Tema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales

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1 Tem 8.4: Teorem de Runge. Aproximción de funciones holomorfs por funciones rcionles Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso Enrique de Amo, Universidd de Almerí Sbemos que ls funciones holomorfs se pueden expresr loclmente como límite de sucesiones de polinomios; esto es lo que nos dice el teorem de Tylor: f() lim k ( ) k ; 2 D(; r); k0 es decir, P (D(; r)) H (D(; r)) : Este tem lo vmos culminr comprobndo que l propiedd de simplemente conexo sobre el bierto crcterirá el hecho de que l clse P () de los polinomos (restringidos) sobre es dens en l clse H () de ls funciones holomorfs en : se ñdirá un equivlenci más l corolrio l teorem de Riemnn de Representción Conforme. El cso generl en el que se un bierto rbitrrio, tiene un respuest negtiv: l unicidd de l representción en series de Lurent sobre biertos nos expone, bien ls clrs, este hecho. Lo que sí que nos permite rmr el desrrollo en series de Lurent es que R () H (), cundo el bierto es un nillo. Este tem se dedicrá probr que, en el cso generl, cundo es un bierto rbitrrio, tod función holomorf en él será límite de un sucesión de funciones rcionles: es el llmdo teorem de Runge. Entre los polos de un función rcionl hbremos de considerr l posibilidd de que lo se tmbién el punto : ( Ay de los polinomios si sí no fuese!) Comenmos con un resultdo que y v re ejr, primer vist, el teorem de l fórmul fundmentl de Cuchy en este tem... y ún no hbremos supuesto condiciones de holomorfí sobre l función f! Así mismo, es de destcr el ppel (clldo) que jueg l integrl de Riemnn-Stieltjes en l demostrción que se d de este hecho. Se trt de un primer resultdo de proximción sobre compctos de funciones holomorfs por funciones rcionles: Lem. Sen un ciclo, un bierto, un función f continu en ; un compcto K tl que K \ ;, y " > 0. Entonces existe un función rcionl R en cuyos polos están todos en y tl que Z f(w) dw R() w < "; 8 2 K:

2 Demostrción. No hy pérdid de generlidd si nos restringimos considerr curvs (pongmos, sobre [; b]) en ve de ciclos. Por rgumentos de continuidd (uniforme) de l función (w; ) 2 K! f(w) w sobre el compcto K, existe > 0 tl que w; w 0 2 ; jw w 0 j < ) f(w) f(w 0 ) w w 0 < "long ( ) ; 8 2 K: Análogos rgumentos, hor por l continuidd (uniforme) de l curv [; b] ; existe r > 0 tl que en x; x 0 2 [; b] ; jx x 0 j < r ) j (x) (x 0 )j < : Se un prtición de [; b] dd por x 0 < x < ::: < x n b : jx k x k j < r: Y podemos de nir hor un función rcionl de l siguiente mner: R() : k [ (x k ) (x k )] f ( (x k )) (x k ) : En prticulr, se tiene que R es un función rcionl con todos sus polos en. Además, pr cd 2 K: Z f(w) dw R() w Z xk f( (x)) Z xk 0 f( (x k )) (x) dx 0 (x) dx k x k (x) k x k (x k ) Z xk f( (x)) f( (x k )) (x) (x k ) j 0 (x)j dx k x k Z b " long ( ) j 0 (x)j dx ": Notemos que los polos de l función rcionl que proxim l función holomorf en el compcto pueden estr en el bierto. Necesitmos "desplrlos", de modo que éstos queden fuer de dicho bierto. Comenmos con un resultdo topológico... que prece "inocentemente": Lem 2. Sen U y V dos biertos del plno tles que V U \ U ;. Si H es componente conex de U tl que V \ H 6 ;, entonces H V: 2

3 Demostrción. Se x 2 V \ H y consideremos G l componente conex de V tl que x 2 G. El objetivo es, pues será condición su ciente, probr que G H. Clrmente G H, pues H es el myor conexo en U tl que x 2 H. Por otro ldo, podemos escribir H G [ (HnG) G [ \ H) [ HnG : \ H ;, consecuenci de \ U ;; luego H G [ HnG ; de donde el conexo H se expres como reunión disjunt de dos biertos: como G 6 ; se sigue que HnG ; y, por tnto, H G: Ahor necesitmos un poco de notción. Ddo un compcto K del plno, por S vmos denotr culquier subconjunto de CnK tl que conteng, l menos, un punto de cd componente conex de CnK. De nmos R S (K) : f :! C : f jk rcionl en K con sus polos en S y se B S (K) su cierre en el espcio C (K) de ls funciones continus en respecto de l convergenci uniforme. (Notemos que está permitido 2.) Clrmente, se trt de un álgebr de funciones; esto es, es cerrd pr l sum y el producto de sus elementos (y, por ende, pr el producto externo por constntes). Lem 3. Si K es un compcto del plno y 2 CnK; entonces l función está en B S (K) : Demostrción. Llmemos '! V : f 2 CnK : ' 2 B S (K)g : Consiste en probr que, de hecho, V CnK. Ésto lo conseguiremos probndo que: o V es bierto. 2 o 2 S; R : mx fjj : 2 Kg ) A (0; R; +) V: 3 K: El tercer pso nos dice que V no tiene puntos de fronter en CnK; luego V es bierto y cerrdo en CnK. Si C es componente conex de CnK; entonces V \ C es (bierto y) cerrdo en C. Por tnto, o bien C V, o bien C \ V ;. Y, por tnto, bstrá probr que V cort tods ls componentes conexs de CnK. En efecto, si 2 S, 6, entonces l función ' () : es rcionl en K con sus polos en S. Pero ests funciones están en su cierre: R S (K) B S (K). 3

4 Por tnto, 2 V. Si C es un componente conex cotd de CnK, entonces tmbién lo es de CnK. Y S contiene un punto de C (que, según cbmos de ver, está en V ); luego V cort C. Si C es l componente conex no cotd de CnK, entonces C [fg es l componente conex no cotd de CnK. Entonces vle el ronmiento nterior, slvo que el único punto de C [ fg que esté en V se : Pero, en dicho cso, sbemos por el segundo pso, que V contiene un nillo de l form A (0; R; +), que contiene los puntos de C. Vmos, por tnto, con l prueb de los tres psos rrib citdos, pr completr l demostrción de este lem 3. Primer pso: Se 2 V; jo pero rbitrrio y se d : d (; K) > 0. Vemos que D(; d) V; y, en prticulr, tendremos que V es cerrdo. Pr b 2 D(; d) y 2 K, se tiene b ( ) (b ) +X n b +X b (b ) n n0 n0 ( ) n+ (obsérvese que se us b < d j j < pr obtener convergenci en l serie). Por l unicidd del desrrollo en serie de Lurent, se obtiene convergenci uniforme sobre los compctos del nillo A (; jb j ; +); en prticulr, convergenci uniforme sobre K. Por ls propieddes del álgebr B S (K) (cierre de R S (K) en C (K) respecto de l convergenci uniforme), pr l expresión nterior de ' b como límite, se tiene que ' b 2 B S (K) ; y, por tnto, b 2 V. Segundo pso: si 2 A (0; R; +) y 2 K: n X+ n n+ n0 n0 (donde hor se h hecho uso del hecho de que R jj < ). Est serie converge en D (0; jj) ; luego lo hce uniformemente en K. Ls sums prciles en l serie nterior son polinomios (con polo en 2 S), luego están en R S (K); y, por tnto, su límite estrá en B S (K). Tercer pso: Supongmos que existe lgún tl que 2 K. Tomemos d : d(; K) > 0 pr nuestros nes. H de existir, por tnto, lgún b 2 D(; d 2 ) \ V tl que 2 D +X b; d D(; d) CnK; 2 luego d(b; K) d 2, y por el primer pso, concluimos D b; d V; 2 4

5 de donde 2 V. Pero que V se bierto impide que 2 V En K: Teorem (de Runge). Sen un bierto del plno C, un función f holomorf en y K un compcto. Se un conjunto E CnK tl que conteng, l menos, un punto de cd componente conex de CnK. Entonces, pr cd " > 0 existe un función rcionl R cuyos polos están en E y tl que jf() R()j < "; 8 2 K: Demostrción. Podemos usr l descomposición de funciones rcionles medinte frcciones simples y, entonces, el lem 3 nos dice que culquier función rcionl con polos en S está en B S (K). Ahor, el teorem de Runge se sigue del lem. (Observemos que el lem 2 se us pr l prueb del lem 3.) Q.E.D. El ppel jugdo por ls funciones rcionles en el teorem nterior no puede ser desrrolldo por los polinomios. En ese cso se estrá condicionndo l nturle del bierto tl y como se nos dice en el siguiente: Corolrio. Se C: Son equivlentes: i. es simplemente conexo. ii. P () es dens en H (). Demostrción. i. ) ii. Aplicmos el corolrio l teorem de Riemnn de representción conforme (iii. ) xi.) y obtenemos que Cn es conexo. Se E : fg: Ahor, plicndo el teorem de Runge, obtenemos funciones rcionles cuyo polo es, lo sumo,. Es clro que un tl función sólo puede ser un polinomio. ii. ) i. Si f 2 H () es límite de un sucesión de polinomios (p n ) en l topologí uniforme sobre compctos, se sigue que Z Z f lim p n : Pero, cd un de ls integrles de est sucesión es nul y, plicndo hor v. ) iii. del corolrio l teorem de Riemnn de representción conforme, se concluye l prueb (dd l rbitrriedd de f en H ()). Q.E.D. EJERCICIOS PROPUESTOS.. Sen f y g dos funciones enters. Sen, tmbién, y 2 dos dominios disjuntos del plno C. Supongmos que uno de ellos, 2 por ejemplo, es simplemente conexo y cotdo. Prueb que, entonces, existe un sucesión (p n ) de polinomios uniformemente convergente sobre compctos de [ 2 y tl que f(); 2 lim p n () : F () g(); 2 2 : 5

6 Consider el cso prticulr : CnD y 2 : D: Prueb un cso prticulr del resultdo nterior considerndo l sucesión de funciones f n () : ; 8 2 CnT: n ( ) n 2. Prueb que l serie funcionl P n converge uniformemente sobre n los compctos de C n ( N) un función (holomorf) f. Encuentr el desrrollo en serie de potencis de f en un entorno del origen. 2n 3. Prueb que l serie funcionl P n 2n converge uniformemente sobre los compctos de Cn(T [ f0g) un función (holomorf) f. Encuentr l tl funcón f: Los siguientes tres ejercicios (del 4 l 6) son bstnte complicdos. (Sus discusiones ls puedes encontrr en el texto de Mrkushevich.) 4. Prueb que existen f y g dos funciones enters y que existe un sucesión (p n ) de polinomios uniformemente convergente sobre los compctos del plno C, tl que f(); lim p n () : F () g(); 2 C n (Z iz) 2 Z iz: 5. (Existenci de l función universl) Existe un función enter f tl que pr culquier dominio cotdo y simplemente conexo y culquier nción holomorf en él, ' 2 H (), existe (n k ) k tl que l sucesión f k () : f( + n k ) converge ' uniformemente sobre los compctos de : 6. Un función f de nid en el disco unidd D se dice que tiene límite rdil sobre l circunferenci unidd T si pr cd 2 [0; 2[ 9 lim! f ei 2 C: Prueb que existen funciones holomorfs f en el disco unidd D, pero sin límite rdil en ningún punto de l circunferenci unidd T. Con los dos siguientes ejercicios puedes obtener otr reformulción del Teorem de Runge. 7. Se C. Pr cd nturl n, se de nen los conjuntos siguientes: K n : D(0; n) \ 2 C : j wj n ; 8w 2 C n : Prueb que: 6

7 i. Los conjuntos K n son compctos. ii. Pr cd n, se tiene que K n K n+ : iii. Pr cd compcto K, existe un nturl m tl que K K m+p ; 8p 2 N: iv. Cd componente conex de CnK n contiene un componente conex de C n. 8. Se C y se un conjunto S C tl que contiene, l menos, un punto de cd componente conex de C n. Prueb que si f 2 H () ; entonces existe un sucesión (R n ) de funciones rcionles con sus polos en S uniformemente convergente sobre los compctos de l función holomorf f. 7

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