UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE

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María Josefa Giménez Venegas
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1 UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers EUAIÓN EN FORMA OMÚN O ANÓNIA DE LA ELIPSE Definiión Es el lugr geométrio formdo por el onjunto de puntos u sum de sus distnis dos puntos fijos llmdos foos es onstnte e igul Elementos de l elipse F1 F : estos puntos se les denomin foos se enuentrn uidos sore el eje fol, designndo l distni entre ellos omo : Es el entro de l elipse, es el punto donde se intersen los ejes mor menor, represent demás el punto medio entre los foos los vérties. V1 V : Son los vérties de l elipse, representn los puntos donde oiniden el eje fol l elipse, l distni entre ellos es. B1 B : Son los etremos del eje menor de l elipse, es deir son los puntos donde oiniden l elipse el eje trnsversl llmdo tmién eje onjugdo tomndo en uent que el eje trnsversl es el segmento de ret perpendiulr l eje fol en el entro del mismo.

2 Y B V1 -, 0 F1 -, 0 F, 0 V, 0 X B1 Figur 1 Eje mor de l elipse: es l distni entre V1 V Eje menor de l elipse o trnsversl: es l distni entre B1 B Distni Fol: Es l distni que eiste entre los foos F1 F Ldo reto: Es l uerd perpendiulr l eje mor que ps por d foo, l elipse tiene ldos retos. Ldo Re to Eentriidd: Se represent on l letr e es l relión que eiste entre l distni fol l longitud del eje mor. e

3 Y B F1 V1 -, 0 V, 0 -,0,0 F X B1 Figur

4 6.1.. EUAIONES DE LA ELIPSE UYO ENTRO ESTÁ EN EL ORIGEN. Si grfimos un elipse on entro en el origen eje mor oinidiendo on el eje de ls X, se otiene un figur omo l siguiente: Y 0, B PUNTO P, V1 -, 0 V, 0 F1 -, 0 R1 R F, 0 X B1 0,- Figur 3 omo se definió previmente, pr que un punto P, pertenez l elipse dee umplir on R1 R Utilizndo l euión de distni entre dos puntos: R1 R 0 0 Despejndo l primer de ls ríes nteriores, pr poder eliminr el rdil de l izquierd, se tiene: 0 0 } Elevndo l udrdo mos miemros de l euión:

5 [ ] [ ] 0 0 Desrrollndo los inomios l udrdo Simplifindo términos semejntes: Dividiendo l euión por Elevndo nuevmente l udrdo grupndo términos semejntes nos qued: Ftorizndo ² de los dos primeros términos ² en el segundo miemro: En el triángulo retángulo BF de l figur 3, se oserv que: Sustituendo: Multiplindo por 1 nos qued: 1 Que es l euión de l elipse en su form ordinri on entro 0,0. En l ul, son ls oordends de ulquier punto que pertenez l elipse.

6 Análogmente si l elipse tiene su eje mor sore el eje Y, se dej l lumno l otenión de su euión, plindo un proedimiento similr l nterior, deiendo llegr l siguiente resultdo: 1 Anlizndo ls euiones nteriores podemos oservr que denomindores de los términos en el primer miemro se intermin. los Por l nturlez geométri de l elipse, siempre se tiene que >, deido lo ul el mor de los denomindores nos indirá ul de los ejes oordendos oinide on el eje fol. Ejemplo 1.6 Hllr l euión de l elipse uos foos son los puntos F,0 F -,0, eentriidd e / 3. Soluión: omo l eentriidd se define medinte e / /3por medio de l relión se podrá determinr el vlor de por: Si: entones 3 entones Por ls oordends de los foos se determin que el eje fol es prlelo l eje su euión será de l form 1 Sustituendo Ejeriio 6.1 Hllr l euión de l elipse uos foos son los puntos F 3,0 F -3,0, eentriidd e 1 / 3.

7 Ejeriio 6. Hllr l euión de l elipse uos foos son los puntos F 6,0 F -6,0, eentriidd e / EUAIONES DE LA ELIPSE UYO ENTRO NO ESTÁ EN EL ORIGEN. undo el entro de l elipse se enuentr fuer del origen en un punto l que por onvenión se le signn ls oordends h, si demás su eje fol es prlelo l eje X, entones l euión que l define es l siguiente: h 1 Sí su entro se enuentr fuer del origen pero su eje fol es prlelo l eje Y entones l euión que l define es l siguiente: h 1 Aunque l euión de l elipse mi deido su posiión, el resto de los elementos se puede lulr emplendo ls misms fórmuls, es deir: Ldo Re to e Ejemplo.6 Determin l euión de l elipse que tiene por foos ls oordends -,1, l longitud de su eje mor es 7 SOLUION Aplindo diretmente l definiión: 1 7 Ordenndo miemros pr determinr su euión 1 7 Elevndo l udrdo mos miemros desrrollndo los inomios

8 1 9 1 Simplifindo Elevndo un vez más l udrdo desrrollndo los inomios Finlmente Que orresponde un elipse de ejes oliuos o rotdos respeto los ejes oordendos, Ejeriio 6.3 Determin l euión de l elipse que tiene por foos ls oordends -3,1 3, l longitud de su eje mor es 6 Ejeriio 6. Determin l euión de l elipse que tiene por foos ls oordends -,3,5 l longitud de su eje mor es Euión en form generl. Pr que l euión: A D E F 0 Represente un elipse, los oefiientes A deen ser diferentes del mismo signo, que si A, entones representrí un irunfereni Otenión de l euión.

9 Pr ejemplifir, onsideremos l euión de l elipse esrit en form ordinri: 1 h Desrrollndo los udrdos qued: 1 h h Oteniendo el omún denomindor 1 h h Quitndo el denomindor: h h Desrrollndo: h h Reordenndo: 0 h h Hiendo que: A -h D - E h - F Otenemos: l euión generl de un elipse 0 F E D A Ejemplo 3.6 Dd l elipse determine su form generl, oteniendo todos sus elementos Soluión:

10 h L euión es de l form 1 es prlelo l eje. por lo ul su eje fol Pr psr su form generl multipliremos tod l epresión por Desrrollmos inomios simplifimos pr otener su form generl Su entro se loliz en -3,5 6 6 De l relión Entones 6- Los Foos se lolizn en 3,5 ±, los vérties en 3,5 ± 6 etremos en 3 ±,5 sus Su eentriidd e * Sus Ldos retos LR Sus Diretries ± Ejeriio 6.5 Dd l elipse 1 8 generl, oteniendo todos sus elementos determine su form 6. álulo de los prámetros de l elipse dd su euión ondiiones pr que un euión del tipo A²²DEF0 se un elipse. Y se vio que l euión A D E F 0 es l euión generl de un elipse pero dee umplir on ierts ondiiones omo

11 que A deen ser diferentes de signo positivo que si son igules lo que tenemos es un irunfereni no un elipse. De l euión generl se tiene tres diferentes sos, si de est euión se ompletn sus udrdos tenemos que: F E A D E A D A En est últim euión el vlor del segundo miemro determin el lugr geométrio que represent omo se eplir en los inisos siguientes: LA EUAIÓN REPRESENTA UNA ELIPSE REAL. E A D A >0 En este so el lugr geométrio que represent es un elipse LA EUAIÓN NO TIENE REPRESENTAIÓN EN EL PLANO ELIPSE IMAGINARIA. E A D A 0 En este so el lugr geométrio que represent es un punto LA EUAIÓN REPRESENTA UN PUNTO. E A D A < 0 En este so no represent ningún lugr geométrio llmdo elipse. Ejemplo.6 A prtir de l siguiente euión Determinr sus elementos. Soluión Ftorizndo términos omunes

12 ompletndo udrdos Simplifindo Ftorizndo Multiplindo por Nos qued: L euión otenid es l de un elipse on eje mor prlelo l eje ddo que el número se enuentr en el denomindor de l inomio que ontiene entro fuer del origen por tnto sus elementos son: e < 1 5 oordends de entro vérties foos Los ldos retos son: h, 1,1 V h, 1 5,1,1 V h, 1 5,1 6,1 F h, 1,1 3,1 F h, 1,1 5,1 E h, 1,1 3 1, E h, 1,1 3 1, LR *3*

13 Ls rets diretries son: X X -7.5 ± e ± h 5 ± ± 1 onsiderndo l trslión de ejes, si se tom el entro de l elipse omo el nuevo origen ±6. 5 Ejeriio 6.6 A prtir de l siguiente euión Determinr sus elementos.

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