Estudio algebraico de las cónicas. CÓNICAS
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- Vicente Rivero Maestre
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1 Esudio lgebrio de ls ónis CÓNICS Esudio lgebrio de ls ónis Inroduión En ese píulo se v efeur un esudio de ess urvs plns uilizndo ls herrmiens que nos hn proporiondo los ems neriores de Álgebr Linel Geomerí Eulíde Un vez fijdo un sisem de refereni en el plno eulídeo, vmos soir d óni un mriz Medine mbios de refereni oronormles deudos (giros rsliones), vmos ir simplifindo l mriz soid l óni hs idenifir de qué ipo de óni se r, uál es su euión reduid, quiénes son su enro (ó vérie, según proed), ejes, véries, foos, direries, El esudio nerior v poder llevrse bo gris ieros elemenos soidos l mriz de l óni que vn permneer invrines lo lrgo de odo el proeso, son los llmdos invrines de l óni Definiión Se E el plno eulídeo ordinrio Se R { O,e,e} un refereni oronorml del mismo Llmmos óni en E l lugr geomério de los punos del plno que verifiquen l euión generl de segundo grdo: () donde, no son simulánemene nulos En l euión () disinguimos: Término independiene: Form linel: Form udrái: +, llmndo ( ) + +, L llmndo Euión mriil L euión () puede esribirse en l form: X X () siendo X, ; o bien: U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi Crogrfí
2 Esudio lgebrio de ls ónis + L + ( ) (3) l mriz se le llm mriz soid l óni Tipos de ónis Vemos que l euión de l óni, medine un mbio de refereni oronorml (giro rslión de ejes), siempre se redue uno de los sos siguienes: ) ELIPSE: + b + b λ +λ + k, on b k λ ; l elipse será : λ REL si λ λ ienen signo onrrio k, IMGINRI si λ, λ k ienen el mismo signo ) HIPÉRBOL: b b λ +λ + k, on b k λ λ de disino signo, siendo λ λ 3) PRÁBOL: p b + λ, on b, 4) DOS RECTS QUE SE CORTN: on mriz soid λ λ 5) UN PUNTO: 6) DOS RECTS PRLELS: RECT DOBLE si d b b λ λ +λ, λ λ de signo onrrio, λ λ +λ, λ λ de igul signo; on λ d +λ ; on RECTS PRLELS si λ d ienen signo onrrio RECTS IMGINRIS si λ d son del mismo signo d, que serán: λ U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi Crogrfí
3 Esudio lgebrio de ls ónis Reduión de l euión generl de un óni Giro: Medine un giro de ejes (los nuevos, Proedemos enones l digonlizión de l mriz Como v e O v e θ O prlelos los de l óni) un poserior rslión (, ) (les que el origen del nuevo sisem de refereni se el enro ó el vérie de l óni) vmos reduir l euión generl () uno de los seis ipos neriores Podemos observr que en dihs euiones no pree érmino en : es siméri, es digonlizble medine un mriz orogonl P que iene por olumns veores propios v v de Enones, P P B es digonl Pero, l ser P un mriz orogonl, su invers oinide on su rspues B PP Por or pre, siempre podemos ordenr ls olumns de P de form que P, on lo ul P es l mriz soid l giro de ejes de ángulo θ (de e, e psmos v, v, mneniendo fijo el origen de oordends) L euión de diho giro es P Respeo l nuevo sisem de refereni, l euión de l óni qued: + LP+ ( ) P P, es deir: + BL + ( ) B (3 ) llmndo BL P L B PP L euión del giro mbién podemos esribirl sí: X PX` P, o bien, Susiuendo en l euión (), qued: X` P PX`, es deir: X` BX` ( ) llmndo B P P U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi Crogrfí 3
4 Esudio lgebrio de ls ónis Teniendo en uen l euión (3`), h de ser B λ λ, siendo λ λ los vlores propios de l mriz b b B b λ, que b λ L euión desrrolld de l óni, respeo de l nuev refereni, es: + λ ` +λ ` + b `+ b ` ( ) Trslión: u b `` `+ λ Efeumos l rslión b `` ` + λ siendo T l mriz de l rslión Disinguimos dos sos: ) λ λ Operndo en l euión (`), se iene: b b +λ (` + `) +λ (` + `) λ λ b b λ (` + ) +λ (` + ) + λ λ b b +( ) λ λ de veor b b u,, es deir, λ λ () L euión () psrí ser: λ `` +λ `` + k ( ) b b donde k λ λ Y, efeundo l rslión sobre (`), qued l euión (l mism que (``) esri en form mriil) : X`` T BT X``, ó bien: k donde C λ λ X`` CX`` ( ) U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi Crogrfí 4
5 Esudio lgebrio de ls ónis b) Uno de los dos vlores propios es Supongmos λ λ (Si mbién fuer λ, no hbrí óni) b) Cso en que b Primos de X` BX on b b B b, es deir, b λ +λ ` + b `+ b ` grupndo érminos omplendo udrdos se obiene: b b b + b ` +λ (` + ` + ) λ λ λ b b + b` +λ (` + ) λ λ λ b b (` + ) + b (` + ) λ b bλ Efeumos l rslión de euiones b `` `+ b b λ b `` ` + λ b ` + `` ` T `` b b ` λ `` ` `` b λ rslión L euión qued:, siendo T l mriz de l ó bien: λ `` + b `` on C X`` C X`` T BT b b λ U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi Crogrfí 5
6 Esudio lgebrio de ls ónis b) Cso en que b Primos de X` BX on b B, es deir, b λ b` ` + +λ grupndo érminos omplendo udrdos, se obiene: b b b +λ (` + `) +λ (` + ) λ λ λ b b λ (` + ) + λ λ `` ` Efeumos l rslión de euiones b `` `+ λ ` `` ` T3 ``, siendo T 3 l mriz de l rslión ` b `` ` `` λ L euión qued: λ `` + d siendo b d, ó bien: λ X`` C3X`` on C d T BT λ U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi Crogrfí 6
7 Esudio lgebrio de ls ónis Invrines de l óni Un invrine de l óni es un epresión formd por oefiienes de su euión que no h vrido l efeur el mbio de sisem de refereni neriormene desrio Son invrines de l óni: ) En efeo: Por ser B P P mries semejnes, ienen el mismo deerminne, luego: B Pero, B C λλ Por no, B C ) Ls mries B En efeo: BP P son semejnes, luego, ienen el mismo deerminne Por or pre: B T BT C, que T T, pr i,, 3 i i Hbiéndose probdo que B C i, pr i,, 3 i i i 3) Trz ( ) Tr + En efeo: Por ser semejnes ls mries B, ienen l mism rz Tr Tr B demás, er Tr B λ + λ Tr (Ci ), pr i,, 3 Por no, Tr Tr B Tr (Ci), pr i,, 3 4) + + es invrine medine el giro medine l rslión T 3, es deir, undo b Veámoslo: Ls mries B son semejnes, luego, + + B + B + B Pero, er B, de donde se dedue que + B + B Por ser b, se verifi: B + B λ b λ d C + C; eniéndose que + B + B C + C U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi Crogrfí 7
8 Esudio lgebrio de ls ónis Clsifiión de ls ónis Esquemáimene, l efeur el giro l orrespondiene rslión de ejes, l mriz de l óni h ido vrindo de l siguiene form: k T C λ λ, λ λ G b b b T b λ C b λ,b b λ λ d T3 C3 λ b λ Uilizndo los invrines neriores, se obiene l siguiene lsifiión: Cso : > λ λ >, l óni es de ipo elípio: del mismo signo λ `` +λ `` + k, on λ λ Cso : kλλ, luego k Se r de un puno ó dos res imginris que se orn en él Cso b : kλλ, luego k ) Si k, λ λ son del mismo signo, es un elipse imginri Eso ourre si solo si ( λ +λ)(k λλ ) >, es deir, undo ( + ) > b) Si k λ, λ ienen disino signo, es un elipse rel Eso ourre si solo si ( + ) < Cso : < λ λ <, l óni es de ipo hiperbólio: λ λ de disino signo λ `` +λ `` + k, on Cso : kλλ, luego k Se r de dos res senes Cso b : kλλ, luego k L óni es un hipérbol U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi Crogrfí 8
9 Esudio lgebrio de ls ónis Cso 3: λ λ λ, l óni es de ipo prbólio Cso 3: λ b b ; l euión reduid qued: d + λ `` ) Si d, es un re doble Eso ourre undo + dλ b) Si dλ >, son dos res imginris H de ser + > ) Si dλ <, son dos res prlels H de ser + < Cso 3b : λ b b Es un prábol: λ `` + b `` Resumen: Cónis on enro > < ( + ) < Elipse rel ( + ) > Elipse Tipo elípio imginri Puno ó dos res imginris que se orn en un puno Tipo hiperbólio Hipérbol Dos res senes Cónis sin enro Tipo prbólio Prábol + Re doble + Dos res imginris prlels + Dos res prlels > < U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi Crogrfí 9
10 Esudio lgebrio de ls ónis Cálulo de los oefiienes de l form nóni L euión de l óni on el mbio de sisem de refereni, se h rnsformdo de uerdo l siguiene esquem: T G T G T3 G l + l `` +l `` + k (óni on enro) l `` + b `` (prábol ) `` d (res prlels) Teniendo en uen los elemenos invrines hbidos en el proeso, se iene: Cso : Cónis on enro λλ kλλ k, λ, λ pueden obenerse resolviendo el sisem Tr λ +λ formdo por ls dos úlims euiones No obsne, λ λ son mbién los vlores propios de l mriz Pr ls ónis de ipo elípio, se om omo λ el vlor propio de menor vlor bsoluo; mienrs que pr ls ónis de ipo hiperbólio, se om omo λ el vlor propio de signo onrrio, on objeo de que el eje fol oinid on el eje de bsiss Cso : Prábol λ + Tr + λ, eligiendo el signo de b b λ onrrio l de b ± + λ, pr que el foo esé en el semieje posiivo del eje de bsiss Cso 3: Res prlels λ + Tr + λ + + d λ d + Tno en ese so omo en el nerior, λ es mbién el vlor propio no nulo de l mriz Deerminión del enro Definiión: Se denomin enro de un óni odo puno del plno respeo del ul l óni se siméri, siempre que diho puno eis se únio Consideremos l óni de euión: U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi Crogrfí
11 Esudio lgebrio de ls ónis , uo enro se el puno (, ) + Efeuemos l rslión de ejes + Respeo l nuevo sisem de refereni, l óni iene de euión : ( + ) + ( + )( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + es deir, ( + + ) + ( + ) Por l definiión de enro, l óni es siméri respeo del puno (, ) que es el + + origen del nuevo sisem de refereni, luego hn de ser: + + El sisem nerior iene soluión úni (que será el enro) si solo si, es deir, undo l óni es de ipo elípio ó hiperbólio Deerminión de los ejes de un óni on enro Un vez onoido el enro, los ejes son ls res que psn por él son prlels los veores propios soidos los vlores propios λ λ, respeivmene, de l mriz Sus pendienes respeivs m m se luln, por no, de l siguiene mner: ( ( I) X λ) + λ λ λ m, m + ( λ ) Deerminión del vérie del eje de un prábol Primer méodo: Un vez luldos λ λ, vlores propios de l mriz, sendos veores propios v v, el eje de l prábol será prlelo v psrá por el vérie de l mism Pr lulr diho vérie, onsidermos un re genéri m +n prlel v lulmos n obligndo que dih re ore l prábol en un únio puno (igulndo ero el disriminne de l euión de segundo grdo que se obiene l resolver el sisem formdo por l euión de l re l euión de l prábol) Un vez luld n, el vérie se obiene omo l soluión úni del sisem rrib meniondo Segundo méodo: Se f(, ) , de modo que l euión de l prábol se f (, ) U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi Crogrfí
12 Esudio lgebrio de ls ónis Emplendo l mism noión que en el párrfo nerior, m es l pendiene de un re que es ngene l prábol en el vérie, luego h de ser m ` Derivndo en l euión de l prábol, se obiene: ` f (, ) ` ` ` ` f (, ) + f (, ) ` f (, ) ` f (, ) Por no, si (, ) es el vérie busdo, h de ser m ` ; hor, el f (, ) ` ` vérie se obiene omo inerseión de l re f (, ) + mf (, ) on l prábol f (, ) Es deir, el vérie se obiene resolviendo el sisem: m ( + + ) Deerminión de ls sínos de un hipérbol Ls sínos de un hipérbol son res que psn por el enro de l óni ienen de pendiene m, soluión de l euión: + m + m ( m) ( ) m Ese úlimo resuldo se obiene de plir que, en generl, ls sínos oblius un urv de euión f() ienen de pendiene lim ± f () U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi Crogrfí
Estudio algebraico de las cónicas. CÓNICAS
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