Sean dos funciones f y g de variable real definidas en un dominio DŒÑ Definición g es una primitiva de f si f(x)=g (x) "x D

Transcripción

1 INTEGRAL DE RIEMANN 1- Primitivs e integrl indefinid - Integrl de Riemnn 3- Interpretción geométric de ls integrles de Riemnn 4- Propieddes de ls integrles de Riemnn 5- Cmio de vrile en ls integrles de Riemnn 6- Integrles impropis 7- Aplicciones geométrics de l integrl de Riemnn

2 PRIMITIVAS E INTEGRAL INDEFINIDA Sen dos funciones f y g de vrile rel definids en un dominio DŒÑ Definición g es un primitiv de f si f(x)=g (x) "x D Si g es un primitiv de f tmién lo es culquier función h definid como h(x)=g(x)+c "x D con C un constnte ritrri. Definición Se denomin integrl indefinid de l función f, l conjunto de tods ls primitivs de f, denotándose Ûf(x)dx=g(x)+C donde l función g es un primitiv de f y C un constnte ritrri.

3 PARA OBTENER UNA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Buscr un primitiv en l tl de integrles inmedits Aplicr métodos elementles de integrción Descomposición lgeric Integrl por prtes Cmio de vrile Funciones rcionles:descomposición en frcciones simples Funciones trigonométrics: dt dx = 1 + t Cmio generl: tg x = t senx cos x t = 1 + t 1 t = 1 + t

4 INTEGRAL DE RIEMANN Se f un función rel de vrile rel definid y cotd en un intervlo cerrdo [,] Dividimos el intervlo [,] en n suintervlos consecutivos [x k-1,x k ], es decir, =x 0 <x 1 <x <...<x n-1 <x n = y elegimos un punto p k en cd uno de ellos p k [x k-1,,x k ] pr k=1,,...,n. Construimos l sum n f(p k ) xk k=1 en donde x k =x k -x k-1 es l longitud de cd suintervlo y denotmos m = máx { x k / k=1,,...,n}. p 1 p p 3 p 4 p n =x 0 x 1 x x 3 x 4 x n-1 x n =

5 y=f(x) =x 0 x 1 x x 3 x 4 x n-1 x n = p 1 p p 3 p 4 p n Definición Se denomin integrl de Riemnn de f en [,] l límite f(x)dx= lim n n m 0 k=1 f(p ) x en cso de que exist y se independiente de l sudivisión elegid k Cundo existe l integrl de Riemnn de un función en un intervlo, se dice que es función es integrle - Riemnn en ese intervlo k

6 Proposición Un función rel f de vrile rel cotd sore [,], es integrle en el sentido Riemnn en [,] si y sólo si el conjunto de puntos de discontinuidd de f en [,] es un conjunto de medid nul. Tod función continu o continu trozos en [,] es integrle Riemnn en [,]. Un conjunto se dice de medid nul, si l sum de ls longitudes de los intervlos que contengn todos los puntos del conjunto, se puede hcer tn pequeñ como quermos. Todo conjunto finito o numerle es un conjunto de medid nul. Proposición Regl de Brrow Si f es continu en [,] y g es un primitiv de f, entonces: f(x)dx=g()-g()

7 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DE RIEMANN Proposición Representmos por I l conjunto de ls funciones integrles Riemnn en [,] 1ª) ª) [ ] f(x)+g(x) dx= f(x)dx + g(x)dx αf(x)dx= α f(x)dx 3ª) Si f(x) g(x) "x e [,] f(x)dx g(x)dx 4ª) Si f es integrle en [,] y [c,d] Õ [,], entonces f es integrle en [c,d]

8 5ª) Si c e [,] c f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx c 6ª) Si f(x)=g(x) "x e [,] slvo en un número finito de puntos, entonces f(x)dx= g(x)dx 7ª) Si q 1 f(x) q "x e [,] 1 q (-) f(x)dx q (-) 8º) f(x)dx f(x) dx 9º) [ ] [ ] f(x)g(x)dx f(x) dx. g(x) dx

9 10ª) Vlor medio integrl: µ = 1 f(x)dx Vlor medio cudrático integrl: µ = c 1 [ f(x) ] dx Se verific que m m c

10 11º) Si f es un función pr en [-c,c], entonces c f(x)dx= -c 0 c f(x)dx f es pr en [-c,c] si f(-x)=f(x) " xœ[-c,c]. Su gráfic es simétric respecto del eje Y. 1º) Si f es un función impr en [-c,c], entonces c -c f(x)dx=0 f es impr en [-c,c] si f(-x)=f(x) " xœ[-c,c]. Su gráfic es simétric respecto del origen de coordends.

11 CAMBIO DE VARIABLE Se g:aöb un plicción iyectiv, siendo A y B dos conjuntos iertos de Ñ, tles que x=g(u). Entonces, si =g(c ),=g(d) g es de clse C 1 en [c,d]=g -1 ([,])ÕA g (u) 0 en [c,d] result que f(x)dx= c d f(g(u))g'(u)du

12 INTEGRALES IMPROPIAS Definición 6.1 f(x)dx Un integrl se llm integrl impropi si se cumple l menos un de ls dos condiciones siguientes 1ª) El intervlo de integrción [,] no está cotdo. Es decir, uno o los dos límites de integrción se hcen infinito. ª) L función f no está cotd en [,]. Los puntos en los que f dej de estr cotd se denominn singulriddes de f en [,].

13 Hy integrles impropis de tres tipos: Integrl impropi de primer especie cundo cumple l primer condición x dx -1 Integrl impropi de segund especie cundo cumple l segund condición dx x Integrl impropi de tercer especie cundo cumple ls dos condiciones l vez dx x 0 - π 0 lnx x(x-1) e 1/x dx tgx dx dx

14 INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE Definición Si f es un función cotd e integrle en [,z] "z> definimos: f(x)dx = lim f(x)dx z cundo ese límite existe y es finito se dice que l integrl es convergente y divergente en cso contrrio Si f es un función cotd e integrle en [z,] "z< definimos: f(x)dx = lim f(x)dx cundo ese límite existe y es finito se dice que l integrl es convergente y divergente en cso contrrio Si los dos límites de integrción son infinitos definimos: - z z f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx con p eñ - - p p z y diremos que es convergente cundo lo son ls dos integrles impropis del segundo miemro y divergente en cso contrrio

15 INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE Definición Si f es un función no cotd sólo en el punto de [,] definimos: f(x)dx= lim u 0 + +u f(x)dx Cundo ese límite existe y es finito se dice que l integrl es convergente y divergente en cso contrrio Si f es un función no cotd sólo en el punto de [,] definimos: f(x)dx= lim u 0 + -u f(x)dx 0 + u 0 u Cundo ese límite existe y es finito se dice que l integrl es convergente y divergente en cso contrrio 1 1 dx= lim dx x x 1 1 dx= lim dx x x 0 -u -1 + u 0-1

16 Si f es un función no cotd sólo en el punto c del interior de [,] definimos c-u f(x)dx= lim f(x)dx+ lim f(x)dx + + c+v u 0 v dx= dx+ dx= lim dx+ lim dx u 1 x x x u 0 x v 0 x v y diremos que es convergente cundo lo sen ls dos integrles impropis del segundo miemro y divergente en cso contrrio Si est últim integrl impropi definid es divergente se llm Vlor principl de Cuchy de es integrl l límite definido por: ( c-u ) c+u lim f(x)dx+ f(x)dx + u 0

17 APLICACIONES DE LA INTEGRAL RIEMANN Cálculo de áres en el plno Si f es un función integrle Riemnn en [,], entonces el áre Y limitd por l curv de ecución crtesin y=f(x), el eje de sciss X y ls rects verticles de ecuciones respectivs x= y x=, viene determind por: Ψ= f(x)dx y=f(x) x= x=

18 Cálculo de áres en el plno Si f y g son dos funciones integrles Riemnn en [,], entonces el áre Y encerrd por ls curvs y=f(x), y=g(x) y ls rects verticles de ecuciones respectivs x= y x=, viene determind por: Ψ= f(x)-g(x)dx y=g(x) y=f(x) x= x=

19 Cálculo de longitudes en el plno Si f es un función de clse C 1 en [,], entonces l longitud G de l curv de ecución crtesin y=f(x), entre los puntos de coordends (,f()) y (,f()) viene determind por: Γ + = 1 [ f '( x)] dx y=f(x) x= x=

20 Cálculo de áres de superficies de revolución Si f es un función de clse C 1 en [,], entonces el áre W de l superficie de revolución engendrd l girr l curv de ecución crtesin y=f(x) lrededor del eje de sciss X entre los puntos de sciss x= y x=, viene determind por: [ ] Ω=π f(x) 1+ f'(x) dx Y y=f(x) x= x= X

21 Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución Si f es un función integrle Riemnn en [,], entonces el volumen D del cuerpo de revolución engendrdo l girr l curv de ecución crtesin y=f(x), lrededor del eje de sciss X entre los puntos de sciss x= y x=, viene determindo por: Y =π [f(x)] dx y=f(x) x= x= X