TEMA 9. DETERMINANTES.

Transcripción

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2 Unidd.Determinntes TEM. DETERMINNTES.. Coneptos previos, permutiones. Definiión generl de determinntes. Determinnte de mtries de orden y orden... Determinnte mtries udrds de orden.. Determinnte mtries udrds de orden. Determinnte de lguns mtries espeiles. ropieddes de los determinntes. Otros métodos de lulr los determinntes. Determinnte de mtriz de orden.. or djuntos.. Hiendo ero un fil o un olumn.. Determinnte de Vndermonde. Cálulo de l mtriz invers.. Rngo de un mtriz José Luis Lorente rgón

3 Unidd.Determinntes Conteto on l..u. El álulo de determinntes es muy importnte, y que se utilizrá en el tem siguiente en l resoluión de sistems de euiones lineles, prolem que generlmente sle en un de ls opiones del emen de..u. demás de l importni reltiv su utilizión en los prolems del siguiente tem, tmién es freuente que en los eámenes de seletividd hy uestiones relionds diretmente on est unidd, tles omo: Cálulo de determinntes plindo propieddes. Cálulo de determinntes Clulo de inverss Determinr si un mtriz inversile puntes de Mtemátis II pr preprr el emen de l U

4 Unidd.Determinntes. Coneptos previos. ermutiones ntes de estudir el determinnte vemos primero lo que signifi l permutión, que nos v servir pr luego definir el determinnte. Definiión: ddo n elementos diferentes, permutiones son ls distints posiles ordeniones de estos elementos. El onjunto de tods l permutiones se denot omo S n y el número totl de permutiones es de n!n (n-) (n-) Ejemplos: El onjunto de permutiones de tres elementos, S, vienen definids por ls siguientes! permutiones: σ id, σ, σ, σ, σ, σ. Definiión: el índie de un permutión es el mínimo número de modifiiones que deemos relizr sus elementos pr llegr l permutión identidd, donde todos los elementos están ordendos de menor myor (ejemplo σ id en S ). Se denot omo i(σ) donde σ es l permutión Ejemplos: σ i(σ ) σ i(σ ) permutndo el y el otenemos l permutión identidd σ i(σ ) permutndo el y el, y luego el y el otenemos l permutión identidd. Definiión generl de determinnte Definiión: Se ij un mtriz udrd de orden n ( M nn (R)) definimos omo determinnte de y se denot omo o det() l siguiente número rel: i( σ ) det( ) ( ) (l sum tiene n! términos) n n nn σ S n σ () nσ ( n). Determinnte de Mtries de orden y En este prtdo vmos ver prtir de l definiión del prtdo nterior el vlor del determinnte de ls mtries y. Determinnte de mtries udrs de orden. Se l mtriz M definid de form genéri omo determinnte prtir de l definiión: det( ) σ S ( ) i( σ ) σ () σ () ( ) i( σ ) ( ) i( σ ), lulemos el José Luis Lorente rgón

5 Unidd.Determinntes Ejemplos: ( ) ( ) B B ( ).. Determinnte de mtries udrds de orden. De l mism form que en el prtdo nterior vemos omo lulr el determinnte de ls mtries udrds de orden. En este so el número de sums será!. Veremos un regl nemoténi, regl de Srros, pr reordr omo lulrlo. Se M (R) definido de form genéri omo. ntes de plir l definiión de determinnte vemos ls permutiones y sus índies: σ i(σ ) pr σ i(σ ) impr σ i(σ ) pr σ i(σ ) impr σ i(σ ) pr σ i(σ ) pr De est form: ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) Regl de Srrus : puntes de Mtemátis II pr preprr el emen de l U

6 Unidd.Determinntes Ejemplos: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) Ejeriio. Clulr los siguientes determinntes ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) [ ] [ ] e) [ ( ) ( ) ] [( ) ( ) ] m f) [ m ( ) m ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) m m] m m m. Determinnte de lguns mtries espeiles En este prtdo lulremos de form senill el vlor de los determinntes de lguns mtries udrds espeiles.. Determinnte de l mtriz nul L mtriz udrd nul es quell en l que todos los oefiientes son ero, se denot omo. i( σ ) ij i,j {,,,n} ( ) σ () nσ ( n) σ S n José Luis Lorente rgón

7 Unidd.Determinntes. Determinnte de l mtriz identidd Reordemos que l mtriz identidd es quell donde todos los elementos fuer de l digonl son nulos y los de l digonl vle. Id Es fáil ompror que el vlor del determinnte identidd es l unidd, veámoslo prtir de l definiión de determinnte: Id σ S i( σ ) ( ) σ () n σ ( n) ( ) n. Determinnte de l mtriz digonl nn Mtries digonles son quells donde los elementos fuer de l digonl son nulos, pudiendo vler ulquier vlor los elementos de l mism. D nn Es fáil de ver que el vlor del determinnte de l mtriz digonl es igul l produto de los elementos de l digonl. Es fáil demostrrlo prtir de l definiión de determinnte. D i( σ ) ( ) σ () n σ ( n) ( ) nn σ S n. Determinnte de l mtriz tringulr Reordemos l definiión de mtriz tringulr superior e inferior: nn T s n n nn T i n n nn El vlor del determinnte de ls mtries tringulres, tnto superior omo inferior, es igul l produto de los elementos de l digonl. L demostrión es más omplid que ls nteriores. T s nn T i nn puntes de Mtemátis II pr preprr el emen de l U

8 Unidd.Determinntes. ropieddes de los determinntes En este prtdo veremos ls propieddes más importntes de los determinntes, prtir de ls ules será fáil lulr el vlor de los determinntes de lguns mtries. r este prtdo usremos l siguiente notión: M nn (R) formdo por n fils (,, n ) on i fil i-ésim formdo por n olumns (C,,C n ) on C i l olumn i-ésim. Ejemplo: (,, ); (C,C,C ) donde y C ( ), C ( ) y C ( ),, ropiedd : el determinnte de un mtriz es igul l determinnte de de l mtriz trnspuest: det()det( t ) Importnte: prtir de est propiedd tods ls propieddes de los determinntes que relionen olumns sern ierts tmién pr ls fils y l revés. ropiedd : si los elementos de un fil (o olumn) de un mtriz se le multiplin por un número el determinnte de l nuev mtriz qued multiplido por diho número: det(,,,k i,, n ) k det(,,, i,, n ) det(c,c,,c i,,c n ) k det(c,c,,c i,,c n ) Ejemplo: B C B C - José Luis Lorente rgón

9 Unidd.Determinntes puntes de Mtemátis II pr preprr el emen de l U ropiedd : Si un mtriz M nn (R) l multiplimos por un número k (Bk ), el determinnte de l nuev mtriz, B, es k n vees el determinnte de : det(k )k n det() Demostrión: prtir de l propiedd es fáil de ver est propiedd: det(k )det(k C,k C,,k C n )k det(c,k C,,k C n ) k det(c,c,,k C n ) k n det(c,c,,c n ) Ejemplo: B B ropiedd : Si los elementos de l olumn i-esim (o un fil) de un mtriz udrd se puede desomponer omo sum de olumns (o fils), su determinnte será igul l sum de los determinntes de ls mtries que tienen ls demás olumns (fils) igules y l i-ésim de d uno de ells un de ls olumns de l sum det(,,, i i,, n ) det(,,, i,, n ) det(,,, i,, n ) det(c,c,,c i C i,,c n ) det(c,c,,c i,,c n ) det(c,c,,c i,, C n ) Ejemplos: det(c,c C,C ) det(c,c,c ) det(c,c,c ) ropiedd : El determinnte del produto de mtries udrds es igul l produto de los determinntes de ms mtries. det( B)det() det(b) Ejemplo:

10 Unidd.Determinntes ropiedd : Si un mtriz permut dos olumns (fils), su determinnte mi de signo. det(,,, i,, j,, n ) -det(,,, j,, i,, n ) det(c,c,,c i,, C j,,c n ) -det(c,c,,c j,, C i,,c n ) Ejemplos: ropiedd : Si un mtriz tiene un fil o un olumn formd por eros su determinnte es ero. det(,,,,, n ) det(c, C,,,, C n ) Ejemplo: ropiedd : Si en un mtriz dos fils o olumns son igules o proporionles su determinnte es ero: det(,, i,,k i,, n ) det(c,, C i,,k C i,,c n ) Ejemplos : det(,, ) ; det(,, ) ; det(c,c,c ); det(-c,c,c ) José Luis Lorente rgón

11 Unidd.Determinntes ropiedd : Se un mtriz udrd donde los elementos de un fil (olumn) son ominión linel de ls restntes fils (olumns) entones su determinnte es ero: det(,,, λ λ λ i- i- λ i i λ n n,, n ) il i det(c, C,, λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n,, C n ) Ejemplos: Column i det(, -,, )det(,,, ) det(,,, ) det(,-,, ) det(c,c C -C,C,C )det(c,c,c,c )det(c,c,c,c )det(c,-c,c,c ) ropiedd : si en un mtriz su determinnte es ero, entones un fil (olumn) es ominión linel del resto de fils (olumns). det() i λ λ λ i- i- λ i i λ n n C i λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n Conlusión: de l propiedd y un fil (olumn) es ominión linel del resto ropiedd : El determinnte de l mtriz - es / det( - ) det( ) Se puede demostrr fáilmente prtir de l propiedd : - Id det( - )det() det( - )det(id) det( - ) det( ) ropiedd : Si los elementos de un fil (olumn) se les sum un ominión linel de otrs fils (olumns), su determinnte no vrí. det(,,, i,, n )det(,,,λ λ λ i- i- i λ i i λ n n,, n ) puntes de Mtemátis II pr preprr el emen de l U

12 Unidd.Determinntes RESUMEN DE ROIEDDES DE LOS DETERMINNTES : det()det( t ) : det(,,,k i,, n ) k det(,,, i,, n ) det(c,c,,kc i,,c n ) k det(c,c,,c i,,c n ) : det(k )k n det() on M nn : det(,,, i i,, n ) det(,,, i,, n ) det(,,, i,, n ) det(c,c,,c i C i,,c n ) det(c,c,,c i,,c n ) det(c,c,,c i,,c n ) : det( B)det() det(b) : det(,,, i,, j,, n ) -det(,,, j,, i,, n ) : det(,,,,, n ) det(c, C,,,, C n ) : det(,, i,,k i,, n ) det(c,, C i,,k C i,,c n ) : det(,,, λ λ λ i- i- λ i i λ n n,, n ) il i det(c, C,, λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n,, C n ) : Column i det() i λ λ λ i- i- λ i i λ n n C i λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n : det( - )/det() : det(,,, i,, n )det(,,,λ λ λ i- i- i λ i i λ n n,, n ) José Luis Lorente rgón

13 Unidd.Determinntes puntes de Mtemátis II pr preprr el emen de l U Ejeriios Ejeriio. Clul el determinnte de ls siguientes mtries: ) ) B B - ) C C - d) D.... D (-)- (tringulr) Ejeriio : Clulr el vlor de los siguientes determinntes prtir de onoer el determinnte de : det() ) B det(b) ) ( ) C C ) ( ) D D ) ( ) (

14 Unidd.Determinntes José Luis Lorente rgón d) E E Ejeriio. Se (,,, ), uyo determinnte es det() -, lulr el vlor del determinntes de ls siguientes mtries: ) B(,,, ) det(b) det(,,, ) - ) C( -,,, ) det(c)-det(,,, )- det(,,, ) - ) D D d) E (,,-, ) det(e) det(,,-, ) det(,,-, ) (-) det(,,, ) (-) det(,,-, )- Ejeriio. Resolver los siguientes determinntes ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( d d d d d d d d d d d d d )

15 Unidd.Determinntes puntes de Mtemátis II pr preprr el emen de l U Ejeriio Demostrr ) Si entones o - Si se umple que entones sus determinntes son igules:. or l propiedd, - y ) Si t Id entones o Si se umple que t Id entones sus determinntes son igules: t Id. or l propieddes y de los determinntes: t t Id, - Ejeriio. Enuentr un respuest rzond ls siguientes uestiones: ) En un determinnte relizmos un iert permutión de fils o olumns qué podemos deir del nuevo determinnte? Si en un determinnte el número de permutiones es pr, entones el determinnte no mi de vlor. Si el número de permutiones es impr, entones el determinnte mi de signo. ) Se se que det() y M uánto vle det()? or l propiedd omo M (R) entones ) Si y B son inverss, y. uánto vle B? Si B - por l propiedd B / / Ejeriio. Se se que. Clulr ) )

16 Unidd.Determinntes EXÁMENES DE U, RELTIVOS ROIEDEDES DETERMINNTES Junio. rue C-.- Se tiene un mtriz M udrd de orden uys olumns son respetivmente C, C y C y uyo determinnte vle. Se onsider l mtriz uys olumns son (- C, C C, C ). Clúlese rzondmente el determinnte de - en so de que eist es mtriz M(C,C,C ) (-C,C C,C ) M det(-c,c C,C ) det(-c,c,c ) det(-c,c,c ) -det(c,c,c ) det(c,c,c ) -det(c,c,c )- - -/ Septiemre. rue C-.- Se un mtriz udrd de orden uyo determinnte vle, y se l mtriz B. Clúlese el determinnte de l mtriz B. M (R) B B ( ) Junio rue C-.- Se un mtriz de olumns C, C y determinnte. Se B otr mtriz de determinnte. Si C es l mtriz de olumns C C y C, lúlese el determinnte de l mtriz B C -. (C,C ) B: B C(C C,C ) det(c)det(c C,C )det(c,c )det(c,c ) det(c,c ) det(b C - )det((b) det(c - ) B / C // Septiemre. rue C-.- Se l mtriz. Clúlese el determinnte de siendo que - Id, donde Id es l mtriz identidd y es l mtriz nul. - Id José Luis Lorente rgón

17 Unidd.Determinntes puntes de Mtemátis II pr preprr el emen de l U () () () de () y de (), sustituyendo en () - ierto Septiemre rue C-.- Se un mtriz de olumns C, C, C (en ese orden). Se B l mtriz de olumns C C, C C, C (en ese orden). Clulr el determinnte de B en funión del de. B det(c C, C C, C )det(c, C C, C )det(c, C C, C ) det(c,c,c ) det(c,c,c ) det(c,c,c ) det(c,c,c ) det(c,c,c ) -(-) det(c,c,c )-. Métodos de álulo del determinnte. Determinnte de orden. Si queremos lulr el vlor del determinnte de un mtriz M (R) por l definiión tenemos! produtos y si seguro que nos equivoremos. Tendremos que usr lgún otro método pr lulr su vlor. r eso podemos plir ls propieddes vists en el prtdo nterior.. or djuntos r lulr el determinnte de un mtriz un método es el de los djuntos. El método onsiste en tomr un fil (o olumn), y multiplir d elemento de l fil (olumn) por su djunto, que es determinnte que se otiene eliminndo l fil y olumn de diho oefiiente, multiplido por - si es un elemento impr (filolumnnº impr) r ver omo lulrlo veámoslo on un ejemplo, que desrrollremos por l primer olumn y l segund fil: ) ( ) ( ) ( (-)- - - (-) - ) )( ( ) ( - (-) -

18 Unidd.Determinntes José Luis Lorente rgón. Hiendo eros un fil o olumn odemos utilizr l propiedd y her que en un fil o un olumn todos los elementos menos uno (pivote) sen nulos. Desrrollndo los determinntes por djuntos sólo ontriuye el del pivote, y que el resto quedn multiplidos por. r mtizr esté método vemos un ejemplo, lulndo el determinnte de l mism mtriz del ejemplo del prtdo.. Vmos utilizr omo pivote el elemento, y que vle l unidd (que simplifi los álulos) y hremos ero todos los demás elementos de l primer olumn. ) )( ( Ejeriio : lulr por lguno de los dos métodos nteriores Clulándolo -.. Determinnte de Vndermonde Se llm mtriz de Vndermonde tod mtriz de l siguiente form n n n n n r este tipo de mtries se umple ( n - ) ( n - ) ( n - n- ) ( - ) Ejemplo: z y z y (z-) (z-y) (y-) Ejeriio : Clulr los siguientes determinntes )

19 Unidd.Determinntes puntes de Mtemátis II pr preprr el emen de l U ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( d) ) ) ( ) ( ( Vndermonde e) ) ( ) ( ()(-). Cálulo de l Mtriz Invers Medinte l definiión de determinnte y l mtriz djunt se puede lulr de form senill l mtriz invers, en espeil l invers de l mtries. roposiión: Un mtriz se die regulr, es deir, tiene invers si su determinnte no es ero. En so ontrrio l mtriz es singulr: regulr - singulr / - r lulr de l mtriz invers, usremos omo ejemplo:

20 Unidd.Determinntes José Luis Lorente rgón ) Clulmos el determinnte ) Trsponemos t ) djunt de l trnspuest: ( t ) d ) Mtriz invers es ( ) ) ( d t Vemos un ejemplo de un mtriz ) ) t ) ( ) d t ) Ejeriio. Clulr l invers de ls siguientes mtries ) )

21 Unidd.Determinntes puntes de Mtemátis II pr preprr el emen de l U d) e) Ejeriio. Clulr l que he singulr l mtriz ) - -, -- ),

22 Unidd.Determinntes EXMENES DE U, EJERCICIOS RELTIVOS MTRIZ INVERS Septiemre de. rue B C-.- Se. Determínense los vlores de m pr los ules mid no es invertile (donde Id denot l mtriz identidd). m Bm Id m B B m m- m- ± m R-{-,-- } mtriz regulr y por tnto eiste B - Septiemre de. rue B C-. Dd l mtriz determinr los vlores de pr que eist mtriz invers - - No soluión, luego R eiste l mtriz invers de. Junio rue C-. Hllr pr qué vlores de es inversile l mtriz y lulr l invers pr L mtriz será inversile si. Clulemos pr qué vlores de se umple est premis: --, -. Luego R-{-,} l mtriz tiene invers. En onreto pr es inversile -; ; ; José Luis Lorente rgón

23 Unidd.Determinntes. Rngo de un Mtriz Definiión: Menor de orden k de un mtriz M mn (R) es tod sumtriz on k fils y k olumns perteneientes l mtriz Ejemplo: Menor de orden Menor de orden Menor de orden, Menor de orden (), (),,, Definiión de rngo de un mtriz M mn (R) es el orden del myor menor on determinnte no nulo de l mtriz. Cómo otener el rngo de un mtriz: ) Clulmos todos los menor de myor dimensión (kmin(m,n)) de l mtriz... Si lgún menor es distinto de ero rng()k.. Si todos los menores son igules ero rng()<k ) Clulmos los menores de dimensión k-.. Si lgún menor es distinto de ero rng()k-. Si todos los menores son nulos rng()<k- ( ) Esto termin undo lgún menor es distinto de ero, siendo los luldos ntes de myor dimensión de ero. puntes de Mtemátis II pr preprr el emen de l U

24 Unidd.Determinntes José Luis Lorente rgón Ejemplo: Clulr el rngo de. Clulmos los menores de orden min(,): rng()<. Clulremos los menores de orden rng() EXMENES DE U, EJERCICIOS RELTIVOS L RNGO Septiemre de. rue. C-.- Disútse, según el vlor de, el rngo de l mtriz Si -/ y rng() Si /, omo rng() Septiemre de. rue B C-.- Disutir, en funión del número rel m, el rngo de l mtriz m m -m-m -m--m-m m m, m- Si m R-{-,} y rng() Vemos el rngo si m. Como rng()

25 Unidd.Determinntes puntes de Mtemátis II pr preprr el emen de l U Vemos el rngo si m- Como rng() Conlusión: si m o m- el rng() y si m R-{-,} el rng(). Junio de. rue B C-. Clulr el rngo de Como rng()<. Vemos uno de los menores de orden : Hiendo todos los menores de orden dn ero. Rng()

26 Unidd.Determinntes José Luis Lorente rgón