6. Curvas en el espacio

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1 FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del rmo Mtemátics Aplicds, de Felipe Álvrez, Jun Diego Dávil, Roberto Cominetti y Héctor Rmírez C. Ingenierí Mtemátic SEMANA 11: CURVAS EN EL ESPACIO 6. Curvs en el espcio 6.1. Coordends ortogonles Ls coordends crtesins no siempre son ls más cómods pr describir curvs (tryectoris), superficies, volúmenes y otros objetos geométricos. En diverss ocsiones el problem en estudio posee cierts simetrís que no se ven reflejds l utilizr ests coordends. Así, se hce evidente el estudir formlmente un sistem de coordends rbitrrio, l cul nos referiremos por sistem de coordends curvilínes. En generl, un sistem de coordends curvilínes es un trnsformción invertible r : D 3 3, de modo que todo triplete (u,v,w) D le corresponde un único punto en el espcio sistem de coordends curvilínes r(u,v,w) = (x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)). Vemos hor lgunos sistems de coordends clásicos Coordends cilíndrics Pr este sistem de coordends l posición de un punto P en el espcio qued determind por tres vribles, ρ, θ y z, como muestr l siguiente figur: + P ρ [0,+ [ θ [0,2π[ z z θ ρ Entonces, l relción entre ls coordends cilíndrics y crtesins viene dd por r(ρ,θ,z) = (x(ρ,θ,z),y(ρ,θ,z),z(ρ,θ,z)) = (ρcos θ,ρsen θ,z). Recíprocmente, un punto descrito por lo vlores x, y e z, en coordends crtesins, le corresponden los siguientes vlores en coordends cilíndrics ρ = ( y x 2 + y 2, θ = rctn, z = z. x) 121

2 Coordends esférics Ingenierí Mtemátic Un tipo de geometrí que prece con frecuenci en ls plicciones es l geometrí esféric. Pr el sistem de coordends ligdo est geometrí, l posición de un punto P está determind por un rdio r y dos ángulos θ y ϕ, como se muestr en l figur. z + P r [0,+ [ ϕ [0,π] θ [0,2π[ θ ϕ r y x Así, tenemos pr un punto descrito usndo los vlores r, ϕ y θ l siguiente representción r(r,ϕ,θ) = (r sen ϕcos θ,r sen ϕsen θ,r cos ϕ). Recíprocmente, pr un punto ddo en coordends crtesins, es decir descrito usndo x, y y z, se tiene l relción r = ( ) x2 x 2 + y 2 + z 2 + y, ϕ = rctn 2 ( y, θ = rctn. z x) 6.2. Curvs Denotmos por n el espcio n-dimensionl dotdo de l norm euclidin: x = x x = x x2 n. L noción de curv es l formlizción mtemátic de l ide intuitiv de l tryectori de un prtícul que se mueve en el espcio. Por est rzón los csos n = 2 y n = 3 juegn un rol principl en lo que sigue. Definición 6.1 (Curv). Diremos que un conjunto Γ n es un curv si Curv existe un función continu r : I = [,b] n, llmd prmetrizción de l prmetrizción curv, tl que Además, diremos que un curv Γ es Γ = { r(t) : t [,b]}. 122

3 r(t) Γ I 1) Suve: si dmite un prmetrizción de clse C 1. Suve 2) Regulr: si dmite un prmetrizción r( ) de clse C 1 tl que d r dt (t) > 0, Regulr pr todo t I. 3) Simple: si dmite un prmetrizción de clse C 1 que se inyectiv (i.e. Simple no hy puntos múltiples). 4) Cerrd: si dmite un prmetrizción r : [,b] n de clse C 1 tl que Cerrd r() = r(b). 5) Cerrd simple: si dmite un prmetrizción r : [,b] n de clse C 1 Cerrd simple tl que r() = r(b) y que se inyectiv sobre [,b). Ejemplo 6.1. Se define l cicloide como l curv descrit por un punto solidrio un rued (de rdio R) que gir sin resblr. R p t Su prmetrizción viene dd por r(t) = (Rt,R) (sen t,cos t) = (Rt sen t,r cos t), donde es l distnci del punto l centro de l rued. Notemos que cundo < R l tryectori es simple y regulr, mientrs que en el cso > R dej de ser simple unque sigue siendo regulr. 123

4 <R =R >R El cso crítico es = R, pues pr este vlor l tryectori es simple pero no es regulr (justifique). Es importnte observr que l prmetrizción es siempre suve, pesr de que l curv present punts ; de hecho, es esto último lo que oblig psr por esos puntos con velocidd nul. Ejemplo 6.2. L función r(t) = ( cos t, b sen t), t [0, π/2] prmetriz el curto de elipse que se ve continución b Est curv se puede prmetrizr tmbién medinte r 1 (x) = (x,b 1 (x/) 2 ),x [0,]. 124

5 Ejemplo 6.3. L función r(t) = (cos t,sen t, ht 2π ),t [0,4π] prmetriz un hélice, que reliz 2 vuelts llegndo un ltur 2h, como se ve en l próxim figur. r h 0 4π h Podemos pensr que l hélice es un tryectori que sigue el contorno de un cilindro ddo (en este cso de rdio y ltur 2h). Insistmos que un curv Γ es un conjunto, que no debe confundirse con l prmetrizción que l define. De hecho, un curv dmite muchs prmetrizciones tl como vimos en el ejemplo 6.2. Intuitivmente, esto se explic porque un mism curv puede recorrerse de diferentes mners y con distints velociddes Reprmetrizción de curvs regulres Definición 6.2 (Prmetrizciones equivlentes). Dos prmetrizciones r 1 : [,b] n y r 2 : [c,d] n de un mism curv Γ se dicen equivlentes si existe un función biyectiv θ : [,b] [c,d] de clse C 1 tl que r 1 (t) = r 2 (θ(t)) pr todo t [,b]. En este cso, l función θ se llmrá reprmetrizción. Un función continu y biyectiv θ definid en un intervlo será necesrimente creciente o decreciente. En el primer cso diremos que l reprmetrizción preserv l orientción pues dos prmetrizciones tles que r 1 = r 2 θ recorren l curv en el mismo sentido. En el segundo cso, esto es, cundo l reprmetrizción es decreciente, entonces diremos que l orientción se invierte. De est form, dos prmetrizciones equivlentes o bien preservn l orientción o bien l invierten, pero no puede drse un cso intermedio. L definición nterior conllev nturlmente preguntrnos lo siguiente: (1) Son tods ls prmetrizciones de un mism curv necesrimente equivlentes? (2) En cso firmtivo, existe lgun prmetrizción más nturl que ls otrs? Prmetrizciones equivlentes reprmetrizción 125

6 L respuest (1) es en generl no, como lo muestr l siguiente curv y ls dos prmetrizciones que se indicn continución y cuys orientciones no son comprbles respecto l orientción (no podemos decir ni que se preserv ni que se invierte). Γ r 1 r 2 Figur 2: Prmetrizciones no equivlentes pr l mism curv Γ Sin embrgo, se tiene el siguiente resultdo que dmitiremos sin demostrción. Proposición 6.1. Se Γ un curv simple y regulr. Si Γ no es cerrd, entonces tods sus prmetrizciones regulres son inyectivs y equivlentes. Cundo Γ es un curv cerrd, se tiene que tods sus prmetrizciones inyectivs en el interior de su dominio son equivlentes. En est situción, un prmetrizción regulr r sepr en dos l conjunto de prmetrizciones regulres: Ls que tienen l mism orientción que r (que llmremos orientción positiv), y orientción positiv Ls que tienen l orientción opuest (que se llmr orientción negtiv- ). orientción negtiv Evidentemente ls nociones de orientción positiv y negtiv quedn determinds por l prmetrizción inicil que sirve de referenci. Existe sin embrgo un convención en el cso de curvs plns cerrds y simples, est es el escoger l orientción positiv como quell obtenid l recorrer l curv en sentido ntihorrio (i.e. contrrio ls mnecills del reloj), tl como se ilustr en l siguiente figur. 126

7 Prmetrizción en longitud de rco Se Γ un curv simple y regulr. Se r: [,b] n un prmetrizción regulr de Γ. Con el fin de definir l longitud de Γ procedemos proximrl por un poligonl trvés de los puntos r(t 0 ), r(t 1 ),..., r(t N ) donde = t 0 < t 1 <... < t N = b es un mll de puntos. r(t 1 ) Γ r(t 8 ) r(t 7 ) L(Γ) 8 i=1 r(t i) r(t i 1 ) r(t 0 ) Intuitivmente, cundo el pso de l prtición ({t i }) = máx 0 i N 1 (t i+1 t i ) tiende cero, l longitud de l poligonl converge hci el lrgo de l curv Γ. En efecto, se cumple el siguiente resultdo: Proposición 6.2. L sum N 1 r(t i+1 ) r(t i ) converge, cundo el pso de i=0 b l prtición ({t i }) tiende cero, hci l integrl d r dt dt. Este resultdo nos permite introducir l siguiente definición: Definición 6.3 (Longitud de curv). Se Γ un curv simple y regulr. Se r: [,b] n un prmetrizción regulr de Γ. Definimos l longitud de Γ medinte b L(Γ) := d r dt dt (6.1) El vlor de est integrl no depende de l prmetrizción regulr r que se escoj pr describir Γ, y por lo tnto el lrgo de Γ está bien definido. Longitud de curv Se Γ un curv simple y regulr, y r: [,b] n un prmetrizción regulr. Definimos l función longitud de rco s: [,b] [0,L(Γ)] como t s(t) := d r dt (τ) dτ (6.2) 127

8 s(t) r(t) Γ Ingenierí Mtemátic r() De cuerdo lo nterior, s(t) es l longitud del cmino recorrido sobre Γ por l prmetrizción hst el instnte t, tl como lo ilustr l figur. Clrmente, s( ) result ser un función de clse C 1 con ds dt (t) = d r dt (t) > 0 En consecuenci, s( ) es un función estrictmente creciente, con lo cul result ser un biyección, y su invers es tmbién de clse C 1 (por el teorem de l función invers) y estrictmente creciente. De est form podemos considerr l reprmetrizción dd por est función invers, l cul denotmos por t: [0, L(Γ)] [, b], y considerr l prmetrizción equivlente que result de tomr como prámetro l longitud de rco, vle decir σ(s) = r(t(s)), s [0,L(Γ)] Por el teorem de l función invers, notemos que dt ds (s) = 1 d r dt (t(s)) > 0. En consecuenci, l reprmetrizción no solo preserv l orientción, sino que demás recorre Γ rpidez constnte e igul 1: d σ ds = 1. Es posible verificr que culquier otr prmetrizción regulr conduce l mism prmetrizción en longitud de rco, slvo orientción por supuesto, por lo cul ést puede ser considerd como un prmetrizción cnónic de l curv. L llmremos prmetrizción nturl o en longitud de rco Ejemplo 6.4. Encuentre l prmetrizción nturl de l cicloide r(t) = R(t sen t,1 cos t), t [0,2π] Respuest: ( ( σ(s) = 2R rc cos 1 s ) ( 1 s ) ) ( 1 1 s ) 2,1 ( 1 s ) 2 4R 4R 4R 4R s [0,8R]. 128

9 Ejercicio Ejercicio 6.1: Encontrr l prmetrizción en longitud de rco pr l hélice r(t) = (cos t,sen t, ht 2π ), t [0,4π]. Respuest: ( ( ) ( ) ) 2πs 2πs hs σ(s) = cos,sin, s [0,2 4π h 2 ]. 4π2 2 + h 2 4π2 2 + h 2 4π2 2 + h 2 129