Cálculo matricial ESQUEMA

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1 Cálculo mtricil Cpítulo 1 ESQUEMA Introducción. Objetivos didácticos Mtrices Operciones con mtrices Trnsposición de mtrices Determinntes Desrrollo de un determinnte por los elementos de un líne Producto de determinntes Sum de Determinntes Rngo de un mtriz Obtención del rngo de un mtriz Mtriz invers de un mtriz dd. Resumen. Actividdes. Problems propuestos. Solución los problems propuestos. Plbrs clve.

2 CÁLCULO MATRICIAL 3 INTRODUCCIÓN. OBJETIVOS DIDÁCTICOS En este cpítulo se v estudir, y profundizr, en los conocimientos sobre ls mtrices y determinntes. Un vez definid l mtriz, se procederá l relizción de ls distints operciones entre mtrices, estudindo sus propieddes, tmbién se presentn los conceptos de trnsposición y rngo de un mtriz. Se estudi el desrrollo de los determinntes, fundmentlmente de orden dos y orden tres, por los elementos de un líne y se introduce el concepto de mtriz invers. OBJETIVOS DIDÁCTICOS Comprender l definición de mtriz. Relcionr l definición de mtriz con l trnsposición de mtrices. Entender el concepto de determinnte y su desrrollo por los elementos de un líne (fil o column) Comprender el producto y l sum de determinntes. Entender el concepto de rngo de un mtriz y su obtención. Identificr y comprender el concepto de mtriz invers de un mtriz dd.

3 4 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 1.1. MATRICES Se conoce con el nombre de mtriz un conjunto de m n elementos dispuestos en m fils y n columns. Por ejemplo, los 3x2 números 5, 4, 2, 0, 3, 1, dispuestos en tres fils y dos columns, constituyen un mtriz 3x2. Pr indicr que se trt de un mtriz se suelen encerrr entre préntesis. Es muy frecuente representr los elementos de un mtriz con un letr, por ejemplo, con un doble subíndice i, j, donde i indic l fil y j l column: ( ij ), i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2 que equivle Pr designr un mtriz brevidmente se suele utilizr un sol letr myúscul. EJEMPLO n n A = m1 m2 mn L mtriz A es de dimensiones m n; lguns veces, si interes poner de mnifiesto dichs dimensione, se escribe A m n. Existen lgunos tipos especiles de mtrices como son l mtriz fil, column, digonl e identidd. En este curso trbjremos con mtrices 2x2 o 3x3. Tipos especiles de mtrices ) Un único elemento se puede considerr un mtriz 1x1. EJEMPLO 2 A=, o A=

4 CÁLCULO MATRICIAL 5 b) Un mtriz de dimensiones 1xn, se conoce con el nombre de vector fil (o mtriz fil). EJEMPLO 3 Vector fil: A= (,,, ) o bien A= (,,, ) n 1 2 m c) Si un mtriz es de dimensiones mx1, se denomin vector column (o mtriz column). EJEMPLO 4 Vector column: A = L m1 obien 1 2 A = L m d) Un mtriz, rectngulr o cudrd, tl que todos sus elementos son igules cero se denomin mtriz cero; se suele representr 0. EJEMPLO 5 Mtriz cero: = = 0 0 e) Si en un mtriz cudrd se cumple, pr todo pr de subíndices i, j, que L mtriz se denomin simétric. ij = ji EJEMPLO 6 Mtriz simétric:

5 6 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES NOTA. Se denomin digonl principl, en un mtriz cudrd, l formd por los elementos 11, 22, 33,, nn,ydigonl secundri l 1n, 2(n 1),, n1 L digonl principl L digonl secundri Obsérvese que en un mtriz simétric los elementos simétricos respecto l digonl principl son igules. f) Si en un mtriz, pr todo pr i, j de subíndices se verific ij = ji L mtriz se denomin hemisimétric. EJEMPLO 7 Mtriz hemisimétric: 0 b c 0 d e b d 0 f c e f 0 Obsérvese que en un mtriz hemisimétric los elementos simétricos respecto l digonl principl son igules en vlor bsoluto, pero de signo contrrio. Además los elementos de dich digonl principl son todos nulos, y que ii = ii ii =0 g) Un mtriz simétric se llm mtriz digonl si todos los elementos situdos fuer de l digonl principl son ceros. EJEMPLO 8 Mtrices digonles: ;

6 CÁLCULO MATRICIAL 7 NOTA. Obsérvese que l menos un elemento de l digonl principl debe ser distinto de cero. h) Un mtriz digonl, tl que todos los elementos de su digonl principl son igulesesunmtriz esclr. EJEMPLO 9 Mtriz esclr: i) Un mtriz esclr tl que sus elementos no nulos son igules l unidd, se denomin mtriz unidd o mtriz identidd. EJEMPLO 10 Mtrices unidd: I2 = I4 0 1 ; = j) Si en un mtriz cudrd todos los elementos situdos un ldo de l digonl principl son ceros l mtriz se denomin tringulr. EJEMPLO 11 Mtrices tringulres: ; ;

7 8 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 1.2. OPERACIONES CON MATRICES Iguldd de mtrices. Dos mtrices A = ( ij )yb = (b ij ) son igules si y sólo si: ) Son equidimensionles (tienen el mismo número de fils y de columns). b) ij = b ij, esto es, los elementos que ocupn el mismo lugr en ls dos mtrices son igules. EJEMPLO 12 b c m n d e f = p r s t Implic: = m, b = n, c= p d = r, e= s, f = t Se definen, continución, ls operciones sum de mtrices, producto de dos mtrices y trnsposición de un mtriz. Sum de mtrices Dds dos mtrices equidimensionles: A = ( ) y B = ( b ) mn ij mn ij Se dice que l mtriz S mn es l sum de mbs, si S = ( + b ) mn ij ij EJEMPLO 13 Sen ls mtrices: A = y b B = b b b b b 31 32

8 CÁLCULO MATRICIAL 9 L sum será: + b + b A = + b + b + b + b L sum de mtrices, sí definid, es un ley de composición intern en el conjunto de ls mtrices m n y que goz de ls siguientes propieddes de inmedit comprobción, teniendo en cuent que los elementos que formn ls mtrices son pertenecientes un cuerpo. I. Siendo A, B y C tres mtrices equidimensionles: (A + B) + C = A + (B + C) Propiedd socitiv II. Siendo A un mtriz m n y 0 l mtriz cero de m fils y n columns: A + 0 = 0 + A = A Existenci del elemento neutro III. Dds l mtriz A = ( ij )l mtriz A = ( ij ) formd por los mismos elementos que l A, pero cmbidos de signo, se cumple: A + ( A) = 0 Existenci de elemento opuesto IV. Siendo A y B dos mtrices equidimensionles, se verific: A + B = B + A Propiedd conmuttiv Por tnto, el conjunto de ls mtrices m n, con l ley de composición intern sum, lcnz l estructur de grupo belino. Producto de un esclr por un mtriz Se un mtriz A sobre el cuerpo K, de dimensiones m n n n A = m1 m2 mn Y se λ K un esclr. El producto del esclr λ por l mtriz A se define: λ 11 λ 12 λ 1 n λ21 λ22 λ 2n λ A= λ( A) = λ λ λ m1 m2 mn

9 10 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES Esto es, se obtiene multiplicndo todos y cd uno de los elementos de l mtriz por el esclr. Son de comprobción inmedit ls siguientes propieddes de est ley de composición extern; siendo A y B mtrices m n, yλ, μ K, se tiene: I. (λ + μ)a = λa + μa Propiedd distributiv respecto los esclres. II. λ(a + B) = λa + λb Propiedd distributiv respecto ls mtrices. III. (λμ) A = λ(μa) Asocitividd de los esclres. Representndo por 1 el elemento neutro de l ley multiplictiv de K. IV. 1 A = A. El espcio vectoril de ls mtrices mxn Teniendo en cuent ls propieddes de l sum de mtrices y del producto de un esclr por un mtriz, se puede concluir que el conjunto de ls mtrices de dimensiones m n sobre el cuerpo K, con ls referids operciones, constituye un espcio vectoril sobre el cuerpo K. Producto de mtrices Dds dos mtrices, tles que el número de columns de l primer coincid con el número de fils de l segund, el producto de ls mtrices: A mxn n n = A= m1 m2 mn b11 b12 b1 p b21 b22 b 2 p y Bnxp = B= bn1 bn2 b np Se define: 11b b nbn1 11b b nbn2 11b1p + 12b2p + + 1nbnp 21b b nbn1 21b b nbn2 21b1 p + 22b2p + + 2nb np A B= m1b11+ m2b21+ + mnbn1m1b12+ m2b mnbn2 m1b1p + m 2b2p + + mnbnp Que se puede resumir de l siguiente form: Si c ij es el elemento de l fil i y de l column j de l mtriz C = A B, c ij es el producto esclr del vector de l fil i de l mtriz A por el vector de l column j de l mtriz B.

10 CÁLCULO MATRICIAL 11 EJEMPLO 14 Sen ls mtrices: 3 2 A= B= 1 7 c 11, es el producto esclr del vector de l prime fil de A por el vector de l primer column de B, o se: c 11 = = 20 EJEMPLO 14b Sen ls mtrices 3 2 A= B= C = A B= = 46 + ( 1) ( 1) Propieddes De l propi definición del producto se puede concluir que no es conmuttivo. En el ejemplo nterior ni siquier se puede clculr el producto B A Asocitividd: (AB)C = A(BC) Distributividd: Por l derech: (A + B)C = A C + B C Por l izquierd: C(A + B) = C A + C B 1.3. TRANSPOSICIÓN DE MATRICES Si en un mtriz A se cmbin ls fils por ls columns (y vicevers) se obtiene otr mtriz que se llm mtriz trnspuest de l dd y se suele representr A T o, simplemente A.

11 12 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJEMPLO 15 A= A T ; = Son evidentes ls propieddes: ) SiA es de dimensiones m n, ls dimensiones de A T son n m. b) L trnspuest de l trnspuest de un mtriz A, es l mism mtriz, o se: (A T ) T = A c) L trnspuest de un sum de mtrices es l sum de ls trnspuests: (A + B) T = A T + B T d) Algo menos evidente es l propiedd reltiv l trnspuest de un producto: (A B) T = B T A T Esto es, l trnspuest del producto de dos mtrices es el producto de ls trnspuests, pero en orden inverso. Se comprueb dich propiedd, observndo los desrrollos de AB ydeb T A T. EJEMPLO 15b Si 3 4 A = su trnspuest será A T = DETERMINANTES Definición Dd l mtriz cudrd de orden n n n A = n1 n2 nn

12 CÁLCULO MATRICIAL 13 Se llm determinnte de A l sum de todos los productos de n fctores que se pueden formr entrndo un elemento de cd fil y uno de cd column, de tl form que, ordendos los fctores de cd producto según los subíndices de fil, cd término irá precedido por el signo + o, según que l permutción de los subíndices de column se pr o impr (vénse permutciones). El determinnte se represent escribiendo l mtriz entre brrs: A = L n L n L L L L L n1 n2 nn Como con los n subíndices de column se pueden formr n! permutciones, éste será el número de términos del determinnte; como l mitd de ls permutciones son de clse n! n! pr, hbrá términos con el signo + y con el signo. 2 2 A prtir de l definición se v obtener el desrrollo de los determinntes de segundo y tercer orden. A) Determinntes de segundo orden Con los subíndices de columns (1 y 2) sólo se pueden formr dos permutciones: 1 y 2 y 2 y 1 L primer de clse pr (no tiene ningun inversión) llevrá el signo + y l segund de clse impr (tiene un inversión), el signo. Por tnto, como los términos que se pueden formr son 2! = 2, éstos serán: El primero con signo + y el segundo con. Luego, y = O se, el desrrollo de un determinnte de segundo orden es el producto de los elementos de l digonl principl menos el producto de los elementos de l digonl secundri.

13 14 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJEMPLO = = 14 15= 1 Obsérvese que si hy elementos negtivos en l mtriz cuyo determinnte se clcul puede hber lterciones en los signos: 4 2 = 42 ( 2 ) 3 = = Inclusive, el número de términos de un determinnte de orden n puede ser inferior n! si existe lgún elemento 0 en l mtriz. B) Determinntes de tercer orden Con los subíndices de column (1,2y3)sepueden formr 3! = 6 permutciones: y 321 Cuyo número respectivo de inversiones es: Luego, = Pr recordr este desrrollo, es útil el esquem conocido como regl de Srrus:vienen con signo + los productos de los elementos, recogidos con un punto negro

14 CÁLCULO MATRICIAL 15 Y con signo EJEMPLO = = = = 123 = EJEMPLO = 45 ( 5) + ( 3) ( 1) 2+ ( 2) ( 4) ( 3) ( 2) ( 5) ( 1) ( 4) 4= = = 82 EJEMPLO = ( 1) 4+ 0 ( 2) ( 3) ( 3) ( 1) ( 2) 2= = 60 4 = 56 Propieddes de los determinntes ) El vlor de un determinnte no vrí si se cmbin ls fils por ls columns. En efecto, el desrrollo se obtendrá de mner nálog, ordenndo los fctores de cd término según los subíndices de column y teniendo en cuent ls inversiones de los subíndices de fil, llegándose l mismo resultdo.

15 16 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES b) Si se cmbin entre sí dos línes (fils o columns) prlels, el determinnte no vrí, en vlor bsoluto, pero cmbi de signo. c) Si en un determinnte dos línes prlels son igules, el determinnte es nulo. En efecto: Se A un determinnte con dos línes prlels igules. Si se intercmbin ésts entre sí, el determinnte cmbirá de signo, pero, tmbién por ser igules, dichs línes quedrá el mismo determinnte; luego: A = A A = 0 d) Si se multiplicn (o se dividen) todos los elementos de un líne, de un determinnte por un número λ, el vlor del determinnte qued multiplicdo (dividido) por dicho número. En efecto, como en cd término del desrrollo del determinnte entr un elemento de cd líne, l multiplicr todos los elementos de un líne por λ, quedn multiplicdos por λ todos los términos, o se qued el vlor del determinnte multiplicdo por λ. e) Si dos línes prlels de un determinnte son proporcionles, el determinnte es nulo. En efecto seprndo el fctor de proporcionlidd, resultrá un determinnte con dos línes prlels igules, que es nulo. EJEMPLO 20 Se Se observ que l prime y tercer fil son proporcionles, y que Luego, = = = = ( 2) = 20 = 0 y que se trt de un determinnte con dos línes prlels (fils primer y tercer) igules. f ) Si un líne se obtiene como combinción linel de los elementos de otrs línes, el determinnte es nulo.

16 CÁLCULO MATRICIAL DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA L plicción de l definición pr desrrollr determinntes de órdenes superiores, result muy lborios; por este motivo se hn elbordo otros métodos pr obtener estos desrrollos. Dd l mtriz cudrd A de orden n se llm: 1. Mtriz complementri del elemento ij y se design por M ij l mtriz de orden n 1 que se obtiene l suprimir l fil i y l column j de A. 2. Menor complementrio del elemento ij y se design por α ij l determinnte de l mtriz complementri M ij, es decir α ij = M ij. 3. Adjunto del elemento ij y se design por A ij l producto del menor complementrio α ij por ( 1) i+j, es decir A ij = ( 1) i+j α ij. EJEMPLO 21 En A = el menor complementrio del elemento 32 es α 32 = Teorem. El vlor de un determinnte es igul l sum de los elementos de un líne culquier, multiplicdos por sus djuntos respectivos. Se por ejemplo, l fil i-ésim. En cd término de A existe un elemento de dich fil y sólo uno. Todos los términos del desrrollo de A que contienen l término i1 formn i1 A i1 ; los que contienen i2 constituyen i2 A i2 y sí sucesivmente. Luego, A = A + A + A i1 i1 i2 i2 in in

17 18 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJEMPLO 22 Desrrollr el determinnte A = por los elementos de l segund fil. Los djuntos de los elementos de l segund fil son, respectivmente: A = ( 1) 4 5 6, A = ( 1) A = ( 1) 2 4 6, A = ( 1) Luego el desrrollo será A = A + A + A + A = = 2 ( 1) ( 3) ( 1) = 2 ( ) 3 ( ) 4( ) + 5 ( ) = = = 0 = Consecuenci del teorem nterior es: L sum de los elementos de un líne, multiplicdos por los djuntos de un prlel ell es cero. Se por ejemplo ls fils i y k A + A + L+ A i1 k1 i2 k2 in kn L propiedd es fácil de comprobr, pues el desrrollo nterior es el de un determinnte con dos fils igules.

18 CÁLCULO MATRICIAL 19 Si en el determinnte A = se clcul l sum de los elementos de l segund fil por los djuntos de l fil curt (por ejemplo) = A + A + A + A = = = = puesto que, l segund y l curt fil son igules PRODUCTO DE DETERMINANTES Sen dos determinntes: A = n n n1 n2 nn y B = b b b n b b b n b b b n1 n2 nn Se puede demostrr que el producto de dos determinntes dopt l mism form que el producto de mtrices A B = c c c n c c c n c c c n1 n2 nn

19 20 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES donde c ij es el producto de l fil i de A por l column j de B, o se, c n = b ij ik kj k= 1 Est propiedd permite estblecer el vlor del determinnte del producto de dos mtrices A y B de dimensiones n n: A B = A B El determinnte del producto de dos mtrices cudrds del mismo orden es igul l producto de sus determinntes SUMA DE DETERMINANTES Dos determinntes del mismo orden son sumbles si tienen igules respectivmente tods ls fils menos un o tods ls columns menos un. Sen los determinntes X n = x1 x2 xn Desrrollndo mbos por los elementos de l líne desigul y sumndo, teniendo en cuent que los djuntos de x 1, x 2,, son los mismos que los de y 1, y 2,, result X + Y = ( x1x1+ x2x2 + + xnxn) + ( y1x1+ y2x2 + + ynxn) = = ( x + y ) X + ( x + y ) X + + ( x + y ) X = = n1 n2 nn nn x1+ y1 x2 + y2 xn + y n1 n2 nn e n n n que expres: pr sumr dos determinntes que tienen igules tods ls línes menos un, se form un determinnte que tiene ls línes igules de mbos y en el lugr de l líne desigul, l sum de ls línes desigules. Y n n = y1 y2 yn n1 n2 nn

20 CÁLCULO MATRICIAL 21 EJEMPLO 23 Sen los determinntes y que tienen igules, respectivmente, l primer y tercer fil. Entonces, = ( 2) = Como consecuenci de este teorem, resultn ls siguientes propieddes: ) En un determinnte culquier se puede sumr los elementos de un líne, otr u otrs prlels multiplicds por números culesquier, sin que ltere el vlor del determinnte. En efecto, equivle sumr l determinnte ddo otro u otros nulos, por tener línes prlels proporcionles. Si en el determinnte summos l primer fil l segund multiplicd por λ y l tercer por μ, result el determinnte: B = A = λ + μ + λ μ + λ + μ pero el determinnte nterior se puede obtener por sum de los tres determinntes: λ λ λ μ μ μ = A = A luego A = B como se querí comprobr.

21 22 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 1.8. RANGO DE UNA MATRIZ Si en un mtriz hy lgún menor no nulo de orden h y son nulos todos los menores de orden h + 1, el número h se llm rngo o crcterístic de dich mtriz. Como consecuenci de est definición y de ls propieddes nteriores result: ) Sih es el rngo de un mtriz y M un menor no nulo de orden h, tods ls restntes fils y columns de l mtriz dd son combinción linel, respectivmente, de ls fils y columns que formn el menor M. b) En todo determinnte nulo existen, por lo menos, un fil o un column que son combinción linel de ls restntes. EJEMPLO 24 ) En l mtriz el menor formndo por elementos de l primer y segund fils y primer y tercer columns, es de segundo orden y no nulo. Culquier menor de tercer orden que se obteng de l mtriz dd es nulo, como se puede comprobr = = Por tnto, l segund column y ls fils tercer y curt son combinciones lineles de ls línes que formn el menor.

22 CÁLCULO MATRICIAL 23 b) El determinnte es nulo, como se puede comprobr. Por tnto, en él existen l menos un fil y un column que son combinción linel de ls restntes. Obsérvese que l tercer fil es igul l doble de l segund menos l primer y l primer column es sum de l tercer y curt. Teorem. (Crcterizción del rngo medinte determinntes). El rngo de un mtriz A es igul l orden del myor menor complementrio no nulo. Demostrción. Por el rzonmiento preliminr hemos probdo y que si un mtriz tiene rngo r todos los menores de orden r + 1 o myor son nulos, luego el myor menor no nulo tendrá orden menor o igul que r. Recíprocmente, se s el orden del myor menor no nulo, es decir existe un menor complementrio de orden s distinto de cero y todos los menores de orden myor que s son igules cero, entonces por l segund prte del rzonmiento previo sbemos que tods ls fils restntes son combinción linel de ls s que constituyen el menor no nulo, luego el rngo de l mtriz es menor o igul que el orden del myor menor no nulo. En resumen, mbos coinciden como querímos probr. Es el orden del myor determinnte no nulo que se puede formr con los elementos de un mtriz. EJEMPLO c) Dd l mtriz A = podemos firmr que Su rngo es como máximo 3 y que es un mtriz 3x3. Su rngo es menor que 3 y que l 1. yl3. fil son proporcionles, y por tnto el único determinnte de orden 3 es nulo. 1 2 Como existe un determinnte de orden dos formdo prtir de ls fils y ls 4 5 columns de A y que es no nulo, podemos firmr que el rngo de A es dos (rga =2).

23 24 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 1.9. OBTENCIÓN DEL RANGO DE UNA MATRIZ Como consecuenci de plicr el Teorem nterior, pr hllr el rngo de un mtriz conviene por tnto seguir los sucesivos psos siguientes: 1. Si «simple vist» se observ que un líne culquier es combinción linel de otrs prlels, se suprime; lo cul, no lter el rngo, pues todos los menores en que entrr dich líne serín nulos. 2. Se form un menor de segundo orden no nulo; entonces, el rngo será por lo menos dos. 3. Se orl el referido menor de segundo orden, sucesivmente, con ls fils y columns restntes. Si todos los orldos fuern cero, l no encontrr un determinnte de tercer orden no nulo el rngo serí 2ysecb el proceso. Si lgún orldo fuer distinto de cero, l existir un menor de tercer orden no nulo, el rngo será igul o myor que Se procede similrmente. El menor no nulo de tercer orden, se orl con ls fils y columns disponibles. Si todos los orldos fuern cero, el rngo serí 3, l no existir menores de curto orden no nulos, cbándose el proceso. Si lgún menor de curto orden fuer distinto de cero, el rngo será igul o myor que Se sigue el proceso hst que se goten ls fils o ls columns. EJEMPLO 25 Hllr el rngo de l mtriz A = Se observ que l tercer fil se puede obtener como sum de ls dos primers; luego se puede suprimir sin que ltere el rngo de l mtriz. En l mtriz:

24 CÁLCULO MATRICIAL 25 se tiene que luego el r(a) l menos es 2. Orlndo el referido menor de tods ls forms posibles, se tiene: , 1 2 2, Como todos los determinntes sí formdos son nulos, el rngo no puede ser 3, luego r(a)=2. EJEMPLO 26 Hllr el rngo de A = El menor 0 indic que r(a) Formndo todos los menores de tercer orden que se pueden obtener orlndo se tiene , 4 3 2, El primero de ellos es cero, pero no sí el segundo (ni el tercero); por existir un menor de tercer orden distinto de cero, se puede concluir que r(a) 3. Pero como no existen más columns: r(a)=3

25 26 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES Trnsformciones que conservn el rngo de un mtriz 1. Multiplicr todos los elementos de un fil o un column por un número distinto de cero. Por ejemplo, = (donde hemos multiplicdo l primer fil por 1/2) Sumr un fil (column) un combinción linel de ls restntes fils (columns). Por ejemplo, = (donde hemos restdo l primer column l sum de l segund y tercer). 3. Suprimir un fil (column) cuyos elementos sen todos igules cero. Por ejemplo, = = Suprimir un fil (column) que se combinción linel de otrs. Por ejemplo, = (puesto que l primer fil es igul menos l sum de l segund y tercer) 5. Intercmbir dos fils o dos columns. Por ejemplo, = = MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ DADA Dd un mtriz A regulr (cudrd y con determinnte no nulo), se llm mtriz invers y se represent por A 1 un mtriz que verifique A A 1 = A 1 A = I. Pr clculrl necesitmos el concepto de djunto visto en el prtdo 1.5.

26 CÁLCULO MATRICIAL 27 Dd l mtriz cudrd A, de dimensión m m, es decir: cd elemento ij llev socido un djunto que denotmos por A ij = ( 1) i+j α ij. Al sustituir los elementos de l mtriz A por sus djuntos se obtiene l mtriz djunt de A que viene dd por: L mtriz invers de un mtriz dd A se obtiene como: A Adj( A) A T = ( ) 1 = m m A = m1 m2 mm A11 A12 A1m A21 A22 A 2m Adj( A)= A A A m1 m2 mm T A11 A12 A1n A A A A21 A22 A2 n A A A = Am1 Am2 A mn A A A A11 A21 Am1 A A A A12 A22 Am2 A A A A1m A2m A mm A A A EJEMPLO 27 ) Hllr l mtriz invers de En primer lugr se comprueb si A =0. En este cso luego A dmite mtriz invers A = A = = 3 0

27 28 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES Obteniendo los djuntos de cd elemento, A11 =+ = 4 A12 = = 1 A1 3 = = A 21 = = 9 A22 =+ = 3 A23 = = A31 =+ = 2 A3 2 = = 2 A33 =+ = y los vlores de los djuntos de cd fil divididos por A = 3 serán ls columns de A 1 : 4 3 A 1 = = que es l mtriz pedid. Método de Guss-Jordn pr obtener l invers de A Este método permite obtener l invers de A medinte trnsformciones elementles de A, es decir, operciones entre ls fils de A. Ests se llevn cbo de l siguiente form: 1. Escribimos l mtriz A seguid de l mtriz identidd. (A I) 2. Opermos ls fils de A I hst conseguir trnsformr A en I. 3. L mtriz I, se h trnsformdo en A 1. ( AI ) ( IA ) 1

28 CÁLCULO MATRICIAL 29 EJEMPLO 27 En él ls trnsformciones elementles que secuencilmente se hcen son: b) Se A = 1 2. Vmos obtener su invers 3 4 ( AI ) = F : F F = F 2 3F F = F 2 F 1 = F 1 + F 2 F1+ F2 F2 :( 2) (-2) 0 1 3/ 2 1/ A 1 = EJEMPLO c) Hllr l mtriz invers de A = por el método de Guss / 3 4/3 1/ F 1 = F 1 / F 2 = F 2 F / 3 4/ 3 1/ / 3 4/ 3 1/ / 3 2/ 3 1/ F 2 = F 2 x F F = F / 3 4/ 3 1/ / 3 4/ 3 1/ F 3 = F 3 / / 3 1 1/ 3 4 En él ls trnsformciones elementles que secuencilmente se hcen son: F 1 = F1 F / 3 0 7/ 9 4/3 4/ 9 F2 2 F F = F 2 = / / / 3 1 1/ 3 5 F1 2 3 F I 4/ 3 3 2/ 3 1/ 3 1 2/ 3 1/ 3 1 1/ 3 A 1

29 30 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 4 3 A 1 = Propieddes: ) A A 1 = A 1 A = I. donde I es l mtriz unidd del mismo orden de A. Bste efectur el producto pr comprobr l propiedd. EJEMPLO Clculr l mtriz A A 1 siendo l mtriz A = Primero se clcul det (A) = 42 0, por lo que tendrá invers y l invers será: A = = Ahor se reliz l operción pedid A A A A 1 = = b) L mtriz invers del producto de dos mtrices cudrds regulres y equidimensionles es igul l producto de ls inverss, pero en orden contrrio: En efecto, premultiplicndo (o postmultiplicndo) por AB ( A B) ( A B) = ( A B) ( B A ) = A ( B B ) A = A I A = A A = I donde I es l mtriz unidd ( A B) = B A

30 CÁLCULO MATRICIAL 31 c) L invers de l trnspuest es igul l trnspuest de l invers como es inmedito comprobr. T 1 1 T ( A ) = ( A ) EJEMPLO 29 Se l mtriz A (del ejemplo 28) A = Su invers, clculd nteriormente, es 1 14 A 1 = y su trnspuest A T = dmite por invers ( A T ) 1 = que coincide con l trnspuest de A 1.

31 32 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES d) Como A A 1 = I, setiene o se 1 1 A A = A A = I 1 1 A A = 1, A = 1 A

32 CÁLCULO MATRICIAL 33 RESUMEN Mtriz Es un conjunto de m n elementos (generlmente pertenecientes un cuerpo K)dispuestos en m fils y n columns n n A = m1 m2 mn A= ( ) ij es el elemento de l fil i y de l column j. L mtriz es de dimensiones m n. ij m n Si m n, lmtriz es rectngulr. Sim = n es un mtriz cudrd de orden n. Si en un mtriz cudrd ij = ji l mtriz es simétric. Mtriz digonl Mtriz esclr Mtriz unidd nn = I Sum Si A =( ij ) m n y B =(b ij ) m n A + B =(ij + bij )m n Producto por un esclr Si A =( ij ) m n y λ K, λa =(λ ij ) m n

33 34 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES Producto de dos mtrices A = ( ) n B = ( bij ) n p C = A B do C = ( c ij ) m p ij m c = + b + b + + b + + b ij i1 1j i2 2j ik kj in nj 11 1k 1n b11 b1 j b1 p c11 c1 j c1 p i1 ik in bk1 bkj bk p = c i1 cij c ip m1 mk mn bn1 bnj b np cm1 cmj c mp L trnspuest De A = ( ij ) m n es A T = ( ji ) n m obtenid cmbindo ls fils por ls columns. Se cumplen (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (AB) T = B T A T Si AA t = I se dice que A es ortogonl. Determinnte de segundo orden = con con + Determinnte de tercer orden =

34 CÁLCULO MATRICIAL 35 Con + Con Propieddes Si se cmbin en un determinnte entre sí dos línes prlels (dos fils o dos columns), el determinnte cmbi de signo pero no de vlor bsoluto. Si se multiplicn por un número todos los elementos de un líne, el determinnte qued multiplicdo por dicho número. Si los elementos de dos línes prlels son igules o proporcionles, el determinnte es cero. El vlor de un determinnte no se lter si un líne se le sumn otr u otrs prlels multiplicds por números culesquier. A T = A donde A T es l mtriz trnspuest de A. En generl A B = AB pero A + B A + B. Menor complementrio de un elemento ij de l mtriz cudrd A, es el determinnte que result de suprimir en A l fil i y l column j, se represent por α ij. Adjunto de ij es el menor complementrio de ij con el signo + o según que i + j se pr o impr; se represent por A ij. Por tnto A ij = ( 1) i+j α ij. Desrrollo de un determinnte El vlor de un determinnte es igul l sum de los elementos de un líne multiplicdos por sus djuntos respectivos. Mtriz djunt de un mtriz Dd l mtriz n n A = n1 n2 nn

35 36 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES l mtriz djunt es A11 A12 L A1n A21 A22 L A 2n Adj A = LLLLLLLL A A L A n1 n2 n n donde el djunto del elemento ij seescribeenlfilj y column i. Mtriz invers de un mtriz cudrd Dd l mtriz A con A 0, l mtriz invers es A = 1 1 ( A Adj A ) T Rngo o crcterístic de un mtriz Es el orden del myor determinnte no nulo que se puede extrer de l mtriz. Represent el myor número de vectores column (fil) linelmente independientes contenidos en l mtriz.

36 CÁLCULO MATRICIAL 37 ACTIVIDADES PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Dds ls mtrices A= ; B= ; C = efectur ls operciones siguientes, que sen posibles: ) A + B b) A + C c) A B d) C B 2 Desrrollr los determinntes ) b) c) Hllr l invers de l siguiente mtriz usndo el método de l djunt y el de Guss A =

37 38 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES Dds ls mtrices hllr sus mtrices djunts. Hllr, si es posible, ls mtrices inverss de ls del ejercicio nterior usndo ls djunts. Idem usndo el método Guss-Jordn. Dds ls mtrices A y B, hllr un mtriz X, tl que AX = B. Cuál es l condición pr que el problem se posible? Clculr Δ n Sugerenci: descompóngse en sum de dos determinntes, tles que el primero teng su primer column de unos. Hllr el rngo de l mtriz A= B y = x x2 1 1 = x x A = Sbiendo que 144, 120 y 108 son múltiplos de 12, probr que el determinnte n es 12, sin desrrollo. Sugerenci: multiplicr por 100 l primer column, por 10 l segund y sumr l tercer.

38 CÁLCULO MATRICIAL Dds ls mtrices 5 A = 7, B = (2, 4, 6) y C = (3, 0, 3) 9 Efectur ls operciones siguientes si es posible, y en cso que no lo se explicr por qué? i) A B + C ii) B A iii) C B iv) A C t 12 Dd l mtriz A = 2 4 b c 3 Estblecer los vlores de, b y c de form que A se simétric. 13 Dd l mtriz A = b 4 c d e Estblecer los vlores de, b, c, d y e de form que A se hemisimétric 14 Dd ls mtrices A = y B = b c 5 Estblecer los vlores de, b y c de form que l mtriz C = A + B se tringulr superior. 15 Dd l mtriz A = Hllr l mtriz B, de form que A + B = I.

39 40 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 16 Dd ls mtrices A = y B = Probr que A B B A 17 Dd ls mtrices A = y B = Probr que A B = B A Por qué se cumple en este cso? 18 Dd l mtriz A = i) Hll el determinnte de A ii) Hll l trnspuest de A iii) Hll l djunt de A iv) Hll l invers de A 19 Hllr el rngo de l mtriz A = Deducir que el rngo de l mtriz A = Es 2 sin desrrollr los determinntes.

40 CÁLCULO MATRICIAL 41 SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ) b) No es posible c) A B = d) ) 22 b) 0 c) A 1 1 = Adj A = T Adj B = = ; = A = ; B = Ls misms del ejercicio nterior. 7. Es posible si A 0;X = A 1 B.

41 42 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 8. Δ n = x x x 3 n + x x x x n L solución consistirí en tods ls sums de todos los productos que se pueden formr con n 1 términos que no son 1, más el sumndo con el producto de los n términos x 1 x 2 x 3 x n x n. 9. El rngo es En efecto Δ= = = 12 ; múltiplo de i) No es posible. A es de dimensión 3 x 1, B es de dimensión 1 x 3, lo cul nos drí un mtriz de 3 x 3, pero como C es de dimensión 1 x 3, no puede sumrse l nterior. ii) El resultdo es 92 iii) No es posible. C es de dimensión 1 x 3 y B igul, luego no pueden multiplicrse. iv) No es posible. A es de dimensión 3 x 1 y C t es de dimensión 3 x 1, luego no pueden multiplicrse. 12. Pr que l mtriz se simétric todos los ij = ji, luego = 3, b = 5 y c= 4, siendo por tnto A = Pr que l mtriz se hemisimétric todos los ij = ji, y los elementos de l digonl son 0, luego = 2, b = 0, c = 3, d = 4, y e= 0, siendo por tnto A =

42 CÁLCULO MATRICIAL Pr que l mtriz C se tringulr superior, todos los elementos por debjo de l digonl hn de ser 0. Luego tenemos que: + 0 = 0 = b = 0 b = c = 0 c = 0 Y por tnto C = A + B = = B = A I= = C = A B = = B A En generl no se d l propiedd conmuttiv pr el producto de mtrices. 17. A B = = = B A En este cso l iguldd se d, porque B = 2A, y entonces tenemos: 18. i) det(a) = 4 A B = A 2A = 2 A A = B A ii) A t = iii) Adj A = iv) A 1 =

43 44 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 19. Podemos ver que l fil curt es l resultnte de restr l primer fil l tercer, por tnto l eliminmos. Ahor comprobmos que l curt column es l sum de l primer y l segund columns, luego l eliminmos. Con l mtriz A = resultnte comprobmos que el determinnte de orden 3, tiene vlor 0, y culquier de los de orden 2 tienen vlor distinto de 0, luego el rngo de l mtriz A es L tercer fil es l resultnte de restr l segund l primer, luego podemos eliminrl. L curt fil es dos veces l primer, luego podemos eliminrl. Por tnto nos quedn solo dos fils, el rngo es 2. Tmbién podemos ver que l curt column es l sum de ls dos primers.

44 CÁLCULO MATRICIAL 45 PALABRAS CLAVE Adjunto. Crcterístic. Desrrollo de un determinnte por los elementos de un líne. Determinntes. Determinntes de segundo orden. Determinntes de tercer orden. Digonl principl de un mtriz. Digonl secundri de un mtriz. Dimensiones (de un mtriz). El espcio vectoril de l mtriz mxn. Esclr (mtriz). Espcio vectoril de ls mtrices mxn. Mtrices ortogonles. Mtriz. Mtriz cero. Mtriz cudrd. Mtriz digonl. Mtriz esclr. Mtriz hemisimétric. Mtriz invers. Mtriz rectngulr. Mtriz simétric. Mtriz trnspuest. Mtriz tringulr. Mtriz unidd. Menor complementrio. Orden de un determinnte. Producto de determinntes. Producto de dos mtrices. Producto de un esclr por un mtriz. Propieddes de los determinntes. Rngo o crcterístic de un mtriz. Sum de determinntes. Sum de mtrices. Trnsposición de mtrices. Vector column. Vector fil.