7. Integrales Impropias

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1 Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge Sn Mrtín. Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 3: INTEGRALES IMPROPIAS 7. Integrles Impropis 7.. Introducción En l deinición de l integrl de Riemnn se impusieron dos condiciones undmentles que son:. Se deine en el intervlo cerrdo y cotdo [,], < 2. Se deine pr unciones cotds en [,] El propósito de est sección, es etender l noción de integrl l cso de intervlo no cotdos, y l cso de unciones no cotds sore un intervlo cotdo. Ests dos etensiones dn origen ls llmds integrles impropis de primer y segund especie respectivmente. Prtmos por l deinición del primer tipo de ésts: Deinición 7. (Integrl Impropi de Primer Especie (Intervlo no Acotdo)). Se : [,+ ) diremos que es integrle en [,+ ) si se cumple que: Integrl Impropi de Primer Especie (i) (, + ), es integrle en [, ] y demás (ii) Eiste el límite deinido por lím + + Notción: Si un unción es integrle en el intervlo:[, ) entonces l vlor del límite se le llm integrl impropi de primer especie de y se le denot = lím. Oservciones. Si el límite lím eiste, se dice que l integrl impropi es convergente y si no eiste se dice que l integrl impropi es divergente. 2. De un mner nálog se deinen ls integrles de especie siguiente i) = lím 4

2 ii) = c + c donde l constnte c Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile puede ser culquier. En est últim deinición es importnte que ls dos integrles de l derech eistn o que sen convergente. Si lgun de ests integrles no converge entonces l integrl de l izquierd tmpoco. Ejemplo 7.. Ddo > 0, estudir l convergenci de l integrl. Clrmente () = es integrle en [,] pr culquier >. Vemos el límite = lím dt t = lím [ln ( )] =. Por lo tnto se trt de un integrl divergente. Ejemplo 7.2. Ddo > 0 y α, estudir l convergenci de l integrl α. Nuevmente st con estudir el límite: α = lím = lím dt t α = lím ( α) ( α) ( α α = t α ) { (α) si α > α si α < Por lo tnto est integrl impropi es convergente cundo α > y divergente si α <. Juntndo estos dos ejemplos podemos resumir diciendo que { Converge si α > α = Diverge si α Deinición 7.2 (Integrl Impropi de Segund Especie (Funciones no Acotds)). Se : [,) ssi: un unción no cotd, diremos que es integrle en [,) Integrl Impropi de Segund Especie (i) (, ) es integrle en [, ] (ii) El límite lím Oservciones eiste. ) Cundo el límite lím eiste, se dice que l integrl impropi converge, y cundo no eiste se dice que l integrl impropi diverge. 42

3 2) Se not lím =. Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile 3) L primer condición de integrilidd de este tipo de unciones eige, entre otrs coss, que l unción dee ser cotd en todo intervlo (, ), es decir, este tipo de unciones se crcterizn por tener un síntot verticl en =. 4) En orm nálog se deinen ls integrles impropis siguiente: (i) (ii) + = lím + + = c + + c, c (,) En est últim deinición l integrl entre + y converge ssi ls dos integrles de l derech convergen por seprdo. Ejemplo 7.3. Estudir l convergenci de l integrl impropi vlores de α. Cso α =. En este cso se tiene: () α pr diversos ε = lím ε 0 + = lím ln ( ) ε ε 0 + = lím ε 0 +{ln ( ) ln ε} =. Por lo tnto, en este cso l integrl impropi es divergente. Cso α. En este cso los cálculos son ε ( ) α = lím ε 0 + = lím ε 0 + (α ) ( ) α = lím ( ε α ( ) α ε (α )( ) α ) { = (α) () si α < α si α > ε 0 + Juntndo estos dos ejemplos podemos resumir diciendo que { Converge si α < ( ) α = Diverge si α Deinición 7.3 (Integrles Impropis de Tercer Especie o Mits). Son Integrles Impropis ls que se otienen cominndo integrles impropis de y 2 especie. Por de Tercer Especie ejemplo 0 2 =

4 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Este tipo de integrl será convergente ssi cd un de sus componentes es un integrl convergente Algunos criterios de convergenci pr integrles impropis Nos dedicremos primermente estlecer lgunos criterios de convergenci pr integrles impropis de unciones no negtivs. Oservción:. Si F es un unción creciente en [,+ ), entonces, cundo +,F() L o ien F() Si F es un unción creciente en [,), entonces cundo ;F() L o ien F() +. Lo nterior surge del hecho de que F puede ser cotd, o no, en los intervlos considerdos. Teorem 7. (Criterio de Comprción). Sen y g unciones continus en [,+ ) tles que: Criterio de Comprción entonces: Si g converge entonces Recíprocmente si ( )( ) 0 () g() diverge converge. g diverge Demostrción. Como ls unciones y g son continus, entonces son integrles en [,] pr todo >. Además por lo tnto es clro que converge ssi converge y = + g converge ssi, (lo mismo pr g) g converge. Luego, pr demostrr el teorem st con estudir ls integrles impropis en [,+ ). Sen:F() = y G() = g. Entonces, como se se que ( t [,]) se tiene 0 (t) g(t) entonces integrndo de se otiene que F() G(), [,+ ). Como demás ls unciones F y G son crecientes, el resultdo del teorem se otiene directmente de l oservción 7.2. En eecto, si g converge entonces G() es cotd, y entonces tmién F() lo es con lo cul eiste lím F() o + se, l integrl impropi es convergente. 44

5 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Oservción: Pr integrles impropis del tipo el enuncido del teorem es nálogo y tiene l mism demostrción. Se propone como ejercicio, enuncir dicho teorem y demostrrlo. Ejemplo 7.4. Estudir l integrl Clrmente se tiene que Luego como l integrl 0 sen 2. directmente que l integrl sen 2,. 2 es conocidmente convergente, se concluye 2 sen 2 es tmién convergente. Teorem 7.2 (Criterio del cuociente de unciones). Sen y g unciones continus en [,+ ) y no negtivs en [,+ ), donde y tles que: Criterio del cuociente () lím + g() = L 0 Entonces ls integrles impropis ms divergentes. y g son ms convergentes o Oservción: el mismo criterio se ocup pr ls integrles de segund especie. Muchs veces se us el teorem nterior pr estudir l convergenci de un integrl impropi, comprándol con ls integrles de l orm o ien α ( ) α cuyos comportmientos son y ien conocidos en unción de α. Cundo est comprción es posile, el comportmiento de l integrl impropi en estudio se puede resumir en ls siguientes regls:. () converge si lím + α () = L > 0, con α >. 45

6 () converge si lím + α () = L > 0 con α >. () converge si lím ( )α () = L > 0 con α <. + () converge si lím +( )α () = L > 0 con α <. Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile 7.3. Convergenci solut Revisremos hor l noción de convergenci solut de integrles impropis. Trtremos sólo el cso de integrles de primer especie, sin emrgo puede etenderse los demás tipos de integrles impropis. Es un uen ejercicio pr el lector llevr co con detlle est etensión. Deinición 7.4 (Convergenci solut). Se : [, + ), diremos Convergenci solut que es solutmente convergente si converge. Notr que en un principio l deinición no dice nd cerc de l convergenci de. Sin emrgo el siguiente teorem muestr l relción entre l convergenci solut y l convergenci. Teorem 7.3. Se : [,+ ), se tiene que converge solutmente converge. Demostrción. Es clro que / + Luego, por el Criterio de Comprción, como por hipótesis entonces + converge. Además, pr [, + ) converge () = (() + ()) () = ( + ) Hciendo + y grcis que mos límites l derech eisten, se concluye el resultdo.. 46

7 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Oservción: L recíproc del Teorem nterior no es necesrimente cierto. converge converge solutmente. Ejemplo 7.5. Consideremos () = sí (). sin, entonces () converge, pero no 47