MATEMÁTICAS (II) JUNIO 2002

Transcripción

1 MTEMÁTICS (II) JUNIO El emen present dos opciones, B. El lumno deberá elegir UN Y SÓLO UN de ells resolver los cutro ejercicios de que const. No se permite el usó de clculdors con cpcidd de representción gráfic. PUNTUCIÓN: L clificción máim de cd ejercicio se indic en el encbemiento del mismo. OPCIÓN Ejercicio. (Puntución máim: puntos). Clculr ls eddes ctules de un mdre sus dos hijos sbiendo que hce ños l edd de l mdre er veces l sum de ls eddes de los hijos en quel momento, que dentro de ños l edd de l mdre será l sum de ls eddes que los hijos tendrán en ese momento que cundo el hijo mor teng l edd ctul de l mdre, el hijo menor tendrá ños. Edd de l mdre Edd del hijo mor Edd del hijo menor Si hce ctorce ños, l edd de l mdre er veces l sum de ls eddes de sus hijos, teniendo en cuent que hce ctorce ños ls eddes de cd uno ern: Mdre: Hijo mor: Hijo menor: prece l primer ecución: [( ) ( ) ] ordenndo Dentro de ños l edd de cd uno será: Mdre: Hijo mor: Hijo menor: Y en ese momento l edd de l Mdre será l sum de ls eddes de sus hijos ( ) ( ) ordenndo Cundo el hijo mor teng l edd de l mdre, por todos ellos hbrán psdo ños, diferenci de edd entre l mdre el hijo mor, lo tnto l edd del hijo menor será ( ) que d lugr l ecución: ( ) ordenndo Con ls tres ecuciones se plnte el sistem: Ddo que el, el sistem es comptible determindo Resolviendo por Crmer

2 Ejercicio. (Puntución máim: puntos). Clculr el rngo de l mtri según los diferentes vlores del prámetro rel : Rngo de un mtri es el número de vectores fil ó vectores column linelmente independientes. Se clcul como el orden del mor Menor distinto de cero que eist en l mtri, como máimo puede vler l menor de ls dimensiones de l mtri Pr clculr el rngo de l mtri, se busc el mor Menor distinto de cero que no depend del prámetro prtir de este se estudin sus menores orldos. En l mtri, el menor formdo por l ª ª fil l ª ª column, no depende del prámetro es distinto de cero. sus menores orldos son: ( ) ( ) ( ) ( ) El rngo de l mtri se discute únicmente pr ls ríces comunes de los dos menores. i. Si, eisten menores de orden distintos de cero, rg. ii. Si, no eiste ningún menor de orden distinto de cero, rg

3 Ejercicio. (Puntución máim: puntos). Se considern ls cónics C C cus ecuciones crtesins son: C : 9 ; C : 9 ) ( puntos) Identificr C C. Especificr, pr cd un de ells, sus elementos crcterísticos: vértices, focos, ecentricidd síntots (si eisten). b) ( punto) Hllr l ecución crtesin de l prábol de eje horiontl, biert hci l derech que ps por tres de los vértices de l cónic C. ) C : 9 l ser los coeficientes de e de distinto vlor pero igul signo, l cónic es un elipse. Su ecución cnónic se obtiene dividiendo tod l ecución por el término independiente ordenndo. 9 9 ; ; 9 ; 9 Elipse de eje horiontl ( > ) centrd en el origen. Elementos: Semieje mor Vértices (, ), (-,) Semieje menor b Vértices B(, ), B (, ) Semidistnci focl c b 7 7, F' 7, Ecentricidd c e Focos F ( ), ( ) 7 C : 9 l ser los coeficientes de e distintos en vlor signo, l cónic es un hipérbol. Su ecución cnónic se obtiene dividiendo tod l ecución por el término independiente ordenndo. 9 9 ; ; 9 ; 9 Hipérbol de eje horiontl ( > ) centrd en el origen. Elementos: Semieje mor Vértices (, ), (-,) Semieje menor b Vértices B(, ), B (, ) Semidistnci focl c b, F', c Ecentricidd e síntots ± Focos F ( ), ( )

4 Circunferenci directri: Centro (, ), R b) Prábol de eje horiontl (OX, ). Ecución generl: ( ) p ( ) Ecución eplicit: B C Se pide clculr l ecución de un prábol que pse por los puntos B,, B de l elipse del prtdo nterior. El problem se puede resolver de dos forms, geométric ó nlíticmente. Form geométric: Teniendo en cuent que un prábol es simétric respecto de su eje, l prábol buscd tiene su eje en OX, por lo que el punto es el vértice de prábol. L ecución generl, teniendo en cuent lo nterior, qued de l siguiente form: ( ) p ( ) : p ( ) Teniendo en cuent que l ecución de culquier lugr geométrico se debe cumplir en todos sus puntos, el prámetro p se clculr sustituendo B ó B en l ecución de l prábol. Utilindo el punto B(, ) 9 p ( ) : p sustituendo en l ecución generl: 9 9 ( ) ( ) : ( ) ecución de l que se pueden etrer los dtos necesrios pr definir el foco l rect diretri 9 p FOCO : F,,, DIRECTRIZ : 7

5 L ecución generl se puede trnsformr en eplicit, quedndo de l form: 9 Form nlític L ecución eplicit de un prábol present tres prámetros, B, C. Conocidos tres puntos, se puede plnter un sistem de ecuciones. ' (, ) : - B C B(, ) : B C : Resolviendo por crmer : B 9 B' (, ) : ( ) b ( ) C C sustituendo en l ecución: 9 Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se consider l función rel de vrible rel definid por: f () ) ( punto) Hll l ecución crtesin de l rect tngente en el punto de infleión de bscis positiv de l gráfic de f. b) ( puntos) Clcul el áre del recinto plno cotdo limitdo por l gráfic de f, l rect nterior el eje. L ecución del l tngente un función se puede escribir en form punto pendiente. (, ) Punto m ( ) siendo : m Pendiente de l rect Teniendo en cuent que: Punto (, f ( )) m f '( ) l ecución de l tngente l función f () se puede escribir de l form: f f ' ( ) ( )( ) En el primer prtdo del ejercicio piden clculr l ecución de l rect tngente l función f () en el punto de infleión con bscis positiv ( > ). Los puntos de infleión de un función son los puntos en los que cmbi l curvtur de l función, demás, son los únicos puntos en los que l tngente l curv cort l gráfic de l función. Se determinn teniendo en cuent que en ellos l segund derivd de l función se nul, demás el signo de l ª derivd debe ser distinto l iquierd derech del punto de infleión.

6 f '() ' (( ) ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) f '' () ( ) ( ) ( ) Los puntos de infleión se clculn igulndo cero l ª derivd estudindo el signo de está en los lrededores del punto: f '' () f '' () : ( ) : ± ± ( ) f ' '( ) < demás signo f ' '( ) signo f ' ' ( ) : En un punto de infleión f '' ( ) > f"( ) > f"( ) demás signo f"( ) signo f "( ) : En un punto de infleión f "( ) < L función present dos puntos de infleión en (, f ()) en (, f ()), se pide clculr l tngente l curv en (, f ()), que es el único que tiene bscis positiv ( > ). L tngente pedid tiene por ecución: f () f ' () ( ) f () f () se clculn sustituendo en l función en l derivd respectivmente. f () : ( ) f '() ( ) que en form eplicit se trnsform en: b) Se pide clculr el áre entre l función su tngente en el punto el eje de ordends. En l figur, el áre en mrillo. Se clcul restndo l áre entre l tngente, ls rect, el eje el áre entre l curv ls misms rects. ÁRE d d d rctg rctg rctg ( ) d π u

7 OPCIÓN B Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Hllr un ecución crtesin del plno que contiene l rect r: t ; t ; t es perpendiculr l plno π: Se pide clculr l ecución vectoril ó crtesin del plno σ que contiene l rect r es perpendiculr l plno π. L mínim determinción linel de un plno son dos vectores prlelos l plno un punto del plno. El plno pedido σ, debe de cumplir dos condiciones, ls cuáles dn los elementos necesrios pr definirlo. ª Condición: debe de contener l rect r, por lo que el vector de dirección de l rect es prlelo l plno culquier punto de l rect está contenido en el plno. t P (,,) r t r d r (,, ) t ª Condición: debe ser perpendiculr l plno π, por lo tnto, el vector norml del plno π ( ) n r π es prlelo l plno r π ; n π (,, ) El plno σ se define: P (,, ) r σ d r (,, ) : Ecución crtesin r n π (,, ) desrrollndo por los elementos de l primer fil: Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Los puntos (,, ), B (,, ), C (,, ) son tres vértices consecutivos de un prlelogrmo. Se pide: ) (punto) Hllr ls coordends del curto vértice D clculr el áre de dicho prlelogrmo. b) ( punto) Clsificr el prlelogrmo por sus ldos por sus ángulos. Si cutro puntos son coplnrios será por que entre ellos eisten prejs de vectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo dirección sentido. Fijándonos en l figur: B DC

8 teniendo en cuent que l relción de equipolenci es un relción de iguldd: b, b, b c d, c d, c d igulndo por componentes b c d ( ) ( ) b b c d plicndo los dtos del enuncido (,, ), B (,, ), C (,, ), se despejn ls coordend del punto D d : d d : d d : d c d D (,, ) El áre de un prlelogrmo se clcul como plicción del producto vectoril de vectores. ( BCD) B D ÁRE B (,, ) D (,, ) ÁRE B D (,, ) (,, ),, (,,) ( ) ÁRE Pr clsificr un prlelogrmo se clculn ls longitudes de los ldos los ángulos Longitud del ldo B B Longitud del ldo D D ( ) Bo D Ángulo (DB) : ( ) (,, ) o (,, ) DB cos B D ( DB ) α rccos 7'º α β β 9'º Romboide con ldos igules dos dos ángulos igules dos dos de 7 º 9 º.

9 Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se consider el siguiente sistem linel de ecuciones, dependiente del prámetro rel : Se pide: ) (, puntos) Discutir el sistem según los diferentes vlores del prámetro. b) (, puntos) Resolver el sistem pr. c) ( punto) Resolver el sistem pr. l sistem lo definen ls mtrices: ' siendo ' rg rg n Mtri de coeficientes: Mtri mplid; n nº de incógnits Si un sistem tiene igul número de ecuciones que de incógnits n n S, como en este cso, el determinnte de l mtri de coeficientes es distinto de cero, el sistem se define como comptible determindo, tiene solución únic está se puede clculr por el método de Crmer. Teniendo en cuent lo nterior, se clcul el determinnte de en función del prámetro, se estudin los vlores de este que lo nuln. { } ) ( ) ( C C C det [ ] : : ) ( Discusión: i. Si, det por tnto: rg rg n. Sistem comptible determindo S.C.D. ii. Si : Sistem incomptible (no tiene solución) que present dos ecuciones incongruentes. Tmbién se puede estudir por rngos. Rngo de : ; rg. Rngo de : prtir del menor, se estudin sus menores orldos rg. rg rg Sistem incomptible

10 iii. Si : definido por ' rg : ; rg. rg :, sus menores orldos son: por lo tnto rg rg rg < n. Grdo de indeterminción nº de incógnits rngo del sistem Sistem comptible indetermindo con un grdo de indeterminción. Sistem equivlente: ': S b) Sistem comptible indetermindo con un grdo de libertd, pr resolverlo h que trnsformr un de ls vribles en prámetro, resolverlo en función de este. Trnsformndo l en λ ordenndo: λ λ resolviendo por sustitución:: λ λ c). Sistem comptible determindo. Se resuelve por Crmer. : :

11 Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se consider l función: si f () si < Se pide: ) (, puntos) Estudir el dominio l continuidd de f. b) (, puntos) Hllr ls síntots de l gráfic de f. c) ( punto) Clculr el áre del recinto plno cotdo limitdo por l gráfic de f ls rects,,. ) Dominio R {}. Continuidd de un función debe estudirse en los puntos ecluidos del dominio en los puntos fronter en el cso de estr definid por intervlos, entendiéndose como puntos fronter los puntos donde l función cmbi de epresión. En l función propuest el. Pr l función que nos ocup, se debe de estudir l continuidd en en, entendiendo que pr culquier otro vlor de l función es continu. Se dice que un función es continu en un punto, si en ese punto eiste l función, tiene límite demás coincide con el vlor de l función en el punto. Si f es un función rel un punto, f es continu en, sí: lím f () f ( ) Est condición se puede desdoblr en l regl de los tres psos: i. Debe eistir f( ) ii. Debe de eistir lím iii. lím f () f ( ) f () lím f () ª lím f () lím f () lím f () Continuidd en ( ) ( ) f ( ) Lím f () Lím Lím f () : Lím f () Lím Lím f () Lím Lím f () f ( ) Por lo tnto continu en f () Lím f ()

12 b) síntots Verticles: en : f () Lím Generles: ( ) Lím m Lím f () n Lím Lím f () Lím m Oblicu.. : hci Lím.H. : hci c) Áre: Ln 9 Ln Ln Ln d d Áre