51 EJERCICIOS DE VECTORES

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1 51 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coorens e los vectores fijos e l figur junt: c b j e i f. ) Dibujr os vectores e origen común, igul móulo, y que formen un ángulo e 135º. Expresrlos nlíticmente. b) Dibujr os vectores que tengn el origen común y los sentios opuestos. Expresrlos nlíticmente. Qué ángulo formn ichos vectores? 3. Do el prlelogrmo e l figur: B D O A ) Inicr, nlític y gráficmente, un vector equipolente con OA; íem con b) Inicr, nlític y gráficmente, un vector opuesto OA; íem con AD Ejercicios libro: 1 y pág. 18; 6 pág. 06 (vectores equipolentes) AD Operciones con vectores: 4. Dos los vectores libres nlíticmente (en función e l bse ortonorml e V ): ) + b b) b y b e l figur, clculr gráfic c prto en ejes istintos y b

2 c) 3 + ) 3 b e) 3 b Ejercicio libro: 8 pág ) Determinr, nlíticmente, si los puntos A(3,1), B(5,) y C(1,0) están lineos. b) Íem pr A(1,1), B(3,4) y C(4,6) (Not: un ibujo puee ser útil) c) Hllr k pr que los puntos A(1,7), B(-3,4) y C(k,5) estén lineos. (Soluc: SÍ; NO; k=-5/3) Ejercicios libro: 3 y 4 pág. 18 (operciones con vectores gráficmente) 10 pág. 183 (coorens en un bse ortonorml) 6. Consierr el segmento e extremos A(-,1) y B(5,4). Hllr: ) El punto meio M [Sol: M(3/,5/)] b) Los os puntos P y Q que lo ivien en tres prtes igules. [Soluc: P(1/3,) y Q(8/3,3)] 7. Hllr ls coorens el punto P que ivie l segmento e extremos A(3,4) y B(0,-) en os prtes tles que BP = PA [Soluc: P(,)] Ejercicios libro: 50 y 51 pág ) De los vectores y b conocemos =, b = 5 y el ángulo que formn, α=60º. Hllr + b y b (Soluc: 39 y 19, respectivmente ) b) De los vectores y b conocemos + b = 5, b = 19 y b = 30º. Hllr (Soluc: ) 9. Dos fuerzs F1 y F e intensies 0 N y 30 N ctún sobre el mismo cuerpo y formn entre ells un ángulo e 60º. Hcer un ibujo. Cuántos N tiene l resultnte R? (Soluc: 43,6 N) Combinción linel e vectores: 10. Dos los vectores u = (3, 4) y v = (,3), se pie: ) Rzonr que pueen ser bse e V. b) Obtener nlíticmente ls coorens e w = ( 1,1) en l bse nterior. c) Explicr gráficmente l situción. 11. Expresr los vectores y b e l figur como combinción linel e x e y : x b y 3 Soluc : = x y ; 1 13 b = x y 5 10

3 1. Expresr = (9,5 ) y b = ( 5,7 ) como combinción linel e x = (1,3 ) e y = (3, ), nlític y = 3 x + y ; b = x y gráficmente. (Soluc: ) 13. Dos los vectores libres e l figur: b c ) Rzonr que, b constituye un bse e V. b) Obtener c como combinción linel e y b c) Comprobr gráficmente l combinción linel nterior. 1 Soluc : c = b Ejercicios libro: 5 pág. 18 (operciones con vectores nlíticmente) 16 pág. 183 (bse e V ) 1, 13 y 14 pág. 183 (combinción linel nlíticmente) 9 pág. 18; 34 pág. 184 (coorens en un bse no ortonorml, gráfic y nlíticmente) 11 y 15 pág. 183 (coorens en un bse no ortonorml, nlíticmente) 14. Definir bse e V, combinción linel y coorens e un vector referis un bse. Explicr estos conceptos meinte l bse form por, y el vector, nlític y gráficmente. u = (,1); v = ( 1,3) w = (4,9 ) w = 3 u + v (Soluc: ) 15. u y ) Los vectores x e y e l figur pueen ser bse e V? Rzonr l respuest. b) Expresr u como combinción linel e x e y u = 3 x y (Sol: ) x c) Comprobr gráficmente lo nterior. Móulo e un vector: 16. ) Clculr el móulo e los siguientes vectores, y ibujrlos (los siete primeros en los mismos ejes): 3 1 (4, 3), b (3, 4), c (1,1), (5,5), e ( 4, 3), f (6, 0), u (0, 3) y v, = = = = = = = = b) Clculr el vlor e m pr que el vector = 1 u,m se unitrio. Rzonr gráficmente por qué se 3 obtienen os soluciones. (Soluc: m = ± ) c) Íem pr v =,m (Soluc: m = ± ) Ejercicios libro: 1 y pág. 183

4 17. ) Do u = (4, 7), hllr los os vectores unitrios que tienen l irección e u. Rzonr gráficmente l situción. b) Íem pr u = (, ) 18. ) Pr c uno e los siguientes vectores, obtener uno unitrio y con l mism irección: = (3, 4) b = (1,1) c = (1,5) = (6, 3) b) Hllr el vector v e móulo 5 que se prlelo l = (36, 7) 19. Dibujr los siguientes pres e puntos y hllr su istnci: ) P(1,) y Q(5,-1) b) P(6,3) y Q(-,-3) c) P(,1) y Q(,5) ) A(-1,3) y B(5,3) e) A(5,3) y el origen f) P(1,5) y Q(5,) (Soluc: ) 5; b) 10; c) 4; ) 6; e) 34 ; f) 5) Ejercicios libro: 35, 36 y 37 pág. 08 (istnci entre os puntos) Proucto esclr. Ángulo e os vectores: 0. ) Dos u = (5,0) y v = (,) se pie: i) Dibujrlos ii) Clculr su proucto esclr e os forms posibles, y comprobr que coincie el resulto. b) Íem con u = (1,1) y v = (,0) c) Íem con u = (,1) y v = (,4) Ejercicios libro: 18 y 19 pág Dos = ( 3,1), b = (,3), c = (1,0) y = (5,, ) clculr: ) b b b) c) c b ) e) b f)c g) h) c i) c j) + b eosforms k) b l) b m) c n) + b e osforms eos forms o) + b b e os forms Ejercicio libro: 0 pág. 183 (Sol: ) -3; b) -3; c) -17; ) ; e) 4; f) 5; g) 10; h) 10; i) -3; j) -13; k) (-1,4); l) (-34, -51); m) 14; n) 17; o) -3). Inicr, rzonmente, si el resulto e ls siguientes operciones es un esclr o un vector: ) b c b) b+ c c) b c (Soluc: esclr, en los tres csos) 3. Un triángulo ABC es tl que AB = 5, BC = 7 y B = 10º. Clculr BA BC y su superficie Soluc : ; u 4

5 4. Se un triángulo equilátero ABC e lo 6. Hllr: ) AB AC b) CA CB c) BA CB ) AB CB e) AC BA f) AA AC 5. (Aviso: Pr consierr el proucto esclr gráficmente, previmente los os vectores hn e tener origen común, pr lo cul en ciertos csos hbrá que trslr uno e ellos). (Soluc: ) 18; b) 18; c) -18; ) 18; e) -18; f) 0) En el prlelogrmo e l figur, hllr (Soluc: 5 3; 16,34) Ejercicio libro: 17 pág. 183 AB AD y AB AC A D 5 150º B C * 6. Hllr x e moo que el proucto esclr e los vectores = (3,-5) y b = (x,) se igul 8 (Soluc: x=6) 7. Hllr ls componentes e un vector u cuyo móulo es 17 y que es ortogonl l vector v = (4,1). Soluc : u, 8 y u,8 ) Hcer un ibujo explictivo e l situción. ( 1 = ( ) = ( ) 8. Hllr ls componentes e un vector cuyo proucto esclr por sí mismo es 0 y cuyo proucto esclr por el vector (3,) es. (Soluc: (38/13,-44/13) y (-,4)) Ejercicios libro: 3, 5, 6, 7, 8, 9, 30, 31, 3 y 33 págs. 183 y Resolver el problem 8 nlíticmente, y comprobr que se obtiene el mismo resulto. 30. Clculr el ángulo formo por los siguientes pres e vectores, y ibujrlos: ) u = (,1) y v = (1,3) (Soluc: 45º) e) u = (-5,1) y v = (8,-6) b) u = ( 3,1) y v = (1, 3 ) (Soluc: 30º) f) u = (,1) y v = (-9,3) c) u = (3, 6 ) y v = (-3, 6 ) (Soluc:10º) g) u = (4,3) y v = (1,7) ) u = (4,1) y v = (-,8) (Soluc: 90º) Ejercicio libro: 4 pág. 183 (Sol: 149º 9 ) (Soluc: 135º) (Soluc: 45º) 31. Dos los vectores u = (3,-4) y v = (5,6), clculr: ) El ángulo que formn. (Soluc: 103º19 ) b) Un vector en l irección y sentio e que se unitrio. (Soluc: (3/5,-4/5)) c) Un vector en l irección y sentio e u e móulo 15. (Soluc: (9,-1)) u ) Son u y v ortogonles? En cso contrrio, buscr un vector culquier ortogonl u 3. Qué ángulo formn los vectores unitrios ) b = 1 b) 3 b = c) (Soluc: ) 0º; b) 30º; c) 10º; ) 45º) y b en los siguientes csos?: 1 b = ) b = 33. Comprobr que los vectores u = (8,15) y v = (30, 16) constituyen un bse ortogonl. Comprobr que los vectores u / u y v / v formn un bse ortonorml.

6 Problems con prámetros: NOTA: En los ejercicios se recomien hcer un ibujo previo e l situción 34. Clculr x e y en = (-x,4), b = (-1,5) y c = (3,y), si se sbe que b y c b. Comprobr el resulto gráficmente. (Soluc: x=-0; y=3/5) 35. Obtener tres vectores culesquier perpeniculres (-1,-3), sieno l menos uno e ellos unitrio. Explicr gráficmente el resulto Hllr el vlor e m pr que u =,m y v =,1 sen ortogonles. Interpretr el resulto gráficmente. (Soluc: 4 ) 37. Dos x = (, 3) e y = (,4), clculr pr que: ) x // y b) x y (Sol: ) =-8/3; b) =6) 38. Hllr un vector v que teng móulo 3 y que forme un ángulo e 90º con = (3,4) (Aviso: puee hber v 1 = 1 / 5, 9 / 5 y v = v 1 ) os soluciones) (Soluc: ( ) 39. Dos u = (3,1), v = (, 1/ ) y w = ( 3,), se pie: ) Hllr pr que v se unitrio. Comprobr gráficmente el resulto. (Sol: = ± 3 ) b) Hllr pr que u y v sen //. Justificr gráficmente l solución obteni. (Sol: =-3/) c) Hllr pr que v y w sen. Justificr gráficmente l solución obteni. (Sol: =-1/3) ) Hllr un vector u y unitrio. e) Hllr el ángulo que formn u y w (Sol: 17º 5 30 ) 40. ) Clculr ls componentes e un vector u e móulo y tl que i u = 30º (Aviso: puee hber os soluciones) Soluc : u ( ) ( ) 1 = 3,1 y u = 3, 1 b) Íem con u = 3 y i u = 45º Soluc : u1 = ( 3,3 ) y u = ( 3, 3 ) 41. Clculr con l conición e que u = (,1) por lo que se recomien hcer un ibujo) ( Sol : (- 1/ 10,3/ 10 ) o su opuesto ) forme 60º con v = (1,1) (Aviso: puee hber os soluciones, 4. Hllr el vlor e x pr que el vector (x,1) forme 45º con el vector (1,) (Aviso: puee hber os soluciones) (Soluc: x 1=3 y x =-1/3) 43. Dos los vectores u = (, 1) y v = (,3), clculr e moo que: ) u y v sen ortogonles (Soluc: =3/) b) u y v formen 60º Soluc : = 11 c) u y v tengn l mism irección (Soluc: =-6) 44. Dos los vectores = (1, 1) y b = (,m), hllr m e form que: ) y b sen ortogonles. (Soluc: m=) b) y b tengn l mism irección. (Soluc: m=-) c) b se unitrio. (Soluc: / soluc.) ) y b formen 45º (Soluc: m=0) ( Soluc : 3 )

7 45. Dos = (3, 4) y b = (5, x), hllr x pr que: ) mbos vectores sen perpeniculres (Soluc: x=15/4) b) mbos vectores formen 30º (Soluc: x 1 -,1; x -41,50) c) tengn l mism irección (Soluc: x=-0/3) 46. Dos u = (,1) y v = (, 3), se pie: ) Hllr pr que sen //. Justificr gráficmente l solución obteni. (Soluc: =-6) b) Hllr pr que sen. Justificr gráficmente l solución obteni. (Soluc: =3/) c) Hllr pr que formen 45º. Justificr gráficmente l solución obteni. (Soluc: =9) ) Hllr un vector u e móulo 5 (Soluc: ( 5, 5 ) 47. Dos u = (3, 4) y v = (,), se pie: ) Hllr tl que u v = 4 (Soluc: =4) o su opuesto) b) Qué ángulo formrán u y v en el cso nterior? (Soluc: 79º 41' 43'') c) Hllr tl que u // v. Explicr gráficmente l situción. (Soluc: =-3/) u ) Hllr un vector y e móulo 10. Explicr gráficmente l situción. (Soluc: (8,6), o su opuesto) Ejercicios libro: 40, 41, 4 y 43 pág. 184 (ángulo entre os vectores, con prámetro) Áre e un triángulo: 48. Hllr los ángulos el triángulo e vértices A(-,), B(5,3) y C(,15). Hllr tmbién su áre. (Soluc: A 64º 46'; B 84º 6'; C 31º 8'; S ABC=43,5 u ) 49. Do el triángulo e vértices A(1,1), B(5,4) y C(-5,9), se pie: ) Dibujrlo. b) Demostrr que es rectángulo en A Soluc : AB AC = 0 c) Hllr su áre. (Soluc: S ABC=5 u ) 50. ) Dibujr el triángulo e vértices A(1,-), B(3,-1) y C(,1) y hllr su áre. (Soluc: S ABC=,5 u ) b) Íem con A(3,8), B(-11,3) y C(-8,-) (Soluc: S ABC=4,5 u ) c) Íem con A(4,-1), B(,1) y C(0,) (Soluc: S ABC=1 u ) 51. TEORÍA: ) Do el vector u = (3, 4), hllr rzonmente otro vector con l mism irección pero e móulo. Hcer un ibujo explictivo. 1 b) Dos = ( 1,), b = (, 3) y c =,4, hllr b c c) Son ortonormles 3 3 =, y b =,? Y ortogonles? 3 3 ) Qué inic el signo el proucto esclr? Inicr ejemplos. e) Demostrr que el vector b c c b es perpeniculr l vector c Ejercicios libro: 36, 38, 46, 47 y 48 pág. 184 (misceláne)