MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

Transcripción

1 DP. - S Mtemátis ISSN: X 6 MTRICES. MTRIZ INVERS. DETERMINNTES. plino ls propiees e los eterminntes y sin utilizr l regl e Srrus, lulr rzonmente ls ríes e l euión polinómi. Enunir ls propiees utilizs. P() BC S996 Ovieo RESOLUCIÓN prto (i) l sumr fils o olumns en un mtriz, su eterminnte no vrí. l primer olumn le summos l ª, ª y ª olumns: Si los elementos e un líne e un mtriz se multiplin por un número, el eterminnte e l mtriz que multiplio por iho número. ( ) Pr lulr el eterminnte plimos l regl e Chio s en ls propiees e los eterminntes. l mir entre sí os fils o os olumns e un mtriz ur, su eterminnte mi e signo. Si un fil o olumn e un mtriz ur se le sum otr prlel, su eterminnte no vrí. Si un fil o olumn e un mtriz ur se le sum otr prlel multipli por un número, su eterminnte que multiplio por ese número plino ests propiees otenemos un eterminnte on un fil o olumn uyos elementos son toos nulos menos uno. hor lulmos el eterminnte por los juntos e es fil o olumn preeios el elemento y su signo. Como toos los elementos son nulos, menos uno, el eterminnte será igul este elemento por su junto y por su signo: nº e fil nº e olumn ( ) Fijmos l primer fil y hemos eros en l primer olumn, multiplino est primer fil por ( ) y sumánole, suesivmente, ls otrs fils: ( ) - Con esto filitmos el esrrollo el eterminnte prtir e los juntos e l primer olumn. Como toos los elementos son nulos, eepto el primero, el eterminnte es igul : ( ) ( ) - - plimos suesivmente l regl e Chío: - ( ) ( ) - ( ) ( ) (-) - ( ) ( ) (-)( ) ( ) ( )

2 el Mrtín 8 Ls ríes e l euión serán: y (i) Si es un mtriz tl que I, se eue que I? En so firmtivo, prorlo, y en so negtivo, proponer un ejemplo lrtorio. (ii) Si I, emostrr que es inversile, y lulr, en funión e, su invers. (iii) Pror que si B y B B, entones. (I es l mtriz uni) BC S997 Ovieo RESOLUCIÓN prto (i) Suponieno que l mtriz teng invers: I I I I Si l mtriz es igul l mtriz ienti, lo que se eue es que l mtriz es igul que su invers. (I) Pr reforzr que el enunio no es ierto simplemente olomos un ontrejemplo: - I (- I) (- I) I y sin emrgo I MPLICIÓN LBORIOS, por si lguien se le h ourrio resolverlo e est form: Trs el prouto es: Por l efiniión e igul e mtries: ( ) ( ) De este sistem se otienen muy iverss soluiones, sieno un tnto lrgo e resolver CSO I) CSO II) sí pues, proponemos lguns soluiones, trvés e l oservión e iho sistem: () ( ) ( ) ; ( ) ± Por tnto, lguns mtries que umplen est oniión son: y Vmos ompror si - en estos sos: - -.s.q.. Mtries y Determinntes

3 DP. - S Mtemátis ISSN: X () () - -.s.q.. RESOLUCIÓN prto (ii) I I Como - I L mtriz tiene invers y ést es RESOLUCIÓN prto (iii) Sustituimos por su vlor B B B B B Sustituimos B por su vlor, B B B B Sustituimos B por su vlor, B B.s.q.. Se (i) Cuáno el eterminnte e es el seno e lgún número rel? (ii) Clulr l invers e uno eist. (iii) Determin toos los pres (, ) pr los que oinie on su invers. RESOLUCIÓN prto (i) sen k BC J999 Ovieo sen K Desrrollmos el eterminnte on l yu e l regl e Srrus: sen K El seno e un ángulo osil entre y sen k El eterminnte e será el seno e lgún número rel uno su elemento RESOLUCIÓN prto (ii) MÉTODO I [, ]

4 el Mrtín Mtries y Determinntes - siempre que Un métoo pr lulr l mtriz invers es plir está epresión: - [j()] t verigumos los menores omplementrios: α α α - α α α α α α verigumos los juntos e los elementos - j () [j ()] t - [j()] t - - sieno MÉTODO II Clulmos l invers por el métoo e Guss Jorn Fijmos l ª y ª fils y relizmos ls operiones inis l izquier: ) ) Fijmos l ª y ª fils y relizmos ls operiones inis l izquier: L mtriz invers e es:

5 DP. - S Mtemátis ISSN: X - sieno RESOLUCIÓN prto (iii) Pr que oini on su invers: - plino l efiniión e igul e mtries: Estuimos l igul en los elemento y e ls mtries: ± ± Pr Pr - - infinits soluiones Por lo tnto sólo puee ser ó. En resumen, ls os oniiones nteriores se verifin simultánemente, uno, R, (, ) (, - ) ó COMPROBCIÓN DE ESTOS RESULTDOS UTILIZNDO COMO HERRMIENT UN CLCULDOR GRÁFIC U OTR CON CPCIDD MTRICIL Pr Mtriz ( R, ) Por eje: Mtriz Pr ulesquier otros vlores, no se verifi Mtriz Mtriz Mtriz Mtriz 7 Se l euión mtriil B C. () Qué oren tiene l mtriz soluión B? () Resuelve l euión uno y C BC S Ovieo RESOLUCIÓN prto () () Pr que os mtries se puen multiplir es oniión neesri que el número e olumns e l mtriz multiplino se igul l número e fils e l mtriz multiplior. 5

6 el Mrtín Tienen que ser igules m n n p () El prouto e mtries no posee l propie onmuttiv B m n m n Dimensión mtriz resultnte m n Pr que se pue relizr este prouto h e verifirse: n m Si tiene e imensiones mn, l mtriz B h e tener e imensión RESOLUCIÓN prto () MÉTODO I B C B C - B - C B - C B - - C - B - C - - Un métoo pr lulr l mtriz invers es plir está epresión: - [j()] t verigumos los menores omplementrios y los juntos e los elementos: MÉTODO II ( α α - α α j () [j ()] t - [j()] t - - B - C - 6 C nm 6 Mtries y Determinntes

7 DP. - S Mtemátis ISSN: X 7 B Multiplimos ls mtries: B ( B) Multiplimos ls mtries: ( B) ( B) C plimos l efiniión e igul e mtries: 8 8 C COMPROBCIÓN MEDINTE L CLCULDOR GRÁFIC Introuimos los vlores hllos e ls mtries y B Otenemos l mtriz C, omo se querí emostrr