NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra

Transcripción

1 NÚMEROS COMPLEJOS Números reles Intervlos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorem fundmentl del Álgebr

2 NÚMEROS REALES Números nturles, enteros rcionles e irrcionles En mtemátics son importntes los conjuntos: N Conjunto de los números nturles Z Conjunto de los números enteros Q Conjunto de los números rcionles R Conjunto de los números reles El complementrio deqrespecto de R es el conjunto de los números irrcionles

3 Se cumple que: N Z Q R R es un cuerpo conmuttivo totlmente ordendo pr ls operciones usules sum ( + ) y producto (. ) y l relción binri ( ) Propiedd Ddos dos números reles x e y existe l menos un número rcionl r tl que x < r < y Es decir, los números irrcionles se pueden proximr por números rcionles tnto como quermos. Tmbién se dice que Q es denso en R

4 Números lgebricos y números trscendentes Un número rel x es lgebrico si es solución de un ecución lgebric con coeficientes enteros 2 es lgebrico porque es l solución de l ecución x 2-2 =0 Los números reles que no son lgebricos son trscendentes e y π son trscendentes Rect o eje rel Cd elemento del conjunto R está representdo por un único punto en l denomind rect rel - 0 +

5 Intervlos cotdos (,b) = {x R < x< b} [,b) = {x R x< b} (,b] = {x R < x b} [,b] = {x R x b} Intervlos no cotdos (-,) = {x R x < } (-,] = {x R x } (, ) = {x R x > } [, ) = {x R x } INTERVALOS b b b b

6 ENTORNOS Intervlo bierto centrdo en y de rdio r >0 (-r,+r) = { x R -r < x < +r } = { x R x- <r } Intervlo cerrdo centrdo en y de rdio r >0 [-r,+r] = { x R -r x +r } = { x R x- r } Definición El conjunto E es un entorno de x si contiene lgún intervlo bierto centrdo en x

7 EL CONJUNTO Ñ n Son conocidos los conjuntos Ñ 2 ={ (x,y) / x,y e Ñ} formdo por pres ordendos de números reles Ñ 3 ={ (x,y,z) / x,y,z e Ñ} formdo por terns ordends de números reles generlizndo definimos Ñ n ={ (x 1,x 2,...,x n ) / x 1,x 2,...,x n e Ñ} formdo por n-upls ordends de números reles El plno rel Cd elemento de Ñ 2 se represent por un punto en el llmdo plno rel y 0 P(x,y) x

8 DISCOS Disco bierto de centro el punto (, ) de Ñ 2 y rdio r>0 = 1 2 { } 1 2 D(, r ) = ( x, y) R /( x ) + ( y ) < r Disco cerrdo de centro el punto (, ) de Ñ 2 y rdio r>0 = 1 2 { } 1 2 D(, r ) = ( x, y) R /( x ) + ( y ) r Definición Se llm entorno de un punto = ( de Ñ 2 1, 2 ) culquier subconjunto E de Ñ 2 que conteng un disco bierto D(, r )

9 NÚMEROS COMPLEJOS Definición L ecución x 2 +4 = 0 no tiene soluciones reles pues no hy ningún número rel tl que x 2 = - 4. Pr resolver ests ecuciones definimos l unidd imginri Definición i = 1 Definimos el conjunto  de los números complejos como: C = {+bi /,b e Ñ } donde Al resolver hor l ecución qued: i = 1

10 De est mner ls soluciones serín: x = 2i y x = -2i en C Se cumple que: N Z Q R C Definición Ddo un número complejo z = +bi los números reles y b se llmn prte rel y prte imginri de z Se escribe: = Re(z), b = Im(z) Definición x = ± 4 = ± 1 4 = ± 2i Se llm complejo conjugdo del número complejo z = +bi, l número complejo z = bi

11 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS Sum: (+bi)+(c+di)=(+c)+(b+d)i (1+5i)+(3+2i)=4+7i Rest: (+bi)-(c+di)=(-c)+(b-d)i (1+5i)-(3+2i)=-2+3i Multiplicción: (+bi).(c+di)=(c-bd)+(d+bc)i División: c + + bi di = c + bd c 2 + d 2 bc d + i 2 2 c + d (1+5i).(3+2i)= 3+2i+15i+10i 2 = 3+17i+10(-1)= -7+17i i (1 + 5 i)(3 2 i) 3 2i + 15i 10i = = = i (3 + 2 i)(3 2 i) 3 (2 i) i i = = 1+ i

12 Representción gráfic Y Correspondenci biunívoc b z O Definición z=+bi X Â Ñ 2 z=+bi P(,b) Ddo z = +bi definimos: Módulo de z: 2 z = + Argumento de z: es el ángulo e (- p,p] / b 2 Además: = z cos b= z sen b α = rctg

13 Forms de expresr un número complejo Si z = +bi form binómic: z = +bi form crtesin: z= (,b) form polr: z = (r, ) o z= r coordends polres form trigonométric: z = r (cos +i sen ) del punto P siendo r = z y = rgumento de z Además, pr operr en form polr: si z 1 = (r 1, 1 ) y z 2 = (r 2, 2 ) entonces: z 1.z 2 = (r 1 r 2, ) y z 1 ρ 1 =, si z 2 0 α 1 α 2 z2 ρ2 Es importnte sber expresr un número complejo de tods ls forms

14 Potencis y ríces de números complejos Se z = r (cos +i sen ) y n e N 1º) z n = r n (cos n +i sen n ) n 2º) n α + 2kπ α + 2kπ z = ρ cos + i sen k= 0,1,2,...,n-1 n n en form polr es: z = ( ρ, α) n n z = ( ρ,n α) n α + 2kπ n z = ( n ρ, ) pr K=0, 1, 2,..., n-1

15 Fórmul de Moivre Se z = r (cos +i sen ) y n e N Se cumple que: z n = r n (cos n +i sen n ) = r n (cos +i sen ) n Si considermos r=1 se obtiene l fórmul de Moivre: (cos +i sen ) n =cos n +i sen n

16 Exponencil de un número complejo Definición Ddo el número trscendente e = definimos e i j como e i j = cosj + i senj Fórmul de Euler entonces, pr un número complejo z = +bi l exponencil e z result: e z = e e ib = e (cos b + i sen b) y teniendo en cuent su form polr, todo número complejo z = r (cos +i sen ) se puede poner z = r e i Además, Si z = r e i y n e N entonces: 1º) z n = r n e i n z = ρe α + 2kπ i n 2º) n n k= 0,1,2,...,n-1

17 Logritmos de números complejos Un número complejo u es un logritmo neperino de un número complejo no nulo z si se cumple que e u = z u = ln z e u = z Poniendo z = (r, ) se tiene: ln z =ln r + i (+2kp) con k e Z logritmo principl de z: ln z =ln r + i (k=0) siendo el rgumento principl de z

18 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Definición Ddo un polinomio p(x) = n x n + n-1 x n x + 0 vrible x y con coeficientes reles o complejos. de grdo n en l p(x)=0 se llm ecución lgebric o polinomil de grdo n Ls soluciones de l ecución p(x) = 0 se llmn ríces del polinomio p(x) Teorem Tod ecución lgebric p(x)=0 de grdo n con coeficientes en Ñ o  tiene n soluciones en Â. Además, si todos los coeficientes son reles, y z = +bi de p(x)=0, tmbién lo es z = bi es solución

19 Propieddes Si x 1,x 2,...,x p son ls soluciones distints de p(x)=0 y m 1,m 2,...,m p sus órdenes de multiplicidd, entonces el polinomio p(x) se puede fctorizr en l form: p x x x x x x x m1 m2 ( ) = ( ) ( ) ( ) p n 1 2 p m Si los coeficientes de l ecución lgebric n x n + n-1 x n x + 0 =0 son números enteros con 0 0, entonces, sus soluciones enters hy que buscrls entre los divisores de 0 Si los coeficientes de l ecución lgebric n x n + n-1 x n x + 0 =0 son números enteros con 0 0, entonces, sus soluciones rcionles tienen como numerdor un divisor de 0 y como denomindor un divisor de n.