Matemáticas II (preparación para la PAU) Tomo II (Integrales y Álgebra)

Transcripción

1 Memáis II preprión pr l PU) Tomo II Inegrles Álger) José Luis Lorene rgón

2 mi mujer, Ruh, mi hijo Dvid. Muhs gris l orreor, el oro José L. Lorene

3 ÍNDICE: Tem. Funiones reles. Definiión límies Tem. Funiones. Coninuidd Tem. Funiones. Derivilidd Tem. pliiones de l derivd Tem. Represenión de funiones Tem. Inegrles indefinids Tem. Inegrles definids. Áres. Tem 8.Mries Tem 9. Deerminnes Tem. Sisems de euiones lineles. Tem.Espios Veoriles Tem.Euiones de re plno Tem. Produo eslr, veoril mio. pliiones BLOQUE I. NÁLISIS BLOQUE II. ÁLGEBR LINEL BLOQUE III. GEOMETRÍ

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5 Unidd. Inegrles Indefinids TEM. INTEGRLES INDEFINIDS. Definiión de Inegrl. Primiiv de un funión.. Propieddes de ls inegrles.. Inegrles inmedis. Méodos de inegrión.. Oenión de inegrles inmedis.. Cmio de vrile.. Por pres.. Funiones rionles.. Funiones rigonoméris. José Luis Lorene rgón

6 Unidd. Inegrles Indefinids Coneo on l P..U. En si odos los eámenes de l PU en un opión, e inluso vees en ls, endremos que relir un inegrl, ien se indefinid o ien definid pr lulr un áre. L inegrión pree omo un uesión de puno o un prdo del prolem de funiones. Pr el álulo de áres el de inegrles definids que veremos en el siguiene em) es neesrio el álulo nes de inegrles indefinids. Por lo generl si nos piden lulr un áre l inegrl lulr será más senill que si nos piden lulr diremene l inegrl indefinid. Por lo generl l lumno l reliión de inegrles le resul osos l prinipio. Pero un ve que el lumno empiee oger solur relir los ejeriios, omprenderá el méodo de inegrión plir no le resulrá eesivmene omplido punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

7 Unidd. Inegrles Indefinids. Definiión de inegrl. Primiiv de un funión. L inegrl es l operión onrri de l derivd. sí si f) enones g) es su derivd; de igul form l inegrl de g) es f). derivd f) inegrl g) Definiión: un funión F) es un primiiv de or funión f dd, si l derivd de F) es f): F primiiv de f F )f) El proeso medine el ul oenemos un primiiv de un funión f) se denomin inegrión. sí omo dd un funión f) su funión derivd es úni, eisen infinis primiivs de un funión. Tods ls primiivs se diferenin por un onsne. sí si F) es un primiiv de f) od funión de l form G)F)K es mién primiiv, que G )F)) F )f). Definiión: l inegrl definid de un funión f es el onjuno de ods ls primiivs de f, se represen por: f ) d F ) C donde F) es un primiiv de f) C es un onsne onsne de inegrión). El símolo inegrl siempre v ompñdo del diferenil, d, que nos indi sore que vrile se reli l inegrl.. Propieddes de l inegrl Vemos ls siguienes propieddes ásis pr relir ls inegrles: P: l inegrl de un número rel por un funión es igul l número por l inegrl de l funión, es deir ls onsnes se pueden sr fuer de l inegrl: f ) d f ) d P.: L inegrl de l sum o difereni de dos funiones es igul l sum o difereni de ls inegrles de dihs funiones: ) g ) ) d f ) d f ± ± g ) d José Luis Lorene rgón

8 Unidd. Inegrles Indefinids. Inegrles inmedis l igul que ls derivds enemos un l de inegrles inmedis, es fáil de esudirls que es l pliión invers l derivd. En es l demás de ls inegrles inmedis veremos l primiiv ompues, donde en ve de preerá f) en ve de d pree f )d. T B L D E I N T E G R L E S I N M E D I T S PRIMITIV SIMPLE PRIMITIV COMPUEST EJEMPLO d C ) f ) f ' ) d f ) C ) sen ) sen ) os ) d C e d e C f ) f ) e f ' ) d e C e d e C f ) f ) d C ln ) f ' ) d C ln ) n ) n ) d C os ) ln) d ln ) C f ' ) d ln f )) C f ) d ln ) C sen ) d os ) C sen f )) f ' ) d os f )) C sen ) d os ) C osln )) os ) d sen ) C os f )) f ' ) d sen f )) C d senln ) C g ) d g C g f ) ) f ' ) d g f C g )) d g C ) d g ) C os ) )) ) f ' ) d g f C d g C )) os f )) ) os ) og ) d og C og f ) ) f ' ) dog f C og ) ) d og C ) d o g ) C sen ) )) f ' ) )) sen f )) d o g f C ) ) og ) ) dog C d f ' ) d d rsen ) C rsen f )) C rsenln )) C f ) ln ) d f ) d d rg ) C rg f )) C f ) rg ) C ) punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

9 Unidd. Inegrles Indefinids. Méodo de Inegrión.. Oenión de inegrles inmedis El méodo onsise en desrrollr ls funiones, inroduir fores, o mnipulr ls funiones plindo ls dos propieddes de ls inegrles visos en el prdo pr oener un inegrl inmedi fáilmene lulle: Vemos lgunos ejemplos: ) ) d 8 9) d 8 9 C ) sen ) d sen) d os) C ln ) ) d d C ) d ) d C g g ) d d g ) C sen sen ) g ) C ) ) lnos ) os ) os ) ) ) sen ) d ) sen ) d os ) C 8) d d d d ) ) ) d rsen ) C rsen ) C ) José Luis Lorene rgón

10 Unidd. Inegrles Indefinids 9) d d d ) d ) ) rg ) C d ) ) ) d ) ) C. Cmio de Vrile El méodo de mio vrile onsise en susiuir l vrile por un funión g) g)). De es form dg )d. l relir es susiuión l funión solo dee depender de, el ojeivo es que l funión oenid se más senill que l originl. Un ve relid l inegrl en, se deshe el mio de vrile g - ). En l prái el mio se uili undo en l inegrl enemos un funión omposiión de f), Hf)) l derivd f ) o un funión proporionl és) dividiendo. De es form on el mio f), dd/f ) endremos l inegrl de H) que deerí de ser más senill que l inegrl originl si queremos que ese méodo se úil. Ese méodo nos permie resolver inegrles semejnes ls lulds en el prdo nerior, pero de form más sisemái. Vemos lgunos ejemplos: g g ) ) d d g ) ) d g ) C g ) C d d d d d d sen ) d ) ) sen ) d ) sen ) os ) C os ) C d )dd d d d d d ) ) rg ) C rg ) C d d d d ) ) d punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

11 Unidd. Inegrles Indefinids d d d ) ln ) C lnln )) C ln ) ln) d d dd. Inegrl por Pres El méodo de inegrl por pres se s en l uiliión de l siguiene iguldd: u dv u v v du No: regl nemoéni Un Dí Vi Un V Vesid De Uniforme En l prái se uili undo en un inegrl g ) f ) d u dv, donde l funión f)ddv g)u se umple:. f) es fáil de inegrl pr oener sí v f ) d F ). l derivr g), oenemos dug )d umpliéndose que l inegrl v du F ) g' ) d es más senill que l originl. Medine ese méodo se luln los siguienes ipos de inegrles: Tipo : P ) e d, llmndo up)polinomio dve d se umple los requisios:. L inegrl e v e d es inmedi. dup ) j un grdo el polinomio, on lo que P' ) e d es más senill de lulr. Deeremos relir l inegrl por pres ns vees omo el grdo de P) hs que que mién es inmedi l úlim inegrl relir se v du e d Ejemplo: ) ) e d u du)d e dve - d v ) ) e e d u dud dv e - d v e José Luis Lorene rgón

12 Unidd. Inegrles Indefinids e e ) ) e d e )C e ) ) e d 9 ) Tipo : e e e ) ) C Her por el lumno) P ) sen ) d o P ) os ) d, llmndo up) dvsen) d se umple los requisios:. L inegrl v os ) sen ) d o sen ) v os ) d es inmedi sen ). dup )d j un grdo el polinomio, on lo que P' ) d o os ) P' ) d es más senill de lulr que l nerior. Deeremos relir l inegrl por pres ns vees omo el grdo de P) hs que l úlim inegrl relir se v du sen ) d o os ) d que mién es inmedi. Ejemplo: ) sen) d u dud os ) dvsen) v os) os) d os) sen) C 9 8) ) os ) d os) sen) 8 lumno) her por Tipo : e sen ) d o e os ), podemos llmr ue dvsen). En ese so podemos llmr u dv l revés. Se iene que her dos vees l inegrión por pres, de form que volvemos oener l inegrl iniil. Despejndo l inegrl oenemos el resuldo de l mism. Se llm sí vulgrmene l pesdill que se muerde l ol. 9) I e sen) d ue - du-e - d os ) dvsen) v 8 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

13 Unidd. Inegrles Indefinids os) e os) e ue - d du-e - d sen ) dvos) v os) sen) e e e sen) os) sen) e e e sen) I os) sen) e I e I os) sen) e I e I e sen) d os) sen) e sen e - e os ) ) C e ) I e os ) d os) sen) ) her por el lumno) Tipo : P ) ln ) d, llmndo dvp) uln) se umple los requisios:. L inegrl v P ) d es inmedi inegrl de un polinomio). du d on lo que eliminmos el logrimo de l inegrl endremos que lulr l inegrr de oro polinomio. Ejemplo: ) )ln) uln) du d 8 dv ) v ) ) ln)- d 8 ) ) ln) ) d ) ln) 8 9 ) )ln ) ln ) C her por el lumno) José Luis Lorene rgón 9

14 Unidd. Inegrles Indefinids. Inegrles rionles El méodo de inegrles rionles onsise en desomponer un frión polinómi en friones simples us inegrles son o logrimos neperinos o rongenes. Ls inegrles que desemos resolver son del ipo: P ) I d Q ) neo: vmos resolver primero ls inegrles que preerán en ls inegrles rionles: ) d ln ) Ejemplo: d ln ) n ) d ) d n ) ) n n) n Ejemplo: ) ) n ) d ) ) ) m n ) d on sin ríes reles) rongene logrimo, vemos on un ejemplo Ejemplo: I d usmos l derivd en el numerdor) 8 8 d d I ln 8) 8 8 I d d 8 ) I ln d 8) I rg rg d punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

15 Unidd. Inegrles Indefinids José Luis Lorene rgón Cso : grdop)) grdoq)) hemos l división de form que endremos que inegrl el oiene que es un polinomio) oenemos or funión rionl pero donde hor grdo del numerdor menor que el del denomindor por no esmos en el so. Ejemplo: ) I d ) I d d d ) I d I d d d ) Cso : grdop))<grdoq)). Disinguimos enre sos: ) El denomindor se puede desomponer por produo de fores simples disinos: Q)- ) - ) - n ) d d P d Q P n n n... ) )... ) ) ) )

16 Unidd. Inegrles Indefinids punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU Ejemplo: oninumos ls inegrl ) del ejemplo nerior: ) I d ) ) ) ) C B. Clulo de, B, C: ) ) ) ) ) ) ) ) C B ) ) ) ) C B -- - si : si -: B B - si -: -C- C I C C d d d ln ) ln ) ln ) I C d ) ln ) ln her por el lumno) ) El denomindor se puede desomponer por produo de fores, lguno de ellos no simple: Q)- ) n - ) - n ) ) ) d d P d Q P n n n n n n ) )... ) ) ) ) Ejemplo: ) d I ) ) ) C B ) ) ) ) ) ) ) ) C B - ) ) ) ) C B si : B- B-/ si -: C C/8 si : -BC B C

17 Unidd. Inegrles Indefinids d d d I C ln ) ln ) 8 ) 8 8 ) 8 8) I d ln ) ln ) C her por el lumno) ) ) ) El denomindor se puede desomponer por produo de fores, lguno de ellos es un for de segundo grdo: Q)- ) - ) ) P ) P ) C D d d... d Q ) ) )... ) ) Ejemplo: 9) d ) C D ) ) - )CD) - si : si : -8CD CD - si -: -8C-D -C-D Resolviendo el sisem C, D C D d ) ) C D) ) ) d ) ) ) I d d ln ) ) ) ) 8 ) d d d d ln ln ) ) ) d / d ln ln I ln) ln ) rg C ) d ) rg C José Luis Lorene rgón

18 Unidd. Inegrles Indefinids rg ) d ln ) ln ) C ) ) I I B C )BC)-) ) ) ) / -C C-/ 9BC B-/ d ) ) d d I ln ) I d d d d d ln ) d I d d d d ) ) d ) d d I d d r o g ) r o g ) )) d ln ) ln ) r o g ) C ) ). Inegrles rigonoméris. Ls inegrles rigonoméris no esán en l progrmión de l PU de l morí de ls omuniddes, si ien se d en muhos insiuos en ls rrers on signurs de memáis. Podemos disinguir vrios ipos: Tipo : impr en el seno o oseno Son inegrles donde sólo preen senos osenos muliplindo o dividiendo, donde se umple que l poeni del seno, del oseno o de los dos mos siempre on mismo rgumeno) se impr. Se resuelve on el siguiene mio de vrile: ) Si seno impr oseno pr os) ) Si oseno impr seno pr sen) ) Si mos impres sen) ó os) punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

19 Unidd. Inegrles Indefinids Vemos lgunos ejemplos: ) sen ) os ) d sen) os) dd d d os) d os ) os ) d sen )) d ) d C os ) sen ) sen ) C sen ) ) d os ) os) -sen) dd d d sen) sen ) d sen ) os )) ) d d d sen ) os ) d os ) - ) Tipo : pr en el seno o oseno os ) Son inegrles on produos oienes de senos osenos on eponenes pres, pr resolver ess inegrles se uili l relión del oseno del ángulo dole: os)os )-sen ) : os)- sen ) sen os) ) os) os )- os os) ) Vemos lgunos ejemplos: os) sen ) ) sen ) d os) ) sen ) d d os) os )) d sen) os ) os) ) sen) d sen) sen ) sen) sen) 8 8 José Luis Lorene rgón

20 Unidd. Inegrles Indefinids Tipo : mio generl. Ese mio se puede plir en ulquier inegrl rigonoméri, rnsformndo es en un inegrl rionl, si ien sólo se reomiend uilir undo no se pueden uilir ls regls neriores generlmene undo h sums o ress). Se uili el siguiene mio: g / ) g / ) d d d sen / ) os / ) sen ) sen / ) os / ) sen / ) os / ) sen sen / ) os / ) os / ) g / ) / ) os / ) g / ) os / ) os / ) sen / ) os / ) sen / ) os / ) g / ) os ) os / ) sen / ) os / ) sen / ) os / ) sen / ) g / ) Conlusión: os / ) g / ) d sen ) os ) Ejemplo: sen ) os ) d sen ) ) ) d Que es inegrl rionl. d ) punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

21 Unidd. Inegrles Indefinids Prolems Clulr ls inegrles ) ) d ) d C ) ) d 8 / ) d ln ) C ) ) d d ln ) C 8 d) d e) 8 d d C ln ) d d / / d ) d ) C f) sen os) d sen os) d sen ) os) d sen ) C 8 g) d 9 d d 9 ln)dd d d ln) d ln) ln) g ) ln) g ) C José Luis Lorene rgón

22 Unidd. Inegrles Indefinids e h) e e d d e d d d e d d d e C e ln ) ln ) sen) i) os ) d d os) -9sen)dd d 9sen) sen) sen) d 9sen) / / d d d os) / os) ) C j) rg d rg d rg d rg C ln ) ) ) ) ) u rg) du d dvd v ) e ) d u) du)8 e dve - d v e ) d ) e ) e d ) e e ) u) du dve - d v d ) e d ) e e e d ) e ) e e e C e C ) C 8 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

23 Unidd. Inegrles Indefinids José Luis Lorene rgón 9 l) C sen e d e ) os ) ) os Por l pesdill m) d { C d d ) ln n) d ) ) ) ) ) C B -))B)C-) B B - - C-8 C- - -BC- C d d d d ) ln ) ) ln ) ) ) o) d { ) d d d d

24 Unidd. Inegrles Indefinids B )B-) ) ) ) ) - / - - B/ / ) / ) d d d ln ) ln ) I ln ) ln ) C ln ) ln ) C p) d ) rsen C ) ) d d d d d ) d d rsen ) ln ) ln ) q) d C lnln )) r) d ln) d d d d lnln )) d d d d C ln ) ln ) ln ) ln ) ln ) lnln )) ln ) uln) du d dvd v punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

25 Unidd. Inegrles Indefinids PU Junio. Prue C-.- De ods ls primiivs de l funión f)g) se ), hállese l que ps por el puno Pπ/,) sen sen F ) ) ) g )se ) d d d d os ) os ) os ) C C os ) os ) sen ) d d π Vemos el vlor de C pr que pse por P, ). Fπ/)C C- F ) os ) Oro méodo d d sen ) F ) g )se ) d se ) os ) d g ) C g ) d d d os ) d os ) π Vemos el vlor de C pr que pse por P, ). Fπ/)C C F) g ) No: Ls dos funiones son l mism, pues se g d Junio. Prue B C-.- Clúlese ) d d C d / C José Luis Lorene rgón

26 Unidd. Inegrles Indefinids Junio 8. Prue- PR-- ) Clulr ln ) d ln ) ln ) d ln ) u d du d dv v d ln ) d C Sepiemre. Prue-B PR-.- ) Dd l funión f:[,e] R definid por f)/ln). Clúlese un funión primiiv de f) que pse por el puno Pe, ). F ) I ln ) d ln ) d ln ) d d ln ) d ln ) I ln ) u ln ) du d dv d v ln ) ln ) C Clulemos C : Fe)e-eC C. F) ln ) ln ) Sepiemre. Prue-B C-.- Clúlese. d d d d rg ) C rg C ) d d d d punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

27 Unidd. Inegrles Indefinids Sepiemre 8 Prue- C-. Clulr d ) d d ln ) ln ) C ln ) ) B B B ) B ) C Sepiemre 8 Prue-B C-. Clulr d d d rsen ) C rsen C 9 ) d d José Luis Lorene rgón

28 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

29 Unidd. Inegrles definids. Áres TEM. INTEGRLES DEFINIDS. ÁRES.. proimión de áres jo un urv. Límie de l definiión, inegrl definid.. Áre omprendid por un funión el eje OX.. Áre omprendid enre vris funiones José Luis Lorene rgón

30 Unidd. Inegrles definids. Áres Coneo on l P..U. Los prolems reliondos on áres en seleividd preen, ien en uesiones de un puno, o ien en un prdo de un prolem de funiones. Por lo generl, undo ls inegrles definids preen en uesiones de un puno, se suelen pedir ls áres enerrds enre práols res; undo esán en un prdo de un prolem de funiones, el áre es l omprendid enre l funión del prolem el eje OX. NEXO: Represenión de práols: f) : - Vérie en V, ), donde -/ f ) - Si > funión ónv hi rri ), si < ónv hi jo ) - Los punos de ore on el eje OX son ls soluiones de l euión de segundo grdo. No: Ejemplo: Si > >,no or on el eje OX Si < <,no or on el eje OX V, ):.; f-.)-.. Por no V-.,-.) Punos de ore -,), -,) punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

31 Unidd. Inegrles definids. Áres. proimión de áres jo un urv. Límie de l definiión, inegrl definid. H infinidd de funiones eríds del mundo rel ienífio, eonómio, físi ) pr ls ules iene espeil relevni lulr el áre jo su gráfi. Vmos ouprnos del álulo de ess áres. Vemos un ejemplo práio; imginemos que l funión v) represen l veloidd de un uerpo en el iempo, on l siguiene gráfi: v Queremos lulr el espio reorrido enre, por diho uerpo. El espio será igul l áre omprendid enre l gráfi el eje de siss en el inervlo [,]. Un ide, uilid desde l nigüedd pr medir áres, onsise en dividir el inervlo ) [,] en n pequeños rmos mpliud ε. Esos rmos ienen por eremos los n siguienes punos: < < < n, donde ε, ε Podemos proimr el áre omo l sum de los reángulos on se ε de lur m i o M i, donde m i es el menor vlor de l funión en el inervlo [ i, i ], M i el mor vlor de l funión en el inervlo [ i, i ]. Vemos gráfimene ls áres lulds: ) Sum superior ) Sum inferior José Luis Lorene rgón

32 Unidd. Inegrles definids. Áres Designemos l áre luld en ) omo sum superior de Riemn, Sf)), siendo l luld en ) l sum inferior de Riemn, sf)). Se umple: Sf)) áre sf)) Los vlores de ls sums de Riemn son: Sf))M - )M - ) M n n - n- ) sf)) m - )m - ) m n n - n- ) Es fáil drse uen que uno mor se el número, n, de inervlos, por no uno menor se ε, más se proimrán l áre e Sf)) sf). sí si n, sf))resf)). Se umple sí que lim s f )) lim S f )) f ) d, que es l inegrl definid de n f) on eremos. n Regl de Brrow: Si F) es un primiiv de f), el vlor de l inegrl definid de f) es: Áre f ) d F ) F ) Ejemplo, se un movimieno on elerión onsne, v v. Se v m/s g-m/s v)-. Queremos lulr el espio reorrido desde hs que el uerpo se pre s: v S f 8 ) d [ v ] s s ) ) 8 m S. Áre omprendid por un funión el eje OX En el prdo nerior l funión f) siempre es sore el eje OX f)>). En el so de que l funión por dejo del eje OX f)<) el áre que oendremos por el méodo de l inegrl definid será l mism pero negiv. De es form, pr lulr el áre omprendid enre l funión f) el eje OX, endremos que ver primero los inervlos donde l funión es posiiv, undo es negiv. Supongmos que queremos lulr el áre de l siguiene urv el eje OX: 8 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

33 Unidd. Inegrles definids. Áres d re f ) d f ) d f ) d d d Conlusión, psos pr lulr el áre enre un urv el eje OX: ) Clulr los punos de ore de l funión on el eje OX ) Esudir el signo de l funión enre los punos de ore ) Clulr un primiiv de f), F). ) Clulr el áre en d inervlo sumrls. Ejemplos: Sepiemre del. Prue. PR-.) Clúlese el áre delimid por l gráfi de f) ls res -,,. Siendo f) ln, Core on eje OX: f) ln ) e Inervlo -,),) Signo f) Áre d ln ) d d u. u F ln ) d ln )- d ln )-rg) d uln ) du d dvd v ln ) d F) F) ln) rg) ) ln ) rg) ) José Luis Lorene rgón 9

34 Unidd. Inegrles definids. Áres ln)- π/- )ln)π/-, u /ln)π/- ln)π/-/, u No: el resuldo de los rongenes, rosenos roosenos se dn en rdines. ud pr el álulo de F): d d rg ) { Junio del. Prue B PR-. ) Clúlese el áre de l región limid por f) ls res,,. Core on eje OX: f) Inervlo,),) Signo f) - Áre - d d d [ ln ) ] [ ln) ) ln) )] ln) ), u punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

35 Unidd. Inegrles definids. Áres d [ ln ) ] ln) ) ln) ) 9 ln) ln ) d d 8-ln)ln), u d ln ) u,u Ejeriio Clulr el áre omprendid enre el eje, -, l funión f) Core on el eje OX: f) Inervlos -,),) Signo f) - Áre d d F ) d ln ) [ ln ) ] ln) ) ln) ) d [ ] ln), u d [ ln ) ] ln) ) ln) ) [ ] ln),9 u ln)ln), u. Áre omprendid enre vris funiones Cundo queremos lulr el áre omprendid enre dos funiones, f) g), endremos que resr l áre de l funión que esá por enim menos l funión que esá por dejo. Psos José Luis Lorene rgón

36 Unidd. Inegrles definids. Áres Clulr los punos donde se orn ls dos funiones. Esos se oienen resolviendo l euión f)g), En los inervlos definidos por los punos de ore vemos si f) esá por enim de g) f)>g) o por dejo f)<g). El áre en d inervlo es l inegrl definid on eremos los del inervlo funión de inegrión f)-g)) si f)>g) ó g)-f)) si f)<g) Ejemplo gráfio: d Inervlo,),),d) Enim g) f) g) Dejo f) g) f) Áre g ) f ) ) f g ) g ) f ) d Ejeriios: Sepiemre. Prue C-. Esudir el áre del reino limido por l urv - su re ngene en. ) re ngene, mf ),f)),) Punos de ore f) - g) - -, Gráfio de l funión f) l re ngene: punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

37 Unidd. Inegrles definids. Áres Cundo no nos dn los inervlos de inegrión en, enones se supone que el áre pedid es el áre enre sus dos punos de ore. Inervlo,) Enim Dejo - Áre ) 8 ) d ) 88 u, u Junio. Prue C-.- Hállese el áre del reino limido por l práol - l re -. Punos de ore f)- g)-, - Inervlo -,) Enim - Dejo - ) Áre ) d José Luis Lorene rgón

38 Unidd. Inegrles definids. Áres ) )) d ) ) u, u d Junio, Prue B C-.- Hállese el áre del reino limido por ls gráfis de ls funiones f), g) /, h) Punos de ore gráfis f) g) / f) h), g) h) /, / punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

39 Unidd. Inegrles definids. Áres Inervlo,),) Enim Dejo / / Áre ) d ) ) d d ) d 8 u, u ) u 8 8 d u, u Sepiemre de, Prue C-.- Hállese el áre del reino limido por ls práols de euiones respeivs f)- e g) -. Vemos los punos de ore: , Inervlo,) Enim - Dejo - Áre ) ) d 8 ) ) d 8 ) d ) u, u José Luis Lorene rgón

40 Unidd. Inegrles definids. Áres Sepiemre de, Prue B C-.- Hállese el áre limid por ls gráfis de ls funiones f)-, g)- Vemos los punos de ore: , - Inervlo -,) enim - dejo - Áre ) ) d, u ) ) d ) ) d 8 9 Junio de, Prue B C-. Hállese el áre limid por ls gráfis de ls funiones us epresiones nlíis son f) -, g)- Punos de Core: -- -,. Inervlo,) Enim - Dejo - Áre ) ) d ) ) d ) d 8 ) ). u punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

41 Unidd. Inegrles definids. Áres Junio. Prue PR-. Se l funión e -. ) Clúlese el áre de l región pln omprendid enre l gráfi de l funión ls res -. e e e si si < Vemos si f) or el eje OX: ) e - no soluión. Luego sólo h que onsiderr en el inervlo el vlor donde mi de epresión nlíi). Se umple que f)> en odo inervlo: Inervlo -,),) Áre d e e d e F ) e e G ) e e e e d F) F ) e,8 u d G) G),8 u, u Junio. Prue PR-.- ) f), lúlese. f ) d e d F) F) e d F ) e e d e 8 e ). d d d José Luis Lorene rgón

42 Unidd. Inegrles definids. Áres Junio. Prue B PR-.- Se f). Deermínense, de modo que f) eng un eremo relivo en, l re ngene l gráfi de f) en se prlel l re -, el áre omprendid por l gráfi de f), el eje OX ls res,, se igul. Clulemos ls derivds f ) ) Eremo relivo en f ) ) Re ngene en prlel f ) / ) f).. ) d Junio. Prue PR- ) Se f),. /. Clulr el áre de l región limid por dih gráfi ls res Vemos en ese inervlo si l funión esá por enim o dejo del eje OX f). demás iene sínos veriles son en -. Pero ninguno de esos vlores de esán en el inervlo -,-) por eso f) mismo signo en ese inervlo: Inervlo -,-) Signof)) - Áre - d F ) d d ln ) - d -F-)-F-))-.ln)-.ln)),ln),8u 8 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

43 Unidd. Inegrles definids. Áres Junio 8. Prue B PR- Se f), π ) Clulr π Como π, π umple que ó ó π π os ) ) π sen π f d d sen ) d π π ) π Junio. Prue π π osπ os π )) )) π sen ) d C-.- Clulr el áre del reino limido por l urv de euión ln), el eje OX ls res. Tenemos que ver el signo de l funión en el inervlo,): ln) e. Como,) l funión no mi de signo, vemos el signo: Inervlo,) Signof)) Áre ln ) d d F ) ln ) ln ) dv d ln ) ) u ln ) du v ln ) d F)-F)[ ln)--ln)-)]ln)-.9 u Sepiemre. Prue B PR-.- Se l funión eje OX ls res -,. d. El áre de l región limid por l gráfi de f, el Tenemos que ver el signo de l funión en el inervlo -,): f). Como -,) mi de signo: Inervlo -,),) Signof)) - Áre - d d José Luis Lorene rgón 9

44 Unidd. Inegrles definids. Áres F ) d ln d d ln) ln 8) ln). - [ ] - d [ ln8) ln) ] ln). u ln), u ) u Sepiemre. Prue B PR-.- Se P, sen ) un puno de l gráfi de l funión f)sen) en el inervlo [,π]. Se r p l re ngene dih gráfi en el puno P p el áre de l región deermind por ls res r p,, π,. Clúlese el puno P pr el ul el áre p es mínim. No: Puede sumirse, sin demosrr, que l re r p se mniene por enim del eje X enre π) Clulemos l re r p : mf )os) que ps por P, sen)) r p : os)-)sen)os)- os)sen) π os ) os ) sen ) ) os ) π π os ) πsen ) os ) d os ) π os ) sen )) π os ) πsen ) Luego l funión minimir es f) os ) π π os ) πsen ) f ) sen ) π πsen ) π os ) π os ) sen ) π π / ) π-π π /, sen) sólo. Sólo π,π) Demosremos que pr ese vlor de el áre es máim f )os)π-π /)πsen) f π )> mínimo. π Luego l re es os π - π os π sen π r p :. punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

45 Unidd. Inegrles definids. Áres José Luis Lorene rgón

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47 Unidd 8. Mries TEM 8. MTRICES.. Definiión de Mries ipos de Mries. Operiones on Mries.. Iguldd de Mries.. Sum de Mries.. Produo de un Mri por un número eslr). Produo de Mries. Trnsposiión de Mries. Mries siméris nisiméris. Mri invers.. Definiión... Cálulo. Resoluión de euiones mriiles J José Luis Lorene rgón

48 Unidd 8. Mries Coneo on l P..U. En ese em omien el Bloque II de Álger Linel. Por lo generl en los eámenes de l P..U. suele her un prolem reliondo on l resoluión de sisems de euiones lineles, que veremos en el em, un o dos uesiones relivs : resoluión de euiones mriiles, ese em dd un mri álulo del vlor de n, ese em álulo de deerminnes, em 9 ompror si un mri es inversile o no, em 9 Por lo generl no el prolem omo ls uesiones relivs ese loque que hor empemos suelen ser meódis, por no senills. punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

49 Unidd 8. Mries. Definiiones de Mries ipos de Mries El onepo de Mri es senillo, es un l on m fils n olumns de números reles ordendos m,n N). Vemos un definiión más memái de ls mries Definiión: se llm mri de dimensión mn l onjuno de números reles dispuesos en m fils n olumns de l siguiene form:... m... m n n on ij elemeno de l mri siudo en l fil i olumn j... mn Muhs vees l mri se deno mién omo ij ) Definiión: El onjuno de ods ls mries on m fils n olumns se deno omo M nmr). sí M R) Definiión: dimensión de un mri es el número de fils olumns de l mism, en el ejemplo nerior, es de dimensión Tipos de mries:. Mries udrds: son ls mries que ienen igul número de fils que de olumns mn), que omo veremos son ls únis que pueden muliplirse enre sí en ulquier de los dos posiiones. El onjuno de ods ls mries udrds on n fils olumns se denon omo M nnr) o M n R). Ejemplo: B, B M R) ó B M R) Elemenos de ls mries udrds:. Digonl prinipl: elemenos de l form ii, es deir en l digonl que v desde hs nn. Digonl seundri: elemenos de l form ij donde ijn, es deir los elemenos en l digonl que v desde n hs n 8 9 Digonl prinipl ij Digonl seundri ij J José Luis Lorene rgón

50 Unidd 8. Mries punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU. Mries ringulres superiores e inferiores: son ls mries udrds l que:. Superior: elemenos dejo digonl de l prinipl son nulos ij si i>j. Inferior: elemenos enim de l digonl prinipl son nulos ij si i<j erior ringulr B erior ringulr inf sup 8. Mries digonles: mries udrds donde odos los elemenos fuer de l digonl son ero. D. Mri eslr: mri digonl en el que odos los érminos de l digonl son igules: E. Mri unidd o mri idenidd: mri eslr uos elemenos son. Se deno omo I o Id: Id I mri idenidd de orden ) Id I mri idenidd de orden ) Id I mri idenidd de orden ). Mri olumn: od mri on un sol olumn M m R) C C M R). Mri fil: od mri on un úni fil M n R) ) F F M R)

51 Unidd 8. Mries J José Luis Lorene rgón noiones: Tod mri digonl es ringulr, no superior omo inferior, pues los elemenos por enim por dejo de l digonl son nulos. Tod mri eslr es digonl. L mri idenidd es un mri eslr. Ejeriio. Esriir mries de los siguienes ipos: ) De dimensión ) Cudrd de dimensión ) Tringulr inferior de dimensión d) Digonl de dimensión e) Qué ipo de mri es de dimensión? Pon un ejemplo. Cuál será l mri idenidd de dimensión? Soluión: d. e. fil un olumn los números reles M R)R, ejemplos,-., l idenidd es. Ejeriio.Deir que ipo de mries de que dimensión son ls siguienes mries: ) ) ) d)

52 Unidd 8. Mries. Mri udrd, ringulr superior, dimensión M R)) o udrd de dimensión.. Mri olumn de dimensión M R)). Mri rengulr de dimensión M R)) d. Mri udrd, eslr de dimensión M R)) o simplemene mri udrd de dimensión.. Operiones on mries. Iguldd de mries Definiión: dos mries M N se dien que son igules MN) si se umplen: - mism dimensión - elemenos que oupn el mismo lugr son igules.. Sum de mries Solo se pueden sumr mries de l mism dimensión, vemos en qué onsise l sum de mries: Definiión: l sum de dos mries de dimensión B es or mri que se deno omo B on mism dimensión que ls ors dos definid omo B ij ) ij ) ij ij ). Es deir B se oiene sumndo los elemenos que oupn l mism posiión en ls dos mries que sumn. Vemos un ejemplo de dos mries,b M R) B Propieddes de l sum de mries: omo l sum de mries definids prir de l sum de números reles umple ls misms propieddes que esos, es deir: - soiiv: BC)B) C - Elemeno neuro, on O l mri de igul dimensión que on odos sus oefiienes igules ero - Elemeno opueso: -), on -)- ij ) es deir los elemenos opuesos los de l mri. - Conmuiv: BB Ejemplo de elemeno opueso:, 8 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

53 Unidd 8. Mries. Produo de un mri por un número eslr) Definiión: Se R eslr) ij ) un mri de dimensión mn M mn R)).El produo de por es or mri de mism dimensión l que: ij ) ij ), es deir l mri se oiene de muliplir por d elemeno de l mri. Ejemplo: M R): Propieddes: - B)B - ) - )) - 9 Ejeriio : sr for omún un eslr de ls siguienes mries de form que éss se simplifiquen B C 8 D Id No: siempre que de form senill se pued sr for omún, simplifindo l mri, se reomiend sr ése, que se simplifin los álulos, espeilmene en l mulipliión de mries, omo veremos en el prdo siguiene. Ejeriio : Clulr el vlor de,, d: -d d- - dd d- J José Luis Lorene rgón 9

54 Unidd 8. Mries punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU Ejeriio : dds ls mries, B C lulr ls siguienes operiones: C B ) B ) -B-C ) B-C 9 Ejeriio : resolver los siguienes sisems ) ) ) Y X Y X Llmemos B )- ) YY-B Y/-B) 8 9 XBY ) ) ) Y X Y X Llmmos B )) XB X/B) 8 Y-X

55 Unidd 8. Mries ) ) X Y ) X Y Llmmos B )-) -Y-B Y-/-B) XB-Y 8. Produo de Mries El produo de mries es un operión más omplej que ls neriores. Pr poder muliplir dos mries es neesrio que el nº de olumns de l primer mri del produo se igul l nº de fils de l segund mri. Vemos l definiión del produo de mries: Definiión: El produo de l mri ij ) M mn B ij ) M np es or mri C B M mp, on igul nº de fils que de olumns que B, l que el elemeno de l mri C que oup l fil i olumn j, ij se oiene muliplindo l fil i-esim de l primer mri on l olumn j-ésim de l segund. Resul más senillo omprender el produo de mries prir de vrios ejemplos: ) ) ) ) ) 8 8 ) ) J José Luis Lorene rgón

56 Unidd 8. Mries punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU 9 8 No se puede muliplir, pues l primer mri iene olumns l segund fils. No: Vemos l uilidd de sr for omún en el produo de mries on un ejemplo: 9) 9) 9 Más simple ) ) Ejeriio: ver odos los produos posiles on ls siguienes mries lulrlos:, B, C M, B M, C M, solo posiles los siguienes produos: B 8 C 8 9 C B 8 Ejeriio 8: muliplir B B, Qué ourre? 9 8 B

57 Unidd 8. Mries J José Luis Lorene rgón B B 9 8 No: en ls mries udrds, no siempre umplen que B B, es deir no se umple l propiedd onmuiv del produo de mries. Eisen lgún ipo de mries que si onmun, BB, si eso ourre se die que B onmun Ejeriio 9: Clulr -B, B) -B) siendo B ls siguienes mries:, B ) nóese que no oinide on elevr l udrdo d érmino de B -B - ) B) B) B) ) -B) -B) -B) No: l no ser onmuivo el produo de ls mries se umple que ls igulddes noles no son iers undo B son mries B) B BB B B -B) B -B-B B -B

58 Unidd 8. Mries punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU Ejeriio : Clulr los vlores de e que verifin ls siguienes igulddes: ) ) - Ejeriio. Deir si son verdders o flss ls siguienes ideniddes pr B ulquier mri: ) B) B B Fls B B B) B BB B B ) -B) B -B Fls B B -B) B -B-B B B ) B)-B) -B Fls B B B)-B) -B -BB Ejeriio : Clulr ls mries que onmuen on l mri B, siendo:, B ) Si onmun se umple que XX R onmu on ulquier,,, ) Si onmun se umple que BXXB

59 Unidd 8. Mries J José Luis Lorene rgón f e d i i h f f e i h g f e d i h g f e d R g d on onmu d g d h d i e f f e i d i h f f e,,,,,, Ejeriio. Se lulr n. Clulr, 9 Vemos lo que vle,, prir de sus vlores usquemos el vlor de n : Id -Id)- -Id)-Id)Id Id ) n es enre n dividir de reso el n Id es enre n dividir de reso el n es enre n dividir de reso el n Id es enre n dividir de reso el n sí -Id, que el reso de dividir enre es. 9, que el reso de dividir 9 enre es Ejeriio : Se lulr n. ) ) )

60 Unidd 8. Mries punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU )... 8 n n n n n n ) )... n n... n n

61 Unidd 8. Mries Ejeriio. Se un mri que onmu on B C. Demosrr que es ier l iguldd B C) B C) Si B onmun BB Si C onmun CC B C) B C )B C)B ) C B) C B C) Ejeriio Es posile que pr dos mries B no udrds puedn eisir B B? Se M mn R) B M pq R). Si eise B np Si eise B qm Sólo eise B B si M mn B M nm. Un so priulr es undo mn, es deir ls dos mries son mries udrds.. Trnsposiión de Mries.Mries siméris nisiméris Definiión: se un mri M mn R) se llm mri rnspues se esrie omo M nm R) que resul de mir ls fils por ls olumns. Ejemplos: B C Propieddes: B 8 9. ) ) C. B) B. ). B) B 8 9 J José Luis Lorene rgón

62 Unidd 8. Mries 8 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU Ls rnsposiiones de mries nos permien definir dos ipos de mries: siméris nisiméris. Definámosls: ) Mri siméri: es od mri udrd M nn R) l que oinide on su rnspues, es deir los elemenos simérios respeo l digonl son igules, vemos un ejemplo de dimensión : ) Mri nisiméri: es od mri udrd M nn R) l que oinide on el opueso de su rnspues - -, es deir los elemenos simérios respeo l digonl son opuesos, los de l digonl son ero. Vemos un ejemplo de dimensión : Ejeriio. Demosrr ls propieddes de mries rspuess prir de ls siguienes mries: B P: ) P: ) B B P: ) P: B) B

63 Unidd 8. Mries J José Luis Lorene rgón 9 Ejeriio 8: Esriir un mri siméri nisméri de dimensión, nisiméri S siméri nisméri S siméri nisméri S siméri Ejeriio 9. Enonrr ods ls mries nisiméris S siméris de orden que verifin Id S Id Si es nisiméri de orden enones es de l siguiene form, R - imposile, es deir no h ningun mri nisméri de orden que l udrdo se igul l Id. Si S es siméri de orden es de l siguiene form S,,, R S ) ) ) de l euión oenemos ) o - so : ±, ±,,, S S S S so : - ± S S, se umple siempre que - rdindo posiivo).

64 Unidd 8. Mries Ejeriio. Desomponer od mri udrd omo sum de un mri siméri or nisiméri Se B M nn l mri udrd, vemos ls siguienes mries: B B S demosremos que es siméri S B B B B S B B demosremos que es nisméri B B Tendremos que ompror que l sum de S sumn B: B B B B S. Mri invers. Definiión B B B B B Definiión: l mri invers de un mri udrd M nn R) es or mri udrd de mism dimensión que se deno omo - M nn R) l que se umple: - - Id on Id M nn R) No ods ls mries udrds ienen invers, sí ls mries que iene invers se llmn mries regulres ls que no ienen invers se denominn mries singulres.. Cálulo de l invers El méodo más senillo pr el álulo de l invers lo veremos en el em siguiene, undo definmos el deerminne de ls mries. Pr mries podemos lulr l invers prir de l definiión: Ejemplo: Tenemos euiones on inógnis, que podemos gruprls en dos sisems de dos euiones on dos inógnis: ) ) ) ) punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

65 Unidd 8. Mries J José Luis Lorene rgón Los sisems son: ) ) ) ) Ls soluiones son /8, -/, -/8 /, on lo que 8 Comproión: - Id Ejeriio. Clulr l invers de ls siguienes mries ) ) ) ) ) Soluión / Comproión: - Id ) ) ) ) ) ) -, / ) ), -/ ) / /

66 Unidd 8. Mries punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU ) ) ) ) 8 ) 8 ) no soluión ) 8 ) no soluión ) 8 Luego l mri no iene invers, por lo que es un mri singulr.. Resoluión de euiones mriiles. Definiión Definiión: son euiones lgeris donde los oefiienes ls inógnis son mries. Ejemplos PU JUN PRUEB, C-) X BBB - siendo B PU SEP PRUEB B, C-) P - B P siendo, P. Resoluión de euiones. Tenemos que oener l mri inógni, que generlmene se deno omo X, despejándol de l iguldd. Pr onseguirlo enemos ls siguienes regls: ) Si un mri esá sumndo un ldo de l iguldd ps resndo l oro ldo de l iguldd l revés. XBC XC-B X-BC XCB

67 Unidd 8. Mries J José Luis Lorene rgón ) Si muliplimos un mri por l iquierd un ldo de l iguldd mién lo enemos que her en el oro ldo de l iguldd por l iquierd. Igul por l dereh. XB - X - B Id X - B X - B X B X - B - X IdB - XB - Ejemplo: vemos l resoluión de los dos neriores ejemplos: PU JUN PRUEB B, C-) X BBB - oro miemro B psmos X BB - -B ldereh por B mos mulipli X B B - B - -B) B - X IdB - -B) B - XB - B - -B B - B - B - -Id Clulndo B - enemos que B - on lo que X - PU SEP PRUEB B, C-) P - B P l iquierd por P por muliplimos P P - B PP Id B P P B PP por l dereh P por muliplimos B P P - P P - BP P - Clulndo P enemos que l mri B usd es: B Ejeriio : Ls mries l que se llmn idelpoenes, lulr ls mries idelpoenes de orden ) ) ) ) ) ) son igules ) so : - ; so

68 Unidd 8. Mries punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU Cso - Susiuendo en ) -) -) ± ± ± [,] que son los vlores de donde el rdindo es posiivo), Cso Susiuendo en ), Susiuendo en ), Eso nos gener soluiones:,,, Ejeriio. Se l mri. Clulr l que se umpl l siguiene iguldd -Id) -Id) ) I Tenemos 9 euiones on un inógni, ods ls euiones ienen un soluión omún. Si l soluión fuer disin en lgun or euión no endrí soluión

69 Unidd 8. Mries J José Luis Lorene rgón Ejeriio. Clulr l mri X, en l euión mriil BId)XB siendo B BId)XB miemro B oro psmos BId)-BX BX por iquierd por muliplimos - B - X - B X por l dereh muliplimos - B - X - - B X Clulndo - em siguiene) X - B Ejeriio. Prue que --I siendo. Clul - prir de l nerior iguldd: --Id Id -Id -Id)Id Id) - Id - Id) - - Ejeriio. Si B son dos mries digonles de orden demuesr que BB. Hllr ls mries digonles que umpln Id ), B B, B ), ±, ± Luego h soluiones:,,,

70 Unidd 8. Mries Ejeriios PU: Junio.Prue B C--Dd l mri B hállese un mri X que verifique l euión XBBB-. X BBB - psmos B oro miemro X BB - -B mulipli mos por B l dereh X B B - B - -B) B - X IdB - -B) B - XB - B - -B B - B - B - -Id Clulndo B - enemos que B - on lo que X - Sepiemre. Prue B C-) Dds ls mries, hállese l mri B siendo que P - BP. P - B P muliplimos por P por l iquierd P P - B PP Id B P P B PP muliplimos P por l dereh por B P P - P P - BP P - Clulndo P enemos que l mri B usd es: B Junio. Prue B C-.- Dds ls mries, C, hállense ls mries X que sisfen XCC. XCC siendo C XCC psmos l oro miemro XCC - muliplimos por C por l dereh XC C - C -) C - XC -) C - XId -) C - punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

71 Unidd 8. Mries J José Luis Lorene rgón Clulemos. Luego susiuendo en l euión mriil enemos: XId-) C - Id Junio. Prue C-- Hállense ls mries udrds de orden, que verifin l iguldd: es equivlene ver ls mries que onmun on Por resoluión de euiones no podemos oenerl, que no podemos despejr, que pr eliminrl del primer miemro deerímos muliplir por -, pero enones endrímos - en el segundo miemro. Pr soluionr eso definmos l mri omo. sí l iguldd es de l siguiene: ) ) ) ) Luego será od mri, R. Comproión:

72 Unidd 8. Mries 8 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU Junio. Prue B C-.- Dds ls mries P, hállese rondmene l mri B siendo que BP. B P B P P - P - B P - Clulndo P - em siguiene): P -. Enones B Sepiemre. Prue C-.- Sen X un mri, I l mri idenidd B. Hllr X siendo que BXBB I. I B B BX B I B BX ) B I B B BX B ) B B B B B X I B B X Clulndo B - X Junio 8. Prue C-.- Sen B C 8 8 lulr siendo B C Vemos lo difíil que serí resolver el sisem de l siguiene form 8 8 Tendremos que pensr en un form más senill pr enonrr l mri : Si B C, enones se umple que C B CB B - C Clulndo B

73 Unidd 8. Mries J José Luis Lorene rgón 9

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75 Unidd 9.Deerminnes TEM 9. DETERMINNTES.. Conepos previos, permuiones. Definiión generl de deerminnes. Deerminne de mries de orden orden... Deerminne mries udrds de orden.. Deerminne mries udrds de orden. Deerminne de lguns mries espeiles. Propieddes de los deerminnes. Oros méodos de lulr los deerminnes. Deerminne de mri de orden.. Por djunos.. Hiendo ero un fil o un olumn.. Deerminne de Vndermonde. Cálulo de l mri invers. 8. Rngo de un mri José Luis Lorene rgón

76 Unidd 9.Deerminnes Coneo on l P..U. El álulo de deerminnes es mu imporne, que se uilirá en el em siguiene en l resoluión de sisems de euiones lineles, prolem que generlmene sle en un de ls opiones del emen de P..U. demás de l imporni reliv su uiliión en los prolems del siguiene em, mién es freuene que en los eámenes de seleividd h uesiones relionds diremene on es unidd, les omo: Cálulo de deerminnes plindo propieddes. Cálulo de deerminnes Clulo de inverss Deerminr si un mri inversile punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

77 Unidd 9.Deerminnes. Conepos previos. Permuiones nes de esudir el deerminne vemos primero lo que signifi l permuión, que nos v servir pr luego definir el deerminne. Definiión: ddo n elemenos diferenes, permuiones son ls disins posiles ordeniones de esos elemenos. El onjuno de ods l permuiones se deno omo S n el número ol de permuiones es de n!n n-) n-) Ejemplos: El onjuno de permuiones de res elemenos, S, vienen definids por ls siguienes! permuiones: σ id, σ, σ, σ, σ, σ. Definiión: el índie de un permuión es el mínimo número de modifiiones que deemos relir sus elemenos pr llegr l permuión idenidd, donde odos los elemenos esán ordendos de menor mor ejemplo σ id en S ). Se deno omo iσ) donde σ es l permuión Ejemplos: σ iσ ) σ iσ ) permundo el el oenemos l permuión idenidd σ iσ ) permundo el el, luego el el oenemos l permuión idenidd. Definiión generl de deerminne Definiión: Se ij un mri udrd de orden n M nn R)) definimos omo deerminne de se deno omo o de) l siguiene número rel: i σ ) de ) )... l sum iene n! érminos) n n nn σ S n σ ) nσ n). Deerminne de Mries de orden En ese prdo vmos ver prir de l definiión del prdo nerior el vlor del deerminne de ls mries. Deerminne de mries udrs de orden. Se l mri M definid de form genéri omo deerminne prir de l definiión: de ) σ S ) i σ ) σ ) σ ) ) i σ ) ) i σ ), lulemos el José Luis Lorene rgón

78 Unidd 9.Deerminnes Ejemplos: ) 9) 9 9 B B ).. Deerminne de mries udrds de orden. De l mism form que en el prdo nerior vemos omo lulr el deerminne de ls mries udrds de orden. En ese so el número de sums será!. Veremos un regl nemoéni, regl de Srros, pr reordr omo lulrlo. Se M R) definido de form genéri omo. nes de plir l definiión de deerminne vemos ls permuiones sus índies: σ iσ ) pr σ iσ ) impr σ iσ ) pr σ iσ ) impr σ iσ ) pr σ iσ ) pr De es form: ) ) ) ) ) ) ) ) Regl de Srrus : 8 8 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

79 Unidd 9.Deerminnes Ejemplos: ) 8 9) 8 9) 8 ) [ ) ) ) ] [ ) ) ) ] ) 8) Ejeriio. Clulr los siguienes deerminnes ) ) ) 8) ) ) ) ) ) ) d) [ ] [ ] e) [ ) ) ] [ ) ) ] 9 m f) [ m ) m ) ) ] [ ) ) ) m m] m m m. Deerminne de lguns mries espeiles En ese prdo lulremos de form senill el vlor de los deerminnes de lguns mries udrds espeiles.. Deerminne de l mri nul L mri udrd nul es quell en l que odos los oefiienes son ero, se deno omo. i σ ) ij i,j {,,,n} )... σ ) nσ n) σ S n José Luis Lorene rgón

80 Unidd 9.Deerminnes. Deerminne de l mri idenidd Reordemos que l mri idenidd es quell donde odos los elemenos fuer de l digonl son nulos los de l digonl vle. Id Es fáil ompror que el vlor del deerminne idenidd es l unidd, veámoslo prir de l definiión de deerminne: Id σ S i σ ) ) σ )... n σ n) )... n. Deerminne de l mri digonl nn... Mries digonles son quells donde los elemenos fuer de l digonl son nulos, pudiendo vler ulquier vlor los elemenos de l mism. D nn Es fáil de ver que el vlor del deerminne de l mri digonl es igul l produo de los elemenos de l digonl. Es fáil demosrrlo prir de l definiión de deerminne. D i σ ) ) σ )... n σ n) )... nn σ S n. Deerminne de l mri ringulr Reordemos l definiión de mri ringulr superior e inferior:... nn T s n n... nn T i... n... n nn El vlor del deerminne de ls mries ringulres, no superior omo inferior, es igul l produo de los elemenos de l digonl. L demosrión es más omplid que ls neriores. T s nn T i nn punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

81 Unidd 9.Deerminnes. Propieddes de los deerminnes En ese prdo veremos ls propieddes más impornes de los deerminnes, prir de ls ules será fáil lulr el vlor de los deerminnes de lguns mries. Pr ese prdo usremos l siguiene noión: M nn R) formdo por n fils F,,F n ) on F i fil i-ésim formdo por n olumns C,,C n ) on C i l olumn i-ésim. Ejemplo: F,F,F ); C,C,C ) donde 8 9 C ), C ) C 8 9) F, F, 8 F 9 Propiedd : el deerminne de un mri es igul l deerminne de de l mri rnspues: de)de ) Imporne: prir de es propiedd ods ls propieddes de los deerminnes que relionen olumns sern iers mién pr ls fils l revés. Propiedd : si los elemenos de un fil o olumn) de un mri se le muliplin por un número el deerminne de l nuev mri qued muliplido por diho número: def,f,,f i,,f n ) def,f,,f i,,f n ) dec,c,,cf i,,c n ) dec,c,,c i,,c n ) Ejemplo: B C B C - José Luis Lorene rgón

82 Unidd 9.Deerminnes 8 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU Propiedd : Si un mri M nn R) l muliplimos por un número B ), el deerminne de l nuev mri, B, es n vees el deerminne de : de ) n de) Demosrión: prir de l propiedd es fáil de ver es propiedd: de )de C, C,, C n ) dec, C,, C n ) dec,c,, C n ) n dec,c,,c n ) Ejemplo: B B Propiedd : Si los elemenos de l olumn i-esim o un fil) de un mri udrd se puede desomponer omo sum de olumns o fils), su deerminne será igul l sum de los deerminnes de ls mries que ienen ls demás olumns fils) igules l i-ésim de d uno de ells un de ls olumns de l sum def,f,,f i F i,,f n ) def,f,,f i,,f n ) def,f,,f i,,f n ) dec,c,,c i C i,,c n ) dec,c,,c i,,c n ) dec,c,,c i,, C n ) Ejemplos: dec,c C,C ) dec,c,c ) dec,c,c ) Propiedd : El deerminne del produo de mries udrds es igul l produo de los deerminnes de ms mries. de B)de) deb) Ejemplo:

83 Unidd 9.Deerminnes Propiedd : Si un mri permu dos olumns fils), su deerminne mi de signo. def,f,,f i,, F j,,f n ) -def,f,,f j,, F i,,f n ) dec,c,,c i,, C j,,c n ) -dec,c,,c j,, C i,,c n ) Ejemplos: Propiedd : Si un mri iene un fil o un olumn formd por eros su deerminne es ero. def, F,,,, F n ) dec, C,,,, C n ) Ejemplo: Propiedd 8: Si en un mri dos fils o olumns son igules o proporionles su deerminne es ero: def,, F i,, F i,,f n ) dec,, C i,, C i,,c n ) Ejemplos : def,f,f ) ; def,f,f ) ; dec,c,c ); de-c,c,c ) José Luis Lorene rgón 9

84 Unidd 9.Deerminnes Propiedd 9: Se un mri udrd donde los elemenos de un fil olumn) son ominión linel de ls resnes fils olumns) enones su deerminne es ero: def, F,, λ F λ F λ i- F i- λ i F i λ n F n,, F n ) Fil i dec, C,, λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n,, C n ) Ejemplos: Column i def,f F -F,F,F )def,f,f,f ) def,f, F,F ) def,-f,f,f ) dec,c C -C,C,C )dec,c,c,c )dec,c,c,c )dec,-c,c,c ) 8 9 F F Propiedd : si en un mri su deerminne es ero, enones un fil olumn) es ominión linel del reso de fils olumns). de) F i λ F λ F λ i- F i- λ i F i λ n F n C i λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n Conlusión: de l propiedd 9 un fil olumn) es ominión linel del reso Propiedd : El deerminne de l mri - es / de - ) de ) Se puede demosrr fáilmene prir de l propiedd : - Id de - )de) de - )deid) de - ) de ) Propiedd : Si los elemenos de un fil olumn) se les sum un ominión linel de ors fils olumns), su deerminne no vrí. def,f,,f i,,f n )def,f,,λ F λ F λ i- F i- F i λ i F i λ n F n,, F n ) 8 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU

85 Unidd 9.Deerminnes RESUMEN DE PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES P : de)de ) P : def,f,,f i,,f n ) def,f,,f i,,f n ) dec,c,,c i,,c n ) dec,c,,c i,,c n ) P : de ) n de) on M nn P : def,f,,f i F i,,f n ) def,f,,f i,,f n ) def,f,,f i,,f n ) dec,c,,c i C i,,c n ) dec,c,,c i,,c n ) dec,c,,c i,,c n ) P : de B)de) deb) P : def,f,,f i,, F j,,f n ) -def,f,,f j,, F i,,f n ) P : def, F,,,, F n ) dec, C,,,, C n ) P 8 : def,, F i,, F i,,f n ) dec,, C i,, C i,,c n ) P 9 : def, F,, λ F λ F λ i- F i- λ i F i λ n F n,, F n ) Fil i dec, C,, λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n,, C n ) P : Column i de) F i λ F λ F λ i- F i- λ i F i λ n F n C i λ C λ C λ i- C i- λ i C i λ n C n P : de - )/de) P : def,f,,f i,,f n )def,f,,λ F λ F λ i- F i- F i λ i F i λ n F n,, F n ) José Luis Lorene rgón 8

86 Unidd 9.Deerminnes 8 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU Ejeriios Ejeriio. Clul el deerminne de ls siguienes mries: ) ) B 9 B - ) C C - d) D D -)- ringulr) Ejeriio : Clulr el vlor de los siguienes deerminnes prir de onoer el deerminne de : 8 8 de) 98 ) B 8 8 deb) 9 8 ) 8 ) C 8 C 9 8 ) 8 ) D D 98 ) 8 ) 8

87 Unidd 9.Deerminnes José Luis Lorene rgón 8 d) E 8 9 E 8 Ejeriio. Se F, F, F, F), uo deerminne es de) -, lulr el vlor del deerminnes de ls siguienes mries: ) BF, F, F, F) deb) def, F, F, F) - ) C -F, F, F, F) dec)-de F, F, F,F)- de F, F, F,F) - ) D D d) E F, F,- F, F) dee) def, F,- F, F) def, F,- F, F) -) def, F, F, F) -) def, F,- F, F)- 8 Ejeriio. Resolver los siguienes deerminnes ) ) ) 8 P P F F P ) ) ) 8 d d d d d d d d d d d d d P P F F P P ) 8 P P

88 Unidd 9.Deerminnes 8 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU Ejeriio Demosrr ) Si enones o - Si se umple que enones sus deerminnes son igules:. Por l propiedd, - ) Si Id enones o Si se umple que Id enones sus deerminnes son igules: Id. Por l propieddes de los deerminnes: Id, - Ejeriio. Enuenr un respues rond ls siguienes uesiones: ) En un deerminne relimos un ier permuión de fils o olumns qué podemos deir del nuevo deerminne? Si en un deerminne el número de permuiones es pr, enones el deerminne no mi de vlor. Si el número de permuiones es impr, enones el deerminne mi de signo. ) Se se que de) M uáno vle de)? Por l propiedd omo M R) enones ) Si B son inverss,. uáno vle B? Si B - por l propiedd B / / Ejeriio 8. Se se que. Clulr ) ) 8 8 P P P

89 Unidd 9.Deerminnes EXÁMENES DE PU, RELTIVOS PROPIEDEDES DETERMINNTES Junio. Prue C-.- Se iene un mri M udrd de orden us olumns son respeivmene C, C C uo deerminne vle. Se onsider l mri us olumns son - C, C C, C ). Clúlese rondmene el deerminne de - en so de que eis es mri MC,C,C ) -C,C C,C ) M de-c,c C,C ) de-c,c,c ) de-c,c,c ) -dec,c,c ) dec,c,c ) -dec,c,c )- - -/ Sepiemre. Prue C-.- Se un mri udrd de orden uo deerminne vle, se l mri B. Clúlese el deerminne de l mri B. M R) B B ) 9 Junio Prue C-.- Se un mri de olumns C, C deerminne. Se B or mri de deerminne. Si C es l mri de olumns C C C, lúlese el deerminne de l mri B C -. C,C ) B: B CC C,C ) dec)dec C,C )dec,c )dec,c ) dec,c ) deb C - )deb) dec - ) B / C // Sepiemre. Prue C-.- Se l mri. Clúlese el deerminne de siendo que - Id, donde Id es l mri idenidd es l mri nul. - Id José Luis Lorene rgón 8

90 Unidd 9.Deerminnes 8 punes de Memáis II pr preprr el emen de l PU ) ) ) de ) de ), susiuendo en ) - iero Sepiemre 8 Prue C-.- Se un mri de olumns C, C, C en ese orden). Se B l mri de olumns C C, C C, C en ese orden). Clulr el deerminne de B en funión del de. B dec C, C C, C )dec, C C, C )dec, C C, C ) dec,c,c ) dec,c,c ) dec,c,c ) dec,c,c ) dec,c,c ) --) dec,c,c )-. Méodos de álulo del deerminne. Deerminne de orden. Si queremos lulr el vlor del deerminne de un mri M R) por l definiión enemos! produos si seguro que nos equivoremos. Tendremos que usr lgún oro méodo pr lulr su vlor. Pr eso podemos plir ls propieddes viss en el prdo nerior.. Por djunos Pr lulr el deerminne de un mri un méodo es el de los djunos. El méodo onsise en omr un fil o olumn), muliplir d elemeno de l fil olumn) por su djuno, que es deerminne que se oiene eliminndo l fil olumn de diho oefiiene, muliplido por - si es un elemeno impr filolumnnº impr) Pr ver omo lulrlo veámoslo on un ejemplo, que desrrollremos por l primer olumn l segund fil: ) ) ) -) ) - ) ) ) - -) -