TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

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Alba Fernández Ramos
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1 TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ

2 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes de orden y orden.... Menor complementrio y djunto de un elemento...6. Desrrollo de un determinnte por los djuntos de un fil o de un column...7. Propieddes de los determinntes..8. Cálculo generl de determinntes

3 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... CONCEPTO DE TRZ DEFINICIÓN DE TRZ Se un mtriz cudrd de orden n mn m m m n n n Se define l trz de l mtriz y se denot por Tr() como l sum de los elementos de l digonl principl: EJEMPLO Clcul l trz de ls siguientes mtrices: B C c b D

4 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... PROPIEDDES DE L TRZ Sen y B dos mtrices cudrds de orden n, se verificn ls siguientes propieddes: ) EJEMPLO: ) EJEMPLO ) EJEMPLO ) EJEMPLO ) En generl EJEMPLO 6) En generl si l mtriz tiene invers entonces EJEMPLO

5 ) Dds ls mtrices. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... PROPIEDDES DE L TRZ: EJERCICIOS. comprobr que y Ejercicios: Libro Problems y cuestiones de álgebr linel P. Orteg Pág. 66,67 Ejercicios,, ) Demostrr que se verific ) Si es un mtriz ntisimétric Cuánto vle su trz? ) Demostrr que si es un mtriz simétric entonces ) Dds dos mtrices cudrds de orden n y B, tles que demostrr que

6 DEFINICIÓN FORML:. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... DETERMINNTE DE UN MTRIZ Dd un mtriz cudrd de orden n, se define el determinnte de y se denot por o det() como l sum de los n! productos con signo formdos por n-fctores obtenidos de multiplicr n elementos de l mtriz de form que cd producto conteng un solo elemento de cd fil y column de. De form nlític: Donde : - es un de ls n! permutciones del conjunto {,,,n} - es el NÚMERO DE TRSPOSICIONES o cmbios requeridos pr reordenr l permutción en el orden de {,,,n} OBSERVCIÓN - Según est definición l mtriz NUL de orden n, tiene siempre determinnte

7 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... DETERMINNTE DE MTRICES DE ORDEN Se, se define el determinnte de l mtriz y se denot por det() o l siguiente vlor numérico: det( ). El primer producto, que contiene el elemento, es : El segundo producto, con el elemento, es : EJEMPLOS: ) Clcul los siguientes determinntes: ) b) c) d) 7 ) Clcul el vlor de x pr que se verifiquen l siguientes igulddes: 8 6 x x ) 9 b) c) 9 d) 8 x 7 x 7 9 x x x

8 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... DETERMINNTE DE MTRICES DE ORDEN Se un mtriz cudrd de orden, se define el determinnte de l mtriz, y se denot por det( ), l resultdo de l sum de los siguientes 9 productos: det( ).. REGL El resultdo DE SRRUS: del determinnte es un número rel. Productos con signo positivo Productos con signo negtivo

9 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... DETERMINNTE DE MTRICES DE ORDEN REGL DE SRRUS Productos con signo positivo Productos con signo negtivo EJEMPLOS: ) Clcul el determinnte de ls siguientes mtrices: ) b) B ) Clcul el vlor de pr que se verifiquen ls siguientes igulddes: ) 7 x x b) 8 6 x x x

10 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... DETERMINNTE DE MTRICES DE ORDEN Y : EJERCICIOS ) Clcul los siguientes determinntes: 7 ) b) c) d) e) 8 6 ) Determin el vlor que debe tener l incógnit x pr que se verifiquen ls siguientes ecuciones: x ) x x b) 8 x x 7 EJERCICIOS: Libro Problems y cuestiones de álgebr linel Pedro Orteg Págins 68-7 Ejercicios,6,7

11 . VECTORES Y MTRICES Se un mtriz cudrd de orden n. Definimos el menor complementrio del elemento ij de l mtriz, l determinnte de l mtriz de orden n- que se obtiene l suprimir l fij i-ésim y l column j-ésim de l mtriz. l menor complementrio del elemento ij de l mtriz se le denot como M. EJEMPLO.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... MENOR COMPLEMENTRIO Y DJUNTO DE UN ELEMENTO ij 7.Entonces M Se un mtriz cudrd de orden n. Se define el djunto o cofctor del elemento i j denotmos por ij, como ij ( ) M. ij ij, y lo EJEMPLO: si considermos l mtriz de orden nterior, entonces ) M ( ) M ( ) ( ) y ) M M 9. ( ( EJEMPLO: Se l mtriz: Clcul: M, M, M, M y,,,

12 ) Dd l mtriz y sus djuntos.. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... MENOR COMPLEMENTRIO Y DJUNTO DE UN ELEMENTO: EJERCICIOS. 7, clcul todos sus menores complementrios ) Clcul el menor complementrio de los elementos y en l mtriz. 6 EJERCICIOS: Libro Problems y cuestiones de álgebr linel P. Orteg Pág. 7 ejercicio 8

13 . VECTORES Y MTRICES Se un mtriz cudrd de orden n. El determinnte de se puede obtener medinte l sum d los productos de los elementos de un fil o de un column por sus djuntos correspondientes. ) Desrrollo de un determinnte por los djuntos de l fil i-ésim: in in i i i i i i... b) Desrrollo de un determinnte por los djuntos de l column j-ésim: nj nj j j j j j j TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ..6. DESRROLLO DE UN DETERMINNTE POR LOS DJUNTOS DE UN FIL O UN COLUMN EJEMPLO: Consider l mtriz. Pr clculr el determinnte de est mtriz por los djuntos de l segund fil: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( M M M M ) ( 6) 6 8 ( ) ( Clculemos hor el determinnte desrrollndo por los djuntos de l tercer column

14 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ..6. DESRROLLO DE UN DETERMINNTE POR LOS DJUNTOS DE UN FIL O UN COLUMN: EJERCICIOS Clcul los siguientes determinntes desrrollndo por lgun de sus fils o columns: ) b) 7 EJERCICIOS: Libro Problems 8 y cuestiones de álgebr linel 8 P. Orteg Págs. 7,7 ) Clcul el determinnte de l mtriz: Ejercicio 9 7 ) Desrrollndo por los djuntos de l segund fil. b) Desrrollndo por los djuntos de l segund column.

15 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ..7. PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES (/). El determinnte de un mtriz cudrd coincide con el determinnte de su t trspuest:. 7 EJEMPLO: Comprobr con l mtriz 6. Si un mtriz cudrd tiene un fil o un column de ceros, entonces su determinnte es cero. EJEMPLO: y. 7. Si en un mtriz cudrd intercmbimos dos de sus fils (o dos de sus columns), entonces el determinnte de l mtriz resultnte cmbi de signo. EJEMPLO: 7 ; intercmbindo ls columns. y.. 7

16 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ..7. PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES (/). Si dos fils o dos columns de un mtriz cudrd son igules entonces su determinnte es nulo. Ejemplo, y 6 6. Si multiplicmos por el mismo número rel k todos los elementos de un fil o un column de un mtriz cudrd, entonces el determinnte de l mtriz B resultnte verific que det( B) k det( ). k k Ejemplos:. k k 6. Si dos fils o dos columns de un mtriz cudrd son proporcionles entonces su determinnte es nulo. Por ejemplo, 6 6 (plicndo ls propieddes y ). (plicndo ls propieddes y ). 9

17 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ..7. PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES (/) 7. Si es un mtriz cudrd de orden n, entonces det( k ) k n det( ). Demostrción: det( k ) k k k k. n k n n... k k k. k. n k n n det( ). 8. Si l fil (o column) de un mtriz le summos un combinción linel de un o vris prlels ell, entonces su determinnte no vri. 7 7 Ejemplo, y Si un mtriz cudrd tiene un fil (o column) que es combinción linel de otrs, entonces el determinnte de l mtriz es nulo. demás si el determinnte de un mtriz es nulo, entonces existe l menos un fil (o column) que es combinción linel de ls demás. Ejemplo, pues 7

18 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ..7. PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES (/) TEOREM: Un conjunto de n-vectores de n-componentes es linelmente independiente si y sólo si el determinnte de orden n de l mtriz formd por sus n-vectores colocdos en fil (o en column) es no nulo.. Pr culquier fil (o column de un mtriz) se verific que: Ejemplo, comprobemos que b b b b b b ; El determinnte del producto de dos mtrices cudrds es el producto de sus determinntes: B B. Por ejemplo, comprobemos que Si un mtriz de orden n tiene invers entonces det( ) / det( ).

19 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ..7. PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES : EJERCICIOS ) Sbiendo que y, clcul sin plicr l regl de Srrus los x determinntes: ) z z y b) x z ) Hll los siguientes determinntes plicndo ls propieddes: x x y ) b) c) 6x y x ) Demuestr, sin desrrollrlos, que los siguientes determinntes son nulos: EJERCICIOS: Libro ) 7 b) c) 6 Problems y cuestiones de álgebr linel P. Orteg Págs. 7-7 Ejercicios,, x y 9 c) x y 7 z

. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ..8. CÁLCULO GENERL DE DETERMINNTES Hemos visto que el determinnte se obtiene desrrollndo por culquier de ls fils o columns de l mtriz.

20 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ..8. CÁLCULO GENERL DE DETERMINNTES Hemos visto que el determinnte se obtiene desrrollndo por culquier de ls fils o columns de l mtriz. En consecuenci, pr clculr el determinnte elegiremos un fil o column que teng el myor número de ceros pr que los cálculos se simplifiquen. Por otro ldo, utilizndo ls propieddes de los determinntes, en concreto, hciendo uso de l propiedd 8, es posible clculr el determinnte de un mtriz por medio de otr que teng un fil o column con el myor número de ceros. HCIENDO CEROS: EJEMPLO C C C C C C

21 . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ..8. CÁLCULO GENERL DE DETERMINNTES: EJERCICIOS ) Clcul el determinnte de l siguiente mtriz hciendo ceros en l tercer fil: EJERCICIOS: Libro Problems y cuestiones de álgebr linel P. Orteg B 7 Págs. 7; 77; 8 Ejercicios,, 6 ) Clcul el siguiente determinnte: ) Comprueb que se verific l siguiente iguldd: CUESTIONES: Libro: b c ( b )( c )( c b). problems y cuestiones de b c álgebr linel P. Orteg Pág cuestiones -

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