Capitulo II. Números Reales

Transcripción

1 Cpitulo II. Números Reles Ojetivo. El lumno plicrá ls propieddes de los números reles y sus suconjuntos, pr demostrr lguns proposiciones por medio del método de inducción mtemátic y pr resolver inecuciones. Contenido: 2.1 El conjunto de los números nturles: Concepto intuitivo de número nturl. Definición del conjunto de los números nturles medinte los postuldos de Peno. Definición y propieddes: dición, multiplicción y orden en los números nturles. Demostrción por Inducción Mtemátic. 2.2 El conjunto de los números enteros: Definición prtir de los números nturles. Definición y propieddes: iguldd, dición, multiplicción y orden en los enteros. Representción de los números enteros en l rect numéric. 2.3 El conjunto de los números rcionles: Definición prtir de los números enteros. Definición y propieddes: iguldd, dición, multiplicción y orden en los rcionles. Expresión deciml de un número rcionl. Algoritmo de l división en los enteros. Densidd de los números rcionles y representción de éstos en l rect numéric. 2.4 El conjunto de los números reles: Existenci de números irrcionles (lgericos y trscendentes). Definición del conjunto de los números reles; representción de los números reles en l rect numéric. Propieddes: dición, multiplicción y orden en los reles. Completitud de los reles. Definición y propieddes del vlor soluto. Resolución de desigulddes e inecuciones.

2 Introducción. Método constructivo (N Z Q R) Estudio de los números reles Enfoque xiomático II.1. NÚMEROS NATURALES (N) Postuldos de Peno. El conjunto de los números nturles (N) es tl que: 1) 1 N 2) Pr cd n un único n* N, llmdo el siguiente de n 3) Pr cd n N se tiene que n* 1 4) Si m, n N y m* = n* entonces m = n 5) Todo suconjunto S de N, que teng ls propieddes: ) 1 S ) k S, implic que k* S Es el mismo suconjunto N. (Principio de inducción) Operciones pr los números nturles. Adición en N Definición: Pr dos números n y m 1) n +1 = n* 2) n + m* = (n + m)* Multiplicción en N Definición: Pr dos números n y m 1) n. 1 = n 2) n. m* = (n m) + n N, se tiene que: N, se tiene que: Propieddes de l dición y multiplicción en N. 1) m + n N m. n N Cerrdur 2) m + (n + p) = (m + n) + p m (n p) = (m n) p Asocitividd 3) m + n = n + m m. n = n. m Conmuttividd 4) Si m + p = n + p m = n Si m p = n p m = n Cncelción 5) m (n + p) = m n + m p Distriutiv

3 Inducción mtemátic. Sirve pr demostrr l vlidez de culquier enuncido reltivo N, sándose en el quinto postuldo de Peno. Ejercicios tipo 1, sumtori. 1) { x x = 2n 1, n N } n - 1 = n 2 ; n N 2) n 3 = 4 1 n 2 (n+1) 2 ; n N 3) n (n+1) = 3 1 n (n+1) (n+2) ; n N

4 4) 2 1(2) 2 2(3) 2 3(4)... 2 n( n 1) 2n ; n N n 1 5) (2n) 2 = 2n( n 1)(2n 3 1) ; n N 6) n = 2 3 (3 n -1) ; n N

5 Ejercicios tipo 2, multiplicción ) ( 1 )(1 )(1 )(1 )...(1 ) n 1 ; n N n 2) (1 1 )(1 4 1 )(1 9 1 )( )...( n 1 ) ; n 2 2 n 2n

6 Ejercicios tipo 3, divisiles. 1) 2 4n -1 es divisile entre 15; n N 2) 6 n -1 es divisile entre 5; n N 3) 2 2n +5 es divisile entre 3; n N

7 4) 7*16 n-1 +3 es divisile entre 5; n N 5) 10 n+1 +3*10 n +5 es divisile entre 9; n N 6) n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) es divisile entre 12; n N

8 Ejercicios tipo 4, enuncidos. 1) n + n 2 es un número pr; n N 1 2) Culquier polígono de n ldos tiene D digonles, donde D= n ( n 3) ) (2n 3n n) N; n N 3

9 Ejercicios tipo 5, trigonométricos. 1) cos [(2n-1) ]=-1; n N 2) (cos x) (cos 2x) (cos 4x).(cos 2 n-1 X) = n sen2 x ; n N n 2 senx

10 Orden en los nturles. Ley de l tricotomí Si m y n N, entonces se verific un y sólo un de ls siguientes proposiciones: 1) n < m 2) n = m 3) n > m Teorem: Pr tod m, n y p N: 1) m < n m + p < n + p 2) m < n m p < n p 3) m < n y n < p m < p II.1. NÚMEROS ENTEROS (Z) Ddos dos números nturles n y m, si: Se pueden presentr tres csos: 1) m > n x N 2) m = n x = 0; x Z 3) m < n x < 0; x Z n + x = m x = m - n Definición: Z={x x = m n; con m, n x N} N Z Propieddes de l dición y multiplicción en Z. 1) m + n Z m. n Z Cerrdur 2) m + (n + p) = (m + n) + p m (n p) = (m n) p Asocitividd 3) m + n = n + m m. n = n. m Conmuttividd 4) Si m + p = n + p m = n Si m p = n p m = n Cncelción 5) m + 0 = m m * 1 = m Elementos idénticos 6) m + (-m) = 0 Elementos inversos 7) m (n + p) = m n + m p Distriutiv Orden en los enteros. Teorem: Pr tod m, n y p N: 1) m < n m + p < n + p 2) m < n Si p > 0: m p < n p Si p < 0: m p > n p 3) m < n y n < p m < p

11 II.1. NÚMEROS RACIONALES (Q) Ddos dos números enteros y, si: Se pueden presentr tres csos: 1) es fctor de x N 2) NO es fctor de, con 0 x Q 3) = 0 y 0: = 0 y = 0: es indetermindo x = x = Definición: Q ={x x = ; con, Z y 0 } Z Q Propieddes de l dición y multiplicción en Q. 1) m + n Z m. n Z Cerrdur 2) m + (n + p) = (m + n) + p m (n p) = (m n) p Asocitividd 3) m + n = n + m m. n = n. m Conmuttividd 4) Si m + p = n + p m = n Si m p = n p m = n Cncelción 5) m + 0 = m m * 1 = m Elementos idénticos 6) m + (-m) = 0 m * (1/m) = 1 Elementos inversos 7) m (n + p) = m n + m p Distriutiv Operciones sore números rcionles Sum y rest: Multiplicción: División: c d c d c d d c d c d c d Teorem: Todo número rcionl tiene un expresión deciml periódic. Algoritmo de l división pr los números enteros Ddos dos números enteros y con > 0, existen dos enteros q y r, con 0 que: = q + r r <, tl Densidd de los números rcionles Entre dos números rcionles diferentes siempre hy otro número rcionl. Teorem. X, Y con X < Y, Z tl que: X < Z < Y

12 Ejemplo: Determinr los vlores de y Z, tles que: 1) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

13 Números Reles (R) Al hcer uso del teorem sore l Densidd de los números rcionles, precerí que los números rcionles curen por completo l rect numéric, pero esto no es sí. A prtir de proyecciones geométrics como l que se muestr continución semos que existen otros números llmdos irrcionles (Q ), que ocupn espcios en l rect numéric. Números Irrcionles (Q ) Se clsificn en: Algericos (ríces:,, etc.) y trscendentes ( ). Los números irrcionles son expresiones decimles no periódics. Números reles Los números reles quedn definidos como l unión de rcionles e irrcionles, es decir: Orden en R Orden en los reles. Teorem: Pr tod m, n y p R: 1) m < n m + p < n + p 2) m < n Si p > 0: m p < n p Si p < 0: m p > n p 3) m < n y n < p m < p R = Q U Q Vlor soluto y sus propieddes Definición: Se x un número rel. El vlor soluto de x, que representmos con x, se define como: x = x, si x 0 -x, si x < 0

14 Ls propieddes más importntes del vlor soluto se enuncin en el siguiente teorem: Teorem: Pr todo x, y : i) x 0. Además x = 0 si x=0 ii) xy = x y iii) x+y x + y Teorem: Se con 0; x se tiene que: x - x De mner generl pr culquier expresión p en términos de x: p > p > (Desiguldd 1 p < - (Desiguldd 2 Unión de desigulddes p < p < (Desiguldd 1 p > - (Desiguldd 2 Intersección de desigulddes

15 Desigulddes: