Estudio algebraico de las cónicas. CÓNICAS

Transcripción

1 Esudio lgerio de ls ónis Esudio lgerio de ls ónis Inroduión CÓNICAS En ese píulo se v efeur un esudio de ess urvs plns uilizndo ls herrmiens que nos hn proporiondo los ems neriores de Álger Linel y Geomerí Eulíde Un vez fijdo un sisem de refereni en el plno eulídeo, vmos soir d óni un mriz Medine mios de refereni oronormles deudos (giros y rsliones), vmos ir simplifindo l mriz soid l óni hs idenifir de qué ipo de óni se r, uál es su euión reduid, quiénes son su enro (ó vérie, según proed), ejes, véries, foos, direries, El esudio nerior v poder llevrse o gris ieros elemenos soidos l mriz de l óni que vn permneer invrines lo lrgo de odo el proeso, son los llmdos invrines de l óni Definiión Se E el plno eulídeo ordinrio Se R O,e,e un refereni oronorml del mismo Llmmos óni en E l lugr geomério de los punos del plno que verifiquen l euión generl de segundo grdo: y y y () donde, y no son simulánemene nulos En l euión () disinguimos: Término independiene: Form linel: y Form udrái:, llmndo A y L y, llmndo A Euión mriil L euión () puede esriirse en l form: X AX O () siendo X, A y ; ó ien: U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crogrfí

2 Esudio lgerio de ls ónis A L ya (3) y y A l mriz A se le llm mriz soid l óni Tipos de ónis Vemos que l euión de l óni, medine un mio de refereni oronorml (giro y rslión de ejes), siempre se redue uno de los sos siguienes: y ) ELIPSE: y y, on A ; l elipse será : REAL si y ienen signo onrrio, IMAGINARIA si, y ienen el mismo signo y ) HIPÉRBOLA: y y, on y de disino signo, siendo A 3) PARÁBOLA: y p y, on, A 4) DOS RECTAS QUE SE CORTAN: on mriz soid A 5) UN PUNTO: 6) DOS RECTAS PARALELAS: RECTA DOBLE si d = y, y de signo onrrio, y, y de igul signo; on A d ; on A, que serán: d y RECTAS PARALELAS si y d ienen signo onrrio RECTAS IMAGINARIAS si y d son del mismo signo U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crogrfí

3 Esudio lgerio de ls ónis Reduión de l euión generl de un óni Giro: Medine un giro de ejes (los nuevos, y y y v e O v e O y prlelos los de l óni y un poserior rslión (, y ) les que el origen del nuevo sisem de refereni se el enro ó el vérie de l óni) vmos reduir l euión generl () uno de los seis ipos neriores Podemos oservr que en dihs euiones no pree érmino en y Proedemos enones l digonlizión de l mriz A : Como A es siméri, es digonlizle medine un mriz orogonl P que iene por olumns veores propios v y v de A Enones, P AP B es digonl Pero, l ser P un mriz orogonl, su invers oinide on su rspues y B P A P Por or pre, siempre podemos ordenr ls olumns de P de form que P, on lo ul P es l mriz soid l giro de ejes de ángulo (de e mneniendo fijo el origen de oordends), e psmos v, v, L euión de diho giro es P y y Respeo l nuevo sisem de refereni, l euión de l óni qued : AP yp A P L, es deir: y y llmndo B L AP L y B P AP BL yb (3 ) y y L euión del giro mién podemos esriirl sí: X PX` P y, ó ien, y Susiuyendo en l euión (), qued: X` P APX`, es deir: X` BX` ( ) U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 3

4 Esudio lgerio de ls ónis llmndo B P AP Teniendo en uen l euión (3`), h de ser B, y que B, siendo y los vlores propios de l mriz A L euión desrrolld de l óni, respeo de l nuev refereni, es: ` y` ` y` ( ) Trslión: Efeumos l rslión `` ` y`` y` siendo T l mriz de l rslión Disinguimos dos sos: ) y Operndo en l euión (`), se iene: ( ` `) ( y ` y `) ( ` ) ( y` ) +( ) () de veor u (, ), es deir, L euión () psrí ser: `` y`` ( ) donde Y, efeundo l rslión sore (`), qued l euión (l mism que (``) esri en form mriil) : X`` T BT X``, ó ien: donde C y y y u X`` C X`` ( ) U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 4

5 Esudio lgerio de ls ónis ) Uno de los dos vlores propios es Supongmos y (Si mién fuer, no hrí óni) ) Cso en que Primos de X` BX on B, es deir, y` `y` Agrupndo érminos y omplendo udrdos se oiene: y y ` ( ` ` ) ` ( y` ) ( y` ) ( ` ) `` ` Efeumos l rslión de euiones y`` y` ` `` ` T `` y` y`` y` y`` rslión L euión qued:, siendo T l mriz de l ó ien: y`` `` on C X`` C X`` T BT = ) Cso en que U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 5

6 Esudio lgerio de ls ónis Primos de X` BX y` y` on B, es deir, Agrupndo érminos y omplendo udrdos, se oiene : ( y` y `) ( y` ) ( y` ) Efeumos l rslión de euiones `` ` y`` y` ` `` ` T3 ``, siendo T 3 l mriz de l rslión y` y`` y` y`` L euión qued: y `` d, siendo d, ó ien: X`` C X`` 3 on C T BT d U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 6

7 Esudio lgerio de ls ónis Invrines de l óni Un invrine de l óni es un epresión formd por oefiienes de su euión que no hy vrido l efeur el mio de sisem de refereni neriormene desrio Son invrines de l óni: ) A A En efeo: Por ser A y B P A P mries semejnes, ienen el mismo deerminne, luego: A B Pero, B C Por no, A B C ) A Ls mries A y B A B En efeo: = P A P son semejnes, luego, ienen el mismo deerminne Por or pre: B T BT C, y que T T, pr i =,, 3 i i Hiéndose prodo que A B C i, pr i =,, 3 i i i Trz( A ) Tr A 3) En efeo: Por ser semejnes ls mries A y B, ienen l mism rz Tr A Tr B Además er Tr B Tr (Ci), pr i =,, 3 Por no, Tr A Tr B Tr (Ci ), pr i =,, 3 4) A A es invrine medine el giro y medine l rslión T 3, es deir, undo = Veámoslo: Ls mries A y B son semejnes, luego, A A A B B B Pero, er A B, de donde se dedue que A A B B Por ser =, se verifi: B B d C C; eniéndose y que A A B B C C U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 7

8 Esudio lgerio de ls ónis Clsifiión de ls ónis Esquemáimene, l efeur el giro y l orrespondiene rslión de ejes, l mriz de l óni h ido vrindo de l siguiene form: T C, G T C, d T3 C3 Uilizndo los invrines neriores, se oiene l siguiene lsifiión: Cso : A A, l óni es de ipo elípio: `` y``, on y del mismo signo Cso : A A, luego = Se r de un puno ó dos res imginris que se orn en él Cso : A A, luego ) Si, y son del mismo signo, es un elipse imginri Eso ourre si y solo si ( )( ), es deir, undo ( ) A ) Si y, ienen disino signo, es un elipse rel Eso ourre si y solo si ( ) A Cso : A A, l óni es de ipo hiperólio : `` y``, on y de disino signo Cso : A A, luego = Se r de dos res senes Cso : A A, luego L óni es un hipérol Cso 3: A A, l óni es de ipo prólio Cso 3: A U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 8

9 Esudio lgerio de ls ónis A ; l euión reduid qued: d y`` Cso 3 : A Resumen: ) Si d =, es un re dole Eso ourre undo A A d ) Si d, son dos res imginris H de ser A A ) Si d, son dos res prlels H de ser A A A Es un práol: y`` `` A Cónis on enro A A Tipo elípio Tipo hiperólio A ( ) A Elipse rel ( ) A Elipse imginri A Puno ó dos res imginris que se orn en un puno A Hipérol A Dos res senes A Cónis sin enro Tipo prólio A Práol A A A A Re dole A Dos res imginris prlels A Dos res prlels A U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crogrfí 9

10 Esudio lgerio de ls ónis Cálulo de los oefiienes de l form nóni L euión de l óni on el mio de sisem de refereni, se h rnsformdo de uerdo l siguiene esquem: y y y T G T G T3 G `` y`` (óni on enro) y`` `` (práol ) y`` d (res prlels) Teniendo en uen los elemenos invrines hidos en el proeso, se iene: Cso : Cónis on enro A A A, y, pueden oenerse resolviendo el sisem A Tr A formdo por ls dos úlims euiones No osne, y son mién los vlores propios de l mriz A Pr ls ónis de ipo elípio, se om omo el vlor propio de menor vlor soluo; mienrs que pr ls ónis de ipo hiperólio, se om omo el vlor propio de signo onrrio, on ojeo de que el eje fol oinid on el eje de siss Cso : Práol Tr A A, eligiendo el signo de A onrrio l de, pr que el foo esé en el semieje posiivo del eje de siss Cso 3: Res prlels Tr A A A A d d A Tno en ese so omo en el nerior, es mién el vlor propio no nulo de l mriz A Deerminión del enro Definiión: Se denomin enro de un óni odo puno del plno respeo del ul l óni se siméri, siempre que diho puno eis y se únio Consideremos l óni de euión: y y y, uyo enro se el puno (, y ) U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crogrfí

11 Esudio lgerio de ls ónis Efeuemos l rslión de ejes y y y Respeo l nuevo sisem de refereni, l óni iene de euión : ( ) ( )( y y ) ( y y ) ( ) ( y y ) es deir, y y y ( y ) ( y ) y y y Por l definiión de enro, l óni es siméri respeo del puno (, y ) que es el y origen del nuevo sisem de refereni, luego hn de ser : y El sisem nerior iene soluión úni (que será el enro) si y solo si A, es deir, undo l óni es de ipo elípio ó hiperólio Deerminión de los ejes de un óni on enro Un vez onoido el enro, los ejes son ls res que psn por él y son prlels los veores propios soidos los vlores propios y, respeivmene, de l mriz A Sus pendienes respeivs m y m se luln, por no, de l siguiene mner: ( ( A I) X ) + y = m ( ) y, m Deerminión del vérie y del eje de un práol Primer méodo: Un vez luldos = y, vlores propios de l mriz A, y sendos veores propios v y v, el eje de l práol será prlelo v y psrá por el vérie de l mism Pr lulr diho vérie, onsidermos un re genéri y = m +k prlel v y lulmos k oligndo que dih re ore l práol en un únio puno (igulndo ero el disriminne de l euión de segundo grdo que se oiene l resolver el sisem formdo por l euión de l re y l euión de l práol) Un vez luld k, el vérie se oiene omo l soluión úni del sisem rri meniondo Segundo méodo: Se f(, y) y y y, de modo que l euión de l práol se f (, y) = Emplendo l mism noión que en el párrfo nerior, m es l pendiene de un re que es ngene l práol en el vérie, luego h de ser m = y` U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crogrfí

12 Esudio lgerio de ls ónis Derivndo en l euión de l práol, se oiene: f ` ` ` ` f(, y) fy(, y) y y f ` ` y (, y) (, y) Por no, si (, y ) es el vérie usdo, h de ser m ` f (, y) ` ; y hor y, el f (, y ) ` ` vérie se oiene omo inerseión de l re f(, y) mf y(, y) on l práol f (, y) = Es deir, el vérie se oiene resolviendo el sisem: ym ( y) y y y y Deerminión de ls sínos de un hipérol Ls sínos de un hipérol son res que psn por el enro de l óni y ienen de pendiene m, soluión de l euión: m m Ese úlimo resuldo se oiene de plir que, en generl, ls sínos olius un f () urv de euión y = f() ienen de pendiene lim U D de Memáis ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crogrfí