Donde a los elementos de E y R se les llama vectores y escalares respectivamente, los segundos como coeficientes de los primeros.

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María Soledad Álvarez Chávez
hace 7 años
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1 4. Espcios vectoriles, definición propieddes Viguers En l Físic, con frecuenci se us el término vector pr descriir mgnitudes como l fuer, l velocidd, l celerción, otros fenómenos de l nturle, sin emrgo el concepto de vector es más mplio rcndo otros cmpos de ls ciencis. Definición. Sen dos conjuntos E R, mos no vcíos, sen, E, λ,μ R, si,+ E, λ E, entonces E es un espcio vectoril rel que stisfce ls siguientes propieddes. Espcio vectoril definido por Le de composición intern ( + ) Le de composición etern ( ) Aioms del espcio vectoril Propiedd I) Ddos,, E, + E Cerrdur de l sum II) + + Conmuttiv III) ( + ) + + ( + ) Asocitiv IV) Eiste E, tl que + Eistenci de elemento Neutro V) Pr todo E, eiste E, tl que + ( ) Opuesto/simétrico I) Pr todo E, λ R, λ E Cerrdur de l multiplicción II) (λ + µ) λ + µ Distriutiv III) λ ( + ) λ + λ Distriutiv IV) ( λ μ ) λ (µ. ) Asocitiv V) Si λ, Identidd multiplictiv Donde los elementos de E R se les llm vectores esclres respectivmente, los segundos como coeficientes de los primeros. Espcio vectoril complejo. Es cundo los elementos de E involucrn números complejos Representción de un vector. Dentro de ls notciones más comunes están ls siguientes *Geométricmente un rect con un flech: *Algericmente un letr en negrit o con un flech en l prte superior: u,, n Notción en R R 3 Plno crtesino Notción punto (, ) Notción mtricil Espcio crtesino (,, 3 ) 3 en R en R 3 Un ejemplo de notción de un elemento de R n mtri column n, es. n

2 Viguers Ejemplo. Verifique que el conjunto R, cuos elementos son mtrices de dos renglones un column son un espcio vectoril. Con respecto l Sum: I) + E Si luego +, puesto que los elementos,,, R, entonces R II) , cmindo el orden; + + III) ( + ) + + ( + ) ( + ) + + ) ( ) ( + + ( + ) IV / + + V. Pr todo E, eiste E, tl que + ( ) Pr todo R, eiste un inverso, tl que, + ( ) + Esclmiento, pr todo λ,μ R,, R, se tiene: I). λ E λ ; puesto que λ, λ son reles, entonces R II). (λ + μ) λ + µ (λ + μ) + λ + µ III). λ( + ) λ + λ λ + λ + λ IV. (λ μ) λ (µ. ) (λ μ) λ λ (µ. ) V). Si λ,

3 Ejemplo. Se M el conjunto de tods ls mtrices, demuestre que M es un espcio vectoril rel, considerndo l sum de mtrices l multiplicción por un esclr. Solución. Sen A, B dos mtrices de M, λμ elementos de R. Con respecto l operción + se tiene: Viguers I) A + B M A + B +, que por ser un mtri, pertenece M II). A + B B + A A + B III) (A + B ) + C A + (B + C ) + B + A (A + B ) + C + c c + c c c c c c + c c c c IV. A + c c + A + (B + C ) c c + V. Pr todo A, eiste A M, tl que A + ( A ) + Con respecto l operción ( ) tenemos que:, que cumple con est propiedd I) Pr tod A M, λa M λ A λ II) (λ+μ) A λ A + µ A ( ) ( ) (λ+μ) A ( u) ( u) u + u, l cul es un mtri de u u u u u u λ A + u A III) λ (A + B ) λ A + λ B λ (A + B ) λ + λ ( ) ( ) ( ) ( ) + IV). (λμ) A... V). flt desrrollr demás operciones de ls propieddes... λ A + λ B

4 Conclusión; Los elementos de M son vectores que M cumple con l definición de un espcio vectoril rel. Ejemplo 3. Se Q el conjunto de los números rcionles. Verifique si Q es un espcio vectoril rel p p Aplicndo l propiedd de cerrdur ( ) I) Pr todo Q, dee cumplirse que λ Q q q Se, 3 4 Q λ R, tenemos que Q, por lo tnto, Q no es un espcio vectoril 4 Viguers Ejemplo 4. Se R, el conjunto de pres ordendos (, ) donde, R. Verifique que R es un espcio vectoril Propiedd. de cerrdur de l sum: Propiedd de cerrdur de l multiplicción por un esclr: Propiedd Idéntico ditivo (elemento neutro): Propiedd del Opuesto simétrico Propiedd distriutiv Consideremos (, ), (, ) elementos de R (, ) + (, ) ( +, + ), Consideremos R, luego (, ) (, ) R Vector nulo; (, ), (, ) + (, ) (, ). Elemento (, ), su opuesto, (, ) (, ) + (, ) (, ). Sen, R ( + ) (, ) (, ) + (, ). Por lo cul R, es un espcio vectoril. Ejemplo 5. Sen A, B C elementos de R, c, d esclres culesquier, verifique que dichos elementos cumplen con ls propieddes señlds jo pr ser elementos de un espcio vectoril, si A (3,4), B (,), C (5, 3), c d 6 II. A + (B +C) (A +B) + C (le socitiv) III. Eiste de R / A + A (idéntico ditivo) V. (cd)a c(da) (le socitiv) VII. (c + d)a ca + da (le distriutiv) VIII. (A) A (idéntico multiplictivo) Solución: A + (B +C) (3, 4) + ( (, ) + (5, 3)) 3, 4) + (3, ) (6, ) (A +B) +C ((3, 4) + (, )) + (5, 3), 5) + (5, 3) (6, ) por lo tnto A + (B +C) (A +B) + C se cumple con II A + (3, 4) + (, ) (3, 4) A se cumple con III (cd)a [()( 6)] (3, 4) ( ) (3, 4) ( 36, 48) c(da) (-6 (3, 4)) (-8, -4) (-36, -48) por tnto tmién se cumple con V (c + d)a [+(-6)] (3, 4) [-4] (3, 4) (-, -6) ca + da (3, 4) + (-6) (3, 4) (6, 8) + (-8, -4) (-, -6), se cumple con VII (A) (3, 4) (()(3), ()(4)) (3, 4) A se cumple con VIII

5 Ejemplo 6. El conjunto R 3 se define como el conjunto de terns ordends (,, ) de números reles. Verifique trvés de l propiedd de cerrdur si R 3 es un espcio vectoril:. Sum: (,, ) + (,, ) ( +, +, + ) R 3. Producto por un número rel: (,, ) (,, ) R 3 Con l plicción de ests propieddes fundmentles se puede concluir que R 3 es un espcio vectoril. Ejemplo 7. Se P el conjunto de todos los polinomios en l vrile con coeficientes reles, P{p() +5 +6, q() , r() +3 +6,...} R {, 4,...}. Determine si P() es un Espcio vectoril. Solución Aiom I Selecciondo los dos primeros polinomios pr l propiedd de cerrdur jo l sum: ( +5 +6) + ( ) el cul sigue siendo un polinomio con vrile rel coeficientes reles, es decir p()+q() P. Aiom II de l Conmuttividd de l sum ( )+( +5 +6) , Se cumple que q()+p()p. Aiom III. Asocitividd de l sum ( ) ( +3 +6) , que indic que p() + (q()+ r()) (p()+q()) + r() P. Viguers Aiom IV , es decir p() + p(), el cul cumple con l eistenci del polinomio neutro. Aiom 5. Eistenci del polinomio inverso ditivo ( 5 6) + + el cul cumple con est propiedd. p() + ( p()) Aiom VI. Se R p()p. ( +5 +6) + +, el cul sigue siendo P. Aiom VII. Si R p(), q()p entonces (p()+q()) p() + q() ( ) ( +5 +6) + ( ) ( + +) + ( ) , los polinomios son igules por lo cul se cumple con este iom. Aiom VIII. ( +4)p() (p()) +4(p()) (+4)( +5 +6) ( +5 +6) +4( +5 +6) 6( +5 +6) ( + +) + (4 + +4) , se cumple con l propiedd distriutiv del producto por esclres sore l sum de esclres. Aiom IX. Propiedd socitiv del producto; (4p()) (4)(p()) ()(4( +5 +6) ) (4)( +5 +6) ()(4 + +4) 8( +5 +6) , propiedd que se cumple! Aiom X. p() p() ()( +5 +6) () +()5 +() , cumple Por lo tnto el conjunto de los polinomios con vrile con coeficientes reles son un Espcio Vectoril. Tres:. Demostrr que el conjunto de tods ls mtrices de 33 (M 33 ), con ls operciones usules entre mtrices, formn un espcio vectoril. Demostrr que el conjunto de ls mtrices digonles, es un espcio vectoril de M Ddos A (, 5), B (3, ), C ( 4, ), () Encontrr A + (B + C), () Encontrr (A + B) + C e ilustrr geométricmente mos csos.

6 4. Suespcio vectoril Viguers Definición: Se E un espcio vectoril S un suconjunto no vcío de E. Si S es un espcio vectoril con respecto ls misms operciones de dición multiplicción definids en E, se dice que S es un suespcio vectoril de E Es decir se dee cumplir lo siguiente: Si, son elementos de S, entonces + es un elemento de S. Si es un elemento de S λr, entonces λ es un elemento de S Ejemplo. Se M el espcio vectoril de tods ls mtrices. Se S un suconjunto de M de ls mtrices cuos elementos son cero fuer de l digonl. Demuestre que S es un suespcio vectoril de M ). Sen A B dos elementos de S. Entonces, A + B +, que por ser un mtri cuos elementos fuer de l digonl son ceros, entonces A + B pertenecen S ). Se λ R, entonces λ A λ l mism, λ A es un elemento de S, por ser λ A un mtri digonl con ceros fuer de Conclusión. Un suespcio vectoril es culquier suconjunto de un espcio vectoril E, que mntiene ls misms propieddes por sí mismo.

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