA DEL PARALELOGRAMO y el Teorem de Pitágors pr hcer los cálculos. b ( + b )

3 -Si los vectores formn entre si un ángulo culquier se sigue emplendo l regl del prlelogrmo pr hcer el dibujo pero pr los cálculos hy que utilizr el Teorem del coseno (hy que tener en cuent que el Teorem de Pitágors es un cso prticulr del Teorem del coseno). Teorem del coseno: r = + b -..b.cos β 3 b α β como α + β = 180 º entonces cosα = -cosβ Luego r = +b +..b.cosα siendo α el ángulo entre los dos vectores Por ejemplo :si el módulo de es 4 y el de b es 7 y el ángulo entre ellos 30º l resultnte es: ( cos30º ) = 10, 65 Conociendo ls componentes de los vectores que se quiere sumr result mucho más fácil y que bst con sumr ls componentes, componente componente y el módulo del vector resultnte se obtiene prtir de ls componentes resultntes. Restr serí restr ls componentes. Curiosmente, cundo se trt de vectores, l operción contrri sumr no es restr (que es como sumr pero cmbindo de sentido l vector que llev el signo menos) l operción contrri es DESCOMPONER. L DESCOMPOSICIÓN DE UN ECTOR ES HALLAR UN SISTEMA DE ECTORES QUE PRODUZCA EL MISMO EFECTO QUE EL ECTOR DADO. El cso más corriente en físic es l descomposición de un vector en dos componentes normles (perpendiculres entre si). Ests componentes son l proyección del vector sobre unos ejes previmente definidos. Lo más corriente cundo se trbj en un plno y hy un superficie de movimiento es tomr los ejes respecto dich superficie y entonces se tom eje y perpendiculr l superficie y el eje x prlelo l mism. Se llm COMPONENTE UTIL l que coincide con l dirección en que se produce el movimiento o el efecto correspondiente. Dibujr los ejes y determinr ls componentes en cd cso: Los vectores se pueden multiplicr y dividir por números (esclres) el producto o el cociente de un vector por un número es SIEMPRE otro vector, que tiene l mism dirección que el primero y cuyo módulo es igul l producto o l cociente del módulo del vector por el esclr( número). =6 =1 / = 3 -

4 Algo muy útil en Físic son los llmdos ECTORES UNITARIOS.. Es evidente que un vector unitrio es quel cuyo módulo es 1 pero como se puede hcer que un vector se unitrio?. 4 5 Si este vector tiene, por ejemplo de componentes (3,4) su módulo es: = ( ) = 5 u El vector unitrio sle de dividir entre su modulo por lo tnto tiene de componentes (3/5, 4/5) que hciendo el módulo qued: u = = 1 SE OBTIENE UN ECTOR UNITARIO DIIDIENDO UN ECTOR ENTRE SU PROPIO MÓDULO. u = Entonces todo vector se puede representr como: - Su módulo, que indic su vlor numérico. - Un vector unitrio que indic l dirección. - Un signo (+ o -) que indic el sentido. ±. u = por ejemplo = 5. u De todos los posibles vectores unitrios, en tods ls posibles direcciones del espcio los que usrás con más frecuenci son los que se sitún en los ejes crtesinos de referenci y que sirven pr identificr ls componentes de un vector. El vector unitrio en l dirección del eje x se llm i,el que se sitú sobre el eje y se llm j y el que se sitú sobre el eje z se llm k. i z k k j i j k Si escribimos = signific que este vector tiene como componentes sobre el eje x 5, sobre el eje y 3 y sobre el eje z o lo que es lo mismo que si colocmos su origen en el origen de coordends su extremo estrí en el punto (5,3,) x y Los vectores tmbién se pueden multiplicr entre si y hy dos tipos de productos PRODUCTO ESCALAR d como resultdo un esclr (un número) y PRODUCTO ECTORIAL d como resultdo un vector. Tmbién se pueden derivr vectores simplemente derivndo cd un de sus componentes. Ejemplo 1: Siendo el vector 4i 3 j = dibújlo en el sistem de ejes, cules son sus componentes? que ángulo form con cd eje? cul es su módulo?. Obtén un vector unitrio en l dirección de. Ejemplo : Siendo = i 3 j + 4k, b = 4i + j k y c = i + 6k hz ls siguientes operciones: b c c b + c ; y clcul los módulos de los vectores resultntes Ejemplo3. Siendo = (t + 1) i + 5tj + k derivd de cundo t=1 y su módulo. + ; determin l derivd de respecto t. El vector cundo t=1 s y su módulo. El vector

5 5 L Cinemátic es un prte de l Mecánic, que estudi el movimiento sin tener en cuent ls cuss que lo producen. Cuándo se mueven los cuerpos describiendo un tryectori, pueden, l mismo tiempo, girr, vibrr... Estos movimientos superpuestos l de trslción dificultn el estudio del movimiento. Pr evitr inicilmente ests complicciones se consider que los cuerpos que se mueven son prtículs mteriles, SE CONSIDERA AL CUERPO EN MOIMIENTO COMO UN PUNTO MATERIAL QUE NO TIENE DIMENSIONES Y CUYA MASA ES LA MASA TOTAL DEL CUERPO. Mtemáticmente un prtícul es un punto sin dimensiones y, por tnto, no puede tener ni rotciones ni vibrciones, est es l form de estudir exclusivmente l trslción de un cuerpo sin más complicción. Decimos que un cuerpo está en movimiento cundo cmbi su posición en el espcio con respecto un determindo SISTEMA DE REFERENCIA, que normlmente se consider fijo, y decimos que está en reposo si su posición respecto dicho sistem de referenci no cmbi. Qué es un sistem de referenci? relmente siempre que relizmos culquier medid l hcemos respecto lgo y decimos por ejemplo "desde donde yo estoy hst l puert hy m" l decir esto nos estmos tomndo nosotros mismos como referenci. Entonces el reposo y el movimiento son conceptos reltivos y que dependen del sistem de referenci que tomemos, sí un cs se encuentr en reposo respecto nosotros y respecto l Tierr que está en movimiento en torno l Sol, pero respecto l Sol estrí en movimiento junto con l Tierr y si vemos est cs desde un tren en mrch prece que se mueve respecto nosotros. PARA DESCRIBIR PERFECTAMENTE UN MOIMIENTO HACE FALTA INDICAR RESPECTO A QUÉ SISTEMA DE REFERENCIA SE HAN REALIZADO LAS MEDIDAS. L tryectori depende del Sistem de Referenci escogido. Se denomin Tryectori l cmino seguido por el móvil en su movimiento. Es esclr El espcio (S) que recorre un cuerpo en su movimiento se define como l longitud de l tryectori recorrid y es tmbién un esclr. Se mide en metros Pr describir cinemáticmente el movimiento de un prtícul es necesrio conocer su posición en culquier instnte. Por tnto, es un problem estrechmente relciondo con ls nociones de tiempo y espcio. Pr situr l posición de un prtícul se suele elegir un sistem de referenci formdo por tres ejes perpendiculres entre sí, x,y,z, y dibujr un vector que teng como origen el sistem de referenci y como extremo l posición de l prtícul en cd instnte. Si en lugr de trbjr en tres dimensiones trbjmos en un plno sólo serí un sistem de referenci x,y. y vectores de posición desplzmiento x tryectori Los vectores de posición determinn ls diferentes posiciones del movimiento podemos llmrlos r1 y r si considermos ls posiciones como posición 1 y posición. r1-r= r mide l vrición de posición (incremento) es decir l diferenci entre l posición finl y l inicil y determin el desplzmiento del móvil El vector r = r - r 0 (posición finl menos posición inicil) se denomin vector desplzmiento. Su módulo represent l distnci entre dos posiciones que ocup el cuerpo durnte el movimiento. Se define vector desplzmiento como l distnci entre dos puntos inicil y finl del recorrido. Se clcul restndo los vectores de posición finl e inicil. Se mide en metros

6 El vector r = x i + y j + z. k definido en cd punto se denomin vector de posición. ECTOR DE POSICIÓN ES EL ECTOR QUE UNE EL ORIGEN DEL SISTEMA DE REFERENCIA CON LA POSICIÓN EN QUE SE ENCUENTRA EL CUERPO EN CADA MOMENTO. L prtícul se mueve vrindo de posición con el tiempo, por lo tnto el vector de posición es un función del tiempo r = r ( t) Conocer r ( t) es conocer el movimiento desde un punto de vist cinemático. El desplzmiento de un cuerpo que se mueve no tiene por que coincidir con l distnci recorrid s sobre l tryectori. Est es siempre myor y sólo se iguln cundo el movimiento es rectilíneo. El módulo del vector desplzmiento en un movimiento rectilíneo es igul l espcio recorrido según l tryectori. Ejemplo: Clcul l distnci recorrid por un cuerpo que se mueve en líne rect según los vectores de posición r 1=5 i +4 j y r =- i +3 j tomds ls posiciones en metros. Hz el dibujo. 6 El desplzmiento es el vector que une dos puntos de l tryectori del móvil ( rect que une dos posiciones de su movimiento, en el sentido de su movimiento) por lo tnto es un mgnitud vectoril mientrs que l tryectori describe el cmino seguido por el móvil en su movimiento, que puede ser rectilíneo, circulr,en zig-zg, ondulrorio, osciltorio, por lo que l tryectori no es un mgnitud vectoril. Pero el desplzmiento y l tryectori no sólo coinciden cundo el movimiento es rectilíneo sino tmbién cundo estudimos desplzmientos muy pequeñitos, infinitesimles o diferenciles: EL MOIMIENTO DE CUALQUIER MÓIL QUEDA PERFECTAMENTE DETERMINADO SI SE CONOCE COMO ARIAN LAS COMPONENTES DEL ECTOR DESPLAZAMIENTO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO d r = ds tryectori L velocidd es l mgnitud físic que estudi l vrición de l posición de un cuerpo en función del tiempo respecto un determindo sistem de referenci. Sus uniddes por tnto son: m/s cm/s o Km / h etc... Supongmos que cierto punto P se trsld en un intervlo de tiempo t desde el punto 1 hst el punto, crcterizdos por los vectores de posición r1 y r: y Se define velocidd medi como el cmbio de posición de un cuerpo en un intervlo de tiempo: m = r t = r t r1 t 1 x L dirección y sentido de l velocidd medi coincide con r (vector desplzmiento). PUESTO QUE EL COCIENTE ENTRE UN ECTOR Y UN NÚMERO DA SIEMPRE OTRO ECTOR ESTÁ CLARO QUE LA ELOCIDAD A A SER UN ECTOR. En ocsiones tmbién se puede clculr l velocidd medi respecto de l tryectori S entre dos posiciones inicil y finl (es decir tmbién en un intervlo) es lo que en lgunos libros se llm celeridd o rpidez unque es preferible llmrlo velocidd medi respecto de l tryectori. En este cso es un esclr. Rpidez: espcio recorrido por intervlo de tiempo m S = t r 1 = S t desplzmiento = r = r - r1 r S t 1 1 tryectori

7 L elocidd Instntáne se define como l velocidd que llev un móvil en un instnte de tiempo determindo. Pero como podemos obtener l velocidd de un móvil en un instnte?. Esto simple vist es bstnte difícil y que equivldrí hcer un "foto" l móvil en un instnte y obtener de lgun mner su velocidd, se trtrí de obtener cmbios instntáneos de posición y el tiempo que trdó en estos cmbios instntáneos (un instnte) prácticmente imposible de medir de form direct. Debemos recurrir proximciones si queremos sber l velocidd de un móvil en un punto determindo, el truco consiste en ir tomndo puntos cd vez más próximos quel cuy velocidd queremos medir, clculndo cd vez l velocidd medi entre esos puntos, l irnos cercndo cd vez más l punto que queremos medir, el intervlo en que clculmos l velocidd medi es cd vez más pequeño, con lo que ls vriciones se convierten en diferenciles. L operción que estmos hciendo es un derivd. 7 y desplzmiento = dr en un tiempo dt tryectori L velocidd instntáne es el cmbio de posición de un cuerpo en movimiento en cd instnte. - Lim r - dr t 0 t dt x Este vector velocidd instntáne es tngente l tryectori y su sentido es el del movimiento. Si tenemos en cuent que tnto r como t están ligdos l cmino recorrido S, y que cundo el cmbio es diferencil el módulo (vlor numérico) de dr es igul que ds l expresión de l velocidd puede desrrollrse en l form siguiente: Por supuesto en módulo. dr - ds dt dt Ejemplo 1: Siendo l ecución de un movimiento S=3t +5t-1 m clcul l velocidd entre t=1 y t= s y l velocidd pr t= s. Ejemplo : El vector de posición de un móvil es l diferenci?. r (3t + ) i + 5t j 6k = ( m) clcul lo mismo que en el cso nterior cul es Conociendo el vector de posición en función del tiempo se puede sber l tryectori del móvil y l ecución del movimiento, S en función de t?. Y conociendo l ecución del movimiento se puede determinr l tryectori y el vector de posición en función del tiempo?. Piénslo. Puesto que l velocidd instntáne es un vector tngente l tryectori en cd punto, cuyo sentido es el del movimiento, prtir de ell se podrí obtener un vector unitrio tngente l tryectori en cd punto y según el sentido del movimiento, que nos puede ser de much utilidd. Recuerds como se obtenín vectores unitrios?. u T = luego. u T = Por tnto: =. u recuerd que un vector se represent por! T un signo + o - que indic su sentido, un número que indic su módulo y un vector unitrio que indic su dirección respecto l sistem de referenci que utilicemos, en este cso hemos cmbido de sistem de referenci y estmos usndo uno respecto l tryectori (según se tngente o perpendiculr ell) y no un sistem exterior x, y,z lo que implicrí usr como vectores unitrios,, i j k tryectori eje tngente l movimiento u N u T eje perpendiculr l movimiento elocidd

8 Se define l celerción cómo l vrición de l velocidd respecto l tiempo. Sus uniddes por tnto serán m/s o Km/h etc... Siempre que un cuerpo vrí su velocidd y se en módulo, dirección o sentido hy celerción. 8 COMO EL COCIENTE DE UN ECTOR ENTRE UN NÚMERO ES SIEMPRE OTRO ECTOR ESTÁ CLARO QUE LA ACELERACIÓN ES UNA MAGNITUD ECTORIAL. Igul que hcímos con l velocidd se pueden considerr dos tipos de celerción según estudiemos el movimiento en un intervlo o en un punto. L celerción medi estudi el cmbio de velocidd en un intervlo de tiempo. Es un vector con l mism dirección y sentido que el vector resultnte de restr l velocidd inicil y finl vectorilmente,en cierto t se define como : m = t = t t Se trt por tnto de un mgnitud vectoril con l = 1 y en es mism dirección y sentido sle m 1 dirección y sentido de. Pr conocer l celerción en cd instnte, necesitmos conocer intervlos de tiempo t cd vez ms pequeños. L celerción Instntáne mide el cmbio de velocidd en un instnte determindo del movimiento: - Lim - d es tmbién un mgnitud vectoril t 0 t dt "! Si usmos el sistem de referenci en función de l tryectori podemos descomponer l celerción en dos componentes: Recuerd que: =. ut d - d. ut mtemáticmente esto se deriv sí: dt dt d. UT +. dut dt dt celerción tngencil (T) : cmbio del módulo de l velocidd celerción norml ( N): cmbio de l dirección de l velocidd =. u + T T = + N T N. u N tryectori eje tngente l movimiento u N u T N T eje perpendiculr l movimiento

9 ACELERACIÓN TANGENCIAL: está clro que ES TANGENTE A LA TRAYECTORIA y que qued multiplicdo por el vector unitrio tngente y su módulo se obtiene derivndo el módulo de l velocidd respecto l tiempo. Un derivd es un cmbio instntáneo y si el módulo de l velocidd no cmbir,fuer constnte, su derivd serí cero y est componente de l celerción serí cero. Luego LA ACELERACIÓN TANGENCIAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA EL CAMBIO DEL MÓDULO DE LA ELOCIDAD RESPECTO AL TIEMPO. Es l responsble del cmbio de l mgnitud velocidd, es decir, del módulo de l velocidd. Si T = 0 el módulo de l velocidd es constnte; es decir el movimiento es uniforme. En movimientos Uniformes donde l velocidd es constnte en módulo no existe l celerción tngencil. LA OTRA COMPONENTE RECIBE EL NOMBRE DE ACELERACIÓN NORMAL PORQUE ES PERPENDICULAR A LA TRAYECTORIA: LA ACELERACIÓN NORMAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA EL CAMBIO DE DIRECCIÓN DE LA ELOCIDAD RESPECTO AL TIEMPO. Existe siempre que el movimiento es curvilíneo. Es l responsble del cmbio de dirección de l velocidd. Si el movimiento es rectilíneo est componente se hce cero. O lo que es lo mismo si N =0 l dirección del vector velocidd es constnte, es decir, el movimiento es rectilíneo. T d (m /s ) dt Se obtiene derivndo el módulo de l velocidd N (m/s ) R Se obtiene con l velocidd, en un instnte ddo, l cudrdo entre el rdio de giro 9 Con ver el vlor del módulo (vlor numérico ) de l celerción norml se comprende perfectmente y que si el rdio de giro R = entonces N =0 y l tryectori será rectilíne y l celerción norml vldrá cero. Ejemplo: Se el vector de posición de un móvil r= 3 t i + t 3 j +3 k m.clculr Ls componentes Intrínsecs de l celerción cundo t=1 s y el rdio de giro en ese instnte. #! Desde el punto de vist cinemático existen vrios criterios pr clsificr los movimientos. Rectilíneos: cuándo su tryectori es un líne rect. (No hy N.) Según l tryectori Curvilíneos: cuándo su tryectori es curv. Dentro de estos se encuentrn movimientos tn importntes como: circulr, elíptico, prbólico, ondultorio...(si hy N) Según el módulo de l velocidd. Uniformes: módulo de l velocidd constnte ( no hy T). ridos (no uniformes): vrí el módulo de l velocidd (si hy T) En función de l celerción : est es l clsificción más importnte qué nos v servir pr recordr ls crcterístics de los movimientos más comunes.

10 10 )MOIMIENTOS SIN ACELERACIÓN : MOIMIENTO RECTILINEO UNIFORME ( mru ) Como l tryectori es rect, l velocidd no cmbi en ningún momento de dirección y no hy celerción norml. Como es un movimiento uniforme l velocidd no cmbi de vlor (módulo) por lo que tmpoco existe celerción tngencil. Luego este movimiento no tiene celerción. Al ser l tryectori rectilíne el desplzmiento ( r ) y l tryectori (S) coinciden. Como l velocidd es constnte l velocidd medi y l instntáne coinciden. dr = ds = S = S S0 dt dt t t Despejndo. t = S S0 luego. t + S0 = S Ls gráfics de un movimiento uniforme son : Ecución del movimiento uniforme : S=. t Si hy espcio inicil qued S =. t + S0 S (m) (m/s) S 0 t (s) t (s) L velocidd es l pendiente de l gráfic S/ t, cunto más pendiente más velocidd Es posible scr l ecución del movimiento prtir de áre bjo l gráfic velocidd-tiempo: áre =. t! $%&' Al ser un movimiento rectilíneo no tiene celerción norml, pero l velocidd v cmbindo en módulo (celermos o frenmos) y por lo tnto hy celerción tngencil. El ritmo de cmbio de l velocidd es constnte, l velocidd vrí proporcionlmente l tiempo ( doble tiempo doble velocidd etc...) por lo que l celerción es constnte en módulo. Además de ser constnte el módulo de l celerción, tmbién es constnte su dirección y el sentido, y que el movimiento es rectilíneo. Como l T es constnte y l únic de este movimiento, l celerción tngencil coincide con l celerción medi del movimiento y que si l celerción es constnte es l mism en un punto que en un intervlo. d = = 0 dt t t Como l tryectori es rectilíne el desplzmiento y l tryectori coinciden. L ecución del espcio tmbién se puede obtener del áre de l gráfic velocidd frente tiempo igul que en el movimiento nterior. Ecución del movimiento uniformemente celerdo: S = 0.t + 1..t si hy espcio inicil S0 se ñde Derivndo se obtiene l velocidd = ds = 0 +. t dt

11 11 (m/s) 0 áre 1 áre t (s) áre 1 = 0. t áre = 1. (- 0). t como = - 0 entonces. t = ( 0) t qued áre = 1.. t Luego el áre totl (que es el espcio recorrido es áre1 + áre S= 0. t t En este cso, debido que todos los vectores tienen l mism dirección y que se trt de un movimiento rectilíneo, ests ecuciones pueden escribirse de form esclr, utilizándose entonces los signos + y - pr diferencir el sentido. Ls gráfics de un movimiento uniformemente celerdo son: S (m) ACELERACIÓN A FAOR DEL MOIMIENTO (celerr) (m/s) ACELERACIÓN EN CONTRA DEL MOIMIENTO. (frenr) S (m) (m/s) 0 S0 0 S0 t (s) t (s) t (s) t (s) L celerción es l pendiente de l gráfic velocidd tiempo. Si ctú un celerción en contr del movimiento l velocidd del cuerpo disminuye y puede llegr prrse, si dich celerción sigue ctundo consigue que el cuerpo retroced (es decir se pong en mrch en sentido contrrio l que llevb) El signo de l celerción y de l velocidd depende del sistem de referenci que tomemos no de que el cuerpo celere o frene. Si considermos positivo el sentido de vnce del cuerpo un celerción es negtiv si v en contr del vnce del cuerpo y positiv si v fvor. Un cuerpo fren si su celerción v en sentido contrrio l velocidd y celer si mbs vn en el mismo sentido. Ejemplo 1: Interpret est gráfic y clcul el espcio recorrido por el móvil en cd etp y el espcio totl recorrido, clcul l celerción en cd etp. Hz l gráfic espcio/ t (m/s) t (s)

12 1 $% ' Al ser un movimiento uniforme el módulo de l velocidd es constnte luego no hy celerción tngencil. Su tryectori es un circunferenci por lo que el desplzmiento y l tryectori no coinciden. L velocidd v cmbindo constntemente de dirección por lo que existe celerción norml. Si l únic celerción que existe es l norml y l celerción es constnte, l celerción medi es igul que l instntáne en su únic componente en este cso que es l celerción norml. N R ϕ S r S Al ser un movimiento uniforme su ecución de movimiento es : Ecución del movimiento uniforme : S=. t Si hy espcio inicil qued S =. t + S0 Acelerción norml o centrípet : N R Ls gráfics de este movimiento serán ls misms que ls de culquier movimiento uniforme luego A PARTIR DE LAS GRÁFICAS S/t Y / t NO ES POSIBLE DISTINGUIR EL MOIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME DEL CIRCULAR UNIFORME YA QUE NO NOS PERMITEN SABER LA TRAYECTORIA, SOLO INFORMAN DE LAS RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE LAS DIFERENTES MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOIMIENTO, PARA SABER LA TRAYECTORIA NECESITAMOS EL ECTOR DE POSICIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO Y REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE EJES DE REFERENCIA X,Y. En un movimiento circulr demás del espcio recorrido hy que tener en cuent el ángulo descrito en el movimiento, esto nos llev diferencir entre MAGNITUDES LINEALES, ls que hemos visto hst hor y describen el movimiento linelmente y MAGNITUDES ANGULARES que dependen de ángulo descrito. Los ángulos se suelen medir en grdos pero en Físic se emple como unidd fundmentl pr medir ángulos el rdin, recuerd que: UN RADIAN ES AQUEL ÁNGULO CUYO ARCO ES IGUAL A SU RADIO. ángulo (rdines)= rco rdio ϕ = S R R ϕ S R Si queremos estudir este movimiento ngulrmente hy que definir un mgnitud que indique como v cmbindo el ángulo descrito respecto l tiempo medid que el móvil vnz en su tryectori circulr, est mgnitud recibe el nombre de ELOCIDAD ANGULAR es el ángulo recorrido por unidd de tiempo. Como es lógico puede estudir este cmbio en un intervlo, velocidd ngulr medi, o en un instnte, velocidd ngulr instntáne. SE DEFINE MOIMIENTO CIRCULAR UNIFORME COMO AQUEL CUYA ELOCIDAD ANGULAR ES CONSTANTE velocidd ngulr ω (rd/s) velocidd ngulr medi velocidd ngulr instntáne ω = ϕ = ϕ ϕ0 t t ω = dϕ dt

13 13 Como ϕ = S despejndo ϕ. R = S derivndo tod l iguldd respecto l tiempo y como R es constnte R dϕ. R = ds luego qued : dt dt ω. R = Ecución linel del movimiento uniforme : S=. t Si hy espcio inicil qued S =. t + S0 Ecución ngulr del movimiento uniforme : ϕ= ω. t Si hy ángulo inicil qued ϕ = ω. t + ϕ0 El MCU es un movimiento periódico, y que ls posiciones de l prtícul se repiten intervlos igules llmdos períodos : T PERÍODO (T) ES EL TIEMPO QUE TARDA EN DAR UNA UELTA COMPLETA. (se mide en segundos) FRECUENCIA (f) ES EL NÚMERO DE UELTAS COMPLETAS POR UNIDAD DE TIEMPO. (se mide en s -1 que reciben el nombre de HERTZIOS,Hz) El período y l frecuenci son inversos: Tiempo (s) número de vuelts T (periodo) 1 vuelt 1 segundo f (frecuenci) despejndo T= 1 f L relción de ests dos mgnitudes con l velocidd ngulr se puede determinr pensndo que si el móvil d un vuelt complet recorre un ángulo de rd. y el tiempo que trdó en recorrerlo es el período T luego como l velocidd ngulr relcion el ángulo recorrido con el tiempo empledo en recorrerlo : ω= T Ejemplo: Un disco gir 300 rpm,sobre él hy tres cuerpos, el primero 1 m del centro del disco, el segundo m y el tercero 3 m cul gir con más velocidd ngulr y cul con más velocidd linel?. Clcúlls.! Como l tryectori es circulr el desplzmiento y l tryectori no coinciden Existe celerción tngencil y que el módulo de l velocidd vrí, y por tnto tmbién l velocidd ngulr vrí. El ritmo de cmbio de l velocidd es constnte por lo que l celerción tngencil es constnte. Como el movimiento es circulr l dirección de l velocidd v cmbindo por lo que hy celerción norml y no es constnte porque l velocidd v tomndo diferentes vlores. L celerción de este movimiento const por tnto de sus dos componentes, l celerción tngencil que es constnte porque el módulo de l velocidd vrí proporcionlmente l tiempo (es uniformemente celerdo) y l celerción norml que no es constnte porque l velocidd es diferente en cd punto luego el cudrdo de l velocidd entre el rdio d diferentes vlores en cd punto. Así l celerción de este movimiento no es constnte y se puede obtener prtir de sus dos componentes: = T + N Por lo tnto si estudimos linelmente este movimiento responde ls misms ecuciones que culquier movimiento uniformemente N R ϕ S r S

14 celerdo y ls gráfics vn ser ls misms, luego A PARTIR DE LAS GRÁFICAS S / t Y / t NO ES POSIBLE DISTINGUIR UN MOIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO DE UNO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO YA QUE NO NOS PERMITEN SABER LA TRAYECTORIA, SOLO INFORMAN DE LAS RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE LAS DIFERENTES MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOIMIENTO, PARA SABER LA TRAYECTORIA NECESITAMOS EL ECTOR DE POSICIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO Y REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE EJES DE REFERENCIA X,Y. Ecución del movimiento uniformemente celerdo: S = 0.t + 1..t si hy espcio inicil S0 se ñde Derivndo se obtiene l velocidd = ds = 0 +. t dt Acelerción norml o centrípet : N R 14 Como ω. R = si derivmos todo respecto t qued d ω. R = d teniendo en cuent que T d dt dt dt L mgnitud que determin el cmbio de velocidd ngulr en función del tiempo se llm celerción ngulr α y se mide en rd/s luego : α. R = T celerción ngulr α (rd/s ) celerción ngulr medi celerción ngulr instntáne α = ω = ω ω0 t t α = d dt Ecución linel del movimiento uniformemente celerdo: S = 0.t + 1..t si hy espcio inicil S0 se ñde Ecución ngulr del movimiento uniformemente celerdo: ϕ = ω0.t + 1.α.t si hy espcio inicil S0 se ñde Derivndo se obtiene l velocidd = ds = 0 +. t dt Derivndo se obtiene l velocidd ω= dϕ ω = ω0 + α. t dt ESTE NO ES UN MOIMIENTO PERIÓDICO YA QUE LA ELOCIDAD CAMBIA CADA EZ Y TARDA DIFERENTES TIEMPOS EN DAR CADA UELTA COMPLETA, POR LO TANTO NO TIENE SENTIDO HABLAR EN ESTE MOIMIENTO DE PERÍODO NI DE FRECUENCIA. mgnitud linel = mgnitud ngulr por rdio S (espcio en metros) = ϕ ( ángulo en rd ). R (velocidd en m/s) = ω (velocidd ngulr en rd/s). R T (celerción tngencil en m/s ) = α (celerción ngulr en rd/s ). R Ejemplo: Un móvil se pone en mrch pr recorrer un pist circulr,en 10 s lcnz un velocidd de 600 rpm clcul su celerción ngulr y el número de vuelts que h ddo en ese tiempo.

15 15 (! Cuándo un prtícul se encuentr sometid dos movimientos simultáneos e independientes, el movimiento que reliz es un movimiento compuesto. Dicho de otro modo, hy movimientos en prienci complejos que se pueden estudir de form mucho más simple como superposición de dos movimientos más sencillos. Entonces se hbl de Composición de movimientos. Como ls velociddes son vectores se pueden sumr y restr vectorilmente, sí un cuerpo sometido dos velociddes distints se moverá según l resultnte de dichs velociddes, de igul form si hy distints celerciones l celerción del móvil será l resultnte de ls celerciones existentes. Ejemplo: Un cno trvies perpendiculrmente un río de 100 m de ncho con un velocidd de 10 m/s. L velocidd de l corriente es de 5m/s. Clculr l velocidd rel con que se mueve l cno, en qué dirección se mueve y el tiempo que trd en llegr l orill opuest. Si l cno fuese prlel l orill en sentido contrrio l corriente con qué velocidd se moverí?. mos estudir lgunos movimientos que se debn l superposición de movimientos rectilíneos uniformes o uniformemente celerdos. El cso más corriente de composición de movimientos es el lnzmiento de proyectiles, y se verticl, horizontl u oblicuo. En primer lugr es necesrio tener clro que l lnzr un proyectil lo que hcemos es disprrlo con un cierto impulso inicil, es decir, con un ciert velocidd inicil, desentendiéndonos inmeditmente de él y dejándolo merced de l fuerz grvittori que ejerce l Tierr y le hce cer sometido l celerción de l grvedd, g=9,8 m/s, que es verticl y hci bjo. En todos los csos vmos considerr desprecible l resistenci del ire. Debemos estblecer en primer lugr un sistem de referenci que mntendremos siempre igul en todos los movimientos, el sistem de referenci más sencillo es quel que sitú EL EJE Y EN LA ERTICAL DEL PUNTO DE LANZAMIENTO Y EL EJE X EN EL SUELO. Los lnzmientos los vmos clsificr según l dirección en que lnzmos (l dirección del vector velocidd inicil) en tiros: verticles, horizontles u oblicuos: Tenemos dos movimientos, el debido nuestro lnzmiento (hci rrib o hci bjo) y el de l grvedd que tir del cuerpo hci bjo. mos ver los vectores de posición que se obtienen cundo el tiro es hci rrib y cundo es hci bjo: h máxim h 0 Y finl = 0 0 g X ectorilmente l celerción de l grvedd qued: g = - 9,8 j m/s con el sistem de referenci que hemos tomdo. El cuerpo sube siendo frendo por l trcción grvittori terrestre que cb por prrle y le hce cer. En todo momento l grvedd ctú hci bjo y es l velocidd l que cmbi de sentido (primero sube y luego bj). Como l celerción de l grvedd es un vlor constnte estmos con un movimiento uniformemente celerdo y su ecución de movimiento es : S = 0.t + 1..t Como l tryectori es rectilíne el vlor del desplzmiento y el espcio recorrido coinciden por lo que el vector de posición del móvil en cd instnte es: r = ( h0 + 0.t - 1. g.t ) j (m) y l velocidd se sc derivndo: = (0 g.t ) j m/s

16 16 h 0 Y 0 En este cso l velocidd inicil tiene diferente sentido y por lo tnto diferente signo: r = ( h0-0.t - 1. g.t ) j (m) y l velocidd se sc derivndo: = (- 0 g.t ) j m/s L grvedd celer en todo momento l movimiento. Si en lugr de lnzrlo hci bjo lo dejmos cer l velocidd inicil es cero: r = ( h0-1. g.t ) j (m) y l velocidd se sc derivndo: = ( g.t ) j m/s X Ejemplo: Desde un globo que está scendiendo un velocidd de 50m/s se suelt un cuerpo pr que cig libremente. Si trd 0s en llegr l suelo qué ltur estb el globo en el instnte de soltr el cuerpo? Cunto trdrí en llegr l suelo si suelt el cuerpo cundo el globo desciende es mism velocidd?. ) L velocidd de lnzmiento es horizontl, el cuerpo qued sometido dos movimientos simultáneos: 1. SOBRE EL EJE X: (mru) un movimiento horizontl rectilíneo y uniforme debido l velocidd de lnzmiento, ningun celerción ctú horizontlmente, este es el MOIMIENTO DE AANCE (si no hubier ningun otr cción sobre el cuerpo este seguirí indefinidmente en líne rect).. SOBRE EL EJE Y: (mru) un movimiento verticl rectilíneo y hci bjo, sin velocidd inicil porque l velocidd inicil es horizontl y uniformemente celerdo (celerción de l grvedd) debido l trcción que l Tierr ejerce sobre el cuerpo hciéndolo cer, MOIMIENTO DE CAÍDA. El resultdo de mbos movimientos ctundo l vez d lugr l tryectori curvilíne que sigue el cuerpo. h 0 Y 0 El vector de posición tiene componente x (m r u S=. t vnce del proyectil) y componente y donde se mide l cid y por lo tnto ls lturs (m ru sin velocidd inicil S= S t ) qued: r = (0. t ) i + ( h0-1. g.t ) j (m) y l velocidd se sc derivndo: = (0 ) i +( -g.t ) j m/s r ALCANCE DEL PROYECTIL : es l distnci horizontl que recorre hst llegr l suelo. En el suelo l ltur es cero luego y=0 entonces: 0 = h0-1. g.t scndo el vlor de t es posible obtener el lcnce X= 0. t X lcnce

17 L tryectori se obtiene del vector de posición despejndo el tiempo de cd, ES UNA TRAYECTORIA PARABÓLICA. 17 X = 0. t Y = h0-1. g.t X = t sustituyendo en y qued 0 Y = h0 - g. X 0 Ecución de l tryectori Ejemplo: Un vión vuel un ltur de 3 Km y llev un velocidd de 500m/s qué distnci del blnco debe soltr un bomb pr certr?. h máxim Cundo lnzmos un proyectil con un cierto ángulo respecto de l horizontl l velocidd de lnzmiento no es horizontl ni verticl sino oblicu. Como l velocidd inicil con que se lnz el proyectil es oblicu es necesrio descomponerl según los ejes de referenci. 1. SOBRE EL EJE X: (mru) el movimiento es horizontl rectilíneo y uniforme debido l componente x de l velocidd de lnzmiento (ox), MOIMIENTO DE AANCE (si no hubier ningun otr cción sobre el cuerpo este seguirí indefinidmente en líne rect). SOBRE EL EJE Y: (mru) verticl rectilíneo y celerdo, (celerción de l grvedd) cuy velocidd inicil es l componente verticl de l velocidd inicil (oy),positiv o negtiv según el lnzmiento se hci rrib o hci bjo, debido l trcción que l Tierr ejerce sobre el cuerpo hciéndolo cer, MOIMIENTO DE CAÍDA. El resultdo de mbos movimientos ctundo l vez d lugr l tryectori curvilíne que sigue el cuerpo. Si el tiro es oblicuo hci rrib el vector de posición entonces es: Y 0y 0 El vector de posición tiene componente x (m r u S =. t vnce del proyectil) y componente y donde se mide l cid y por lo tnto ls lturs (m ru S= S t + 1..t ) qued: r = (0X. t ) i + ( h0 + 0Y. t - 1. g.t ) j (m) y l velocidd se sc derivndo: = (0X ) i + ( oy - g.t ) j m/s 0x h 0 ox = 0. cos α r lcnce 0Y X 0 ALCANCE DEL PROYECTIL : es l distnci horizontl que recorre hst llegr l suelo. Al llegr l suelo l ltur es cero luego Y =0. h0+ 0Y.t- 1. g.t = 0 Resolviendo l ecución de segundo grdo se sc el tiempo: El recorrido en horizontl es X y por tnto con el vlor de tiempo obtenido se sc X que es el lcnce: X= 0X. t 0Y = 0. sen α α 0X

18 L tryectori se obtiene del vector de posición despejndo el tiempo, ES UNA TRAYECTORIA PARABÓLICA. 18 X = 0X. t Y = h0 + 0Y. t - 1. g.t X = t sustituyendo en y qued 0X Y = h0 + 0Y. X - g. X 0X 0 Ecución de l tryectori L ALTURA MÁXIMA se obtiene teniendo en cuent que en ese punto el vector velocidd result horizontl luego l componente y de l velocidd es cero. oy - g.t = 0 de quí scmos el tiempo y pr determinr l ltur vmos l componente Y del vector de posición que mide ls diferentes lturs e introducimos el vlor de tiempo obtenido : Y = h0 + 0Y. t - 1. g.t Como serí el vector de posición de un tiro oblicuo hci bjo? y l ecución de su tryectori?. Y 0x h 0 0y 0 r 0Y α 0X 0 X lcnce Ejemplo: Se lnz un proyectil con un velocidd de 10 m/s desde un torre de 40 m de ltur, obtener el vector de posición del proyectil en función del tiempo y prtir de él obtener el lcnce del proyectil, su ltur máxim, l velocidd con que lleg l suelo, su posición cundo t= 1s y el ángulo de su tryectori con l horizontl en ese instnte si: ) El tiro es horizontl. b) Se lnz el proyectil hci rrib con un ángulo de 30 º respecto l horizontl. c) Se lnz el proyectil con el mismo ángulo que en el prtdo nterior respecto l horizontl pero hci bjo.

19 *+, - *./0& Obtén el módulo del vector resultnte de los vectores del dibujo: º 15.Dos vectores y b vienen expresdos por =3i+4j+k y b=4i-5j+8k clcul el módulo de estos vectores, el módulo del vector sum y del vector rest de los dos. Determin un vector unitrio en l dirección de b. 3.Ddos los vectores = i+3j y b=4i-j dibujlos en los ejes y clcul su sum gráfic y numéricmente. Clcul el módulo de mbos vectores y el de su sum y hz su producto vectoril. 4. Los vectores y b formn un ángulo de 60º, el módulo de es 5 y el de b es 4: Clcul +b, obtén un vector unitrio en l mism dirección y sentido que,; Otro vector unitrio en l mism dirección y en sentido contrrio que b. Hz otr vez +b suponiendo que b form un ángulo de 30º con el eje x. 5.Hll el vector resultnte de dos vectores plicdos un punto y que vlen respectivmente 9 y 1 m/s si formn entre si un ángulo de: )30º b)45º c)90º y c)180º 6.Obtén pr t=0, pr t=1 y pr t= el módulo del vector =(t 3 +3t)i +(t -8)j+5k 7.El vector resultnte de dos perpendiculres tiene por módulo 10 si uno de los vectores vle 8 cuál es el módulo del otro vector? 8.Descomponer un vector cuyo módulo es 100 en dos componentes perpendiculres tles que sus módulos sen igules. 9.Ddos los vectores =3i+j-5k, b=6i-4j y c=7j+4k clcul r=3+b-c. Clcul tmbién.b 10.Dibuj,hll ls componentes de cd uno de estos vectores y su sum: tiene por módulo y ángulo con el eje x 40º y b tiene por módulo 4 y ángulo con el eje x 17º.

20 0 Hoj Problems: MOIMIENTOS Y GRÁFICAS 1. El vector de posición de un prtícul viene ddo por l expresión r=(t+5)i+(t +4t+1)j clcul l ecución de l tryectori del cuerpo, l velocidd del móvil pr t=5 s y l celerción del móvil. Qué podemos decir de este movimiento?.. Un punto móvil tiene de coordends x=5+t, y=4t -t+1 en el S.I. clculr )l velocidd medi en el intervlo t1= s, t=5s, b)l velocidd inicil, c)l ecución de l tryectori. 3. L ecución del movimiento rectilíneo de un cuerpo viene dd por l expresión: s = 3t +4t+1 ) Cul es l expresión de l velocidd?. ; b) Puedes expresrl en form vectoril? ; c) Tiene celerción?, de qué tipo?, puedes clculrl?, y expresrl en form vectoril?. ; d) Cul es su velocidd inicil? ; e) Clcul su velocidd y celerción, si l hy, en t= 5s. ; f) Clcul l celerción medi entre t=1s y t=s. ; g) Represent ls gráfics del movimiento. Qué conoces sobre él?. 4. El vector de posición de un móvil es: r = 3t.i + (t+1).j. Clcul pr t= 3 s : ) El vector velocidd y su módulo. b) El vector celerción y su modulo. e) Indic lo que conoces sobre el movimiento y clsifíclo. f) Represent ls gráfics del movimiento. 5. El vector de posición de un móvil es r = t 3 i-4t j+(3t-)k m. Clcul el vector velocidd instntáne en el momento en que su celerción es de 10 m/s. 6. Dds ls ecuciones de un movimiento x=t+1, y=t +, z=t determinr l velocidd medi entre t= s y t=3 s.l velocidd y l celerción pr t= 1s.Determinr tmbién ls componentes de un vector unitrio tngente l tryectori pr culquier instnte y pr t=1 s. 7. L ecución de un movimiento es S=6t 3-8t +t-5 m clcul el espcio recorrido l cbo de 3s y l velocidd y l celerción en ese momento qué espcio recorre el móvil durnte el tercer segundo y cul es su celerción en este intervlo? 8. En qué instnte tendrán l mism velocidd don móviles cuys respectivs ecuciones de movimiento son S1=3t +5t+6 y S=6t+8 m? 9. Un móvil se desplz según el vector r=(t 3 +t+)i +(t+1) j m determin su celerción medi entre t=1 y t=3 s sí como su celerción instntáne pr t=1 s. 10. Clcul pr t=1 s l celerción sbiendo que l velocidd del móvil es = 3t i+4j m/s 11. Un móvil que prte con velocidd inicil de 40 m/s, durnte los primeros 10 s recibe un celerción negtiv de 4 m/s y los 5 s siguientes un celerción negtiv de m/s clculr l distnci recorrid respecto l punto de prtid los 15 s y su velocidd finl. Dibuj ls gráfics v/t y s/t correspondientes. 1. Prtiendo del reposo un móvil dquiere en 16 s un velocidd de 60m/s de l siguiente form: los primeros 6 s sigue un movimiento uniformemente celerdo y el resto un movimiento uniforme, clculr l celerción del cuerpo y el espcio totl recorrido. 13. El movimiento rectilíneo de unos móvil viene descrito por ls siguientes gráfics, indic en cd un: )Qué tipo de movimiento llev el móvil en cd trmo. b) Que espcio totl recorre. c) El espcio y l celerción en cd etp. d) Dibuj ls gráfics frente t y posición frente t.