Teorema de la Función Inversa

Transcripción

1 Teorem de l Función Invers Pr el cso de un funcion F : U R R se tiene Nuestro problem es, dds ls funciones x f(u, v) y y g(u, v) que describen x, y como funciones de u, v, cundo es posible estblecer funciones inverss que describen u y v como funciones de x, y. Es decir queremos tener (F F )(u, v) F (F (u, v)) F (x, y) F (f(u, v), g(u, v)) (u, v) (F F )(x, y) F (F (x, y)) F (u, v) F (ϕ(x, y), ψ(x, y)) (x, y) Un cso prticulr del Teorem generl de l función implícit es el Teorem de l función invers. Ddo un sistem de n-ecuciones f (x, x,..., x n ) y f (x, x,..., x n ) y. f n (x, x,..., x n ) y n Trtmos de resolver ls n-ecuciones pr x, x,...x n como funciones de y, y,...y n. Esto es, estmos trtndo de invertir ls ecuciones del sistem nterior, que es lgo nálogo formr los inversos de funciones como senx y y e x y, sólo que est vez se intentrá con funciones de vris vribles. L cuestión de existenci se responde por medio del teorem generl de l función implícit plicdo ls funciones y i f i (x, x,..., x n ) con ls incognits x, x,..., x n. L condición de existenci pr l solución en un vecindd del punto x 0 es que el erminnte de l mtriz Df(x 0 ) y f (f i, f,...f n ) sen distintos de cero. Explicitmente: (f, f,..., f n ) (x, x,..., x n ) Ms ún, si considermos ls expresiones: J(f)(x 0 ) xx0 (x 0 ).... n (x 0 )... G(x, y, u, v) x f(u, v) 0 H(x, y, u, v) y g(u, v) 0 (x 0 ). 0 n (x 0 ) n

2 Lo que pretendemos es despejr de ell u y v en términos de x e y y poder estblecer sí ls funciones u ϕ(x, y), v ψ(x, y). Entonces el T.F.Im. (tercer versión) nos d ls condiciones pr que podmos hcer esto. Se P (x, y, u, v)ɛr 4 un punto tl que G(p) H(p) 0. Supongmos que en un bol de centro en P ls derivds prciles de G y H son continus. Si el jcobino 0 en P, entonces es posible despejr de ells u y v en terminos de x e y, y estblecer sí funciones u ϕ(x, y), v ϕ(x, y) definids en un vecindd V de (x, y) F (u, v), ls cules tienen derivds prciles continus en V que se pueden clculr como,,, ((x, v) Por lo tnto: 0 ((y, v) Por lo tnto: 0 ((u, x) 0

3 ((u, y) 0 En resumen tenemos: Sen f, g : U R R funciones definids en el conjunto bierto U de R. Sen x f(u, v), y g(u, v). Supong que lgun bol B de R con centro (u, v), ls derivds prciles,,, son continus. Si el jcobino es no nulo en (u, v) entonces un vecindd V de x, ȳ donde podemos definir funciones inverss u ϕ(x, y), v ψ(x, y) es decir tles que u ϕ(x, y), v ψ(x, y), y f(ϕ(x, y), ψ(x, y)) x, g(ϕ(x, y), ψ(x, y)) y pr (x, y)ɛv ls cules tienen derivds prciles continus en V que se clculn como,,, ( ) Dd l función invers F (x, y). Est tiene por funciones coordends ls funciones u ϕ(x, y). Es decir F (x, y) (u, v) (ϕ(x, y), ψ(x, y)). L mtrix jcobin de est función es: JF El resultdo nterior ( ) nos dice como clculr ls derivds prciles,,, en un vecindd V de (x, y) l sustituir ls fórmuls correspondientes en JF, recordndo que. JF Multipliquemos JF y JF, se obtiene U 3

4 (JF )(JF ) [ 0 0 ] [ 0 0 Así concluimos que l mtriz jcobin de l función invers de F es justmente l invers de l mtriz jcobin de F. Es decir se tiene JF (JF ) Teorem de l Función Invers Se F : U R n R n un función definid en el conjunto bierto U R n. Se F (p) q donde p (x,..., x n ) y q (y,..., y n ). Supong que en un bol B R n con centro p, F es clse C y JF (p) 0. Entonces hy un bol B R n con centro q en l que se puede definir l función invers de F, F l cul es de clse C y JF (y) [JF (x)] donde y F (x) B Ejemplo: Considere l función F : R R dd por f(u, v) (u +v 3, u +uv). Se tiene f(, ) (9, 3). Est función es de clse C en R. Ls derivds prciles de sus funciones coordends x f(u, v) u 3 + v 3, y g(u, v) u + uv son 3u, L mtriz jcobin de f es JF 3v, u + v, u 3u 3v u + v u l cul en el punto (, ) es invertible pues JF (, ) Así podemos concluir que en un bol B de (9, 3) se d l invers F de F o bien, que podemos despejr de x u 3 + v 3, y u + uv u, v como funciones de x e y, l cul es de clse C en B y que su derivd es JF (x, y) [JF (u, v)] JF 4 3u 3 6uv 3v 3 ] u 3v (u + v) 3u

5 donde x u 3 + v 3, y u + uv. Es decir (u3 + v 3, u u + uv) 3u 3 6uv 3v 3 (u3 + v 3, u 3v + uv) 3u 3 6uv 3v 3 (u3 + v 3, u u + v + uv) 3u 3 6uv 3v 3 (u3 + v 3, u 3u + uv) 3u 3 6uv 3v 3 Ejemplo: Considere ls ecuciones x u + v + e w y u + w + e v x v + w + e 3u pr p (u, v, w) (0, 0, 0) se tiene que q (x, y, z) (,, ) el erminnte de l mtriz jcobin de l función F (u, v, w))(x, y, z) es: (x, y, z) JF (u, v, w) w w e w e v 3e 3u (0,0,0) 3 w Si clculmos su erminnte obtenemos ( ) ( 3)+ ( 6) +5 0 Podemos loclmente invertir l función F, entorno l punto q, donde podemos definir funciones de clse c u(x, y, z), v(x, y, z) y w(x, y, z). Ahor bien como JF (q) [JF (p)] 3 }{{}

6 * Vmos clculr l invers usndo l mtriz de cofctores de l mtriz 3 () + () + 3 () +3 3 () + () + 3 () () 3+ () 3+ () Trnsponiendo l ultim mtriz tenemos ls prciles son: 3 (p) (p) w (p) (p) 0 (p) w w (p) (p) (p) 0 (p) Ejemplo: Dd l función F : R R dd por F (u, v) (e u+v, e uv ) es diferencible siempre y su derivd es JF (u, v) eu+v e u+v e uv e uv Como (JF (u, v)) e u 0 concluimos que es posible despejr u y v en términos de x, y. Más ún, como e uv e u+v (JF (u, v)) e u e u euv eu+v e uv eu+v e u e u euv eu+v Concluimos que ls derivds prciles de ls funciones inverss u ϕ(x, y), v ψ(x, y) son en el punto (e u+v, e uv ) euv, eu+v, euv, eu+v En este cso es posible hcer explícits u ϕ(x, y), v ψ(x, y). En efecto de ls expresiones x e u+v, y 6

7 e uv, se deduce u lnx+lny, v (lnxlny) cuys derivds coinciden con ls obtenids de l mtriz jcobin. Ejemplo: Se g ( : R R un función continu tl que g(0). Considere l función F : R R dd por F (x, y) x g(t)dt, ) x g(t)dt. Demuestre que est función tiene un invers F definid en un y bol B del origen de coordends. Determine JF Tenemos que: Análogmente f (x, y) x g(t)dt x g(t)dt + g(t)dt g(x) g(y) x g(t)dt + g(t)dt Por lo tnto JF (f, f ) (x, y) f (x, y) x y g(t)dt y x g(t)dt + g(t)dt xg(x ) g(x) g(x )x g(y) g(y) g(y) (0,0) x g(t)dt + g(t)dt g(0) g(0) g(0 ) 0 g(0) Por lo tnto en los lrededores del (0,0) podemos definir funciones inverss. Ahor pr clculr JF tenemos que JF (JF ) 0 }{{} 0 0 ( ) ( ) b d b * Recordndo que si A entonces A c d A c Ejercicio: Vmos clculr l mtriz jcobin de l funcion F : R 3 R 3 dd por F (x, y, z) (x y, z, xyz) Tenemos que: MJF xy x yz xz xy A l trz de l mtriz Jcobin se le conoce tmbién como Divergenci se le denot divf o F (,, ) (f, f, f 3 ) En nuestro cso divf divf F (,, ) (x y, z, xyz) y + + yz xy xy 3xy 7

8 A l diferenci de los elementos que estn fuer de l digonl principl ( 3, 3, ) se le conoce como rotcionl y se le denot rotf, tmbién se puede clculr î ĵ k rotf f f f 3 En nuestro cso rotf ( xz, yz, x ) A l divergenci de un grdiente ( F ) f + f + f f se le conoce como el operdor lplcino y desempeñ un ppel importnte en l físic Ejemplo: Mostrr que f 0 pr f(x, y, z) donde (x, y, z) 0 x +y +z Tenemos que: x (x + y + z ) 3 y (x + y + z ) 3 z (x + y + z ) 3 f + f + f 3x (x + y + z ) 5 f 3x (x + y + z ) 5 f 3y (x + y + z ) 5 f 3z (x + y + z ) 5 (x + y + z ) 3 (x + y + z ) 3 (x + y + z ) 3 3y + (x + y + z ) 3 (x + y + z ) 5 + (x + y + z ) 3 3z (x + y + z ) 5 (x + y + z ) 3 3(x + y + z ) (x + y + z ) 5 3 (x + y + z ) (x + y + z ) 3 (x + y + z ) 3 0 8