Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio

Transcripción

1 Integrción Numéric L integrl resuelve el problem de clculr el áre bjo l gráfic de un función positiv definid sobre un intervlo cerrdo. El cálculo elementl de funciones de un vrible rel proporcion un método elegnte de clculr l integrl de un función. El teorem fundmentl del cálculo nos dice que el problem de clculr l integrl de un función continu se reduce l de buscr un segund función cuy derivd se l función dd, es decir un primitiv de ell. Sin embrgo el problem de hllr un primitiv de un función dd puede resultr muy difícil si no imposible. De hecho sbemos que existen funciones elementles es decir, combinciones lgebrics de funciones trigonométrics y logrítmics y sus inverss cuys primitivs no son expresbles de est form (p. ej. e x2 ). Por est rzón es por l que estudimos métodos numéricos que proximen el vlor de l integrl buscd. Y l definición de integrl de Riemnn proporcion un método de proximción numéric: ls sums de Riemnn. Sin embrgo su convergenci es muy lent y no resultn útiles pr obtener resultdos prácticos. Los métodos numéricos que vmos estudir consisten en sustituir l función dd por un proximción suy y tomr como vlor de l integrl de l función el vlor de l integrl de su proximd. Veremos en primer lugr los resultdos que se obtienen proximndo l función por medio de un polinomio interpoldor con especil énfsis en los csos linel (regl del trpecio) y cudrático (regl de Simpson). A continución estudiremos ls cudrturs de Guss. 18 Regl del Trpecio Si pr clculr el vlor proximdo de l función f en el intervlo [, b ] sustituimos dich función por el polinomio linel que l interpol con nodos en los extremos del intervlo obtenemos T f = (x )f(b) + (b x)f() b 1 = (b ) f(b) + f(). 2

2 Integrción Cuál será el error cometido? E(T f) = T f I(f) = (x )(x b)f[, b, x]dx Por el teorem del vlor medio generlizdo del cálculo integrl ξ (, b) : E(T f) = f[, b, ξ] y por tnto, si f C 2 ([, b]), ζ (, b) : E(T f) = (x )(x b)dx (b )3 f (ζ). 12 Si b no es pequeño l regl del trpecio no será muy útil pr clculr I(f). En ese cso podrímos plicrl dividiendo ntes el intervlo [, b ] en un cierto número n de subintervlos de longitud h = (b )/n con extremos x j = + jh, j = 0, 1,..., n. Tendrímos entonces xj { } h I(f) = f(x)dx = x j 1 2 [f(x j 1) + f(x j )] h3 12 f (ξ j ) = h[ 1f(x 2 0) + f(x 1 ) + + f(x n 1 ) + 1f(x 2 n)] h3 12 Llmmos regl del trpecio compuest f (ξ j ). regl del trpecio compuest T n f = b n [1 2 f(x 0) + f(x 1 ) + + f(x n 1 ) f(x n)]. El error que se comete l tomr T n f en vez de If es = h2 E(T n f) = T n (f) I(f) = h (b ) 1 n f (ξ j ) f (ξ j ) = h2 12 (b )f (ξ), ξ (, b). Este error puede estimrse sintóticmente de l siguiente mner: { } E(T n f) h lim = lim f (ξ n h 2 j ) n 12 cntidd est últim que se puede interpretr como un sum de Riemnn de form que E(T n f) lim = 1 n h 2 12 f (x)dx = f (b) f () 12 2

3 Integrción y sí se obtiene E(T n f) h2 12 [f (b) f ()] Ẽ(T nf) Se dice que Ẽ(T nf) es un estimción sintótic del error E(f). Utilizndo est estimción sintótic del error se puede mejorr l regl del trpecio con l llmd regl del trpecio corregid: regl del trpecio corregid CT n (f) = T n f (b )2 [f (b) f ()]. 12n 2 Ejemplo Clculr por medio de l regl del trpecio l integrl 0 4dx 1 + x 2 (= π). Determinr utilizndo l formul del error cunts veces hbrá que componer l regl del trpecio pr clculr l integrl nterior con dos cifrs decimles corrects (error menor que ). Aplicr est regl compuest y corregirl después por medio del error sintótico clculdo. E (b )3 12n 2 sup f (x) 2 x [,b] 3n 2 buscmos n tl que 2(3n 2 ) es decir n 2, es suficiente tomr n = 12. Aplicndo l regl compuest del trpecio con n = 12 y trbjndo con mntis de 12 dígitos con un csio fx-3600g se obtiene: T 12 f = CT 12 f = El vlor correcto de π con nueve dígitos es Regl de Simpson Si en vez de proximr l función f linelmente se proxim por medio del polinomio cudrático P 2 que interpol f con nodos en los puntos, c = ( + b)/2, b entonces el vlor de l integrl de f sobre el intervlo [, b ] se proximrá por medio de Thoms Simpson, Sf = P 2 (x)dx Escribiendo el polinomio P 2 en su form de Lgrnge se obtiene fácilmente que su integrl sobre [, b ] result ser S(f) = b [f() + 4f(c) + f(b)]. 6 3

4 Integrción Pr determinr el error en S(f) integrremos el error en el polinomio interpoldor de segundo grdo E(Sf) = (x )(x c)(x b)f[, c, b, x]dx. Pr clculr est integrl no podemos plicr directmente el teorem del vlor intermedio del cálculo integrl y que hor l función (x )(x c)(x b) cmbi de signo en el punto c. Sortemos este problem por medio de l función w(x) = x (t )(t c)(t b)dt, primitiv de l nterior, que verific ls propieddes: w() = 0 = w(b) y x (, b), w(x) > 0. Clculmos entonces l integrl en E(Sf) integrndo por prtes: (P 2 (x) f(x))dx = w (x)f[, b, c, x]dx = (w(x)f[, b, c, x]) b + = w(x) d f[, b, c, x]dx. dx w(x) d f[, b, c, x]dx dx Y est últim integrl sí que puede plicrse el teorem del vlor medio: d dxf[, b, c, x] = f[, b, c, x, x] = f[, b, c, ξ, ξ] Ddo que, si escribimos, h = (b )/2, Obtenemos w(x)dx = = = x x h h h y h h = 4h 5 /15. E = f (4) (ξ) 24 w(x)dx. (t )(t b)(t c)dtdx (u + h)(u h)u dudx (u 3 h 2 u) dudy 4 15 (b 2 )5. Nuevmente, si h = (b )/2 es grnde el error será indmisible. Como hicimos en el cso de l regl del trpecio podemos plicr l regl de Simpson trozos sobre el intervlo [, b ]: 4

5 Integrción se h = (b )/2n, x k = + kh, jk = 0, 1,..., 2n, f = = x2j x 2j 2 f h 3 [f(x 2j 2) + 4f(x 2j 1 ) + f(x 2j )] h 5 90 f IV (ξ j ). Llmmos regl de Simpson compuest regl de Simpson compuest S n f = b 6n [f(x 0) + 4f(x 1 ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 )+ + 2f(x 2n 2 ) + 4f(x 2n 1 ) + f(x 2n )] El error que se comete l tomr S n f en vez de If es E(S n f) = h5 90 f iv (ξ j ) = h4 90 (b ) 1 2n Tmbién hor podemos estimr el error por medio de h 5 90 f iv (ξ j ) = h hf iv (ξ j ) h4 180 f iv (ξ j ) = h4 180 (b )f iv (ξ). f iv (ξ)dξ = h4 180 (f (b) f ()). Si se corrige l regl de Simpson compuest por medio de este error sintótico se obtiene l regl de Simpson corregid: regl de Simpson corregid CS n (f) = S n f (b )4 2880n 4 [f (b) f ()]. Ejemplo Trtndo hor el ejemplo nterior 0 4dx 1 + x 2 con l regl de Simpson compuest, y observndo que 96 es un cot superior pr d 4 en el intervlo [0, 1], se obtiene que dx 1+x 2 buscmos n tl que E(S n f) 96 90n 4 ; 96 90n

6 Integrción pr lo que será suficiente tomr n = 4. El resultdo será S 4 f = Vemos que, unque l cotción del error que hemos obtenido pr l regl de Simpson nos grntiz solmente dos cifrs decimles, hemos obtenido cinco cinco cifrs corrects. L corrección sintótic result ser cero y que l derivd tercer se nul tnto en x = 0 como en x = Regls de Newton Cotes En generl ls regls de integrción numéric que se obtienen por medio de l interpolción polinómic como ls del trpecio y de Simpson reciben el nombre de regls de Newton Cotes. Pr Roger Cotes, obtenerls se escribe el polinomio interpoldor en su form de Lgrnge P (x) = L 0 (x)f(x 0 ) + L 1 (x)f(x 1 ) + + L n (x)f(x n ) y se obtienen los pesos prtir de ls integrles de los polinomios L i Inf = w i f(x i ); w i = L i (x)dx. i=0 Ls regls que se obtienen pr n = 3 y n = 4 son: Regl de los tres octvos I 3 f = 3 8 h[f(x 0) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )] Regl de Boole I 4 f = 2 45 h[7f(x 0) + 32f(x 1 ) + 12f(x 2 ) + 32f(x 3 ) + 7f(x 4 )] George Boole, El error en el cso de l regl de los tres octvos viene ddo por I 3 f f(x)dx = 3 80 h5 f iv (ξ) El error pr l regl de Boole es ξ [, b]. I 4 f f(x)dx = h7 f vi (ξ), ξ [, b]. Todos estos resultdos pueden obtenerse como ejercicio. En generl l expresión del error en ls regls de Newton Cotes es de nturlez distint según l pridd de n: 6

7 Integrción 1. Si n es pr y f C n+2 [, b], ξ (, b) tl que donde I n f If = C n h n+3 f (n+2) (ξ) C n = 1 (n + 2)! n 0 t 2 (t 1)... (t n)dt. 2. Si n es impr y f C n+1 [, b], ξ [, b] tl que donde I n f C n = 1 (n + 1)! 21 Regls Gussins f = C n h n+2 f (n+1) (ξ) n 0 t(t 1)... (t n)dt. Ls regls de Newton Cotes grntizn l integrción exct de polinomios hst un determindo grdo: el error en ls regls impres (trpecio, tres octvos,...) depende de l derivd de un orden superior (segund, curt,...) y por tnto l regl integr exctmente polinomios hst el mismo grdo que indic l regl (primero, tercero,...); el error en ls regls pres (punto medio, Simpson, Boole,...) depende de l derivd de orden dos uniddes por encim de l regl (segund, curt, sext,...) y por tnto integr exctmente polinomios polinomios hst un grdo por encim del orden de l regl (primero, tercero, quinto,...). A l vist de este comportmiento vmos buscr regls de integrción numéric de l form w i f(x i ) que integren todos los polinomios hst un determindo grdo, el myor posible pr el número de sumndos elegidos pr l regl. Obtendremos sí ls llmds regls Gussins o cudrturs de Guss. Si utilizmos un sólo nodo l regl resultnte integrrá exctmente polinomios de grdo menor o igul uno: (normlizmos el cálculo l intervlo [ 1, 1]). Se x 0 el nodo y w 0 el peso correspondiente, regls Gussins cudrturs de Guss peso 1 dx = w 0, De quí result x 0 = 0, w 0 = 2. 1 xdx = w 0 x 0. Si utilizmos dos nodos podemos integrr exctmente todos los polinomios de grdo menor o igul que tres: 7

8 Integrción I 2 f = w 1 f(x 1 ) + w 2 f(x 2 ) I 2 (1) = w 1 + w 2 = 2 I 2 (x) = w 1 x 1 + w 2 x 2 = 0 I 2 (x 2 ) = w 1 x w 2 x 2 2 = 2 3 I 2 (x 3 ) = w 1 x w 2 x 3 2 = 0 Este sistem no linel result tener solución únic. w 1 = w 2 = 1 y x 1 = x 2 = 3/3. Así Ést verific I 2 (f) = f( ) + f( 3 ). En generl y por el mismo procedimiento, utilizndo n nodos podemos integrr exctmente todos los polinomios de grdo 2n 1. Pr obtener los nodos y los pesos de I n debemos resolver el sistem no linel 2 = w w n 0 = w 1 x w n x n 2 3 = w 1 x w n x 2 n (21.1) = w 2n 1 1 x 2n w n x 2n 2 n 0 = w 1 x 2n w n x 2n 1 n L resolución de este sistem no linel no es en generl sencill, de hecho no está clro priori que el sistem teng solución o que, en cso de existir, ést se únic. Abordmos el problem de su resolución por otros medios. Supongmos primermente que existen los x i y que son distintos y están en el intervlo [0, 1]. El polinomio L n (x) = (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) debe tener integrl exct por medio de l regl de Guss y por tnto est debe ser cero, y que L n (x i ) = 0. Si L n (x) = x n + 1 x n n 1 x + n podemos determinr los coeficientes i por medio del sistem linel de ecuciones 0 = 1 x k L n (x)dx k = 1,..., n. De hecho se obtienen dos sistems lineles seprdos, uno que contiene solmente los coeficientes de índice pr, y el otro solmente los de índice impr. Uno de ellos será homogéneo con solución trivil, por tnto el polinomio obtenido tendrá solmente términos cuyo grdo teng l mism pridd que n. Los ceros de este polinomio son los nodos x i buscdos. En generl se obtendrán por lgún método de resolución de ecuciones no lineles (Newton,...). Los polinomios L n reciben el nombre de polinomios mónicos de Legendre y hn sido estudidos extensivmente. polinomios mónicos de Legendre 8

9 Integrción Un vez clculdos (proximdos) los nodos, podemos volver l sistem 21.1, que resultrá un sistem linel en ls w i con un exceso de ecuciones. Tmbién podemos recurrir l siguiente método pr clculr los pesos. Pr clculr el peso w i considermos el polinomio p i (x) = L n(x) x x i es decir, le quitmos l polinomio L n el fctor x x i. L integrl de este polinomio debe ser exct por l regl de Guss (su grdo es menor que 2n 1) y por tnto w i p i (x i ) = 1 p i (x)dx. Los dos cálculos nteriores resultn más sencillos si se observ que los nodos son simétricos respecto de cero y por tnto los pesos pr dos nodos simétricos son igules. 9