Series de Taylor. Antes de comenzar con la series de Taylor, repasemos algunas propiedades importantes de las series infinitas.

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1 Semn 2 - Clse 5 15/1/1 Tem 1: Series Series de Tylor Antes de comenzr con l series de Tylor, repsemos lguns propieddes importntes de ls series infinits. 1. Algebr de series de potencis El álgebr elementl de series se puede reconsiderr l luz de ls series de potencis. De est form recordmos que los índices en ls series son mudos n n (x x ) n 1 = j j (x x ) j 1 = j=1 k= k+1 (k + 1) (x x ) k en l últim sumtori hemos hecho k = j 1, por lo cul j = k + 1. Ls series se iguln b n (x x ) n = n n (x x ) n 1 b n (x x ) n = k+1 (k + 1) (x x ) k = k= n+1 (n + 1) (x x ) n por lo cul Si l iguldd hubier sido n (x x ) n = n n (x x ) n 1 = Ls series se sumn n (x x ) n + o tmbién n (x x ) n + b n = n+1 (n + 1). b k (x x ) k = + 1 (x x ) + k=2 n+1 (n + 1) (x x ) n = n+1 = n (n + 1) ( n + b n ) (x x ) n n=2 b k+2 (x x ) k+2 = + 1 (x x ) + k= = ( n + b n ) (x x ) n n=2 ( n + c n 2 ) (x x ) n, Héctor Hernández / Luis Núñez 1 Universidd de Los Andes, Mérid

2 Semn 2 - Clse 5 15/1/1 Tem 1: Series y en este último cso c 2 = c 1 = y c i = b i+2. Nótese como en los dos ejemplos nteriores hemos hecho coincidir los dos índices de l sumtori desde el comienzo. L series tmbién se multiplicn, esto es [ ] [ ] n (x x ) n b n (x x ) n = c n (x x ) n con c n = b n + 1 b n b n j b n j + + n 2 b 2 + n 1 b 1 + n b Si lgun de ls series de potencis es bsolutmente convergente, entonces su multiplicción con otr, será bsolutmente convergente. Pero tmbién ls series de potencis se invierten! y pr ello utilizmos todo lo visto nteriormente vemos. Supongmos que se tiene un serie del tipo y y = + 1 (x x ) + 2 (x x ) n (x x ) n + = n (x x ) n Es decir tenemos y y expresdo en términos de un serie de potencis de (x x ) n entonces, igul podremos plnternos invertir el proceso, vle decir, expresr (x x ) en términos de potencis (y y ) n Esto es x x = b n (y y ) n x x = [ ] k b k j (x x ) j y l igulr términos con l mism potenci, despejmos los coeficientes b n en términos de los n, de form que k= j= b 1 = 1 1 b 2 = 2 ( 1 ) 3 b 3 = 2( 2) ( 1 ) 5 b 4 = ( 1 ) 7. = Igulmente, si un serie f(x) = n(x x ) = c n (x x ) n converge pr un entorno R x R entonces por el criterio de Myornte de Weierstrss, convergerá bsolut y uniformemente pr S x S con S R. Más ún, el criterio de Abel nos grntiz ls siguientes propieddes: Héctor Hernández / Luis Núñez 2 Universidd de Los Andes, Mérid.

3 Semn 2 - Clse 5 15/1/1 Tem 1: Series Ddo que todos los términos n (x) = c n (x x ) n son funciones contínus de x y f(x) = c n (x x ) n converge uniformemente pr un entorno S x S, entonces l función f(x) es contínu en el intervlo de convergenci. Si los términos n (x) = c n (x x ) n son funciones contínus de x, entonces l serie puede ser derivd término término [ ] d c n (x x ) n = c n n (x x ) n 1 (nótese como cmbi el comienzo de l serie) y convergerá c n n (x x ) n 1 df(x) n (x) d n(x) contínus n (x), converge uniformemente en [, b]. De igul mner ls series pueden ser integrds término término b f(x) = b c n (x x ) n = b c n (x x ) n = c n n + 1 (x x ) n Serie de Tylor Pr los físicos el uso propido (y frecuente) de l serie Tylor fcilit muchos cálculos. L ide detrás de este tipo de series es l de l proximción de un determind función por un serie de potencis en donde existe un form sistemátic de construir los coeficientes y, dependiendo de el número de términos que utilicemos en l serie, tendremos un ide de cun proximd es l serie y cunto es el error que cometemos l desrrollr l serie hst un determindo término. Así supondremos que f = f(x) es un función contínu y contínumente diferencible. Con lo cul, si denotmos df(x) = f (x), entonces supondremos que f (x), f (x), f (x),, f (n) (x) están definids en el intervlo [, b]. De cursos nteriores se sbe que: +h f (x) = f(+h) f() f(+h) = f()+ +h f (x) f(+h) f()+hf (), donde hemos supuesto que en intervlo [, + h] l función f (x) es constnte y tiene como vlor f (). Ahor bien, esto vle pr todo x y pr culquier función, por lo tnto se cumple Héctor Hernández / Luis Núñez 3 Universidd de Los Andes, Mérid

4 Semn 2 - Clse 5 15/1/1 Tem 1: Series que: f(x) f() + (x )f (), Con lo cul podemos construir f(+h) = f()+ +h f (x) f () + (x )f (), f (x) f () + (x )f (),.. f (n 1) (x) f (n 1) () + (x )f (n) (). f (x) f()+ +h [f () + (x )f ()] f()+hf ()+ h2 2 f (), que no es otr cos que un proximción de segundo orden f( + h). En generl podemos construir f( + h) = f() + +h = f() + hf () + = f() + hf () + f (x) = f() + +h +h dv du = f() + hf () + h2 2 f () + [ +h ( +h +h +h f (x) dv du [ f () + ] [ f () + ( +h dv +h +h [ +h ] f (x) ]) f (x) ]) f (x) y si repetimos ese procedimiento n veces, suponiendo que ls derivds de f(x) existn, tendremos l proximción n 1 l función. Esto es f( + h) = f() + hf () + h2 2! f () + h3 3! f () + + hn 1 (n 1)! f (n 1) () + R n y tmbién es fácil convencerse por inspección que el residuo o el error que cometemos en l proximción n 1 viene ddo por l integrción enésim de l derivd enésim, vle decir R n = +h y por el Teorem del Vlor medio +h du dτg(τ) = hg(ξ) +h dv }{{} n veces +h f (x) R n = hn n! f (n) (ξ) con ξ + h Héctor Hernández / Luis Núñez 4 Universidd de Los Andes, Mérid

5 Semn 2 - Clse 5 15/1/1 Tem 1: Series Ahor bien, un elección stut del prámetro h = x nos llev l conocid expresión de l serie de Tylor pr un función de un vrible f(x) = f() + (x )f () + y el error vendrá ddo por R n = (x )2 f () + 2! (x )n f (n) (ξ) n! (x )3 f () + + 3! con ξ + h (x )n 1 f (n 1) () + R n (n 1)! sí l expnsión de Tylor especific el vlor de un función en un punto x en términos de el vlor de l función y sus derivds en un punto de referenci. L expnsión se hce en términos de potencis de l diferenci, (x ), entre el punto que se evlú y el punto de referenci. Alguns otrs forms de expresr l serie de Tylor, serín f(x + h) = h n n! f (n) (x) = h n dn n f(x) = n! h n D n f(x) = e hd f(x) n! donde, D d Si el punto de referenci es = tendremos l serie de Mclurin f(x) = f() + xf () + x2 2! f () + x3 3! f () + + xn 1 (n 1)! f (n 1) () + R n 2.1. Alguns Series de Tylor Un listdo incompleto de ls series de Tylor más utilizds es e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + + xn n! + pr < x < sen(x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( 1)n+1 x 2n 1 (2n 1)! + pr < x < cos(x) = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + + ( 1)n+1 x 2n 2 (2n 2)! + pr < x < rctn(x) = x x3 3 + x5 5 x ( 1)n+1 x 2n 1 (2n 1) + pr 1 < x < 1 ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 xn + + ( 1)n+1 4 n + pr 1 < x < 1 (1 + x) m = 1 + mx + m(m 1) x2 2 + m(m 1)(m 2)x3 3! + + m! n!(m n)! xn + x Héctor Hernández / Luis Núñez 5 Universidd de Los Andes, Mérid

6 Semn 2 - Clse 5 15/1/1 Tem 1: Series Si tenemos un función y queremos determinr su serie de potencis, es posible que los cálculos se simplifiquen notblemente si utilizmos propidmente ls series elementles nteriores, por ejemplo: e αx2 +βx = 1 + ( αx 2 + βx ) + (αx2 + βx) (αx2 + βx) 3 3! + (αx2 + βx) 4 4! + desrrollndo los términos binomiles e αx2 +βx = 1 + β x + (α + 12 ) β2 x 2 + (β α + 16 ) ( 1 β3 x α α β2 + 1 ) 24 β4 x 4 + Si se quiere hcer el desrrollo lrededor de un punto diferente de x =, podemos completr cudrdos: e αx2 +βx = e α(x2 +βx/α) = e α(x 2 +βx/α+β 2 /4α 2 β 2 /4α 2 ) = e α(x 2 +βx/α+β 2 /4α 2 ) β 2 /4α = e α(x+β/2α)2 β 2 /4α = e α(x+β/2α)2 e β2 /4α = e β2 /4α [ 1 + α(x + β/2α) 2 + α 2 (x + β/2α) 4 /2 + ] y est es l expnción en series de potencis lrededor del punto x = β/2α L expnsión binomil Por su uso frecuente, consideremos el cso de l expnsión binomil (1 + x) m = 1 + mx + m(m 1) x2 2 = ( ) m x n, n + m(m 1)(m 2)x3 3! + = m! n!(m n)! xn, ( ) m donde el término se denomin el coeficiente binomil y l serie termin cundo n m = n. Ahor bien, escrito de l form compct se sugiere que el exponente m tendrí que ser entero y positivo. Pero no es sí. L serie explícit no se restringe vlores enteros y positivos de m. Por ello, l form compct pero exct de l expnsión binomil es ( 1 + x ) m ( x m(m 1) ( x ) 2 m(m 1)(m 2) = 1 + m + + ) 2 3! Γ(1 + m) ( x ) n =. Γ(1 + n)γ(1 + m n) ( x ) 3 + Héctor Hernández / Luis Núñez 6 Universidd de Los Andes, Mérid

7 Semn 2 - Clse 5 15/1/1 Tem 1: Series Figur 1: L función Gmm pr n = 5 Donde hemos utilizdo l función Γ(x) como l generlizción del fctoril pr vlores que no se restringen enteros positivos. Nótese tmbién que si el exponente es negtivo, ( ) 1 + x m tiene un singulridd o un polo en x =. Cundo n es un entero positivo tendremos n! = Γ(1 + n) = e t t n dt = e t+n ln(t) dt Est integrl, como se puede ver en l figur, nos recuerd l form de un Gussin con un máximo en t = n. Al hcer un expnsión lrededor de este punto f(t) = t + n ln(t) = f(n) + (t n)f (n) + (t n) 2 f (n)/2 + = n + n ln(n) + + (t n) 2 ( n/n 2 )/2 + Si conservmos los términos hst segundo orden, l integrl puede ser proximdmente igul : n! e n+n ln(n) (t n)2 /2n dt = n n e n e (t n)2 /2n dt Pr vlores de n grndes, y esto es lo que se conoce como l proximción de Stirling, se tiene: n! n n e n e (t n)2 /2n dt = n n e n 2πn Aquí, el símbolo se refiere un comportmiento sintótico de l función Gmm. Héctor Hernández / Luis Núñez 7 Universidd de Los Andes, Mérid

8 Semn 2 - Clse 5 15/1/1 Tem 1: Series L gráfic mostrd en l Figur 1 pueden obtenerse de l siguiente mner: > restrt: > n := 5: > f := exp(-t)*t n; > Int(f,t=..infinity)=int(f,t=..infinity); > GAMMA(5+1); > plot(f,t=..2); > f(5) =evlf(subs(t=5,f)); En l siguiente tbl se muestrn, pr lgunos vlores de n, el vlor excto del fctoril, el vlor por l fórmul de Stirling y el cociente entre estos dos vlores. Se puede precir entonces lo buen que result tl proximción. n n! n n e n 2πn n!/(n n e n 2πn) 1 1,922, ,919, ,19, ,619, Tylor en vris vribles Sólo por rzones de completitud, y pr reforzr los conceptos de que es un desrrollo en series pr un función lrededor de un determindo punto, escribiremos el desrrollo en series de Tylor pr un funcionón de dos vribles f = f(x, y). Est es f(x, y) = f(, b) + (x ) f x b + (y b) f y b + 1 [ ] (x ) 2 f b xx + 2(x )(y ) f xy 2! b + (y ) 2 f yy b + 1 [ ] (x ) 3 f xxx 3! b + 3(x ) 2 (y ) f xxy b + 3(x )(y ) 2 f xyy b + (y ) 3 f yyy b + De un mner más compct f ( ) x j + x j 1 ( ) = x k n k f (x m ) n! x m =x m Dónde hemos utilizdo l siguiente convención f ( r + ) = f x = x = x; f y = y = y; f xx = 2 x 2 = xx; f xy = 2 x y = xy; 1 ( ) n r f (x m ) n! r= f yy = 2 y 2 = yy; Héctor Hernández / Luis Núñez 8 Universidd de Los Andes, Mérid

9 Semn 2 - Clse 5 15/1/1 Tem 1: Series Ejercicios 1. Utilice l siguiente definición tn 1 x = x t 2, expnd el integrndo y luego integre término por término pr derivr l siguiente expnsión conocid como expnsión de Gregory Evlúe l serie pr x = π Utilizndo l definición derive ls expresiones siguientes tn 1 x = x x3 3 + x5 5 = ( 1) n 2n + 1 x2n+1. sen 1 x = sen 1 x = sen 1 (1 x) = π 2 2x ( x t 2, (2n)! 4 n (n!) 2 x 2n+1 2n + 1, 1 + ) (2n 1) x n. 4 n (2n + 1)n! 3. Encuentre los primeros cinco términos, diferentes de cero, de l serie de Tylor, de l función f(x) = 1 + x [ ] 2 + 2x ln(1 + 2x). x x x Puedes usr el progrm Mple! Héctor Hernández / Luis Núñez 9 Universidd de Los Andes, Mérid