Integrales de funciones de una variable.

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1 Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y fx) y el eje OX desde y f x f x un punto hst otro punto b. L ide intuitiv prece l clculr el áre de cd rectángulo de ltur fx) y bse y sumr lo lrgo del intervlo [, b] ls áres fx) fx) b L definición forml es lgo más complicd y existen diferentes forms de bordrl. Aquí utilizmos l definición de integrl de Riemnn Definición. Se f : [, b] R R cotd en [, b]. Comenzmos dividiendo el intervlo [, b] en subintervlos [x k, x k ] de longitud x k x k x k y considermos un conjunto de puntos P {x, x,..., x n tl que x < x < < x n b prtición del intervlo). Si tommos un punto culquier dentro de cd intervlo, x k, y clculmos el vlor de l función en dicho punto, f x k ), obtenemos un serie de rectángulos de áre A k f x k ) x k f x k )x k x k ) f x f x f x f x xo x x x x x x x x

2 Bloque II. CÁLCULO INTEGRAL Cundo l prtición tiene cd vez más puntos disminuye l longitud de los intervlos [x k, x k ] y esto hce que l sum de ls áres de los rectángulos se prezc cd vez ms l áre buscd. Est proximción del áre es l sum de Riemnn de f con respecto l prtición P SP, f) n f x k ) x k k L integrl definid de f en [, b] es límite l tender cero el diámetro de l prtición longitud máxim de los intervlos) donde el límite existe si y sólo si fx) lím P n k SP, f) lím P n f x k ) x k k ɛ >, P ɛ / P P ɛ y x k [x k, x k ] SP, f) I < ɛ f es integrble Riemnn) en [, b] si existe este límite. Not L integr tmbién se definen pr > b como fx) fx) si f es integrble b en [b, ]) y pr b como fx). Proposición. Propieddes de l integrl) Sen f, g : [, b] R R, α, β R y c [, b].. Linelidd) Si f y g son integrbles en [, b] entonces αf + βg es integrble en [, b] con αf + βg)x) α fx) + β. Monotoní) Si f y g son integrbles en [, b] se tiene que fx) gx); x [, b] fx) gx). gx).. Descomposición del intervlo de integrción) f es integrble en [, b] si y sólo si lo es en [, c] y [c, b]. En este cso fx) c fx) + c fx).. Integrl en vlor bsoluto) Si f es integrble en [, b] entonces f es integrble en [, b] con fx) fx). Proyecto MATECO. Págin

3 TEMA. INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. Proposición. Condición necesri de integrbilidd) Se f : [, b] R R. Si f es integrble Riemnn) en [, b] entonces f está cotd en [, b]. Proposición. Condición suficiente de integrbilidd) Se f : [, b] R R. Si f es continu en [, b] entonces f es integrble Riemnn) en [, b]. Ninguno de los recíprocos de ests condiciones es cierto. Un función puede estr cotd y no ser integrble y un función que no se continu puede ser integrble. Un cso interesnte es cundo l función está cotd en [, b] y sólo tiene un número finito de puntos de discontinuidd c,..., c n con discontinuiddes de tipo evitble o de slto finito), y que entonces es integrble en [, b] con fx) c fx) + + Ejemplo.5 Clculr, si es posible, l siguiente integrl c n fx). x x x Obtenemos su dominio igulndo el denomindor de l función cero x x x x Domf) {x R/x, Como est función no es continu fuer de su dominio estudimos si está cotd en el intervlo de integrción y clculmos el límite en el punto lím x x x x Este límite indic que hy un discontinuidd de slto infinito y que, por tnto, l función no está cotd en el intervlo de integrción y no es integrble Riemnn... Teorems fundmentles. Definición.6 Se f : [, b] R R integrble en [, b]. L función de cumulción de f, F : [, b] R, es F x) x ft) dt) Págin Proyecto MATECO.

4 Bloque II. CÁLCULO INTEGRAL Not L función de cumulción de un función no negtiv corresponde l áre encerrd por l curv y fx) y el eje X desde hst x. Proposición.7 Se f : [, b] R R integrble en [, b]. L función de cumulción de f es continu en [, b]. Teorem.8 Primer teorem fundmentl) Se f : [, b] R R integrble en [, b]. Si f es continu en [, b] l función de cumulción cumple F x) fx) x, b). Proposición.9 Teorem del vlor medio pr integrles) Se f : [, b] R R integrble en [, b]. Si f es continu en [, b] entonces existe c, b) con fc) b fx). Teorem. Segundo teorem fundmentl) Se f : [, b] R R integrble en [, b]. Si G : [, b] R R es un primitiv de f en [, b] entonces fx) Gx) ] b Gb) G) regl de Brrow) El primer teorem fundmentl grntiz que tod función continu tiene un primitiv, unque no siempre es posible obtenerl de form explícit. El segundo, regl de Brrow, nos permite clculr l integrl de un función sin más que obtener un primitiv suy. L integrl de l función coincidirá con el áre encerrd entre l curv y fx) y el eje X desde hst b siempre y cundo l función se no negtiv. Ejemplo. Clculr π cos x L función integrr es continu, por tnto integrble. Como un primitiv suy es el seno π cos x sen x] π senπ) sen) Obsérvese que l función seno es positiv entre y π, por tnto, en este intervlo el áre encerrd entre el seno y el eje OX coincide con l integrl: π Sin embrgo, entre π cos x sen x] π sen π ) sen) el eje OX cmbid de signo: π π Π Π y π es negtiv, por lo que l integrl es el áre encerrd entre el seno y cos x sen x] π π senπ) sen π ) L integrl entre y π es l diferenci entre mbs áres, de quí que su vlor se cero Proyecto MATECO. Págin

5 TEMA. INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. Ejemplo. Explicr por qué ls siguientes funciones no son integrbles en uno de los dos intervlos que se dn y sí lo son en el otro y clculr en cd cso l integrl definid sobre el intervlo que se posible ) fx) ex + e x con [, ] y [, ] b) gx) lnx ) con [, ] y [, e] ) L función fx) ex + e x e x + no es continu en x y lím x e x fx) no está cotd en [, ] y, por tnto, fx) no es integrble en [, ], por tnto se tiene: fx) es continu en [, ] y, por tnto, es integrble en [, ] e x + e x ) t ) ln t op: op: e x + ln e x e x + ln e x t e x x ln t dt e x dt t e x )] t ) e t e )] e x ) t + t )t dt t ) dt lnt ) ln t t ln e ) ) ln e e ) e ) ) ln e ) e ln e ) e b) L función gx) lnx ) no es continu en x y lím x lnx ), por tnto se tiene: gx) no está cotd en [, ] y, por tnto, no es integrble en [, ] e+) e ) gx) es continu en [, e] y, por tnto, es integrble en [, e] e lnx ) u lnx ) du x x dv v x x lnx ) ] e e e x] e e e ) Ejercicio. Clculr 7x 9 x + x + 5 L función es continu en todo R y, por tnto, integrble en culquier intervlo, y que el denomindor no se nul. Clculmos l integrl indefinid, que es un frcción simple que se descompone en sum de un integrl de tipo logrítmico y otr de tipo rcotngente. Págin 5 Proyecto MATECO.

6 Bloque II. CÁLCULO INTEGRAL Pr obtener l derivd del término de grdo dos, multiplicmos dentro de l integrl por y dividimos por 7, compensndo ls operciones fuer de l integrl: 7x 9 x + x x 8 7 ) x + x + 5 Pr obtener l derivd complet del denomindor summos y compensmos restndo : ) 7 x x + x x + x + x x + x + 5 L integrl de tipo logrítmico es inmedit: 7 x + x + x ln x + x + 5 L integrl de tipo rcotngente es inmedit cundo escribimos x + x + 5 como x + ) rc tgx + ) x + x + 5 x + x + 5 x + ) + Por tnto tenemos 7x 9 x + x ln x + x + 5 rc tgx + ) Por último, plicmos l regl de Brrow. 7x 9 x + x + 5 [ 7 ln x + x + 5 rc tgx + ) ] 7 ln5) rc tg)) 7 ln) rc tg)) Obsérvese que es negtiv, y que l función tmbién lo es y l integrl es el áre encerrd por l curv cmbid de signo. Ejemplo. Clculr el áre del recinto del plno D {x, y) R / x, y, xy Este recinto es l intersección de:.5 l prte del plno l derech de l rect x x )...5 l prte del plno por encim de l rect y y ). y..5 x y l prte del plno por debjo de l hipérbol xy xy ).5 x El áre es l integrl entre y de l función que está por encim xy y ) menos l x función que está por debjo y ) ) x [ ln x x] ln ) ln ) ln.86 Proyecto MATECO. Págin 6

7 Ejercicios del tem. TEMA. INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. Ejercicio.5 Explicr por qué ls siguientes funciones no son integrbles en uno de los dos intervlos que se dn y sí lo son en el otro y clculr en cd cso l integrl definid sobre el intervlo que se posible ) fx) lnx + ) con [, ] y [, ] b) fx) tg x con [, π/] y [π/, π/] c) fx) x x x con [, ] y [, ] d) fx) xx ) con [, ] y [, ] ) fx) lnx + ) est definid y es continu sólo si x + >, es decir, sólo si x > /. En [, ] no es integrble l no estr definid en todos los puntos) y sí lo es en [, ] l ser continu). lnx + ) ] x lnx + ) u lnx + ) du x + dv v x ) x lnx + ) x + x + ] x x lnx + ) x + ] lnx + ) 7 ln 7 5 ln 5 b) fx) tg x es continu si cos x, por tnto, es integrble en [, π ]. Sin embrgo, no es integrble en [π/, π/] y que cospi/) y en π/ tiene un síntot verticl pues π tgx) π π sen x cos x ] π sen x ln cos x cos x ln lím tgx) + x π ) c) pendiente. d) pendiente. Ejercicio.6 Clculr, si es posible, ls siguientes integrles definids: ) e) e i) e x e x + e x x x x lnx) b) π cosx) senx) c) f) π j) ln 5 cosx) sen x) + senx) + e x e x e x + g) 9 x e x x x 9 x ) k) x x d) xx + ) h) x + x + π l) x senx) ) L función e x es continu en todo e x R y, por tnto, es integrble en culquier intervlo cerrdo + e x e x + rc tgex )] rc tge) rc tg) rc tge) π Págin 7 Proyecto MATECO.

8 Bloque II. CÁLCULO INTEGRAL b) L función cosx) senx) es continu en todo R y, por tnto, es integrble en culquier intervlo cerrdo π t senx) x t t dt cosx) x π t cosx) t) senx) t) ] t) 8 7 c) L función x e x es continu en todo R y, por tnto, es integrble en culquier intervlo cerrdo u x du x x e x dv e x v ex x e x xe x ) e x x e x x e x x e x d) L función xex 9 ] + ex 7 x e x xex 9 xe x + ex 7 u x dv e x du v ex e e 9 + e ) ) 5e 7 7 xx + ) es continu si x > y, por tnto, es integrble en [, ] x t x t xx + ) tdt x t e x e) L función x x es integrble en [, ]. f) pendiente h) x + x + tdt tt + ) dt t + rctn t rctn π rctn π e x no está cotd en [, ] y que lím y, como consecuenci, no x x x g) pendiente L función es continu en R el denomindor no se nul), por tnto es integrble en [, ]. Obsérvese que l integrl definid no represent el áre y que hy prte positiv y prte negtiv Buscmos un primitiv: x + x + x x + + ] x + Ln x + ) + rc tg x Proyecto MATECO. Págin 8

9 TEMA. INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. x + x + Ln x + ) + rc tg x ) e i) x lnx) x Lnx Ln ) + rc tg {{ π es continu en, ), ), en prticulr es continu en [, e] es integrble en [, e] Buscmos un primitiv pr x Lnx : e x Lnx /x Ln x { Ln x) x Ln ) rc tg ) π {{ π Ln Ln x x Lnx Ln Ln x e Ln Ln e Ln Ln LnLn) {{ {{ ln 5 e x e j) x e x + e x e x es continu en [, ), por tnto, es integrble e x + en[, Ln 5]. Buscmos un primitiv: e x e x e x + { e x t e x t + e x t dt t e x dt t + ) t t + + t t + ) dt El grdo del numerdor es igul l grdo del denomindor y tenemos que dividir los polinomios D dc + r D d c + r d t t + + t + ) + ) dt t + Ln 5 t dt ) t + dt 8 dt t + t 8 ) t rc tg ) ex e x rc tg e x e x e x + e x rc tg )) ex Ln5 t t + dt Págin 9 Proyecto MATECO.

10 Bloque II. CÁLCULO INTEGRAL ) e Ln5 e Ln5 rc tg ) e {{ e {{ + rc tg π π {{ {{ {{{{ π x ) k) x x x x x ± ± 5 x, x es continu enr {,. Como x función en el punto está en el intervlo [, ] clculmos el límite de l lim x x x x Como el límite es infinito, l función tiene un síntot verticl y no está cotd en x [, ]. l) π x senx. Por tnto, no es integrble Riemnn en x senx es continu en R, en prticulr es continu en [, π] es integrble en [, π] Buscmos un primitiv u x du x senx dv senx v cosx xcosx cosx ) x cosx + cosx x cosx + sen x π x senx x cosx + sen x) π π cosπ {{ + sen {{ π cos {{ + sen {{ ) π Ejercicio.7 Clculr el áre de los siguientes recintos ) {x, y) R /x + y, x y, x + y b) {x, y) R / x y, x y c) {x, y) R / y, x + y, x + y 5 d) {x, y) R / y + x x +, x + y e) {x, y) R / y, x + y, x + y f) {x, y) R / y x, y x, x + y g) {x, y) R / x + y, x ) + y h) {x, y) R / y x, y x Proyecto MATECO. Págin

11 TEMA. INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. ) D {x, y) R /x + y, x y, x + y es intersección de: l prte del plno por debjo de l prábol y + x l prte del plno por encim de l rect x y l prte del plno por encim de l rect x + y En este cso tenemos que dividir el recinto en dos prtes y que, unque siempre está por encim l prábol y + x y x ), cmbi l rect que está por debjo. L primer áre corresponde l integrl entre - y, donde l función que está por debjo corresponde l rect x + y y x y l segund l integrl entre y, donde l función que está por debjo corresponde l rect x y y x obsérvese que sólo necesitmos clculr A o A y que por simetrí son igules). A ) x x ) ) ] [ x + x + x 7 6 A ) x x ) ) ] [ x x + x 7 6 El áre totl es A A + A 7. b) D {x, y) R / x y, x y es l intersección de: l prte del plno por debjo de l rect x y bisectriz) l prte del plno por encim de l prábol x y El áre es l integrl entre - y de l función que está por encim x y y x) menos l función que está por debjo y x ) x x ) ) x x + ) [ x x + x ] 8 ) + + ) 9 c) D {x, y) R /y, x + y, x + y 5 es l intersección de: l prte del plno encim de l rect y Eje X) l prte del plno interior l prábol x + y y x l prte del plno debjo de l rect x + y 5 y 5 x Págin Proyecto MATECO.

12 Bloque II. CÁLCULO INTEGRAL En este cso tenemos que dividir el recinto en dos prtes y que cmbi l función que está por encim. L primer áre corresponde l integrl entre - y y l segund l integrl entre y 5: A x + [ x + ) ] 6 A 5 5 x) ] 5 [5x x El áre totl es A A + A. d) D {x, y) R / y + x x +, x + y es l intersección de: l prte del plno por debjo de l prábol y + x x + l prte del plno por encim de l rect x + y El áre es l integrl de l función que está por encim y + x x + y x + x + ) menos l función que está por debjo x + y y x) entre y. x + x + ) x) ) [ ] x x 9 e) {x, y) R / y, x + y, x + y Puntos de corte circunferenci y rect y y, ) y, ) x + y Puntos de corte circunferenci y rect x + y y x x + y x + x) x x x y, ) y, ) x y A x + x) x A x sen t cost dt t rc sen ) sen t cost dt sen t) cost dt x + cost cos t cost dt cos t dt dt dt + cost dt t + sen t x ) x )) rc sen + sen rc sen x + x ) x )) ) x) rc sen + sen rc sen + x x Proyecto MATECO. Págin

13 TEMA. INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. rc sen ) + sen rc sen )) rc sen ) sen rc sen ) + π + {{{{{{{{ π π {{ {{ π El áre se puede clculr como l sum de ls áres de un curt prte de un círculo de rdio áre π π) y un triángulo rectángulo isósceles de cteto áre ). f) {x, y) R / y x, y x, x + y Puntos de corte de l rect y l circunferenci: y x x + y x x ± / / A x x)) + x + x + {{ x Puntos de corte de l prábol y l circunferenci: y x x + y x + x x x x ) x x sen t cost dt x sen t cos t t rc sen x x {{ + ) cost cos t dt {{ π + b x dt t+ sen t rc sen x + sen rc sen x) x rc sen x + ) x b sen rc sen x) + rc sen b) + sen rc sen b)) ) rc sen ) sen rc sen ) {{ A rc sen b) + sen rc sen b)) + π 8 + π {{ {{ π donde b + 5 Págin Proyecto MATECO.

14 Bloque II. CÁLCULO INTEGRAL g) {x, y) R / x + y, x ) + y Buscmos los puntos de corte de ls dos circunferencis: x + y x ) + y x + y x x + + y restndo mbs expresiones x x Clculmos el áre como veces l zon sombred: A x / x x sen t cost dt x sen t cos t t rc sen x + cost cos t dt dt t+ sen t rc {{ sen π/ {{ π rc sen x + sen rc sen x) A x rc sen x + sen rc sen x)) / / h) {x, y) R / y x, y x + sen rc sen ) rc sen /) sen rc sen /)) π {{{{{{ π π/6 π/ {{{{{{ π/ / Puntos de corte de ls prábols: y x y x x x x x ± Por tnto, los puntos son, ) y, ). A [ x ) x ) ] x ) x x + ) ) x ) x x [ )] ) 8 Proyecto MATECO. Págin