INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS SOBRE CURVAS

Transcripción

1 INTEGRCIÓN DE FUNCIONES COMPLEJS SOBRE CURVS. Curvs de clse C trozos en R n Recordemos que un curv prmetrizd de clse C en R n es un plicción : [, b] R n de clse C, donde, b R, < b, tl que (t) 0 pr todo t [, b]. En prticulr está bien definido el vector tngente (t) l curv en cd punto (t) de l mism. Pr t = entenderemos que existen y son igules los ites +() (t) () := = t + t t (t), + y que un condición nálog se d en t = b. Se dice que un curv prmetrizd : [, b] R n es equivlente otr curv prmetrizd σ : [c, d] R n si existe un biyección ϕ : [c, d] [, b] de clse C tl que ϕ (t) > 0 y Es inmedito comprobr que l relción σ(s) = (ϕ(s)) pr todo s [c, d]. Rσ es equivlente σ es efectivmente un relción de equivlenci en el conjunto X de ls curvs prmetrizds de clse C en R n. El conjunto cociente X/R es lo que llmremos el conjunto de ls curvs orientds de clse C en R n. Cd curv orientd = [] de clse C puede verse pues como l trz [, b] de un curv prmetrizd : [, b] R n de clse C que represent est clse de equivlenci [], con l orientción inducid por. Es mism trz [, b] dmite dos orientciones: un es l dd por, que recorre [, b] empezndo en () y terminndo en (b), y l otr es l dd por l curv opuest, definid por : [, b] R n, (t) = ( + b t), que recorre [, b] empezndo en (b) y terminndo en (). L curv orientd de clse C representd por est curv opuest se denotrá = [ ]. nálogmente podemos definir curvs de clse C trozos. Diremos que un plicción continu : [, b] R n es un curv prmetrizd de clse C trozos si existe = 0 < <... < m = b prtición de [, b] tl que l restricción de cd subintervlo [ j, j+ ], j = 0,,..., m, define un curv prmetrizd de clse C. En est situción más generl dmite un único vector tngente (t) en cd punto (t) con t j pr todo j, mientrs que en los puntos ( j ) tiene un tngente l izquierd y otr tngente l derech de ( j ), definids respectivmente por los vectores ( j ) := t j (t) ( j ) t j y por + ( j ) := t j (t) ( j ) t j, posiblemente diferentes. Diremos que un curv prmetrizd : [, b] R n de clse C trozos es equivlente otr curv prmetrizd σ : [c, d] R n de clse C trozos si existen prticiones = 0 < <... < m = b de [, b] y c = c 0 < c <... < c m = d de [c, d] tles que l restricción [j, j+ ] es un curv prmetrizd de clse C equivlente l restricción σ [cj, pr cd j = 0,,..., n. De nuevo es inmedito,c j+ ]

2 2 INTEGRCIÓN comprobr que l relción Rσ es equivlente σ es efectivmente un relción de equivlenci en el conjunto de ls curvs prmetrizds de clse C trozos en R n. El conjunto cociente resultnte es lo que llmremos el conjunto de ls curvs orientds de clse C trozos en R n. Dd un curv orientd de clse C trozos representd por un curv prmetrizd : [, b] R n, definiremos como l clse de equivlenci representd por (t) = ( + b t), t [, b]. Es clro que pr cd curv prmetrizd : [, b] R n de clse C trozos l función (t) es integrble en [, b] (l estr bien definid slvo en un cntidd finit 0,,..., m de puntos de [, b], y ser continu y cotd en [, b] \ { 0,..., m }). Se define entonces l longitud de por long() = b (t) dt. Es fácil comprobr usndo el teorem del cmbio de vrible que si y σ son (curvs prmetrizds de clse C ) equivlentes entonces long() = long(σ). Tmbién que long() = long( ). Por tnto, dd un curv orientd de clse C trozos puede definirse long() = long(), donde es culquier prmetrizción suy, y se tiene que long() = long( ). Un operción que usremos con reltiv frecuenci es l conctención de curvs. Si,..., m son curvs de clse C trozos en R n tles que el punto finl de j coincide con el punto inicil de j+, puede definirse un curv que recorre de mner consecutivmente ls curvs,..., n, y que por buso de notción denotremos =... m. Un prmetrizción de est conctención es l siguiente: pueden encontrrse prmetrizciones,..., m de,..., m definids respectivmente en intervlos [, b ],..., [ m, b m ] de tl mner que b j = j+, y por supuesto j (b j ) = j+ ( j+ ), y definirse entonces : [, b m ] R n por (t) = j (t) si t [ j, b j+ ]. L curv es entonces l clse de tods ls curvs equivlentes est. Recordemos por último tres conceptos más. Se dice que un curv orientd de clse C trozos en R n es: un curv cerrd en R n si dmite un prmetrizción : [, b] R n tl que () = (b); un curv simple si dmite un prmetrizción : [, b] R n que es inyectiv; un curc cerrd simple si dmite un prmetrizción : [, b] R n tl que () = (b) y l restricción de l intervlo [, b) es inyectiv. 2. Integrción de funciones con vlores en R n Se un subconjunto de R d. Diremos que un función ϕ : R n es integrble si lo son sus funciones coordends respecto de l bse cnónic de R n, es decir, si escribiendo ϕ = (ϕ,..., ϕ n ) se tiene que cd ϕ j es integrble en, j =,..., n. Llmremos integrl de ϕ en l vector ( ) ϕ := ϕ,..., ϕ n. Teorem 2.. Si ϕ, ψ : R n son funciones integrbles, α, β R, se cumple que : ) L función αϕ + βψ es integrble, y (αϕ + βψ) = α ϕ + β ψ. b) ϕ f. quí denot l norm euclíde en R n. El resultdo de (b) es tmbién cierto pr culquier otr norm en R n, pero l demostrción bsd en l mism ide requerirí usr el teorem de Hhn-Bnch

3 INTEGRCIÓN 3 c) En el cso d = y = [, b] R se tiene demás, pr cd función g : [, b] R n de clse C, que g(t) = g() + t g (s)ds. Demostrción. () es consecuenci direct de l definición y de l linelidd de l integrl de funciones con vlores en R, y (c) se obtiene plicndo el teorem fundmentl del cálculo coordend coordend. Pr demostrr (b), denotemos ( x = (x,..., x n ) = ϕ,..., ϕ n ). Podemos suponer x 0. Tenemos entonces, usndo l linelidd de l integrl de funciones con vlores en R y l desiguldd de Cuchy-Schwrz en R n, que n n x 2 = x, x = x j ϕ j (t)dt = x j ϕ j (t)dt x ϕ(t) dt = x ϕ, j= de donde deducimos (b) l dividir por x. j= Es tmbién fácil comprobr, usndo (), que l definición de ϕ no depende de l bse fijd en R n. 3. Integrción de funciones complejs sobre curvs en C Si identificmos R 2 con C, lo dicho en l sección nterior se plic inmeditmente funciones ϕ : [, b] C. Emplendo l notción ϕ(t) = x(t) + iy(t) en lugr de ϕ(t) = (x(t), y(t)), un curv ϕ : [, b] C es integrble en [, b], por definición, si y sólo si lo son sus funciones coordends x e y; en este cso definimos b ϕ(t)dt = b x(t)dt + i b y(t)dt. Puesto que l norm del vector (x(t), y(t)) de R 2 es igul l módulo del número complejo z(t) = x(t) + iy(t), l propiedd (b) del teorem de l sección nterior implic que b ϕ(t)dt b ϕ(t) dt. (3.) continución definimos l integrl de un función complej sobre un curv de clse C trozos. Definición 3.. Sen f : Ω C C un función continu, y : [, b] Ω un curv prmetrizd de clse C trozos. Definimos l integrl de f sobre por b f = f((t)) (t)dt. (3.2) Tmbién se denotrá f = f(z)dz. Escribiendo f = u + iv, (t) = x(t) + iy(t), obtenemos otr expresión equivlente pr est integrl: b ( f = u(x(t), y(t))x (t) v(x(t), y(t))y (t) ) b ( dt + i u(x(t), y(t))y (t) + v(x(t), y(t))x (t) ) dt. Conviene subryr que el producto que prece en (3.2) es el producto complejo, no el producto esclr. Por tnto f es en generl un número complejo, y no es l integrl de un cmpo vectoril f lo lrgo de un curv en R n (tl integrl serí siempre un número rel). Tmbién es importnte evitr cer en el error de pensr que f f, lo cul serí bsurdo porque el término de l derech es en generl un número complejo, mientrs que el de l izquierd es un rel positivo. Ni siquier es ciert est desiguldd ún suponiendo que mbos términos son reles, como muestr el ejemplo f(z) = /z,

4 4 INTEGRCIÓN (t) = e it, t [0, 2π]. No obstnte, l tercer propiedd de f de ls que enuncimos continución sirve en l práctic como sustituto de dich desiguldd (que, insistimos, es fls en generl). Teorem 3.2. Sen f, g : Ω C C funciones continus, α, β C, y : [, b] Ω un curv prmetrizd de clse C trozos. Se tiene que: ) (αf + βg) = α g + β g. b) f = f. c) f sup z [,b] f(z) long(). Demostrción. L propiedd () se sigue fácilmente de l definición, medinte un cálculo directo y el uso de l linelidd de l integrl de funciones con vlores reles. L propiedd (b) tmbién se comprueb muy fácilmente prtir de l definición y cmbio de vrible s = + b t. En cunto (c), se obtiene como sigue: f = b f((t)) (t)dt b f((t)) (t) dt = b f((t)) (t) dt b sup z [,b] f(z) (t) dt = sup z [,b] f(z) b (t) dt = sup z [,b] f(z) long(), donde en l primer desiguldd hemos usdo (3.). Proposición 3.3. Sen : [, b] Ω, σ : [c, d] Ω curvs prmetrizds de clse C trozos, y supongmos que y σ son equivlentes. Entonces, pr tod función continu f : Ω C C se tiene f = f. Demostrción. Hremos l demostrción en el cso en que y σ son de clse C ; l extensión l cso generl es evidente y qued l cuiddo del lector. Se φ : [c, d] [, b] biyectiv y de clse C tl que σ(s) = (φ(s)). Entonces b d d f = f((t)) (t) = f((φ(s))) (φ(s))φ (s)ds = f(σ(s))σ (s)ds = f, c donde en l segund iguldd hemos usdo el cmbio de vrible t = φ(s) y en l tercer l regl de l cden. En virtud de l proposición nterior podemos definir, pr cd curv orientd de clse C trozos contenid en un subconjunto Ω de C, l integrl de un función f : Ω C continu por f = f, en donde es culquier prmetrizción de. Ls propieddes () (c) del teorem nterior tienen sí nálogos obvios pr f. Tmbién es muy fácil ver que si =... m es un conctención de curvs en C tles que j+ comienz en el punto donde j cb, se tiene m f = f. j j= Definición 3.4. Sen Ω un bierto de C y f : Ω C. Se dice que un función F : Ω C es un primitiv de f si F es holomorf en Ω y F = f. En un ejercicio de l Hoj, como consecuenci de ls ecuciones de Cuchy-Riemnn, vimos que si Ω es un bierto conexo de C, F es holomorf en Ω y F = 0 entonces F es constnte. Se sigue inmeditmente que si un función f tiene un primitiv en un bierto conexo Ω de C, entonces dich primitiv es únic slvo constnte ditiv. σ c σ

5 INTEGRCIÓN 5 Teorem 3.5. Si un función continu f tiene un primitiv F en Ω y es un curv de clse C trozos en Ω que comienz en w y cb en w 2, entonces f = F (w 2 ) F (w ). En prticulr f no depende de l curv, sino sólmente de sus puntos inicil y finl w y w 2. Demostrción. Hgmos l demostrción en el cso en que es de clse C ; l extensión l cso generl será después obvi, y qued como ejercicio pr el lector. Si : [, b] Ω es un prmetrizción de tenemos f = f = b f((t)) (t)dt = b F ((t)) (t) = donde en l últim iguldd hemos usdo el Teorem 2.(c). b d F ((t)) = F ((b)) F (()), dt Corolrio 3.6. Si es un curv cerrd en un bierto Ω de C y f : Ω C es continu y tiene un primitiv en Ω, entonces f = 0. Se deduce del corolrio nterior, por ejemplo, que l función f(z) = /z no es holomorf en D(0, r) \ {0} pr ningún r > 0, y que, si C(0, r) es l circunferenci de centro 0 y rdio r, orientd positivmente (es decir girndo en el sentido contrrio ls gujs del reloj) se tiene C(0,r) z dz = 2π 0 re it rieit dt = 2π 0 idt = 2πi 0. Concluymos est introducción l teorí de integrción de funciones complejs sobre curvs con un resultdo que nos será muy útil en el próximo cpítulo. Teorem 3.7 (Derivción complej bjo el signo integrl). Sen Ω C bierto, curv orientd de clse C trozos en Ω, y ϕ : Ω C continu tl que pr cd ξ l función z ϕ(ξ, z) es holomorf en Ω, y l función (ξ, z) z ϕ(ξ, z) es continu en Ω. Entonces l función g : Ω C definid por g(z) = ϕ(ξ, z)dξ es holomorf, y g (z) = (ξ, z)dξ. z Demostrción. Sen z 0 Ω, y r > 0 tl que D(z 0, r) Ω. Pr h < r, considerndo el segmento S = [z 0, z 0 + h] Ω, prmetrizdo por ejemplo por S h (τ) = z 0 + h, τ [0, ], y plicndo el teorem nterior, tenemos que ϕ(ξ, z 0 + h) ϕ(ξ, z 0 ) = (ξ, z)dz = S h z [0,] [,b] 0 z (ξ, S h(τ))s h (τ) = 0 z (ξ, z 0 + τh) h dτ pr cd ξ. Suponiendo que : [, b] Ω es un prmetrizción de tenemos entonces g(z 0 + h) g(z 0 ) = (ϕ(ξ, z 0 + h) ϕ(ξ, z 0 )) dξ = h 0 h h 0 h ( ) b ( ) h 0 h 0 z (ξ, z 0 + sh) h ds dξ = h 0 0 z ((t), z 0 + sh)ds (t)dt = h 0 [0,] [,b] z ((t), z 0 + sh) (t)dsdt = [0,] [,b] h 0 z ((t), z 0 + sh) (t)dsdt = b z ((t), z 0) (t)dt = z ((t), z 0) (t)dt = (ξ, z)dξ, z

6 6 INTEGRCIÓN donde en l curt iguldd hemos usdo el teorem de Fubini y en l quint el intercmbio de integrl y ite se justific porque l ser / z continu en el compcto D(z 0, r) es uniformemente continu en este conjunto y por tnto uniformemente en (s, t) [0, ] [, b]. h 0 z ((t), z 0 + sh) (t) = z ((t), z 0) (t) Corolrio 3.8. Sen z 0 C, r > 0. Pr todo z D(z 0, r) se tiene que dξ = 2πi, ξ z D(z 0,r) donde D(z 0, r) es el borde del disco D(z 0, r), orientdo positivmente. Demostrción. L función ϕ : D(z 0, r) (C \ D(z 0, r)) C definid por es continu, y su derivd respecto de z es ϕ(ξ, z) = ξ z z (ξ, z) = (ξ z) 2, que es continu en el dominio de ϕ. Por el teorem nterior deducimos que l función f(z) = ξ z dξ es holomorf en D(z 0, r), con f (z) = D(z 0,r) D(z 0,r) (ξ z) 2 dξ. Pero est integrl es nul pr cd z D(z 0, r), por ser l integrl en un curv cerrd de l función ξ /(ξ z) 2, que es continu y tiene un primitiv ( sber, l función ξ /(ξ z)) en un entorno bierto de dich curv. Puesto que D(z 0, r) es un bierto conexo, se sigue que f es constnte en este disco, y como f(z 0 ) = ξ z 0 =r se concluye que f(z) = 2πi pr todo z D(z 0, r). 2π dξ = idt = 2πi, ξ z 0 0