Curvas en el plano o en el espacio

Transcripción

1 Lección 3 Curvs en el plno o en el espcio 3.1. Cminos y curvs en R n Definiciones. Un cmino en R n es un función continu γ : [,b] R n con,b R, < b. Decimos tmbién que el conjunto Γ = γ(t) : t b} es un curv en form prmétric, o simplemente un curv en R n y que el cmino γ recorre o prmetriz l curv Γ. Los puntos γ() y γ(b) son, respectivmente, el origen y el extremo del cmino γ. Cundo γ() = γ(b) se dice que γ es un cmino cerrdo. Nos interesn solmente los csos n = 2 (cminos en el plno, curvs plns) y n = 3 (cminos en el espcio, curvs lbeds). Observmos que l curv Γ tiene un interpretción geométric direct, como subconjunto del plno o del espcio, mientrs el cmino γ es un función que nos proporcion un form de prmetrizr l curv Γ, puesto que cd punto de l curv prece en l form γ(t) pr lgún vlor del prámetro t. Pr tener un interpretción físic, bst pensr que [,b] es un intevlo de tiempo y que, pr cd t [,b], γ(t) es l posición de un móvil en el instnte t, con lo que el cmino γ nos drí l ecución del movimiento mientrs que l curv Γ serí l tryectori recorrid por el móvil. Es clro que cminos muy distintos pueden recorrer un mism curv; equivlentemente, sobre un mism tryectori se pueden desrrollr movimientos muy diferentes. Ecuciones prmétrics. Si γ : [,b] R 3 es un cmino en el espcio, podremos escribir: γ(t) = ( x(t),y(t),z(t) ) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ( t b) donde x,y,z son funciones continus de [,b] en R. Decimos entonces que el cmino γ tiene ecuciones prmétrics: x = x(t) y = y(t) ( t b). z = z(t) 15

2 3. Curvs en el plno y en el espcio 16 Por ejemplo, fijdos dos puntos (x 0,y 0,z 0 ) y (x 1,y 1,z 1 ) de R 3, ls ecuciones prmétrics x = x 0 + t (x 1 x 0 ) y = y 0 + t (y 1 y 0 ) (0 t 1) z = z 0 + t (z 1 z 0 ) definen un cmino que recorre el segmento que une dichos puntos, siendo (x 0,y 0,z 0 ) el origen del cmino y (x 1,y 1,z 1 ) su extremo. Nturlmente, un cmino en el plno, γ : [,b] R 2, tendrá l form γ(t) = ( x(t),y(t) ) ( t b) y diremos que sus ecuciones prmétrics son: x = x(t) y = y(t) ( t b). Por ejemplo, pr (x 0,y 0 ) R 2 y ρ 0 > 0, ls ecuciones prmétrics x = x 0 + ρ 0 cosθ ( π θ π) y = y 0 + ρ 0 senθ definen un cmino cerrdo que recorre l circunferenci de centro (x 0,y 0 ) y rdio ρ 0. Cmino opuesto. Ddo un cmino γ : [,b] R n el cmino opuesto de γ es, por definición, el cmino γ op : [,b] R n, ddo por γ op (t) = γ( + b t) ( t b). Observmos que γ op recorre l mism curv que γ pero, intuitivmente, l recorre en sentido contrrio; en prticulr γ op () = γ(b) y γ op (b) = γ(). Sum de cminos. Consideremos dos cminos γ : [,b] R n y σ : [c,d] R n que sen consecutivos, es decir, tles que el extremo de γ coincid con el origen de σ: γ(b) = σ(c). Podemos entonces definir un nuevo cmino, que llmremos sum de γ con σ y denotremos por γ σ. Intuitivmente el cmino sum consiste en efectur el movimiento indicdo por γ y continución el indicdo por σ. Concretmente definimos γ σ : [,b + d c] R n por: ( ) γ(t) si t b γ σ (t) = σ(t b + c) si b t b + d c Nótese que l condición γ(b) = σ(c) es l que segur l continuidd del cmino sum en el punto b. Si los cminos γ y σ recorren sends curvs Γ y Σ, es clro que l curv recorrid por γ σ es Γ Σ. El proceso de sum se puede iterr, pr obtener l sum de un número finito de cminos, γ 1 γ 2... γ N, siempre que cd uno de ellos se consecutivo del nterior. Se verific un propiedd socitiv en est operción de sum, que hce que tles sums finits se puedn definir sin mbigüedd. Por ejemplo, un sum finit de segmentos d como resultdo un cmino poligonl.

3 3. Curvs en el plno y en el espcio Cminos regulres, vector tngente Regulridd. Se dice que un cmino γ : [,b] R n es regulr cundo es un función de clse C 1 en el intervlo [,b]. Por ejemplo, los dos cminos que hn precido en el prtdo nterior, que recorrín un segmento en el espcio y un circunferenci en el plno, son cminos regulres. Es fácil observr que l sum de dos cminos regulres puede no ser regulr, piénsese por ejemplo lo que ocurre l sumr dos segmentos consecutivos que no estén linedos. Por ello conviene considerr un tipo de regulridd más generl. Decimos que un cmino γ : [,b] R n es regulr trozos cundo existe un prtición = t 0 < t 1 <... < t N = b del intervlo [,b] tl que, pr cd k = 1,2,...,N, l restricción de γ l subintervlo [t k 1,t k ] es un función de clse C 1. Si llmmos γ k dich restricción, es clro que γ k : [t k 1,t k ] R n es un cmino regulr, sí como que γ = γ 1 γ 2... γ N, luego γ se obtiene como sum finit de cminos regulres. Recíprocmente, es fácil comprobr que tod sum de cminos regulres es un cmino regulr trozos. En resumen, un cmino es regulr trozos si, y sólo si, se obtiene como sum de cminos regulres. Clrmente, l sum de dos cminos regulres trozos sigue siendo un cmino regulr trozos. Observmos tmbién que el cmino opuesto de un cmino regulr, o regulr trozos, es del mismo tipo. Vector velocidd y vector tngente. Si un cmino γ : [,b] R n es derivble en un punto t 0 [,b], el vector γ (t 0 ) R n recibe el nombre de vector velocidd del cmino en el instnte t 0 y su norm, γ (t 0 ), es l celeridd del cmino en el instnte t 0. L nomencltur procede clrmente de l interpretción físic. Cundo γ (t 0 ) 0 decimos tmbién que γ (t 0 ) es el vector tngente l cmino γ en el instnte t 0 y l rect que ps por el punto γ(t 0 ) con vector de dirección γ (t 0 ) recibe el nombre de rect tngente l cmino γ en el instnte t 0, lo cul tiene clr interpretción geométric. De hecho, considerndo l curv Γ recorrid por el cmino γ, suele hblrse de l rect tngente l curv Γ en el punto γ(t 0 ) unque con ello se comete un clro buso de lenguje. Cundo un cmino regulr γ : [,b] R n tiene rect tngente en cd punto, es decir, verific que γ (t) 0 pr todo t [,b], se dice que γ es un cmino suve. Si Γ es l curv recorrid por un cmino suve γ, decimos tmbién que Γ es un curv suve. Ecución de l rect tngente. Si el cmino γ : [,b] R 3 viene ddo por: γ(t) = ( x(t),y(t),z(t) ) ( t b), sbemos que γ es derivble en un punto t 0 [,b] si, y sólo si, lo son ls funciones x,y,z, en cuyo cso γ (t 0 ) = ( (x (t 0 ),y (t 0 ),z (t 0 ) ). Cundo se demás γ (t 0 ) 0, poniendo γ(t 0 ) = (x 0,y 0,z 0 ), ls ecuciones prmétrics de l rect tngente tomn l form x = x 0 + (t t 0 )x (t 0 ) y = y 0 + (t t 0 )y (t 0 ) z = z 0 + (t t 0 )z (t 0 )

4 3. Curvs en el plno y en el espcio 18 y ls ecuciones implícits serán x x 0 x (t 0 ) = y y 0 y (t 0 ) = z z 0 z (t 0 ) con los consbidos convenios pr el cso en que se nule lgún denomindor. Análogmente, pr un cmino en el plno tendremos: γ(t) = ( x(t),y(t) ) ( t b); γ(t 0 ) = (x 0,y 0 ); γ (t 0 ) = ( (x (t 0 ),y (t 0 ) ) y ls ecuciones de l rect tngente serán x = x 0 + (t t 0 )x (t 0 ) y = y 0 + (t t 0 )y (t 0 ) o bien x x 0 x (t 0 ) y y 0 y (t 0 ) = Longitud de un cmino Definición. L longitud de un cmino regulr γ : [,b] R n viene dd por: γ (t) dt. L existenci de l integrl está segurd, por ser el integrndo un función continu en el intervlo [, b]. Suponemos bien conocido el hecho de que est integrl relmente responde l ide de longitud de un cmino. L mism expresión puede usrse pr un cmino regulr trozos. En efecto, tomemos un prtición = t 0 < t 1... < t N = b del intervlo [,b] de form que l restricción de γ l subintervlo [t k 1,t k ] se un función de clse C 1 pr k = 1,2,...,N. Entonces γ es derivble en [,b] slvo, lo sumo, en el conjunto S = t 1,t 2,...,t N 1 } y en los puntos de S tiene derivds por l izquierd y por l derech que pueden no coincidir, con lo que deducimos que l función t γ (t) es continu y cotd en [,b] \ S. Por tnto, dndo vlores culesquier dich función en los puntos de S, obtenemos un función integrble en el intervlo [, b] cuy integrl no dependerá de dichos vlores. Así pues, l integrl que prece en ( ) tiene perfecto sentido y podemos usrl como definición de l longitud de un cmino regulr trozos. Observmos tmbién que, llmndo γ k l restricción de γ cd subintervlo [t k 1,t k ], tenemos: γ (t) dt = N tk γ N (t) dt = k=1 t k 1 L(γ k ). k=1 De mner más generl, si γ y σ son cminos regulres trozos consecutivos, se tiene que L(γ σ) = L(γ) + L(σ). Tmbién se comprueb fácilmente que L(γ op ) = L(γ). Si un cmino regulr trozos γ : [,b] R 3 tiene ecuciones prmétrics ( ) x = x(t); y = y(t); z = z(t) ( t b),

5 3. Curvs en el plno y en el espcio 19 su longitud vendrá dd por [ x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2] 1/2 dt, y pr un cmino regulr trozos en el plno, con nálog notción, tendremos simplemente [ x (t) 2 + y (t) 2] 1/2 dt, Función longitud de rco. Recordemos l interpretción físic de un cmino regulr trozos γ como l ecución de un movimiento durnte un intervlo de tiempo [,b]. El espcio recorrido por el móvil desde el instnte inicil hst un instnte t vendrá entonces ddo por l(t) = t γ (s) ds. L función l : [,b] R sí definid recibe el nombre de función longitud de rco pr el cmino γ. Cundo γ es regulr, el Teorem Fundmentl del Cálculo nos segur que l es un función de clse C 1 en [,b] verificndo que l (t) = γ (t) ( t b). ( ) Est iguldd tiene nuevmente un clr interpretción: l celeridd del movimiento en cd instnte es l derivd del espcio recorrido con respecto l tiempo. Por otr prte, l iguldd ( ) tmbién justific el simbolismo dl = γ (t) dt que más delnte será útil en el estudio de ls integrles de líne Curvs en el plno Vmos repsr ls tres forms en que puede describirse un curv en el plno. () Form explícit. Llmmos curv en form explícit l gráfic de un función continu f : [, b] R, es decir, el conjunto G = ( x, f (x) ) : x b } (.1) Observemos que l función f está determind en form únic por el conjunto G, lo cul es l principl ventj de est form explícit. Cundo f es derivble en un punto x 0 [,b] sbemos que f (x 0 ) es l pendiente de l rect tngente G en el punto (x 0,y 0 ) = ( x 0, f (x 0 ) ), luego l ecuciones implícit y prmétrics de dich rect serán: y y 0 = f x = x 0 + s (x 0 )(x x 0 ) y y = y 0 + s f (.2) (x 0 )

6 3. Curvs en el plno y en el espcio 20 Resltmos que, si l función f es derivble en todo el intervlo [, b], tenemos bien definid l rect tngente en cd punto de l curv G. L noción de curv en form explícit es demsido restrictiv, como se pone de mnifiesto l observr que el conjunto G definido en (.1) no puede contener dos puntos con l mism bcis. Eso explic l utilidd de l noción más generl de curv en form prmétric. Pr ver que efectivmente el conjunto G definido por (.1) es un curv en form prmétric, bst considerr el cmino γ : [,b] R 2 definido por γ(t) = ( t, f (t) ) pr t b. Es obvio que G = γ(t) : t b}, luego γ recorre l curv G. Vemos tmbién que l considerr l rect tngente l cmino γ en un instnte x 0 [,b], escribiendo como ntes y 0 = f (x 0 ), llegmos ls ecuciones (.2). En efecto, si f es derivble en x 0, tmbién lo es γ, con γ (x 0 ) = ( 1, f (x 0 ) ). Observmos que l condición γ (x 0 ) 0 se cumple utomáticmente, lo que explic que tengmos rect tngente con sólo que f se derivble. Ls ecuciones prmétrics e implícit de l rect tngente l cmino γ en el instnte x 0 nos precen pues en l form x = x 0 + (t x 0 ) y = y 0 + (t x 0 ) f y (x 0 ) x x 0 1 y y 0 f (x 0 ) = 0 que son precismente ls ecuciones (.2). Notemos finlmente que si l función f es de clse C 1 en el intervlo [,b], entonces γ es un cmino suve y Γ es un curv suve. (b) Form prmétric. Repsndo lo y dicho, un curv en form prmétric es l imgen de un función continu γ : [,b] R 2, es decir, el conjunto Γ = γ(t) : t b} = ( x(t),y(t) ) : t b } (b.1) Cundo γ se derivble en un punto t 0 [,b] con γ (t 0 ) 0, ls ecuciones prmétrics e implícit de l rect tngente l curv Γ en el punto (x 0,y 0 ) = γ(t 0 ) son x = x 0 + (t t 0 )x (t 0 ) y = y 0 + (t t 0 )y y (t 0 ) x x 0 x (t 0 ) y y 0 y (t 0 ) = 0 (b.2) con el buso de lenguje que y hbímos comentdo. Tendremos ocsión de usr tmbién l rect norml l curv Γ en un punto (x 0,y 0 ) = γ(t 0 ), que es l rect que ps por dicho punto y es ortogonl l rect tngente. L ecución implícit de dich rect es fácil de obtener: x (t 0 )(x x 0 ) + y (t 0 )(y y 0 ) = 0 (b.3) (c) Form implícit Se llm sí l descripción de un curv como lugr geométrico de los puntos del plno que verificn un ecución o, lo que es lo mismo, como conjunto de nivel de un función de dos vribles. Por tnto, dd un función g : Ω R donde Ω es un subconjunto bierto de R 2, considermos el conjunto: C = (x,y) Ω : g(x,y) = 0}. (c.1)

7 3. Curvs en el plno y en el espcio 21 En generl, los conjuntos de l form (x,y) Ω : g(x,y) = α} con α R son los conjuntos de nivel de l función g. Obvimente no se pierde generlidd tomndo α = 0. Supondremos que g es de clse C 1 en Ω, que g se nul en lgún punto de Ω (C /0) y que el grdiente de g no se nul en C, es decir, g(x,y) 0 (x,y) C. Con ests condiciones podemos decir que el conjunto C definido en (c.1) es un curv en form implícit. L nomencltur se justific porque l menos loclmente el conjunto C se puede hcer coincidir con un curv en form prmétric. De hecho, el Teorem de l Función Implícit nos segur que cd punto de C tiene un entorno cuy intersección con C es l curv recorrid por un cmino regulr cuy derivd no se nul en ningún punto, es decir, un curv suve. En l situción más fvorble, el propio conjunto C puede ser un curv en form prmétric, pero en generl esto no tiene por qué ocurrir: por ejemplo, C puede no estr cotdo. Clculemos hor, pr curvs en form implícit, l rect tngente en un punto. En efecto, se C l curv definid en form implícit por l iguldd (c.1), se (x 0,y 0 ) C y consideremos un cmino suve γ : [,b] C que recorr l curv U C donde U es un entorno de (x 0,y 0 ). Pongmos (x 0,y 0 ) = γ(t 0 ) con t 0 [,b] y vemos qué sbemos de γ (t 0 ). Si x = x(t) e y = y(t), con t b, son ls ecuciones prmétrics de γ, hbrá de verificrse que g ( x(t),y(t) ) = 0 pr t b. L regl de l cden nos dice entonces que g x (x 0,y 0 ) x (t 0 ) + g y (x 0,y 0 ) y (t 0 ) = 0, o equivlentemente g(x 0,y 0 ) γ (t 0 ) = 0. Deducimos que el vector g(x 0,y 0 ), que por hipótesis no se nul, es ortogonl l vector γ (t 0 ), que tmpoco se nul. Por tnto, l ecución implícit de l rect tngente l cmino γ en el instnte t 0 es: g(x0,y 0 ) (x x0,y y 0 ) = 0. (c.2) Observmos que est ecución no depende del cmino γ que hemos empledo, luego tiene perfecto sentido decir que l rect de ecución (c.2) es l rect tngente l curv C en el punto (x 0,y 0 ). Por otr prte, l rect norml C en (x 0,y 0 ) será l rect cuys ecuciones prmétrics e implícit vienen dds por: x = x0 + (t t 0 ) g x (x 0,y 0 ) y = y 0 + (t t 0 ) g y (x 0,y 0 ) y x x 0 y y 0 g x (x 0,y 0 ) g y (x 0,y 0 ) = 0. (c.3) Resltmos finlmente l interpretción geométric del grdiente que se h obtenido en el rzonmiento nterior. Se g un cmpo esclr de clse C 1 en un bierto Ω R 2 y (x 0,y 0 ) Ω tl que g(x 0,y 0 ) 0. Entonces existe un entorno bierto Ω 0 del punto (x 0,y 0 ) en el que g no se nul y tenemos tods ls condiciones pr firmr que el conjunto C = (x,y) Ω 0 : g(x,y) = g(x 0,y 0 )} es un curv en form implícit, l curv de nivel del cmpo g que ps por el punto (x 0,y 0 ). Pues bien, según hemos visto, el vector grdiente g(x 0,y 0 ) es el vector norml dich curv. Dd l rbitrriedd del punto (x 0,y 0 ), tenemos que el vector grdiente, en cd punto donde no se nule, es ortogonl l curv de nivel que ps por dicho punto.