3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

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Mercedes Caballero Gómez
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1 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción Límites y continuidd Derivción de funciones vectoriles y sus propieddes Integrción de funciones vectoriles Longitud de rco Vector tngente, norml y inorml Curvtur Aplicciones.7 1

3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus propieddes..3 3.4.

2 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción. Un función vectoril es un función que trnsform un número rel en un vector: Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llmds funciones componentes de vrile rel del prámetro t. Así, se dice que F es continu, derivle o integrle, si lo son x(t), y(t) y z(t). L función vectoril tmién se puede encontrr representd como f(t). Por tnto, se llm función vectoril culquier función de l form: r t = f t, g t. Plno r t = f t, g t, t. Espcio DOMINIO El dominio de un función vectoril está ddo por l intersección de los dominios de cd un de ls funciones componentes, es decir: Si f t = f 1 t, f 2 t, f 3 t f n t es Df = Df 1 Df 2 Df 3.. Df n REPRESENTACIÓN GRÁFICA L representción grfic de un función vectoril es quell curv C que descrien los puntos finles de los vectores que formn prte de l función pr tod t que pertenece l dominio de l función. Un punto de l curv C tiene l representción crtesin (x,y,z) donde: x = f 1 t y = f 2 (t) z = f 3 (t) Ls cules se llmn ecuciones prmetrics de C. Al signr números reles t se elimin el prámetro y se otienen ecuciones crtesins de C. 2

Así, se dice que F es continu, derivle o integrle, si lo son x(t), y(t) y z(t). L función vectoril tmién se puede encontrr representd como f(t).

3 3.2. Límites y continuidd. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Dd un función vectoril F t = (x t, y t, z(t) lim t F t = lim t x t, lim t y t, lim z t = t l Esto signific que cundo t tiende l vlor de, el vector F(t) se cerc más y más l vector l. Pr que exist el límite de l función, dee existir el límite de cd un de ls funciones componentes. CONTINUIDAD Se F t : A R n y un punto de cumulcion de A R. Análogmente l definición utilizd pr funciones esclres diremos que F t es continu en sí y sólo si: - Existe el vector F - Existe el lim t F t - lim t F t = F Teorem: Un función con vlores vectoriles r(t) es continu en t = si y sólo si sus funciones componentes f,g y h son continus en t = Derivción de funciones vectoriles y sus propieddes. Se l función vectoril F t entonces diremos que F t es l derivd de dich función y se define medinte: F (t) = lim t 0 F t + t F(t) t Pr vlores culesquier de t pr los que existe el límite. Cundo el límite existe pr t = se dice que F t es derivle en t =. Teorem Se F t un función vectoril y supongmos que sus funciones componentes f,g y h son tods derivles pr lgún vlor de t, entonces F t es derivle en ese vlor de t y su derivd está dd por: F t = (f t, g t, (t)) PROPIEDADES Supongmos que r(t) y s(t) son funciones vectoriles derivles, que f(t) es un función esclr tmién derivle y que c es un esclr culquier, entonces: 3

más l vector l. Pr que exist el límite de l función, dee existir el límite de cd un de ls funciones componentes. CONTINUIDAD Se F t : A R n y un punto de cumulcion de A R.

4 Cundo un función vectoril definid en un intervlo ierto de R es derivle indefinidmente y su primer derivd no es nul, decimos que se trt de un curv regulr. Al vector F(t) se le llm vector de posición de l curv y los vectores F (t) y F (t) se les llm, respectivmente, vectores velocidd y celerción. De modo que l rpidez en un instnte t es F t, es importnte oservr que l rpidez es un esclr, mientrs que l velocidd un vector. Al vector F (t) tmién se le llm vector tngente l curv F(t) en t, y el vector T t = F (t), es el vector tngente unitrio F t 3.4. Integrción de funciones vectoriles. L función vectoril F(t) es un ntiderivd de l función vectoril f(t), siempre y cundo F t = f(t) INTEGRAL INDEFINIDA Si F(t) es culquier ntiderivd de f(t), l integrl indefinid de est se define como f(t) dt = F t + c Donde c es un vector constnte ritrrio. INTEGRAL DEFINIDA Pr l función vectoril f(t), se define l integrl definid de l mism f(t) dt = (f t, g t, t ) dt = f(t) dt, g(t) dt, (t) dt 4

De modo que l rpidez en un instnte t es F t, es importnte oservr que l rpidez es un esclr, mientrs que l velocidd un vector.

5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL (Regl de Brrow) Supongmos que F(t) es un ntiderivd de f(t) en el intervlo [,] diremos: f(t) dt = F F() 3.5. Longitud de rco Teorem. Si C es l gráfic de un función F en un intervlo [,] y si F es continu en dicho intervlo, entonces C tiene un longitud L y L = 1 + [F x ] dx = 1 + ( dy dx )2 Ejemplo: Encuentre l longitud de l prte de l práol con ecución y = 4 x 2 que está en l prte superior del eje x. Solución: L curv que se dese determinr es l grfic de F = x, y y = 4 x 2, x [ 2,2] Como F x = 4 x 2, F x = 2x, vemos que F es continu en [-2,2]; por tnto se puede plicr el teorem nterior y tenemos: 2 L = 1 + 4x 2 2 dx dx = ln( ) 2 Ocsionlmente se expres l longitud de un curv C por l ecución: L = B ds A B(,d) = (dx) 2 + (dy) 2 A(,c) L formul nterior sugiere que si l curv C tiene l representción prmétric x = G t, y = H t, t [t 1, t 2 ] Donde = G t 1, = G t 2, c = H t 1, d = H t 2, entonces, como dx = G t dt y dy = H t dt, l longitud L de C se puede otener por: t 2 L = [G t ] 2 + [H t ] 2 dt t 1 L formul nterior se puede plicr pr cundo l ecución de l curv está dd por un función vectoril, por lo que, l longitud de rco de curv entre dos puntos F() y F() viene dd por l fórmul: L F,, = F t dt = x (t) 2 +y (t) 2 + z (t) 2 dt 5

l práol con ecución y = 4 x 2 que está en l prte superior del eje x.

6 3.6. Vector tngente, norml y inorml VECTOR TANGENTE Como y lo vimos nteriormente, l vector F (t) tmién se le llm vector tngente l curv F(t) en t, F t = (f t, g t, (t)) y el vector T t = F (t), es el vector tngente unitrio F t VECTOR NORMAL VECTOR BINORMAL N t = B(t) T(t) = [F t F t ] F (t) F t F t F t B = T t N t = F t F t F t F t Estos tres vectores son unitrios y perpendiculres entre sí, juntos formn un sistem de referenci móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret Curvtur Dd un curv regulr F(t) se puede reprmetrizr, de mner que l longitud de l curv entre dos puntos y coincid con l longitud del intervlo con origen en y extremo en ; en este cso se dice que l curv está prmetrizd por l longitud de rco, que llmmos s. En este cso el vector tngente siempre es unitrio. Se define l curvtur k como l vrición del vector tngente respecto l longitud de rco. k = dt ds L curvtur viene medir como se tuerce l curv respecto de su longitud. Est definición es stnte intuitiv, pero no es fácil de clculr. Pr curvs, no necesrimente prmetrizds por el rco, se puede clculr como T t k = F ; o ien t k = F (t) F (t) F (t) 3 Si l curv está en el espcio, tmién se retuerce y pr medir esto de define l torsión T como T = det (F t, F t, F t ) F (t) F (t) 6

juntos formn un sistem de referenci móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret. 3.7.

7 3.8. Aplicciones EN ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Pr determinr completmente un función vectoril necesitmos clculr tnto su rotcionl como su divergenci, demás de ls condiciones de contorno. Por ello ls ecuciones fundmentles del electromgnetismo (ecuciones de Mxwell) se expresn en términos de l divergenci y el rotcionl de los cmpos eléctrico y mgnético. Empezremos clculndo l divergenci del cmpo mgnético trvés de l ley de Biot-Svrt: El integrndo de est ecución puede descomponerse según ls regls del cálculo vectoril en l form: donde los dos términos dn un resultdo nulo. Por lo tnto se otiene: que constituye un de ls leyes generles del Electromgnetismo que estlece que el cmpo de inducción mgnétic es solenoidl, es decir tiene divergenci nul en todos los puntos. Esto signific dicho cmpo no tiene ni fuentes ni sumideros y por tnto, como resltremos posteriormente, ls línes de fuerz del cmpo mgnético siempre son cerrds. Los polos mgnéticos, equivlentes en este cso ls crgs eléctrics, no existen independientemente; siempre que hy un polo Norte h de precer un polo Sur. Otr de ls implicciones del crácter solenoidl del cmpo de inducción es l de que existe un función vectoril de l que deriv: puesto que pr culquier vector A. Este vector sí definido recie el nomre de potencil vector, y su unidd en el S.I. es el W/m. Al igul de lo que ocurre en el cso del potencil electrostático V, el potencil vector no está 7

Empezremos clculndo l divergenci del cmpo mgnético trvés de l ley de Biot-Svrt: El integrndo de est ecución puede descomponerse según ls regls del cálculo vectoril en l form: donde los dos términos

8 unívocmente determindo puesto que si le ñde culquier mgnitud vectoril de rotcionl nulo se lleg l mismo cmpo mgnético B. EN EL CÁLCULO DE MOVIMIENTO DE UNA PROYECTIL Cundo se lnz un ojeto en presenci solmente de un cmpo grvittorio, como el de l tierr, se oserv que dicho ojeto se elev, lcnz un determind ltur y ce. Ls ecuciones vectoriles que descrien este tipo de movimientos son: Este movimiento ocurre en un plno y pr su estudio se puede descomponer en un movimiento en l dirección horizontl y otro en l dirección verticl. En l dirección horizontl, el movimiento es uniforme con velocidd constnte y ls ecuciones que lo descrien son: donde x 0 es l componente horizontl de l posición inicil y es l componente horizontl del vector velocidd inicil. 0xxv0 En l dirección verticl, el movimiento es uniformemente celerdo, donde l celerción es deid l cmpo grvittorio. Ls ecuciones que lo descrien son: donde y 0 es l componente verticl de l posición inicil, v 0y es l componente verticl de l velocidd inicil y es l componente verticl de l celerción. 8

Ls ecuciones vectoriles que descrien este tipo de movimientos son: Este movimiento ocurre en un plno y pr su estudio se puede descomponer en un movimiento en l dirección horizontl y otro en l

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