SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Transcripción

1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Definición El siste de coordends crtesins en el plno está constituido por dos rects perpendiculres que se intersecn en un punto O l que se le ll el origen. Un de ls rects se costubr representrl en posición horizontl se le d el nobre de eje o eje de ls bsciss; l otr rect, verticl, se le denoin eje o eje de ls ordends, bs constituen los dos ejes de coordends rectngulres, los cules dividen l plno en cutro prtes llds cudrntes. Segundo cudrnte Prier cudrnte Tercer cudrnte O Curto cudrnte Figur 1. El plno crtesino El nobre de crtesino es en honor del filósofo frncés René Descrtes ( ) que fue él quien plnteó de ner forl l ide de resolver probles geoétricos por edio del álgebr, prtir de un siste de coordends rectngulres. 1 de 8

2 En este siste de coordends, l posición de un punto P en el plno qued deterind edinte un prej de núeros reles ( x, ) de los cules el priero, x, represent l distnci del punto P l eje coordendo, en tnto que el segundo,, represent l distnci del punto P l eje. Esto se represent en l for: x P( x, ) 0 Figur 2. Posición de un punto en el plno L distnci de un punto l eje se le ll bscis del punto, l distnci de un punto l eje se le ll ordend del punto. Ls bsciss (vlores de x ) son positivs en el priero en el curto cudrnte, en tnto que son negtivs en el segundo en el tercer cudrnte. Ls ordends (vlores de ) son positivs en el priero en el segundo cudrnte, en tnto que son negtivs en el tercero en el curto cudrnte. Ls bsciss son nuls ( x = 0) pr todos los puntos contenidos en el eje. Ls ordends son nuls ( = 0) pr todos los puntos contenidos en el eje. Pr representr puntos de coordends conocids se trzn los ejes de coordends se estblece un escl decud sobre cd uno de ellos. Dichs escls pueden ser igules o distints. 2 de 8

3 SIMETRÍA DE PUNTOS Sietrí de dos puntos respecto otro punto Dos puntos A B son siétricos respecto un punto M si éste es el punto edio del segento de rect que une l punto A con el punto B. d d A M B Figur 1. Sietrí de dos puntos respecto otro punto Los puntos A B son siétricos respecto l punto M. El punto M recibe el nobre de punto de sietrí. L distnci del punto A l punto M es igul l distnci del punto M l punto B. Esto es: d(a,m) = d(m,b) 3 de 8

4 Sietrí de dos puntos respecto l origen Ddo un punto A(x,), su siétrico respecto l origen es el punto B(-x,-). Esto es, pr deterinr ls coordends del punto siétrico respecto l origen es suficiente con cbir los signos de ls coordends del punto A. A ( x, ) x O x (, ) B x Figur 2. Sietrí de dos puntos respecto l origen Ejeplo.- Deterinr ls coordends del punto B, siétrico del punto A(4,-3) respecto l origen. Respuest: Ls coordends del punto B son: B(-4,3). 4 de 8

5 Sietrí de dos puntos respecto otro punto Ddo un punto A ( x, ), su siétrico respecto l punto M ( x, ) es el punto ( ) ( ) B( x + x x, + ). A( x, ) M( x, ) b ( ) ( ) B( x + x x, + ) x x xb x x x = xb x ; = b Figur 3. Sietrí de dos puntos respecto otro punto Ejeplo.- Deterinr ls coordends del punto B, siétrico del punto A(4,-3) respecto l punto M(0,1). Resolución. B ( 0+ ( 0 4 ),1+( 1 ( 3) )) = B( 4,5) 5 de 8

6 Sietrí de dos puntos respecto un rect Dos puntos A B son siétricos respecto un rect L si ést es editriz del segento de rect que une l punto A con el punto B. L A M B Figur 4. Sietrí de dos puntos respecto un rect Los puntos A B son siétricos respecto l rect L. L rect L recibe el nobre de rect de sietrí. Los puntos A B son equidistntes de l rect L, por lo que: d(a,m) = d(m,b) L rect L es editriz del segento de rect que une los puntos A B. Por lo que: ) L rect L intersec perpendiculrente l segento de rect que une l punto A con el punto B. b) L distnci del punto A l punto M es igul l distnci del punto M l punto B. Esto es: d(a,m) = d(m,b) 6 de 8

7 Sietrí de dos puntos respecto l eje de ls bsciss Ddo un punto culquier Ax (, ), su siétrico respecto l eje de ls bsciss es el punto B( x, ). Entonces, ls bsciss de los puntos A B son igules, en tnto que pr obtener l ordend del punto B es suficiente con cbir el signo de l ordend del punto A. A( x, ) x B ( x, ) Figur 5. Sietrí de dos puntos respecto l eje de ls bsciss Ejeplo.- Deterinr ls coordends del punto B, siétrico del punto A(4,-3) respecto l eje de ls bsciss. Respuest: B ( 4,3) 7 de 8

8 Sietrí de dos puntos con respecto l eje de ls ordends Ddo un punto culquier A( x, ), su siétrico respecto l eje de ls ordends es el punto B( x, ). Entonces, ls ordends de los puntos A B son igules, en tnto que pr obtener l bscis del punto B es suficiente con cbir el signo de l bscis del punto A. A( x, ) B( x, ) x x Figur 6. Sietrí de dos puntos respecto l eje de ls ordends Ejeplo.- Deterinr ls coordends del punto B, siétrico del punto A(8,-4) respecto l eje de ls ordends. Respuest: B ( 8, 4) 8 de 8