Transformaciones Geométricas 3D

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1 Trnsformciones Geométrics 3D

2 Introucción 3D Cuno nos introucimos l muno 3D, hy que consierr: El fctor e profuni Ls combinciones que se pueen generr sobre 3 ejes L perspectiv e observción Los operores se ven fectos en iferente mei Trnslción Rotción Esclmiento

3 Trnslción 3D Así como en el espcio 2D, l trslción se efine prtir e un vector, hor con 3 componentes

4 Trslción 3D El operor e trslción se puee efinir trvés e un mtriz e l siguiente form:

5 Rotción 3D Ls rotciones 3D se pueen relizr con culquier gro e libert En generl, se erivn e ls combinciones e rotción prtir e los ejes X, Y, Z

6 Mtriz e Rotción Eje z Pr relizr l rotción con respecto l eje Z se emple l mtriz siguiente

7 Rotciones 3D pr los ejes X, Y A prtir e l rotción sobre el eje Z, es posible erivr l rotción pr culquier e los otros 2 ejes, simplemente utilizno un permutción cíclic Pr obtener l rotción en eje X y Y, cíclicmente se sustituye X con Y, Y con Z y Z con X

8 Rotciones 3D X, Y, Z

9 Mtrices e Rotción 3D sobre los ejes cos sin sin cos R z cos sin sin cos R x cos sin sin cos R y

10 Ejercicio Dibujr un rectángulo 3D (coorens libres) e implementr los operores e trslción y rotción 3D sobre ejes X, Y, Z Investigr como ibujr un punto y un líne 3D en opengl Crer l figur prtir e ests primitivs

11 Rotción 3D prlel un eje e rotción Pr rotr un objeto 3D con un eje e rotción prlelo un eje: Primero se mueve el eje e rotción l eje e rotción efinio pr trbjr (uno e los 3 ejes el plno 3D) Se plic l rotción que se ese plicr Se regres el eje e rotción su posición originl

12 Rotción 3D prlel un eje Mtricilmente, consiere que un punto P(x,y,z) será roto con respecto l eje X. Ls operciones relizr serán ls siguientes: Done: P T ' Rx( ) T P P es el punto resultnte e l rotción R x es l mtriz se rotción con respecto l ángulo especifico T es l mtriz e trnslción l eje T - es l mtriz invers e T e trslción l eje

13 Rotción 3D generl Cuno el eje e rotción e un objeto no es prlelo uno e los ejes, se tiene que proceer e l siguiente mner:. Trslr el objeto e tl form que el eje e rotción pse trvés e l cooren e origen 2. Rotr el objeto e tl form que el eje e rotción coinci con lguno e los ejes e coorens 3. Relizr l rotción especific sobre el eje e coorens selecciono 4. Aplicr l rotción invers pr regresr el eje e rotción su orientción originl 5. Aplicr l trnslción invers pr regresr el eje e rotción su posición espcil originl

14 Rotción 3D Generl Si l rotción no es prlel uno e los ejes el plno

15 Rotción 3D generl El pso 2 es posible relizrlo seleccionno culquier e los ejes (consieremos el cso one se seleccion el eje Z) Por simplici, consieremos que el eje e rotción es efinio por os puntos P y P2

16 Rotción 3D generl Si P (x, y,z) y P2 (x2, y2,z2), se tiene lo siguiente: V (P2 P) : componentes el eje e rotción u V / V (,b,c) : vector unitrio el eje e rotción one Aquí sumimos que el eje e rotción punt en l irección e rotción en sentio ls mnecills el reloj (mirno trvés el eje e rotción)

17 Rotción 3D generl Con l notción nterior, los psos pr l rotción libre son los siguientes:. Se efine l mtriz e trslción l origen (tomno P) 2. Se relizn ls trnsformciones pr colocr el eje e rotción sobre uno e los ejes el sistem (este pso se puee relizr e iferentes forms). Se rot U sobre X pr colocrlo en el plno XZ 2. Se rot U sobre Z pr colocrlo en el plno YZ

18 Rotción Generl 3D Pr relizr el pso 2 (proyectr U sobre el plno XZ) se consier lo siguiente: Notemos que U gener un ángulo α sobre el plno XZ, el cul se puee observr e form más clr si se proyect u sobre el plno YZ (vector u ) Notemos lo siguiente: Como u (, b, c) u' (, b, c) 2 2 Aemás: u' b + c De lo nterior se concluye: c b cos( α), sen( α)

19 Rotción 3D generl Proyectr u sobre el plno XZ, requiere rotr icho vector sobre X, por lo que l mtriz e rotción utilizr es: cos sin sin cos ) ( R x Sustituyeno por el ángulo corresponiente α, se tiene que: / / / / ) ( c b b c R x α

20 Rotción 3D generl Aplicno R x (α) l punto u (,b,c) se tiene: ) / ( / / bc bc b b c ' ) / ( ) / ( / / / / ) ( 2 2 u c b bc bc c b c b b c u R x + α

21 Rotción 3D generl El siguiente pso consiste en clculr l mtriz e rotción el vector u proyecto sobre el plno XZ pr colocrlo sobre el eje positivo Z ' c b u De l figur, se puee observr que: ) cos(, ) sin( β β ) cos(, ) sin( β β Aplicno l mtriz e rotción sobre Y: cos sin sin cos ) ( R y β β β β β Por tnto: ' ) ( u R y β

22 Rotción 3D generl Con estos psos, se h coloco el vector u sobre el eje Z positivo 3. Con ls mtrices e trnsformción y expuests, se reliz l rotción el vector u e cuero l ángulo :

23 Rotción 3D generl 4. Finlmente se ebe e regresr el eje e rotción su posición originl, plicno los operores inversos. En generl, l mtriz e rotción pr culquier eje se expres como:

24 Rotción 3D generl

25 Esclo 3D Esclr un punto P(x,y,z) con respecto l origen es un extensión irect el cso 2D Punto P Mtriz e esclo S Punto P Nots Si los vlores e sx, sy, sz son iferentes, se cmbirá el specto generl e l imgen Pr esclr objetos 3D (l igul que en el cso 2D) se ebe elegir un punto e referenci el mismo

26 Esclo 3D Consiere que el punto P(px,py,pz) se tom como referenci e un objeto 3D. Pr esclr el objeto se ebe relizr: Trslr el punto P l origen (incluyeno toos los puntos el objeto) Aplicr l mtriz e esclo c punto el objeto Regresr el objeto l posición originl e P

27 Esclo 3D ( ) x x x p s s Mtriz e trslción pr objetos 3D ) ( ) ( ),, ( z z z y y y P s s s P p s s p s s T S T z y x

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