a (3, 1, 1), b(1, 7, 2), c (2, 1, 4) = 18,5 u 3

Transcripción

1 8 Clcul el volumen del prlelepípedo determindo por u(,, ), v (,, ) y w = u v. Justific por qué el resultdo es u v. w = u Ò v = (,, ) (,, ) = (, 6, 5) [u, v, w] = 6 5 u v = = 7 = 7 Volumen = 7 u [u, v, w] = ( u v ) w = ( u v ) ( u v ) = ( u v ) 9 Clcul el volumen del tetredro determindo por los vectores siguientes: [, b, c ] = 7 4 (,, ), b(, 7, ), c (,, 4) = Volumen = 6 = 8,5 u Clcul el vlor de m pr que los vectores u(,, ), v (, m, ) y w ( 4, 5, ) sen coplnrios. [u, v, w] = 4 m 5 = m + 8 = m = 4 Págin 4 Pr resolver Consider los siguientes vectores: u(,, ), v (,, ), w (m,, ) ) Clcul el vlor de m pr el cul u y w son ortogonles. b) Hll los vlores de m que hcen que u, v y w sen linelmente independientes. c) Pr m = escribe el vector s (,, ) como combinción linel de u, v y w. ) u w u w = u w = (,, ) (m,, ) = m m = m = Son ortogonles cundo m =. b) Los vectores son linelmente independientes si el rngo de l mtriz que formn es, es decir, si el determinnte de l mtriz que formn no vle : m = m + 4 Son linelmente independientes si m 4 c) (,, ) = x (,, ) + y (,, ) + z (,, ) Resolvemos el sistem: x + y + z = x + z = x y = s = u + v + w 4 8 x =, y =, z = 7

2 Prueb que los vectores (,, b), (,, c), (,, ) son linelmente independientes culesquier que sen, b y c. b c = pr culquier vlor de, b, c. Por tnto, son linelmente independientes. Ddos los vectores (,, ) y b(,, ), comprueb que el vector b es perpendiculr + b y b. (,, ) b(,, ) + b = (, 5, ) b = (,, ) b = (,, ) ( + b) ( b) = (, 5, ) (,, ) =. Por tnto, + b b. ( b) ( b) = (,, ) (,, ) =. Por tnto, b b. Hst quí, l comprobción rutinri, numéric. Más interesnte es l siguiente reflexión: b 8 b b Así, y b son perpendiculres b. Los vectores + b y b son ls digonles del prlelogrmo determindo por y b. Por tnto, están en el plno definido por y b. Y el vector b es perpendiculr dicho plno. 4 ) Comprueb que el prlelogrmo deter mindo por los vectores u(,, ) y v (4,, 6) es un rectángulo. b) Hll su áre multiplicndo l bse por l ltur y comprueb que obtienes el mismo resultdo si hlls u v. ) u v = (,, ) (4,, 6) = 6 6 =. Luego u y v son perpendiculres, y el prlelogrmo es un rectángulo. b) Bse = u = 4 4 Áre = 854 9, u Altur = v = 6 Por otr prte: u v = (9,, 7) = 854 9, u 5 Ddo el vector v (,, 4), hll ls coordends de los siguientes vectores: ) Unitrio y perpendiculr v. b) Prlelos v y de módulo 6. ) u (x, y, z) h de cumplir x + y 4z = y ser unitrio. Por ejemplo, e,, o. b) ( 6, 6, 6) y ( 6, 6, 6) 8

3 6 Hll un vector ortogonl u(,, ) y v (, 4, ) cuy tercer componente se. u v = (, 5, 5) // (,, ) El vector que buscmos es (,, ). 7 Ddos los siguientes vectores: u (,, ), u (,, ), u = u + b u, qué relción deben cumplir y b pr que u se ortogonl l vector v (,, )? u = (,, ) + b (,, ) = (, b, b ) Pr que u se perpendiculr v h de ser: u v = (, b, b ) (,, ) = + b b = b =, es decir, = b. 8 Clcul ls coordends de un vector u que se ortogonl v (,, ) y w (,, ) y tl que [u, v, w ] = 9. v w = (5,, ) Un vector ortogonl v y w es de l form (5k, k, k ). 5k k k 5 [u, v, w] = = k = k 8 = 9 8 k = Por tnto: ud 5,, n 9 ) Determin los vlores de pr los que resultn linelmente dependientes los vectores (,, ), (,, ) y (,, ). b) Obtén en esos csos un relción de dependenci entre los vectores. ) = = ( )( + ) = = = Pr = y pr =, los tres vectores ddos son linelmente dependientes. b) Pr =, qued: (,, ), (,, ), (,, ) y tenemos que: (,, ) (,, ) = (,, ) Pr =, qued: (,, ), (,, ), (,, ) y tenemos que: (,, ) + (,, ) = (,, ) Ddos los siguientes vectores: u(,, ), v (, +, ), w (,, ) ) Hll los vlores de pr los que los vectores u, v y w son linelmente dependientes. b) Estudi si el vector c (,, ) depende li nelmente de u, v y w pr el cso =. c) Justific rzondmente si pr = se cumple l iguldd u (v w ) =. ) [u, v, w] = + = ( + ) = = = b) Pr =, los vectores u, v y w son linelmente independientes. Como son tres vectores de linelmente independientes, formn un bse de. Así, culquier otro vector, y, en prticulr c (,, ), depende linelmente de ellos. 9

4 Obtenemos l combinción linel: Pr =, tenemos que: u (,, ), v (,, ), w (,, ). (,, ) = x (,, ) + y (,, ) + z (,, ) x + z = y + z = 4 = 6 x + z = x = = 6 = ; y = = = ; z = = = Por tnto: c = u + w c) u ( v w ) = [u, v, w] = pr =. Está probdo en el prtdo ). Ddos los siguientes vectores u(,, ), v (,, ) y w (k +, k, k), hll los vlores de k ) pr que u, v y w sen coplnrios. b) pr que w se perpendiculr u y v. c) pr que el volumen del tetredro que tiene por rists los vectores u, v y w se igul /6. ) Si los vectores son coplnrios, entonces son linelmente dependientes, es decir, el rngo de l mtriz que formn es <, luego el determinnte de l mtriz vle. k + k k = 9k = k = b) w tiene que ser proporcionl l producto vectoril de u y v. (,, ) (,, ) = (,, ) k + = k = k Resolvemos el sistem: k = 4 + 6k k + = k 8 k = c) El volumen del tetredro es: 6 [ u, v, w] = = 8 9 k = 8 k = k + k k 9

5 ) Hll el número de vectores linelmente independientes que hy en este conjunto: S = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, )} b) Un vector no nulo tiene sus tres componentes igules. Puede escribirse como combinción linel de los dos primeros vectores de S? c) Determin un vector que, teniendo sus dos primers componentes igules, se pued poner como combinción linel de los vectores segundo y tercero de S. ) Tenemos que hllr el rngo de l mtriz: M = f p Como = 8, rn (M ) =. Por tnto, hy tres vectores linelmente independientes en S. b) Sí. Si tiene sus tres componentes igules y es no nulo, es de l form: u = (k, k, k ) con k. Entonces, podemos obtenerlo prtir de los dos primeros vectores de S como sigue: u = k (,, ) + (,, ) c) Se v (,, x ) el vector que buscmos. Pr que se pued poner como combinción linel de los vectores segundo y tercero de S, tenemos que: (,, x) = (,, ) + b (,, ) b = = 4 Debe tener solución: b =, b = x = x 8 x = = 8 x = Por tnto, el vector es v (,, ). Hll un vector u de l mism dirección que v (,, ) y tl que determine con el vector w (, 4, ) un prlelogrmo de áre 5 u. Si u es de l mism dirección que v (,, ), será de l form u (x, x, x ), con x. Pr que forme con w (, 4, ) un prlelogrmo de áre 5 u, h de ser: u v = ( x, 5x, ) = x + 5x = x 5 = 5 Es decir: 5x = 65 x = 5 x = ± 5 Por tnto, hy dos soluciones: ( 5, 5, 5) y ( 5, 5, 5). 4 Hll un vector v coplnrio con (,, ) y b(,, ) y ortogonl c (,, ). Se v (x, y, z ) tl que:.º) es coplnrio con y b, es decir: = x y z = x 5y + z =.º) es ortogonl c, es decir: (x, y, z ) (,, ) = x + y = Resolvemos el sistem formdo por ls dos ecuciones: x 5y z x z 5y z 5y x 5y 9 y + = + = = + = = y 4 4 x + y = x = y x = y Soluciones: ( λ, λ, λ) (λ ) Todos los vectores de est form cumplen ls condiciones. Por ejemplo, pr λ =, tenemos el vector (,, ).

6 \ 5 Sen y b tles que = 4 y b =, con (, b) = 6. Clcul + b y b. + b = ( + b ) ( + b) = + b b + b = = + b \ + b cos (, b) = cos 6 = Por otr prte: = = 8 + b = 8 = 7 b = ( b) ( b) = + b b b = = + b \ b cos (, b) = = b = = 6 De dos vectores u y v sbemos que son ortogonles y que u = 6 y v =. Hll u + v y u v. Si u y v son ortogonles, entonces u v =. Así: u + v = (u + v ) (u + v ) = u u + v v + u v = = u + v + = 6 + = 6 u + v = 6,66 u v = (u v ) (u v ) = u u + v v u v = 6 u v = 6,66 Observción: Si u v, entonces formn los ldos de un rectángulo con bse y ltur u y v. En este cso, u + v y u v son sus digonles, que tienen el mismo módulo (por trtrse de un rectángulo). Además, pr hllr l longitud de l digonl, podemos plicr en este cso el teorem de Pitágors: x 6 x = + 6 x = 6 x = 6,6 7 De los vectores u y v sbemos que cumplen u + v =, u v = b, siendo (,, ) y b(,, ). Hll el ángulo formdo por u y v. u + v = 4 u v = b u + v = u v = b u + v = u + v = b 5 u = + b 5v = b El ángulo formdo por u y v coincide con el ángulo formdo por u ' = (7,, ); u ' v ' = v ' = (, 5, ) u ' = 5 ; v ' = 5 u ' = 5 u y v' = 5v : cos( u % ', v' ) = u' v' u ' v ' = 5 5 =,478 ( % u, v) % = ( u ', v' ) = 6 6' ''

7 8 Los vectores u, v y w cumplen ls siguientes condiciones: Clcul u v + u w + v w. Desrrollndo el producto esclr indicdo: u = 5, v = 4, w = 7, u + v + w = (u + v + w) (u + v + w) = u + v + w + (u v ) + (u w) + ( v w) Por otr prte: Así: (u + v + w) (u + v + w) = = (u v + u w + v w) = u v + u w + v w = 9 = 45 Cuestiones teórics 9 Si u v = u w, podemos segurr que v = w? No. Por ejemplo, si u (,, ), v (5,, ) y w (7, 4, ), tenemos que: u u v = 5 = 4 w = 8 = Sin embrgo, v w u v = u w 4 Prueb, utilizndo el producto esclr, que si b y c entonces (m b + n c ). b b = c c = Pr demostrr que (m b + n c ), tenemos que probr que su producto esclr es cero: (m b + n c ) = m b + n c = m + n = Por tnto, (m b + n c ). 4 ) Puede hber dos vectores u y v tles que u v =, u =, v =? b) Si dos vectores verificn u v = u v, qué puedes decir del ángulo que formn? % % % % ) u v = u v cos ( u, v) = cos ( u, v) = cos ( u, v) = cos ( u, v) = > Imposible. Luego no existen dos vectores que cumpln ests condiciones. b) Si u v = u v u v = * % + u v cos ( u, v ) % u v cos ( u, v) % % % u v = u v cos ( u, v) 8 cos ( u, v) = 8 ( u, v) = % % % u v = u v cos ( u, v) 8 cos ( u, v ) = 8 ( u, v) = 8 Por tnto, u y v tienen l mism dirección.